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专题28 命题与证明以及图形的对称与平移（13大题型）
题型一 命题与证明
1．（2024 湖南）下列命题中，正确的是
A．两点之间，线段最短 B．菱形的对角线相等
C．正五边形的外角和为 D．直角三角形是轴对称图形
【答案】
【解答】解：、两点之间，线段最短，命题正确，符合题意；
、菱形的对角线互相垂直，但不一定相等，故本选项命题错误，不符合题意；
、正五边形的外角和为，故本选项命题错误，不符合题意；
、直角三角形不一定是轴对称图形，故本选项命题错误，不符合题意；
故选：．
2．（2024 内蒙古）下列说法正确的是
A．任意画一个三角形，其内角和是是必然事件
B．调查某批次汽车的抗撞击能力，适宜全面调查
C．一组数据2，4，6，，7，4，6，9的众数是4，则这组数据的中位数是4
D．在一次芭蕾舞比赛中，甲、乙两个芭蕾舞团都表演了舞剧《天鹅湖》，两团女演员的身高平均数相同，方差分别为，，则甲芭蕾舞团的女演员身高更整齐
【答案】
【解答】解：、任意画一个三角形，其内角和是是不可能事件，故本选项说法错误，不符合题意；
、调查某批次汽车的抗撞击能力，适宜抽样调查，故本选项说法错误，不符合题意；
、一组数据2，4，6，，7，4，6，9的众数是4，则这组数据的中位数是5，故本选项说法错误，不符合题意；
、在一次芭蕾舞比赛中，甲、乙两个芭蕾舞团都表演了舞剧《天鹅湖》，两团女演员的身高平均数相同，方差分别为，，则甲芭蕾舞团的女演员身高更整齐，说法正确，符合题意；
故选：．
3．（2024 潍坊）下列命题是真命题的有
A．若，则 B．若，则
C．两个有理数的积仍为有理数 D．两个无理数的积仍为无理数
【答案】
【解答】解：、由等式的性质可得，若，则，原命题为真命题，符合题意；
、由不等式的性质可得，若，且，则，原命题为假命题，不符合题意；
、两个有理数的积仍为有理数，原命题为真命题，符合题意；
、两个无理数的积不一定为无理数，比如，原命题为假命题，不符合题意．
故选：．
4．（2024 宿迁）命题“两直线平行，同位角相等．”的逆命题是 同位角相等，两直线平行 ．
【考点】命题与定理
【解答】解：原命题的条件为：两直线平行，结论为：同位角相等．
其逆命题为：同位角相等，两直线平行．
故答案为：同位角相等，两直线平行．
5．（2024 无锡）命题“若，则”是 假 命题．（填“真”或“假”
【答案】假．
【考点】不等式的性质；命题与定理
【解答】解：
，
若，则是假命题，
故答案为：假．
6．（2024 赤峰）编号为，，，，的五台收割机，若同时启动其中两台收割机，收割面积相同的田地所需时间如表：
收割机编号 ， ， ， ， ，
所需时间（小时） 23 19 20 22 18
则收割最快的一台收割机编号是 ．
【答案】．
【考点】推理与论证
【解答】解：，所需时间为23小时，，所需时间为19小时，
比快4小时；
，所需时间为19小时，，所需时间为20小时，
比快1小时；
，所需时间为20小时，，所需时间为22小时，
比快2小时；
，所需时间为22小时，，所需时间为18小时，
比快4小时；
如图所示：
，
收割最快的一台收割机编号是．
故选：．
7．（2024 宜宾）如图，一个圆柱体容器，其底部有三个完全相同的小孔槽，分别命名为甲槽、乙槽、丙槽．有大小质地完全相同的三个小球，每个小球标有从1至9中选取的一个数字，且每个小球所标数字互不相同．作如下操作：将这三个小球放入容器中，摇动容器使这三个小球全部落入不同的小孔槽（每个小孔槽只能容下一个小球），取出小球记录下各小孔槽的计分（分数为落入该小孔槽小球上所标的数字），完成第一次操作．再重复以上操作两次．已知甲槽、乙槽、丙槽三次操作计分之和分别为20分、10分、9分，其中第一次操作计分最高的是乙槽，则第二次操作计分最低的是 乙槽 （从“甲槽”、“乙槽”、“丙槽”中选填）．
【答案】乙槽
【考点】推理与论证
【解答】方法一：三次操作相同，且总得分是分．
一次操作的总分，即三个球数字之后为，
则有以下情况：
，
其中只有1，4，8这一组能同时满足三个数组合相加得20，10，9；
，
第一次操作甲槽乙槽丙槽分数分别为4，8，1；
第二次操作甲槽乙槽丙槽分数分别为8，1，4；
第三次操作甲槽乙槽丙槽分数分别为8，1，4；
第二次操作计分最低的是乙槽．
方法二：设乙第一，第二，第三次操作计分分别为、、．
则，
不可能为9，否则出现为0的情况，与题意矛盾．
所以最大为8，此时，
1已经是最小了，所以第二次操作计分最小的是乙槽．
故答案为：乙槽．
题型二 轴对称的性质
1．（2024 河北）如图，与交于点，△和△关于直线对称，点，的对称点分别是点，．下列不一定正确的是
A． B． C．△△ D．
【答案】
【分析】根据△和△关于直线对称得出△△，，，然后逐项判断即可．
【解答】解：如图，连接、，
△和△关于直线对称，
△△，，，
，
故、、选项正确，
不一定垂直，故选项不一定正确，
故选：．
2．（2024 福建）小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案，如图．其中与都是等腰三角形，且它们关于直线对称，点，分别是底边，的中点，．下列推断错误的是
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】先根据轴对称的性质得出，所以，再由等腰三角形三线合一的性质可知，，故，再由即可判断；由轴对称的性质可判断；由全等三角形的性质可判断出；根据中的结论可判断．
【解答】解：与都是等腰三角形，且它们关于直线对称，
，
，
点，分别是底边，的中点，
，，
，
，
，
，
，
，故正确；
与的度数不能确定，
无法证明与的关系，故错误；
，点，分别是底边，的中点，
，故正确；
，
①，
，
，
，
，
，
②，
①②得，，
即，故正确．
故选：．
题型三 轴对称图形
3．（2024 重庆）下列标点符号中，是轴对称图形的是
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
【解答】解：、是轴对称图形；
、不是轴对称图形；
、不是轴对称图形；
、不是轴对称图形．
故选：．
4．（2024 重庆）下列四种化学仪器的示意图中，是轴对称图形的是
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据轴对称图形的概念判断即可．
【解答】解：、示意图不是轴对称图形，不符合题意；
、示意图不是轴对称图形，不符合题意；
、示意图是轴对称图形，符合题意；
、示意图不是轴对称图形，不符合题意；
故选：．
5．（2024 苏州）下列图案中，是轴对称图形的是
