华中师大一附中2025届高三年级二月月度检测数学试卷
时限：120分钟
满分：150分
一：单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的.)
1,已知集合A={-l≤x≤号，B={a-1sx≤2a-,若乃≤在，则实数a取禃范围是(）
A.a≤1
B.a<1
C.0sasl
D.0
2.已知m,,卫，9∈N，且数列{a}是等比数列，则a,=a,4,”是m+n=p+g”的（)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
3.设函数f(x)=m2-x-1,命题3x,3,f(x)≤-m+2”是假命避，则实数m的取值范围为（)
B.(-x,3
D.(3,+o】
4.a>0,6>0,+2=1,则1
43
-1+b一2的最小值为《)
A.
B.23
C.6
D.6
5.阅读材料：空间直角坐标系O-z中，过点F(x。%,)且-一个法向量为n=(a,b,c)的平面：的方程为
(x-x)+(y-%)+c(z-2)=0，阅读上面材料，解决下面问题：宜线2是两平面x-3y+7=0与
4y+2z+1=0的交线。则下列向量可以为直线！的方狗向量的是()
A.(3,1,2)
B.(31,-2)
C.2,1,3)
D.(-2,1.-3)
6.巴知锅数个=3+2，且)+f-砂>2，则实数的取值夜脚是()
A.(-4,1)
B.{-o8,-1)U(4,+oo）
C.（-o∞，-4)U(1,+0}
D.(-1,49
7.设n∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx一y-m+3=-0交于点P,点P到直线
x一3y+9=0的距离为d,则d的取值范围为(
)
A.[0,Ni0)
B.[0,10]
C.0,210)
D.0,2W10]
8.在△ABC中，a2+b+c2=2N5bsnC,则△ABC的形状是()
A.等腰直角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等边三角形
第1页共4页
二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共8分、在每小题给出的四个选项中，有多须符合题目要
求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.)
9.下列说法正确的是()
A.在使用经验回归方程进行预测时，经验回归方程只适用于所研究的样本的总体
-}
B.决定系数R2=1回
可以作为衡最一个模型拟合效果的指标，它越大说明拟合效果越好
-明
C.样本相关系数r∈[-1，】，当r=0时，表明成对样本数据间没有相关关系
D.经验回归方程y=3x+1相对于点(2,6.5)的残差为-0.5
10.声音中包含着正弦函数，声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波每个音都是由纯音合成的，纯
音的数学模型是y=As,其中响度与振幅有关，振辐越大，响度越大.音调与频率有关，频率低的声音
须率高的声音尖锐，我们平时听到的音查乐函数是y=si加x+2in2x+si加3x+sn4x+,类
函数f)=sinx+2i册2x+与sin3x,下列说法正确的是(）
A西效在区间司调递装
B.函数(x)的最小正周期为2
C.函数f(x)的声音批纯音gx)=sm2.x的尖锐
D.勇数f(x)的响度比纯音g(x)=sin2x的响度大
11.如图，在直四楼往ABCD-AB,CD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=0°，AB=AA=2,P为CC1的中
点，点9满足D0=2D℃+DD(∈0,1,40,1]），则下列结论正确的是()
D
A.若元+4=则四面体4B的体积为定值
B:
B.若A2=√5，则点的轨迹为一段圆弧
Di..
