2024-2025学年浙江省宁波市慈溪市高二（上）期末数学试卷（含答案）

2024-2025学年浙江省宁波市慈溪市高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知直线过点和，则的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.已知函数，则( )
A. B. C. D.
3.已知等比数列的前项和为，若，，则( )
A. B. C. D.
4.已知，，，，则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
5.已知圆：，圆：，若圆与圆恰有三条公切线，则( )
A. B. C. D.
6.已知在棱长为的正四面体中，，，则直线和夹角的余弦值为( )
A. B. C. D.
7.已知双曲线：的左焦点为，一条渐近线方程为，过作这条渐近线的垂线，垂足为，交另一条渐近线于点，则( )
A. B. C. D.
8.已知斐波那契数列满足，卢卡斯数列满足，且，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知曲线：，则( )
A. 当时，是半径为的圆
B. 当时，是焦点在轴上的椭圆
C. 当时，是焦点在轴上的双曲线
D. 当时，是两条直线
10.已知数列的前项和为，若，且对任意，，都有，则( )
A. B.
C. D. 数列是递增数列
11.如图，已知正方体的棱长为，，分别是线段，上的动点，是线段的中点，且满足，过作平面，使得，则( )
A. 当时，平面
B. 当为线段中点时，直线到平面的距离为
C. 直线与平面所成角的最大角的正弦值为
D. 的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知点和直线：，则点到的距离为______．
13.已知数列满足，若，，则的前项积的最大值为______．
14.椭圆有如下结论：“过椭圆上一点作该椭圆的切线，切线方程为”设椭圆：的左、右焦点为，，为椭圆上一点，过的切线分别与坐标轴交于、两点，若时，为坐标原点的面积取到最小值，则的离心率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
若，求；
若在处的切线与直线垂直，求．
16.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面平面，，，．
证明：平面；
求平面与平面夹角的余弦值．
17.本小题分
已知直线：，圆：，点在上，点在上．
若一条光线沿着直线从右上往左下射出，经轴反射后，与相切，求；
若，，求点坐标，使有最小值，并求出这最小值．
18.本小题分
已知抛物线：的焦点为，点在上，且．
求的方程；
若，是上的两个不同动点在轴上方，在轴下方，满足．
求证：直线过定点；
设直线的斜率为，过点，且斜率为的直线交于，两点，求四边形面积的最小值．
19.本小题分
若数列满足：，且，则称数列为“差增数列”；若对于差增数列，存在整数，同时满足以下两个条件：对任意，都有成立；存在，使得成立，则称数列为差增数列的“下限数列”．
已知数列是差增数列，若为小于的质数，试写出项数为的差增数列；
已知等差数列是公差为的正项数列，其前项和为，等比数列是公比为的非常数数列，且．
试判断数列是否为“差增数列”，并说明理由；
若，且，成等比数列，则是否存在以数列为“下限数列”的差增数列？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
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15.解：若，则，
所以．
因为，所以，
由题意知，，即，
所以，解得或．
16.解：证明：因为平面平面，平面平面，，
所以平面，又平面，
所以，
在中，，，，
所以，
所以，即，
又因为，，平面，
所以平面．
由知，平面，，
以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，，
设平面的一个法向量，
则，即，
所以取，
设平面的一个法向量为，
则，
所以取，
所以，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
17.解：由题意知，入射光线与轴交于点，反射光线的斜率为，
所以反射光线所在的直线方程为，
因为圆心，所以圆心到反射光线所在直线的距离等于，
即．
设点关于直线的对称点为，
则，解得；
所以，
因为，，所以的最小值等于，
此时，点就是直线与的交点．
由得，，
所以当点时，的最小值等于．
18.因为，
所以，
则抛物线的方程为；
证明：设直线的方程为，，，，
联立，消去并整理得，
此时，
由韦达定理得，，
因为
，
解得或舍去，
则直线过定点；
设直线的方程为，，，，，
联立，消去并整理得，
由韦达定理得，，
所以，
此时，到直线的距离和，
因为直线的直线方程为，
所以，
所以，
联立，消去并整理得，
由韦达定理得，，
所以，
则四边形的面积，
令，，
此时．
则当，即时，四边形的面积取得最小值，最小值为．
19.解：根据“差增数列”的定义可得，，，，；
是，理由如下：
因为，则首项，公差，所以，，
因为
，
即对任意且”恒成立，
故数列为“差增数列”．
因为，则，且，
所以，所以，
假设存在以数列为“下限数列”的差增数列，
则，而，，所以的可能取值为、，
若，则，若存在，则其下限数列为，即恒成立，
事实上，当时，，故时不符合；
若，则，
所以
，，
而，以对任意恒成立，
所以数列是差增数列，令，
则，
时，，即，当时，，
所以，即，所以，
所以符合，所以数列的下限数列为．
综上所述，存在以数列为“下限数列”的差增数列，此时的值为．
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