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：，，选项中的图形不都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
选项中的图形能找到这样的两条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：．
6．（2024 巴中）下列图形中，是轴对称图形的是
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】根据轴对称图形的概念逐项分析判断即可，轴对称图形的概念：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．
【解答】解：选项、、的图形均不能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合，所以不是轴对称图形，不符合题意；
选项的图形能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合，所以是轴对称图形，符合题意．
故选：．
7．（2024 扬州）“致中和，天地位焉，万物育焉”，对称之美随处可见．下列选项分别是扬州大学、扬州中国大运河博物馆、扬州五亭桥、扬州志愿服务的标识，其中的轴对称图形是
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】根据轴对称图形的定义解答即可．
【解答】解：由图可知，、、不是轴对称图形；
是轴对称图形．
故选：．
8．（2024 滨州）数学中有许多精美的曲线，以下是“悬链线”“黄金螺旋线”“三叶玫瑰线”和“笛卡尔心形线”．其中不是轴对称图形的是
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
【解答】解：、是轴对称图形；
、不是轴对称图形；
、是轴对称图形；
、是轴对称图形；
故选：．
9．（2024 广西）端午节是中国传统节日，下列与端午节有关的文创图案中，成轴对称的是
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：，，选项中的图形不都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
选项中的图形能找到这样的两条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：．
10．（2024 武汉）现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是
A． B． C． D．
【答案】
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此进行分析即可．
【解答】解：、、选项中的汉字都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形．
选项中的汉字能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：．
11．（2024 徐州）古汉字“雷”的下列四种写法，可以看作轴对称图形的是
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】利用轴对称图形定义进行解答即可．
【解答】解：，，不可以看作轴对称图形，可以看作轴对称图形．故选：．
12．（2024 甘肃）围棋起源于中国，古代称为“弈”．如图是两位同学的部分对弈图，轮到白方落子，观察棋盘，白方如果落子于点 或 的位置，则所得的对弈图是轴对称图形．（填写，，，中的一处即可，，，，位于棋盘的格点上）
【答案】或．
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，由此即可答案．
【解答】解：白方如果落子于点或的位置，则所得的对弈图是轴对称图形．
故答案为：或．
13．（2024 眉山）下列交通标志中，属于轴对称图形的是
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形可得答案．
【解答】解：选项的交通标志能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
选项、、的交通标志均不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
故选：．
14．（2024 云南）中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广．下列四个选项中，是轴对称图形的为
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据轴对称图形的定义解答即可．
【解答】解：、、中，图形不是轴对称图形，不符合题意；
中，图形是轴对称图形，符合题意．
故选：．
15．（2024 天津）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】利用轴对称图形的定义进行解答即可．
【解答】解：．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
．是轴对称图形，故此选项符合题意；
．不是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：．
16．（2024 贵州）“黔山秀水”写成下列字体，可以看作是轴对称图形的是
A． B． C． D．
【答案】
【分析】利用轴对称图形的定义进行解答即可．
【解答】解：．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
．是轴对称图形，故此选项符合题意；
．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：．
17．（2024 赤峰）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断利用排除法求解．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线成轴对称．
【解答】解：．是轴对称图形，故本选项符合题意；
．不是轴对称图形，故本选项不合题意；
．不是轴对称图形，故本选项不合题意；
．不是轴对称图形，故本选项不合题意．
故选：．
题型四 关于x轴、y轴对称的点的坐标
18．（2024 雅安）在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位后，得到的点关于轴的对称点坐标是
A． B． C． D．
【答案】
【分析】直接利用平移的性质得出对应点坐标，再利用关于轴对称点的性质得出答案．