C.若△4B2的外心为O,则ABAO为定值2
D.若元=1且业=之，则存在点E在线段4B上，使得征+0的最小值为V9+20
第2页共4页高三数学限时训练
时限：120 分钟 满分：150 分
一、单选题（本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．）
1．已知集合 A x 1 x 1 ， B x a 1 x 2a 1 ，若B A，则实数a取值范围是（ ）
A．a 1 B． a 1 C．0 a 1 D．0 a 1
【答案】A
2．已知m,n, p,q N* ，且数列 an 是等比数列，则“aman a paq ”是“m n p q ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】B
3．设函数 f x mx2 mx 1，命题“ x 1,3 , f x m 2 ”是假．命题，则实数m的取值范围为（ ）
3 3
A． , B． ,3 C． , D． 3, 7 7
【答案】D
1 2 1 3
4．a 0,b 0, 1，则 的最小值为（ ）
a b a 1 b 2
A． 3 B．2 3 C． 6 D．6
【答案】C
5．阅读材料：空间直角坐标系O xyz中，过点P x0 , y0 , z0 且一个法向量为n a,b,c 的平面 的方程为
a x x0 b y y0 c z z0 0，阅读上面材料，解决下面问题：直线 l是两平面 x 3y 7 0与
4y 2z 1 0 的交线，则下列向量可以为直线 l的方向向量的是（ ）
A． (3,1, 2) B． (3,1, 2) C． (2,1,3) D． ( 2,1, 3)
【答案】B
3 26 2．已知函数 f x 3x 2 f a f 3a 4 2 ax ，且 ，则实数 的取值范围是（ ） e 1
A． 4,1 B． , 1 4,
C． , 4 1, D． 1,4
【答案】C
高三年级数学试题 第1页 共 4 页
7．设m R，过定点A 的动直线 x my 0和过定点 B的动直线mx y m 3 0 交于点P，点 P到直线
x 3y 9 0的距离为d ，则d 的取值范围为 ( )
A．[0, 10) B．[0, 10] C．[0, 2 10) D．[0, 2 10]
【答案】A
8．在 ABC 中，a2 b2 c2 2 3absinC，则 ABC 的形状是（ ）
A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
【答案】D
【详解】 在 ABC 中，a2 b2 c2 2 3absinC，
又由余弦定理知，b2 a2 c2 2ab cosC ，
2 2
两式相加得： 2(a b ) 2ab( 3 sinC cosC) 4absin(C ) ，
6
a2 b2 2ab
sin(C ) 1（当且仅当c b时取“ ” )，又 sin(C ) 1，
6 2ab 2ab 6
sin(C ) 1（当且仅当a b时成立），C为 ABC的内角，
6
C ，C ，又a b，
6 2 3
ABC的形状为等边△．故选：D．
二、多选题（本大题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要
求的．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分．）
9．下列说法正确的是（ ）
A．在使用经验回归方程进行预测时，经验回归方程只适用于所研究的样本的总体
n
(yi y i )2
B 2．决定系数R 1 i 1n ，可以作为衡量一个模型拟合效果的指标，它越大说明拟合效果越好
yi y 2
i 1
C．样本相关系数 r [ 1,1]，当 r 0时，表明成对样本数据间没有相关关系
D．经验回归方程 y 3x 1相对于点 2,6.5 的残差为－0.5
【答案】ABD
10．声音中包含着正弦函数，声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波.每个音都是由纯音合成的，
纯音的数学模型是 y Asin t .其中响度与振幅有关，振幅越大，响度越大.音调与频率有关，频率低的声
高三年级数学试题 第2页 共 4 页
1 1 1
音低沉，频率高的声音尖锐，我们平时听到的音乐函数是 y sin x sin 2x sin 3x sin 4x ，某声
2 3 4
1 1
音函数 f (x) sin x sin 2x sin 3x，下列说法正确的是（ ）
2 3
π π
A．函数 f (x)在区间 , 单调递增
6 6
B．函数 f (x)的最小正周期为 2π
