2024年浙江省宁波市中考数学甬真试题（word版，含解析）

2024年浙江省宁波市中考数学甬真试题（潮卷）
一、单选题
1．四个实数，0，3，中，最大的数是（ ）
A． B．0 C．3 D．
2．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．从浙江省文旅厅获悉，2023年中秋国庆假期全省共接待游客4372.4万人次，实现旅游收入486.4亿元，游客人均消费1113元．数43724000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4．如图是由长方体和圆柱体组成的几何体，则它的主视图是（　　）

A． B． C． D．
5．某果园实验基地种植了甲、乙两个品种的葡萄树，工作人员随机从甲、乙两品种的葡萄树中采摘了棵，统计了每棵的产量．下列关于两品种每棵产量的平均数和方差的描述中，能说明甲品种的葡萄产量较稳定的是（ ）
A． B． C． D．
6．已知圆锥的底面半径为，高为，则这个圆锥的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在四边形中，，是对角线的中点，是的中点．若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
8．我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果一间客房住9人，那么就空出一间客房，若设该店有客房x间，房客y人，则列出关于x、y的二元一次方程组正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．已知二次函数，下列结论正确的是（ ）
A．当时，函数图象的顶点坐标为
B．当时，的值随的增大而增大
C．当，时，的取值范围是
D．当时，的最大值为8，则或
10．将两张矩形纸片，和另三张正方形纸片，，按如图所示方式不重叠地放置在矩形内．则下列条件中，不能求出四边形的面积的是（ ）
A．正方形与正方形周长的和 B．矩形与正方形周长的差
C．矩形与矩形周长的和 D．矩形的周长
二、填空题
11．－64的立方根是 ．
12．当 时，分式的值为0．
13．有一枚质地均匀的骰子，骰子各个面上的点数分别为．任意抛掷这枚骰子，朝上面的点数大于3的概率是 ．
14．对于实数，，定义一种运算“ ”为：，若关于的方程没有实数根，则实数的取值范围为 ．
15．如图，在矩形中，，，点在对角线上运动（不与点重合），为的外接圆，当与矩形的边相切时，的半径为 ．
16．如图，的顶点在反比例函数的图象上，顶点在轴的正半轴上，，过原点作的平行线，交反比例函数的图象于点，连结交轴于点，连结．若，则的值为 ，四边形的面积为 ．
三、解答题
17．（1）计算：；
（2）解不等式组．
18．图①②都是由边长为1的小等边三角形组成的正六边形，已经有5个小等边三角形涂上阴影，请在余下的空白小等边三角形中，分别按下列要求选取一个涂上阴影．（请将两个小题依次作答在图①，图②中，均只需画出符合条件的一种情形）
（1）使得6个阴影小等边三角形组成的图形是轴对称图形，但不是中心对称图形．
（2）使得6个阴影小等边三角形组成的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形．
19．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象在第二象限交于点，与轴交于点，连结，的面积为3．
(1)求反比例函数的表达式．
(2)当时，根据图象直接写出的取值范围．
20．为落实“双减”政策，优化作业管理，某中学从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们每天完成书面作业的时间t（单位：分钟）．按照完成时间分成五组：A组“t≤45”，B组“45＜t≤60”，C组“60＜t≤75”，D组“75＜t≤90”，E组“t＞90”．将收集的数据整理后，绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题：
(1)这次调查的样本容量是 ，请补全条形统计图；
(2)在扇形统计图中，B组的圆心角是 度，本次调查数据的中位数落在 组内；
(3)若该校有1800名学生，请你估计该校每天完成书面作业不超过90分钟的学生人数．
21．如图1是小明在健身器材上进行仰卧起坐锻炼时的情景，图2是小明锻炼时上半身由位置运动到底面垂直的位置时的示意图，已知米，米，（参考数据：，）
(1)求的长；
(2)若米，求M、N两点的距离（精确到0.1米）.