【解答】解：将点向右平移2个单位后，
平移后的坐标为，
得到的点关于轴的对称点坐标是．
故选：．
19．（2024 绵阳）蝴蝶颜色炫丽，翩翩起舞时非常美丽，深受人们喜爱，它的图案具有对称美，如图，蝴蝶图案关于轴对称，点的对应点为，若点的坐标为，则点的坐标为
A． B． C． D．
【答案】
【分析】由题意得，点与点关于轴对称，根据关于轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，即可得答案．
【解答】解：由题意得，点与点关于轴对称，
点的坐标为．
故选：．
题型五 坐标与图形变化-对称
20．（2024 通辽）剪纸是我国民间艺术之一，如图放置的剪纸作品，它的对称轴与平面直角坐标系的坐标轴重合，则点关于对称轴对称的点的坐标为
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据所给图形，得出轴为其对称轴，再根据轴对称的性质即可解决问题．
【解答】解：由所给图形可知，
此图形关于轴对称，
所以点关于对称轴对称的点的坐标为．
故选：．
题型六 作图-轴对称变换
21．（2024 黑龙江）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．
（1）画出关于轴对称的△，并写出点的坐标；
（2）画出绕点逆时针旋转后得到的△，并写出点的坐标；
（3）在（2）的条件下，求点旋转到点的过程中所经过的路径长（结果保留．
【分析】（1）根据题意画出即可；关于轴对称点的坐标横坐标互为相反数，纵坐标不变；
（2）根据网格结构找出点、以点为旋转中心逆时针旋转后的对应点，然后顺次连接即可；
（3）先求出，再由旋转角等于，利用弧长公式即可求出．
【解答】解：（1）△如图所示，的坐标为；
（2）△如图所示，的坐标为；
（3），，
点旋转到点的过程中所经过的路径长为：．
22．（2024 吉林）图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点，，，，，均在格点上．图①中已画出四边形，图②中已画出以为半径的．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图．（1）在图①中，画出四边形的一条对称轴．
（2）在图②中，画出经过点的的切线．
【答案】见解析．
【分析】（1）根据轴对称的性质结合网格作出图形即可；
（2）根据切线的性质结合网格作出图形即可．
【解答】解：（1）如图①所示，直线与直线即为所求；
（2）如图②所示，直线即为所求．
题型七 轴对称-最短路线问题
23．（2024 绥化）如图，已知，点为内部一点，点为射线、点为射线上的两个动点，当△的周长最小时，则 ．
【答案】．
【分析】作点关于的对称点，连接，，，得，；作点关于的对称点，连接，，，得，；根据；，，，共线时，△周长最短，再根据对称性质，即可求出的角度．
【解答】解：作点关于的对称点，连接，，；
，，，
作点关于的对称点，连接，，，
，，，
，
当，，，共线时，△周长最短，
又，
，
，
又，
，
在△中，，
，
，，
，
，
故答案为：．
24．（2024 滨州）如图，四边形四个顶点的坐标分别是，，，，在该平面内找一点，使它到四个顶点的距离之和最小，则点坐标为 ， ．
【答案】，．
【分析】根据两点之间线段最短，连接和，它们的交点即为所求，然后求出直线和直线的解析式，将它们联立方程组，求出方程组的解，即可得到点的坐标．
【解答】解：连接、，交于点，如图所示，
两点之间线段最短，
的最小值就是线段的长，的最小值就是线段的长，
到四个顶点的距离之和最小的点就是点，
设所在直线的解析式为，所在直线的解析式为，
点在直线上，点，在直线上，
，，
解得，，
直线的解析式为，直线的解析式为，
，
解得，
点的坐标为，，
故答案为：，．
25．（2024 成都）如图，在平面直角坐标系中，已知，，过点作轴的垂线，为直线上一动点，连接，，则的最小值为 5 ．
【答案】5．
【分析】取点，连接，，推出的最小值为的长，再利用勾股定理求出的长即可．
【解答】解：取点，连接，，如图，
，过点作轴的垂线，
点与点关于直线对称，
，
，
即的最小值为的长，
在△中，
，，
由勾股定理，得，
的最小值为5．
故答案为：5．
26．（2024 西宁）如图，正方形的边长为4，以边为底向外作等腰△，点是对角线上的一个动点，连接，，则的最小值是 ．
【答案】．
【分析】利用轴对称最短路线问题，作辅助线，根据等腰直角三角形的性质，正方形的性质解答．
【解答】解：如图，作点关于直线的对称点，正好落于点，连接交于点，连接，，此时的值最小，
，
由作图知道，，，
正方形的边长为4，△是等腰直角三角形，
，，，
在△中，，
的最小值．
故答案为：．
题型八 翻折变换（折叠问题）
27．（2024 眉山）如图，在矩形中，，，点在上，把沿折叠，点恰好落在边上的点处，则的值为
A． B． C． D．
【答案】
【分析】由矩形的性质可得，由折叠的性质可得，，由勾股定理可求的长，在中，由勾股定理可求的长，再由三角函数定义即可求解．
【解答】解：方法一：四边形是矩形，
，，
把沿折叠，点恰好落在边上的点处，
，，
，
，
在中，
，
由勾股定理，得，
，
，
，
，
故选：．
方法二：四边形是矩形，
，，
，
把沿折叠，点恰好落在边上的点处，
，，
，
，
，
，
故选：．
28．（2024 淄博）如图所示，在矩形中，，点，分别在边，上．连接，将四边形沿翻折，点，分别落在点，处．则的值是
A．2 B． C． D．
【答案】
【分析】连接交于点，设，则，求得，因为点与点关于直线对称，所以，垂直平分，则，由，得，求得，则，所以，于是得到问题的答案．
【解答】解：连接交于点，设，则，
四边形是矩形，
，
，
将四边形沿翻折，点，分别落在点，处，
点与点关于直线对称，
，垂直平分，
，，，
，
，
，
，
，
故选：．
29．（2024 自贡）如图，在矩形中，平分，将矩形沿直线折叠，使点，分别落在边、上的点，处，，分别交于点，．若，，则的长为
A． B． C． D．5
【答案】
【分析】由，推出，，推出，推出，可得．解得，再证明，利用勾股定理求出，再利用平行线分线段成比例定理求出．
【解答】解：四边形是矩形，
，
，，
，
，
．
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
．
故选：．
30．（2024 牡丹江）小明同学手中有一张矩形纸片，，，他进行了如下操作：
第一步，如图①，将矩形纸片对折，使与重合，得到折痕，将纸片展平．
第二步，如图②，再一次折叠纸片，把沿折叠得到△，交折痕于点，则线段的长为
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据矩形的性质和折叠的性质推出，进而得出，设 ，则，根据勾股定理可得：，列出方程求解即可．