C．函数 f (x)的声音比纯音 g(x) sin 2x的尖锐
D．函数 f (x)的响度比纯音 g(x) sin 2x的响度大
【答案】ABD
π π
【详解】选项 A：当 x
, 时，sin x, sin 2x, sin 3x均单调递增，
6 6
π π
1 1则当 x , 时， f (x) sin x sin 2x sin 3x单调递增.判断正确；
6 6 2 3
2π
选项 B： y sin x, y sin 2x, y sin 3x的最小正周期分别为2π, π, ，
3
则函数 f (x) 的最小正周期为 2π. 判断正确；
1
选项 C：函数 f (x) 的周期为 2π，频率为 ；
2π
1 1 1
函数 g(x) 的周期为 π，频率为 ，由 ，
π 2π π
可得函数 f (x) 的声音比纯音 g(x) sin 2x的低沉.判断错误；
选项 D： g(x) sin 2x的振幅为 1，
π π 1 π 1 π 3 3 3 3
f ( ) sin sin 2 sin 3 3 3 2 3 3 3
1，
2 4 4
则函数 f (x) 的振幅大于 g(x) 的振幅，
则函数 f (x) 的响度比纯音 g(x) sin 2x的响度大.判断正确. 故选：ABD
11．如图，在直四棱柱 ABCD A1B
1C1D1中，底面 ABCD为菱形， BAD 60 , AB AA1 2,P为CC1的中
点，点Q满足DQ DC DD1 0,1 , 0,1 ，则下列结论正确的是（ ）
高三年级数学试题 第3页 共 4 页
1A．若 ，则四面体 A
3 1
BPQ的体积为定值
B．若 AQ 5 ，则点Q1 的轨迹为一段圆弧
C．若△A1BQ的外心为O，则 A1B A1O为定值 2
D．若 1且
1
，则存在点E A1B，使得 AE EQ的最小值为2
9 2 10
【答案】ABD
1 1
【详解】A 选项，在CD,DD1上分别取F ,W ，使得DF DC ，DW DD3 3 1
，
因为DQ DC DD1 ，所以DQ 3 DF 3 DW ，
1
因为 ，所以3 3 1，即DQ 3 DF 1 3 DW ，
3
故DQ DW 3 DF 3 DW ，即WQ 3 WF ，
所以W ,Q,F 三点共线，
因为WF / /CD1， A1B / /CD1，所以WF / /AB1，
故WF / / 平面PA1B，故点Q为平面PA1B的距离为定值，
又 S PA B为定值，故四面体 A1BPQ的体积为定值，A 正确； 1
B 选项，取 AB的中点R，因为底面 ABCD为菱形， BAD 60 ，故DR⊥DC，
以D为坐标原点，以DR，DC,DD 分别为 x, y, z1 轴，建立空间直角坐标系，
A 3, 1,2 Q 0,2 ,2 2 2故 1 ，设 ，则 AQ 3 2 1 2 2 5 ， 1
2 2化简得 2 1 2 2 2 ，点Q满足DQ DC DD1 0,1 , 0,1 ，
即点Q在正方形CDD1C1 内，包括边界，
故Q点的轨迹为以 S 1, 2 为圆心， 2 为半径的圆，落在正方形CDD1C1 内的部分，
高三年级数学试题 第4页 共 4 页
如图所示：
因为 SH 2 ， SD1 1，故D1H 2 1 1，
π故 SD1H为等腰直角三角形， S ， 4
故点Q
π 2π
的轨迹长度为 2 ，B 正确；
4 4
C 选项，取 A1B的中点T ，因为△A1BQ的外心为O，所以OT ⊥ A1B，
又题意得 AB A A2 AB2 2 2 ，则 A1B A1O A1B A1T 2 2 2 41 1 ，C 错误；
1 1
D 选项，若 1且 ，DQ DC DD1 ， 2 2
1即DQ 0, 2,0 0,0, 2 0, 2,1 ，即Q 0, 2,1 ，
2
又 A1 3, 1,2 ，B 3,1,0 ，设E x1, y1, z1 ，
设EB aA1B 0,2a, 2a ,a 0,1 ，即 3 x1,1 y1, z1 0,2a, 2a ，
x 3, y E 3,1 2a, 2a 2 2 2解得 1 1 1 2a, z1 2a，即 ， AE EQ 2 2a 4a2 3 2a 1 1 2a
2
2 1 1 5 8a 8a 4 8a2 5 2 2 a a
2 ，
2 4 8
如图所示，
1 10 1
设KJ ,GV , JG ，且KJ ⊥ JG， JG ⊥GV ，
2 4 2
1
在线段 JG上取一点L，设GL a，则 LJ a，
2
2
1
1 5
故KL VL a a
2 ，
2
4 8
显然，直接连接KV ，此时KL VL取得最小值，最小值即为KV ，
2
1 10 1 9 10
由勾股定理得KV ，
2 4 4 8 4
2 1 1 5
故 AE EQ 2 2 a a2 9 10的最小值为 ，D 正确.