【解答】解：四边形是矩形，
，
由折叠可得：，，，，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
设 ，则，
在中，根据勾股定理可得：，
即，
解得：，
即，
故选：．
31．（2024 大庆）如图，在一次综合实践课上，为检验纸带①、②的边线是否平行，小庆和小铁采用了两种不同的方法：小庆把纸带①沿折叠，量得；小铁把纸带②沿折叠，发现与重合，与重合，且点，，在同一直线上，点，，也在同一直线上．则下列判断正确的是
A．纸带①、②的边线都平行
B．纸带①、②的边线都不平行
C．纸带①的边线平行，纸带②的边线不平行
D．纸带①的边线不平行，纸带②的边线平行
【答案】
【分析】对于纸带①，根据可求出，再由翻折的性质可得，据此可求出，据此可判断纸带①的边线不平行；对于纸带②，由翻折的性质得，，再根据，，在同一直线上，点，，也在同一直线上可得，，据此可判定纸带②的边线平行．由此可得出此题的答案．
【解答】解：对于纸带①，
，
，
，
由翻折的性质得：，
，
，
与不平行．
对于纸带②中，由翻折的性质得：，，
又，，在同一直线上，点，，也在同一直线上
，，
，，
，
．
综上所述：纸带①边线不平行，纸带②的边线平行．
故选：．
32．（2024 淮安）如图，在中，，，，是边上的动点，将△沿翻折得△，射线与射线交于点．下列说法不正确的是
A．当时，
B．当点落在上时，四边形是菱形
C．在点运动的过程中，线段的最小值为2
D．连接，则四边形的面积始终等于
【答案】
【分析】根据每一选项逐一判断即可．
【解答】解：选项：如图所示，
，
，
折叠，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，故选项正确，不合题意；
选项：如图所示，
当落在上时，点和重合，
四边形是平行四边形，
，
，
折叠，，，，
△是等边三角形，
，
四边形是菱形，故选项正确，不合题意；
选项：如图所示，
当点靠近点时，在四边形外部，此时，
，故选项错误，符合题意；
选项：如图所示，连接交于点，
折叠，且是折痕，
垂直平分，
，故选项正确，不合题意．
故选：．
33．（2024 德阳）一次折纸实践活动中，小王同学准备了一张边长为4（单位：的正方形纸片，他在边和上分别取点和点，使，，又在线段上任取一点（点可与端点重合），再将沿所在直线折叠得到△，随后连接，小王同学通过多次实践得到以下结论：
①当点在线段上运动时，点在以为圆心的圆弧上运动；
②当达到最大值时，到直线的距离达到最大；
③的最小值为；
④达到最小值时，．
你认为小王同学得到的结论正确的个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】
【分析】由折叠可得，可得点到点的距离恒为2，即可判断①；
连接，由勾股定理得到在 中，，由，即可 判断③；
达到最小值时，点 在线段上，证得△，得到，从而求得，通过 即可判断④；
在△ 中， 随着 的增大而增大，而当最大时， 有最大值， 有最大值，此时点与点重合．过点作于点，作于点，可得四边 形 是矩形，因此 当 取得最大值时， 有最小值，在△ 中， 有最大值， 有最大值，即可判断②．
【解答】解：正方形纸片的边长为，，
，
由折叠的性质可知，，
当点在线段上运动时，点在以为圆心的圆弧上运动．
故①正确；
连接，
在正方形中，，，，
在中，，
，
，
的最小值为，
故③正确；
如图，
达到最小值时，点在线段上，
由折叠可得，
，
，
，
△，
，
，
，
，
故④错误．
在△中，，，
随着的增大而增大，
，
当最大时，有最大值，有最大值，此时，点与点重合，
过点作于点，作于点，
，
四边形是矩形，
，
当取得最大值时，也是最大值，
有最小值，
在△中，有最大值，
即有最大值，
点到的距离最大．
故②正确．
综上所述，正确的共有3个．
故选：．
34．（2024 徐州）如图，将矩形纸片沿边折叠，使点在边中点处．若，，则 ．
【答案】．
【分析】由矩形的性质推出，，由线段中点定义得到，由折叠的性质得到：，设，由勾股定理得到，求出，得到的值．
【解答】解：四边形是矩形，
，，
是中点，
，
由折叠的性质得到：，
设，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
35．（2024 甘孜州）如图，中，，，，折叠，使点与点重合，折痕与交于点，与交于点，则的长为 3
【答案】3．
【分析】直角三角形折叠问题优先考虑利用勾股定理建立方程，由，，可在用勾股定理列出方程，进而求解即可．
【解答】解：折叠，
，
，
，
，
在中，，
，
解得．
故答案为：3．
36．（2024 齐齐哈尔）已知矩形纸片，，，点在边上，连接，将沿所在的直线折叠，点的对应点为，把纸片展平，连接，，当为直角三角形时，线段的长为 2或 ．
【答案】2或．
【分析】分三种情况讨论，一是，可由，推导出，则；二是，则点在上，求得，则，由勾股定理得，求得；三是由是等腰三角形的底角，说明，于是得到问题的答案．
【解答】解：四边形是矩形，，，
，，，
由折叠得，，
如图1，为直角三角形，且，
，，
，
，
，
；
如图2，为直角三角形，且，
，
点在上，
，
，
，且，
，
解得；
是等腰三角形的底角，
，
综上所述，线段的长为2或，
故答案为：2或．
37．（2024 甘南州）如图，在矩形中，点，分别在，上，将矩形沿直线折叠使点与点重合，点的对应点是点．若，，则的长等于 8 ．
【分析】过点作交于点，由折叠可知，，，，先求出，再设，则，，在△中，，在△中，，由，可得，求出的值，即可求解．
【解答】解：过点作交于点，
由折叠可知，，，，
，
，，
，
，
设，则，，
，
在△中，，
在△中，，
，
，
解得，
，，
，
故答案为：8．
方法2：过点作交于点，
由折叠可知，，，，
，
，，
，
，
设，则，
，
，
在△中，，
解得，
，，
，
故答案为：8．
38．（2024 南充）如图，在矩形中，为边上一点，，将沿折叠得，连接，，若平分，，则的长为 ．
【答案】．
【分析】过点作于点，于点．由矩形的性质可得，．由翻折得，，，则，进而可得，，，结合角平分线的性质可得，再利用勾股定理求的长即可．
【解答】解：过点作于点，于点．
平分，
．
四边形为矩形，
，．
由翻折得，，，
，
，
，，
，
．
故答案为：．
39．（2024 威海）将一张矩形纸片（四边形按如图所示的方式对折，使点落在上的点处，折痕为，点落在点处，交于点．若，，，则 ．
【答案】．
【分析】本题考查矩形的折叠问题，全等三角形的判定和性质，勾股定理，先根据勾股定理求出，然后证明△△，得到，，即可得到，，然后在△ 中，利用 解题即可．
【解答】解：在 中，，
由折叠可得，，