2 2 9 2 10 2 4 8 8 4
故选：ABD
高三年级数学试题 第5页 共 4 页
三、填空题（本大题共 3小题，每小题 5分，共 15分）
12．已知a 1,2 ，b x, 4 ，若 a与b的夹角是钝角，则实数 x的取值范围是 ．
【答案】 , 2 2,8
x2 y2
13．设A 为双曲线Γ : 1 a 0,b 0 的一个实轴顶点，B,C 为Γ 的渐近线上的两点，满足
a2 b2
BC 4AC， AC a，则Γ 的渐近线方程是 ．
【答案】 2x y 0
14．一只口袋装有形状、大小完全相同的 3 只小球，其中红球、黄球、黑球各 1 只．现从口袋中先后有
* X，X为奇数
放回地取球2n次 n N ，且每次取 1 只球， X 表示2n次取球中取到红球的次数，Y ，
0，X为偶数
则 X 的数学期望为 （用n表示），Y 的数学期望为 （用n表示）．
2n n n
【答案】
3 3 32n
1 2n
【详解】由题知 X B
2n, , Y 0,1,0,3, 0, 2n 1,0，则E X
3 3
1 2n 1 3 2n 3 2n 1 1
1 2 1 3 1 2 1 2n 1 2 E Y 1 C2n 3 C2n 2n 1 C2n
3 3 3 3 3 3
1
C1 22n 1 3C3 22n 3 2n 1 C2n 1 1
32n 2n 2n 2n
2
kCk 2nCk 1 2n, E Y C0 22n 1 C2 22n 3 C2n 2 212n 2n 1 32n 2n 1 2n 1 2n 1 ，
(2 1)2n 1 C0 22n 1 C1 22n 2 C2 22n 3 C2n 2 21 C2n 1 02n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 12 ，
(2 1)2n 1 C0 22n 1 C1 22n 2 C2 22n 3 C2n 2 21 C2n 1 02n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 12 ，
2n 1 2n 1
0 2n 1 2 2n 3 2n 2 1 3 1 2n 3 1 n n C2n 12 C2n 12 C2n 1 2 , E Y . 2 32n 2 3 32n
n n
故答案为： .
3 32n
四、解答题（本大题共 5小题，共 77 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15 3 2 2．已知函数 f x x ax bx a (a,b R)
（1）若函数 f x 在 x 1处有极值为 10，求b的值；
高三年级数学试题 第6页 共 4 页
（2）对任意a [ 1, )， f x 在区间 0, 2 单调递增，求b的最小值；
16
【答案】（1）b＝－11 （2）
3
【详解】解：(1)f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
f 1 3 2a b 0
于是，根据题设有{
f ， 1 1 a b a2 10
a 4 a 3
解得{ 或{ .
b 11 b 3
a 4
当{ 时，f′(x)＝3x2＋8x－11，Δ＝64＋132>0，所以函数有极值点；
b 11
a 3
当{ 时，f′(x)＝3(x－1)2≥0，所以函数无极值点．
b 3
所以 b＝－11.
(2)由题意知 f′(x)＝3x2＋2ax＋b≥0 对任意的 a∈[－1，＋∞)，x∈(0,2)都成立，
所以 F(a)＝2xa＋3x2＋b≥0 对任意的 a∈[－1，＋∞)，x∈(0,2)都成立．
因为 x>0，所以 F(a)在 a∈[－1，＋∞)上为单调递增函数
F(a)min＝F(－1)＝－2x＋3x2＋b≥0，
即 b≥(－3x2＋2x)max对任意 x∈(0,2)都成立，
1 1 1
又－3x2＋2x＝－3(x－ )2＋ ≤ ，
3 3 3
1 1 1
所以当 x＝ 时，(－3x2＋2x)max＝ ，所以 b≥ .
3 3 3
1
所以 b的最小值为 .
3
16．在五面体 ABCDEF 中，CD 平面 ADE ， EF 平面 ADE ．
（1）求证： AB//CD；
（2）若 AB 2AD 2EF 2，DE 1， ADE CBF 90 ，求二面角 A BF C的大小.
．
5π
【答案】(1)证明见解析 (2)
6
【详解】（1）证明：因为CD 平面 ADE ， EF 平面 ADE ，所以CD / /EF，
因为CD 平面 ABEF， EF 平面 ABEF，
高三年级数学试题 第7页 共 4 页
所以CD / /平面 ABEF，
因为平面 ABEF 平面 ABCD AB， AB 平面 ABCD，
所以 AB / /CD．
（2）由于CD 平面 ADE ， AB / /CD，所以 AB 平面 ADE ， AE 平面 ADE ，故 AB AE ,
又因为CD 平面 ADE ， AD,ED 平面 ADE ，
所以CD AD,CD ED，
如图以D为坐标原点，DA,DC,DE 所在的直线分别为 x， y， z轴建系，
设DC c，则 A 1,0,0 ,B 1,2,0 ,D 0,0,0 ,C 0,c,0 ,E 0,0,1 ,F 0,1,1 ，
故BF 1, 1,1 ,BC 1,c 2,0 ,
由于 CBF 90 ，所以BF BC 1, 1,1 1,c 2,0 1 2 c 0，故c 3，
设平面BFA的法向量为m (x1 , y1 , z1)，平面BFC 的法向量为n (x2 , y2 , z2 )，
因为 AB 0,2,0 ，BF 1, 1,1 ，
AB m 0 x y z 0,
所以 1 1 1 ，即
BF m 0 2y1 0,
令 x1 1，则m (1,0,1) ，
因为BC 1,1,0 ，BF 1, 1,1 ，
BC n 0 x2 y2 0,
所以 ，即
BF n 0 x2 y2 z2 0,
令 x2 1，则n (1,1,2)，
设 A BF C成的角为 ，由图可知 为钝角，
所以cos
m n 3 3
5π ，故
m n 2 6 2 6
17．已知数列 an 为等差数列，前 n项和为Sn，且 S6 60,a3 3a5 48．
数列 bn n n 1 n满足：2 b1 2 b2 2bn 3 1（n N ）
高三年级数学试题 第8页 共 4 页
（1）求数列 an 、 bn 的通项公式；
2bn 1 2an 2
（2）若cn ，求数列 cn 的前 n项和T ． an a
n
n 1
【详解】（1）设等差数列 an 的首项为 a1，公差为d ，
6 5
6a d 60 a 5
由 S6 60,a
1 1
3 3a5 48，可得 2 ，
a1 2d 3 a1 4d 48
d 2
故数列 an 的通项公式为an 5 n 1 2 2n 3 .
1
2nb 2n 11 b2 2bn 3
n 1，两边同时乘以 n ， 2
1 1 1
则b1 b2 bn 3
n 1
2 2n 1 2n
当 n 1时，b1 1，
1 1 1
当 n 2 时，b1 b b 3
n 1
2 1n 2 n 1 n 1 ， 2 2 2
1 1 1 3n 1 1 3n 1 1
两式相减，可得 b 3n 1 3n 1 n 1 ，所以b ， 2n 1 2n 2n 1 2n n 2
3
n 1 1
当 n 1时，b1 1，故b1满足bn ，故bn . 2
2b 1 2a 2 3n 1 4n 4 3n 3n 1n n
（2）cn = ， an an 1 2n 3 2n 5 2n 5 2n 3
所以Tn=c1 c2 c3 cn 1 cn
3 1 32 3 33 32 3n 1 3n 2 3
n 3n 1
= + + + + +
7 5 9 7 11 9 2n 3 2n 1 2n 5 2n 3
1 3n
= + .
5 2n 5
1 3n
故Tn= + . 5 2n 5
1
18．为了合理配置旅游资源，管理部门对首次来武汉旅游的游客进行了问卷调查，据统计，其中 的人计
3
2
划只参观黄鹤楼，另外 的人计划既参观黄鹤楼又游览晴川阁．每位游客若只参观黄鹤楼，则记 1 分；若
3
既参观黄鹤楼又游览晴川阁，则记 2 分．假设每位首次来武汉旅游的游客计划是否游览晴川阁相互独立，
视频率为概率．
（1）从游客中随机抽取 2 人，记这 2 人的合计得分为 X ，求 X 的分布列和数学期望；
高三年级数学试题 第9页 共 4 页
n
（2
）从游客中随机抽取 n人 n N ，记这 n人的合计得分恰为 n 1分的概率为Pn，求 Pi ；
i 1
（3）从游客中随机抽取若干人，记这些人的合计得分恰为n分的概率为an ，求数列{an}的通项公式
【详解】（1）由题意得，随机变量 X 的可能取值为 2，3，4，
2
1 1 1 1 2 4
2
2 4
可得P(X 2) 3
， P(X 3) C2 ，P(X 4) .
9 3 3 9
3 9
所以 X 的分布列如下表所示：
X 2 3 4
1 4 4
P
9 9 9
1 4 4 10
所以，数学期望为 E(X ) 2 3 4 .
9 9 9 3
（2）由这n人的合计得分为n 1分，则其中只有 1 人计划既参观黄鹤楼又游览晴川阁，
n 1
2 1 2n n
所以P C1 2 2 2 2 3 2nn n , Pi ， 3 3 3n i 1 3 32 33 3n
1 n 2 2 2 2 3 2n则 Pi 3 2 3 4 n 1 ， i 1 3 3 3 3
1
2 n
1
2 2 2 2 2n 2 3n 2n
由两式相减，可得 Pi 3 3 32 3 n ， i 1 3 3 3n 1 3 1 n 11 3
3
n
3 1 n所以 Pi 1 .