又是矩形，
，
，
，
又，
△△，
，，
，，
，，
设，则，
在△ 中，，即，
解得：．
故答案为：
40．（2024 河南）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在轴上，点的坐标为，点在边上．将△沿折叠，点落在点处．若点的坐标为，则点的坐标为 ．
【分析】由正方形的性质得，由折叠得，，设交轴于点，，则，由，，，，由勾股定理得，求得，则，由，得，求得，则，于是得到问题的答案．
【解答】解：四边形是正方形，边在轴上，
，轴，轴，
由折叠得，，
设交轴于点，，则，
，，
，，
，
，
，
，
解得，
，
，，
，
，
解得，
，
故答案为：．
41．（2024 济南）如图，在矩形纸片中，，，为边的中点，点在边上，连接，将△沿翻折，点的对应点为，连接．若，则 ．
【答案】．
【分析】连接，延长交的延长线于，根据折叠的性质及矩形的性质，证明△△，进而得到△为直角三角形，设，则，，证明△为等腰三角形，求出，即可解答．
【解答】解：如图，连接，延长交的延长线于，
矩形中，，，为边的中点，
，，
将△沿翻折，点的对应点为，
，，，
则△△，，
，
，
，
△为直角三角形，
设，则，，
，，
，
△为等腰三角形，
，
，
，
故答案为：．
42．（2024 烟台）如图，在中，，，，为边的中点，为边上的一动点，将沿翻折得△，连接，，则面积的最小值为 ．
【答案】．
【分析】先确定点是以为圆心，为直径圆周上的一点，过点作交直线于点，交于点，过点作于点，连接，推出面积，再求出的最小值即可解决问题．
【解答】解：在中，，，
，，
为边的中点，为边上的一动点，将沿翻折得△，
，
点是以为圆心，为直径圆周上的一点，作出，如图，
过点作交直线于点，交于点，过点作于点，连接，
面积，，
面积，
要求面积的最小值，只要求的最小值即可，
，
的最小值为，
过点作于点，
则，
在中，
，，
，
，
的最小值为，
面积，
故答案为：．
43．（2024 连云港）如图，将一张矩形纸片上下对折，使之完全重合，打开后，得到折痕，连接．再将矩形纸片折叠，使点落在上的点处，折痕为．若点恰好为线段最靠近点的一个五等分点，，则的长为 ．
【分析】设与交于点，，则，勾股定理求出，，根据等面积法求出，根据，列出方程进行求解即可．
【解答】解：方法一：设与交于点，
四边形是矩形，
，，
翻折，
，，
设，则，
，，
，
，
，
，
，
，
，经检验是原方程的解，
，
方法二：△△，
，
，
，
，
故答案为：．
44．（2024 海南）如图，矩形纸片中，，，点、分别在边、上，将纸片沿折叠，使点的对应点在边上，点的对应点为，则的最小值为 6 ，的最大值为 ．
【答案】6；．
【分析】由折叠可知，则时，最小，即最小，此时四边形是正方形，则；当与重合时，最大，此时在的垂直平分线上，求出，，再证△△，求出，即可解答．
【解答】解：由折叠可知，则时，最小，即最小，此时四边形是正方形，则；
当与重合时，最大，此时在的垂直平分线上，如图：
矩形纸片中，，，则，则，
，，
△△，
，
，
．
故答案为：6；．
45．（2024 遂宁）如图，在正方形纸片中，是边的中点，将正方形纸片沿折叠，点落在点处，延长交于点，连结并延长交于点．给出以下结论：①为等腰三角形；②为的中点；③；④．其中正确结论是 ①②③ （填序号）．
【答案】①②③．
【分析】利用翻折的性质，证明，即可判断①；利用证明，即可判断②；过点作于点，过点作于点，设，然后求出，，再计算即可判断③；证明出，再在中，利用勾股定理求出，，根据三角函数定义即可判断④．
【解答】解：是边的中点，
，
将正方形纸片沿折叠，点落在点处，
，
，
即为等腰三角形，故①正确；
，
，
将正方形纸片沿折叠，点落在点处，
，
，
，
四边形是正方形，
，，，
，
，
，
，
，
即为的中点，故②正确；
过点作于点，过点作于点，
，
，
，
设，则，
，
，
，
，
，
，
，
，故③正确；
，，
，
，
正方形的边长为，
，，，
在中，
由勾股定理，得，
即，
解得，
，
，
．故④不正确．
故答案为：①②③．
46．（2024 安徽）如图，现有正方形纸片，点，分别在边，上．沿垂直于的直线折叠得到折痕，点，分别落在正方形所在平面内的点，处，然后还原．
（1）若点在边上，且，则 （用含的式子表示）；
（2）再沿垂直于的直线折叠得到折痕，点，分别在边，上，点落在正方形所在平面内的点处，然后还原．若点在线段上，且四边形是正方形，，，与的交点为，则的长为 ．
【答案】（1）
（2）
【分析】（1）根据已知条件推出，再利用折叠性质以及平行线即可求出答案，这也是折叠问题求角度常见处理方式；
（2）根据和这一条件作为突破口，得到和，从而得出，再利用平行线分线段成比例求出也是中点即可求解．
【解答】解：（1），，
，
，
，
．
故答案为：．
（2）如图，设与交于点，
四边形和四边形是正方形，
，，
，
同理可证，
，，
，
，且，
垂直平分，即，且，
四边形沿折叠，
，
，即，
沿折叠得到△，
，
，
，
，
，
又，
．
故答案为：．
47．（2024 潍坊）如图，在矩形中，，点，分别在边，上．将沿折叠，点的对应点恰好落在对角线上；将沿折叠，点的对应点恰好也落在对角线上．连接，．
求证：
（1）；
（2）四边形为平行四边形．
【答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析．
【分析】（1）由矩形的性质可得，，，即得，由折叠的性质可得，，，，即得，，进而得，即可由证明；
（2）由（1）得，，即可得到，，进而即可求证．
【解答】证明：（1）四边形是矩形，
，，，
，
由折叠可得，，，，，
，，
，
在和中，
，
；
（2）由（1）知，，
，，
四边形为平行四边形．
题型九 胡不归问题
48．（2024 广元）如图，在中，，，则的最大值为 ．
【答案】．
【分析】过点作，垂足为，如图1，首先推导出；延长到，使，连接，如图2，得到；由辅助圆定弦定角模型，作的外接圆，如图3，当弦过圆心，即是直径时，弦最大，最后由勾股定理可得．
【解答】解：过点作，垂足为，如图1所示：
，
在中，设，则，由勾股定理可得，
，即，
，
延长到，使，连接，如图2所示：
，
，，
是等腰直角三角形，则，
在 中，，，
由辅助圆定弦定角模型，作的外接圆，如图3所示：
由圆周角定理可知，点在上运动，是的弦，求 的最大值就是求弦的最大值，根据圆的性质可知，当弦过圆心，即是直径时，弦最大，如图4所示：
是的直径，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，则由勾股定理可得，即 的最大值为，
故答案为：．
49．（2024 凉山州）如图，在菱形中，，，是边上一个动点，连接，的垂直平分线交于点，交于点，连接、．
（1）求证：；
（2）求的最小值．
【答案】（1）见解答；
（2）．
【分析】（1）利用线段垂直平分线的性质和菱形的性质即可证明出结论；
（2）过点作于点，连接，，过点作于点，证明出的最小值为，再求出即可解决问题．
【解答】解：（1）连接，如图，
四边形是菱形，
点，点关于直线轴对称，
，
的垂直平分线交于点，交于点，
，
；
（2）过点作于点，连接，，过点作于点，
四边形是菱形，，
，
，
的垂直平分线交于点，交于点，
，
，
的最小值为，
，，
，
的最小值为．
题型十 生活中的平移现象
50．（2024 盐城）下列四幅图片中的主体事物，在现实运动中属于翻折的是
A．工作中的雨刮器 B．移动中的黑板
C．折叠中的纸片 D．骑行中的自行车
【答案】
【分析】依次对选项中的现实运动作出判断即可．
【解答】解：因为工作中的雨刮器的运动方式属于旋转，
所以选项不符合题意．
因为移动中的黑板的运动方式属于平移，
所以选项不符合题意．
因为折叠中的纸片的运动方式属于翻折，
所以选项符合题意．
因为骑行中的自行车的运动方式属于平移，
所以选项不符合题意．
故选：．
题型十一 平移的性质
51．（2024 东营）如图，将沿方向平移得到，若的周长为，则四边形的周长为 30 ．
【答案】30．
【分析】根据平移的性质得到，，再根据三角形的周长公式、四边形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：由平移的性质可知：，，
的周长为，
，
四边形的周长，
故答案为：30．
题型十二 坐标与图形变化-平移
52．（2024 长沙）在平面直角坐标系中，将点向上平移2个单位长度后得到点的坐标为
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据点平移时坐标的变化规律即可解决问题．
【解答】解：将点向上平移2个单位长度，则其横坐标不变，纵坐标增加2，
所以点的坐标为．
故选：．
53．（2024 海南）平面直角坐标系中，将点向右平移3个单位长度得到点，则点的坐标是
A． B． C． D．
【答案】
【分析】将点的横坐标减3，纵坐标不变即可得到点的坐标．
【解答】解：将点向右平移3个单位长度后得到点，
点的坐标是，即点的坐标为，
故选：．
54．（2024 资阳）在平面直角坐标系中，将点沿轴向上平移1个单位后，得到的点的坐标为
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据直角平面坐标系内点的平移规律求解．
【解答】解：将点沿轴向上平移1个单位后，得到的点的坐标为，
故答案为：．
55．（2024 威海）定义新运算：
①在平面直角坐标系中，，表示动点从原点出发，沿着轴正方向或负方向平移个单位长度，再沿着轴正方向或负方向平移个单位长度．例如，动点从原点出发，沿着轴负方向平移2个单位长度，再沿着轴正方向平移1个单位长度，记作．
②加法运算法则：，，，，其中，，，为实数．
若，，，，则下列结论正确的是
A．， B．， C．， D．，
【答案】
【分析】根据题中所给定义，建立关于和方程即可解决问题．
【解答】解：由题知，
，，
解得，．
故选：．
56．（2024 江西）在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点，则点的坐标为 ．
【分析】根据向右平移横坐标加，向上平移纵坐标加计算即可．
【解答】解：将点向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点，
则点的坐标为，即．
故答案为：．
57．（2024 辽宁）在平面直角坐标系中，线段的端点坐标分别为，，将线段平移后，点的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标为 ．
【分析】根据点及点对应点的坐标，得出平移的方向和距离，据此可解决问题．
【解答】解：因为点坐标为，且平移后对应点的坐标为，
所以，，
所以，，
所以点的对应点的坐标为．
故答案为：．
58．（2024 淄博）如图，已知，两点的坐标分别为，，将线段平移得到线段．若点的对应点是，则点的对应点的坐标是 ．
【答案】．
【分析】由题意知，线段向右平移4个单位长度，向上平移1个单位长度得到线段，结合平移的性质可得答案．
【解答】解：点的对应点是，
线段向右平移4个单位长度，向上平移1个单位长度得到线段，
点的对应点的坐标为．
故答案为：．
59．（2024 内蒙古）如图，点，，将线段平移得到线段，若，，则点的坐标是 ．
【答案】．
【分析】过点作轴于点，利用点，的坐标表示出线段，的长，利用平移的性质和矩形的判定定理得到四边形是矩形；利用相似三角形的判定与性质求得线段，的长，进而得到的长，则结论可得．
【解答】解：过点作轴于点，如图，
点、，
，．
线段平移得到线段，
，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
，，
．
，
．
，
，，
，
．
故答案为：．
题型十三 作图-平移变换
60．（2024 哈尔滨）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，线段的端点均在小正方形的顶点上．
（1）在方格纸中将线段先向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到线段（点的对应点为点，点的对应点为点，连接，，画出线段，，；
（2）在方格纸中，画出以线段为斜边的等腰直角三角形（点在小正方形的顶点上），且为钝角，，交于点，连接，画出线段，直接写出的值．
【答案】（1）线段，，见图形；
（2）．
【分析】（1）在图形中直接作图即可；
（2）每个小正方形的边长均为1个单位长度，结合平移，得到相应线段的长度，从而得到结果．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）如图所示：
得到．
每个小正方形的边长均为1个单位长度，
等腰直角三角形中，
，
是平行四边形对角线的交点，
，
在△中，，
，
．
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专题28 命题与证明以及图形的对称与平移（13大题型）
题型一 命题与证明
1．（2024 湖南）下列命题中，正确的是
A．两点之间，线段最短 B．菱形的对角线相等
C．正五边形的外角和为 D．直角三角形是轴对称图形
2．（2024 内蒙古）下列说法正确的是
A．任意画一个三角形，其内角和是是必然事件
B．调查某批次汽车的抗撞击能力，适宜全面调查
C．一组数据2，4，6，，7，4，6，9的众数是4，则这组数据的中位数是4
D．在一次芭蕾舞比赛中，甲、乙两个芭蕾舞团都表演了舞剧《天鹅湖》，两团女演员的身高平均数相同，方差分别为，，则甲芭蕾舞团的女演员身高更整齐