i 1 2
3n
3n
（3）在随机抽取的若干人的合计得分为n 1分的基础上再抽取 1 人，则这些人的合计得分可能为n分或
n 1分，
记“合计得n分”为事件 A，“合计得 n 1分”为事件 B，A与 B是对立事件，
2
因为P(A) an， P(B) a3 n 1
，
2 3 2 3
所以an a3 n 1
1(n 2) ，即an a (n 2)， 5 3 n 1 5
1 3 1 3 4
因为a1 ，a ， 3 1 5 3 5 15
3 4 2
则数列 an 是首项为 ，公比为 的等比数列，
5 15 3
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n 1 n 1
3 4 2 4 2 3
所以an (n 1)，a (n 1) 5 15 3
n
15
3
5
19．如图，已知圆锥PO的高PO与母线所成的角为 ，过 A1的平面与圆锥的高所成的角为 ，该平面截这
个圆锥所得的截面为椭圆C ，椭圆C 的长轴为 A1A2，短轴为B1B2，长轴长为 2 a，C 的中心为 N ，再以 B1B2
为弦且垂直于PO的圆截面，记该圆与直线PA1交于C1，与直线 PA2交于C2 ，
（1）用a, , 分别表示 | NC1 |， | NC2 |
1 1
（2）若 cos ,cos ， a 3，
3 9
（i）求椭圆C的焦距；
（ii）椭圆C 左右焦点分别为 F1 , F ，C2 上不同两点D, E 在长轴同侧，且
DF1 / /EF2 ，设直线F1E,F2D交于点Q，记S QDE s，
设 S 形EDFF f (s)四边 ，请写出 f (s)的解析式（不要求求出定义域） 1 2
a sin( ) a sin( )
19．【答案】（1） |C1N | ， |C2N | cos cos
576s
（2）（i）2（ii） f (s)
9s2 128
【 解 析 】（ 1 ） 在 A1C1N 中 ， C1A1N , NA1 a ， 由 正 弦 定 理 得
NA1 sin C1A1N asin( ) asin( )|C1N | sin PC 1N sin( ) cos
2
a sin( )同理，在 A2C2N 中，由正弦定理得 |C2N | …………………………2 分 cos
（2）（i）在点C1,C2 ,B1,B2 四点所构成的圆中，由圆幂定理得
2 2 a
2 sin( )sin( )
b | NB1 | | NC1 | | NC2 | cos2
1
b2 sin( )sin( ) [cos 2 cos 2 ] cos 1
2
cos
e e 1 1 1 2 ( )2
2 2 2 cos 3a cos cos cos
又 a 3 c 1, 故求椭圆C 的焦距2c为 2 ……………………………………6 分
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（ii）依题意，设F1D F2E ( 0)，
1 1
S DQE S FQF s S1 2 EF (1 )S1F2 QF F
(1 )s
1 2
1 1
S EQF S EF S (1 1)s s 2 1F2 QF1F2
S DQF
2S EQF s 1 2
1
S 边形EDF f (s) ( 2) s………………………………………………………………………9 分 四 1F2
以 N 为坐标原点，以向量 A1A2 ， B1B2 方向分别为 x 轴， y 轴正方向，建立平面直角坐标系，则
x2 y2
C : 1………………………………………………………………………………………………10 分
9 8
延长DF1 交C 于E1点，由对称性知DF1 F1E1 ，
x 2 2 1 1
x2 x1 y 1 1 x2 y2 x2 y2
设D(x1, y1),E1(x , y )
1 9 8
2 2 ，则 ( 1 1 )
2 ( 2 2 ) 1 2
y
2 2
0 1
y2 x2 y 9 8 9 8
2 1
1 9 8
x 4 5
(x1 x2)(x1 x2 ) (y1 y2 )(y1 y2 )
1
即 1 2 x1 x9 8 2
9( 1) 4
x2 5
x
2 (4 5)2
S DF F ( 1)s c | y1 | | y | ( 1)
2 s2 y2 1
1 2 1 1
8(1 ) 8[1 ]
9 9
9( 1)2 s2 9( 2 2 1)s2
8[9 (4 5)2 ] 8( 16 2 40 16) 64( 2 2 5 2)
两边同除以 ，得9( 1 2 1 2)s2 64( 2 5) 设 t 2，其中 t 4，则有
2 64 99ts 64( 2t 9) 可得 t ………………………………………………………………15 分
9s2 128
1 64 9s 576s f (s) ( 2) s t s …………………………………………………17 分
9s2 128 9s2 128
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