3．（2024 潍坊）下列命题是真命题的有
A．若，则 B．若，则
C．两个有理数的积仍为有理数 D．两个无理数的积仍为无理数
4．（2024 宿迁）命题“两直线平行，同位角相等．”的逆命题是 ．
5．（2024 无锡）命题“若，则”是 命题．（填“真”或“假”
6．（2024 赤峰）编号为，，，，的五台收割机，若同时启动其中两台收割机，收割面积相同的田地所需时间如表：
收割机编号 ， ， ， ， ，
所需时间（小时） 23 19 20 22 18
则收割最快的一台收割机编号是 ．
7．（2024 宜宾）如图，一个圆柱体容器，其底部有三个完全相同的小孔槽，分别命名为甲槽、乙槽、丙槽．有大小质地完全相同的三个小球，每个小球标有从1至9中选取的一个数字，且每个小球所标数字互不相同．作如下操作：将这三个小球放入容器中，摇动容器使这三个小球全部落入不同的小孔槽（每个小孔槽只能容下一个小球），取出小球记录下各小孔槽的计分（分数为落入该小孔槽小球上所标的数字），完成第一次操作．再重复以上操作两次．已知甲槽、乙槽、丙槽三次操作计分之和分别为20分、10分、9分，其中第一次操作计分最高的是乙槽，则第二次操作计分最低的是 （从“甲槽”、“乙槽”、“丙槽”中选填）．
题型二 轴对称的性质
1．（2024 河北）如图，与交于点，△和△关于直线对称，点，的对称点分别是点，．下列不一定正确的是
A． B． C．△△ D．
2．（2024 福建）小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案，如图．其中与都是等腰三角形，且它们关于直线对称，点，分别是底边，的中点，．下列推断错误的是
A． B．
C． D．
题型三 轴对称图形
3．（2024 重庆）下列标点符号中，是轴对称图形的是
A． B． C． D．
4．（2024 重庆）下列四种化学仪器的示意图中，是轴对称图形的是
A． B． C． D．
5．（2024 苏州）下列图案中，是轴对称图形的是
A． B．
C． D．
6．（2024 巴中）下列图形中，是轴对称图形的是
A． B．
C． D．
7．（2024 扬州）“致中和，天地位焉，万物育焉”，对称之美随处可见．下列选项分别是扬州大学、扬州中国大运河博物馆、扬州五亭桥、扬州志愿服务的标识，其中的轴对称图形是
A． B．
C． D．
8．（2024 滨州）数学中有许多精美的曲线，以下是“悬链线”“黄金螺旋线”“三叶玫瑰线”和“笛卡尔心形线”．其中不是轴对称图形的是
A． B．
C． D．
9．（2024 广西）端午节是中国传统节日，下列与端午节有关的文创图案中，成轴对称的是
A． B．
C． D．
10．（2024 武汉）现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是
A． B． C． D．
11．（2024 徐州）古汉字“雷”的下列四种写法，可以看作轴对称图形的是
A． B．
C． D．
12．（2024 甘肃）围棋起源于中国，古代称为“弈”．如图是两位同学的部分对弈图，轮到白方落子，观察棋盘，白方如果落子于点 的位置，则所得的对弈图是轴对称图形．（填写，，，中的一处即可，，，，位于棋盘的格点上）
13．（2024 眉山）下列交通标志中，属于轴对称图形的是
A． B．
C． D．
14．（2024 云南）中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广．下列四个选项中，是轴对称图形的为
A． B． C． D．
15．（2024 天津）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是
A． B．
C． D．
16．（2024 贵州）“黔山秀水”写成下列字体，可以看作是轴对称图形的是
A． B． C． D．
17．（2024 赤峰）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是
A． B．
C． D．
题型四 关于x轴、y轴对称的点的坐标
18．（2024 雅安）在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位后，得到的点关于轴的对称点坐标是
A． B． C． D．
19．（2024 绵阳）蝴蝶颜色炫丽，翩翩起舞时非常美丽，深受人们喜爱，它的图案具有对称美，如图，蝴蝶图案关于轴对称，点的对应点为，若点的坐标为，则点的坐标为
A． B． C． D．
题型五 坐标与图形变化-对称
20．（2024 通辽）剪纸是我国民间艺术之一，如图放置的剪纸作品，它的对称轴与平面直角坐标系的坐标轴重合，则点关于对称轴对称的点的坐标为
A． B． C． D．
题型六 作图-轴对称变换
21．（2024 黑龙江）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．
（1）画出关于轴对称的△，并写出点的坐标；
（2）画出绕点逆时针旋转后得到的△，并写出点的坐标；
（3）在（2）的条件下，求点旋转到点的过程中所经过的路径长（结果保留．
22．（2024 吉林）图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点，，，，，均在格点上．图①中已画出四边形，图②中已画出以为半径的．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图．（1）在图①中，画出四边形的一条对称轴．
（2）在图②中，画出经过点的的切线．
题型七 轴对称-最短路线问题
23．（2024 绥化）如图，已知，点为内部一点，点为射线、点为射线上的两个动点，当△的周长最小时，则 ．
24．（2024 滨州）如图，四边形四个顶点的坐标分别是，，，，在该平面内找一点，使它到四个顶点的距离之和最小，则点坐标为 ．
25．（2024 成都）如图，在平面直角坐标系中，已知，，过点作轴的垂线，为直线上一动点，连接，，则的最小值为 ．
26．（2024 西宁）如图，正方形的边长为4，以边为底向外作等腰△，点是对角线上的一个动点，连接，，则的最小值是 ．
题型八 翻折变换（折叠问题）
27．（2024 眉山）如图，在矩形中，，，点在上，把沿折叠，点恰好落在边上的点处，则的值为
A． B． C． D．
28．（2024 淄博）如图所示，在矩形中，，点，分别在边，上．连接，将四边形沿翻折，点，分别落在点，处．则的值是
A．2 B． C． D．
29．（2024 自贡）如图，在矩形中，平分，将矩形沿直线折叠，使点，分别落在边、上的点，处，，分别交于点，．若，，则的长为
A． B． C． D．5
30．（2024 牡丹江）小明同学手中有一张矩形纸片，，，他进行了如下操作：
第一步，如图①，将矩形纸片对折，使与重合，得到折痕，将纸片展平．
第二步，如图②，再一次折叠纸片，把沿折叠得到△，交折痕于点，则线段的长为
A． B． C． D．
31．（2024 大庆）如图，在一次综合实践课上，为检验纸带①、②的边线是否平行，小庆和小铁采用了两种不同的方法：小庆把纸带①沿折叠，量得；小铁把纸带②沿折叠，发现与重合，与重合，且点，，在同一直线上，点，，也在同一直线上．则下列判断正确的是
A．纸带①、②的边线都平行
B．纸带①、②的边线都不平行
C．纸带①的边线平行，纸带②的边线不平行
D．纸带①的边线不平行，纸带②的边线平行
32．（2024 淮安）如图，在中，，，，是边上的动点，将△沿翻折得△，射线与射线交于点．下列说法不正确的是
A．当时，
B．当点落在上时，四边形是菱形
C．在点运动的过程中，线段的最小值为2
D．连接，则四边形的面积始终等于
33．（2024 德阳）一次折纸实践活动中，小王同学准备了一张边长为4（单位：的正方形纸片，他在边和上分别取点和点，使，，又在线段上任取一点（点可与端点重合），再将沿所在直线折叠得到△，随后连接，小王同学通过多次实践得到以下结论：
①当点在线段上运动时，点在以为圆心的圆弧上运动；
②当达到最大值时，到直线的距离达到最大；
③的最小值为；
④达到最小值时，．
你认为小王同学得到的结论正确的个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
34．（2024 徐州）如图，将矩形纸片沿边折叠，使点在边中点处．若，，则 ．
35．（2024 甘孜州）如图，中，，，，折叠，使点与点重合，折痕与交于点，与交于点，则的长为
36．（2024 齐齐哈尔）已知矩形纸片，，，点在边上，连接，将沿所在的直线折叠，点的对应点为，把纸片展平，连接，，当为直角三角形时，线段的长为 ．
37．（2024 甘南州）如图，在矩形中，点，分别在，上，将矩形沿直线折叠使点与点重合，点的对应点是点．若，，则的长等于 ．
38．（2024 南充）如图，在矩形中，为边上一点，，将沿折叠得，连接，，若平分，，则的长为 ．
39．（2024 威海）将一张矩形纸片（四边形按如图所示的方式对折，使点落在上的点处，折痕为，点落在点处，交于点．若，，，则 ．
40．（2024 河南）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在轴上，点的坐标为，点在边上．将△沿折叠，点落在点处．若点的坐标为，则点的坐标为 ．
41．（2024 济南）如图，在矩形纸片中，，，为边的中点，点在边上，连接，将△沿翻折，点的对应点为，连接．若，则 ．
42．（2024 烟台）如图，在中，，，，为边的中点，为边上的一动点，将沿翻折得△，连接，，则面积的最小值为 ．
43．（2024 连云港）如图，将一张矩形纸片上下对折，使之完全重合，打开后，得到折痕，连接．再将矩形纸片折叠，使点落在上的点处，折痕为．若点恰好为线段最靠近点的一个五等分点，，则的长为 ．
44．（2024 海南）如图，矩形纸片中，，，点、分别在边、上，将纸片沿折叠，使点的对应点在边上，点的对应点为，则的最小值为 ，的最大值为 ．
45．（2024 遂宁）如图，在正方形纸片中，是边的中点，将正方形纸片沿折叠，点落在点处，延长交于点，连结并延长交于点．给出以下结论：①为等腰三角形；②为的中点；③；④．其中正确结论是 （填序号）．
46．（2024 安徽）如图，现有正方形纸片，点，分别在边，上．沿垂直于的直线折叠得到折痕，点，分别落在正方形所在平面内的点，处，然后还原．
（1）若点在边上，且，则 （用含的式子表示）；
（2）再沿垂直于的直线折叠得到折痕，点，分别在边，上，点落在正方形所在平面内的点处，然后还原．若点在线段上，且四边形是正方形，，，与的交点为，则的长为 ．
47．（2024 潍坊）如图，在矩形中，，点，分别在边，上．将沿折叠，点的对应点恰好落在对角线上；将沿折叠，点的对应点恰好也落在对角线上．连接，．
求证：
（1）；
（2）四边形为平行四边形．
题型九 胡不归问题
48．（2024 广元）如图，在中，，，则的最大值为 ．
49．（2024 凉山州）如图，在菱形中，，，是边上一个动点，连接，的垂直平分线交于点，交于点，连接、．
（1）求证：；
（2）求的最小值．
题型十 生活中的平移现象
50．（2024 盐城）下列四幅图片中的主体事物，在现实运动中属于翻折的是
A．工作中的雨刮器 B．移动中的黑板
C．折叠中的纸片 D．骑行中的自行车
题型十一 平移的性质
51．（2024 东营）如图，将沿方向平移得到，若的周长为，则四边形的周长为 ．
题型十二 坐标与图形变化-平移
52．（2024 长沙）在平面直角坐标系中，将点向上平移2个单位长度后得到点的坐标为
A． B． C． D．
53．（2024 海南）平面直角坐标系中，将点向右平移3个单位长度得到点，则点的坐标是
A． B． C． D．
54．（2024 资阳）在平面直角坐标系中，将点沿轴向上平移1个单位后，得到的点的坐标为
A． B． C． D．
55．（2024 威海）定义新运算：
①在平面直角坐标系中，，表示动点从原点出发，沿着轴正方向或负方向平移个单位长度，再沿着轴正方向或负方向平移个单位长度．例如，动点从原点出发，沿着轴负方向平移2个单位长度，再沿着轴正方向平移1个单位长度，记作．
②加法运算法则：，，，，其中，，，为实数．
若，，，，则下列结论正确的是
A．， B．， C．， D．，
56．（2024 江西）在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点，则点的坐标为 ．
57．（2024 辽宁）在平面直角坐标系中，线段的端点坐标分别为，，将线段平移后，点的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标为 ．
58．（2024 淄博）如图，已知，两点的坐标分别为，，将线段平移得到线段．若点的对应点是，则点的对应点的坐标是 ．
59．（2024 内蒙古）如图，点，，将线段平移得到线段，若，，则点的坐标是 ．
题型十三 作图-平移变换
60．（2024 哈尔滨）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，线段的端点均在小正方形的顶点上．
（1）在方格纸中将线段先向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到线段（点的对应点为点，点的对应点为点，连接，，画出线段，，；
（2）在方格纸中，画出以线段为斜边的等腰直角三角形（点在小正方形的顶点上），且为钝角，，交于点，连接，画出线段，直接写出的值．
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