22．如图，将球从点的正上方的点处发出，把球看成点，其运行的高度与运行的水平距离满足关系式．
(1)若当小球运动的水平距离为时，小球达到最大高度，求小球达到的最大高度．
(2)若小球的正前方处有一个截面为长方形的球筐，其中为，为，若要使小球落人筐中，求的取值范围．
23．【基础巩固】
（1）如图（1），在和中，点在上，，求证：．
【尝试应用】
（2）如图（2），在（1）的条件下，连结．若，求的长．
【拓展提高】
（3）如图（3），在中，对角线相交于点，，点E是边上一点，，连结交于点，线段与的延长线交于点，若，，求平行四边形的面积．
24．如图（1），为锐角的外接圆，过点作于点，，分别交直径于点，，连结，．
(1)求证：．
(2)当时，求证：．
(3)如图（2），若，
①求的值；
②求的长．
试卷第1页，共3页
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《2024年浙江省宁波市中考数学甬真试题（潮卷）》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B B A C B A B D B
1．C
【难度】0.85
【知识点】实数的大小比较
【分析】本题主要考查了实数比较大小，先比较出，再根据正数大于0，0大于负数即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴四个数中最大的数是3，
故选：C．
2．B
【难度】0.85
【知识点】同底数幂相乘、同底数幂的除法运算、合并同类项、幂的乘方运算
【分析】本题主要考查了同底数幂乘除法，幂的乘方和合并同类项，熟知相关计算法则是解题的关键．
根据同底数幂乘除法，幂的乘方和合并同类项等计算法则进行求解判断即可．
【详解】A. 和不是同类项，不能合并，错误，该选项不符合题意；
B. ，正确，该选项符合题意；
C. ，错误，该选项不符合题意；
D. ，错误，该选项不符合题意；
故选：B.
3．B
【难度】0.94
【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数
【分析】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，据此判断即可．
【详解】解：．
故选：B．
4．A
【难度】0.85
【知识点】判断简单组合体的三视图
【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【详解】解：从正面看，底层是长方形，上层的右边是一个小正方形．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了主视图，解题的关键是掌握从正面看到的图形是主视图．
5．C
【难度】0.94
【知识点】根据方差判断稳定性
【分析】根据方差的意义即可得出答案．
【详解】解：根据方差越大，波动性越大，方差越小，波动性越小，
甲品种的葡萄产量较稳定，所以，
故选：．
【点睛】本题考查了方差的意义，根据方差判断稳定性，掌握方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小，反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性也越好，是解答本题的关键．
6．B
【难度】0.85
【知识点】求圆锥侧面积
【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形面积公式计算．
【详解】解：∵ 圆锥的底面半径为，高为，
∴圆锥的母线长为：，
∴ 这个圆锥的侧面积＝．
故选：B
【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
7．A
【难度】0.85
【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、斜边的中线等于斜边的一半、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质、勾股定理，根据直角三角形斜边上的中线求出，根据勾股定理求出，再根据三角形中位线定理求出．熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．
【详解】解：在中，，是的中点，，
则，
由勾股定理得：，
是的中点，是的中点，
是的中位线，
，
故选：A．
8．B
【难度】0.85
【知识点】根据实际问题列二元一次方程组
【分析】设该店有客房x间，房客y人；根据题意一房七客多七客，一房九客一房空得出方程组即可．
【详解】解：设该店有客房x间，房客y人；
根据题意得：，
故选：B．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用；根据题意得出方程组是解决问题的关键．
9．D
【难度】0.65
【知识点】y=ax +bx+c的图象与性质
【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．根据条件和二次函数的性质，逐项分析判断原说法的正误即可．
【详解】解：A、当时，，顶点坐标是，故原说法错误，不符合题意；
B、当时，，当时，的值随的增大而增大，但前提条件没有说，故原说法错误，不符合题意；
C、当时，，当时，，解得，故原说法错误，不符合题意；
D、抛物线对称轴是直线．
若，则时，的最大值为8，
∴，
∴；
若，则时，的最大值为8，
∴，
∴．
∴当时，的最大值为8，则或，正确，符合题意；
故选：D．
10．B
【难度】0.65
【知识点】整式加减的应用、根据正方形的性质求线段长、多项式乘多项式与图形面积
【分析】本题考查整式混合运算的应用，矩形的性质，四边形的面积，周长和正方形的性质，解题的关键是能用字母表示各矩形的边长并计算面积．
根据题意设，，，则，先根据面积差可计算四边形的面积，再分别根据矩形和正方形的周长，分别判断即可．
【详解】解：设，，，则，
四边形的面积
，
A、若知正方形与正方形周长的和，则可知：，得的值，所以可以求出四边形的面积，不符合题意；
B、若知矩形与正方形周长的差，则可知：，所以不能求出四边形的面积，符合题意；
C、若知矩形与矩形周长的和，则可知：，所以可以求出四边形的面积，不符合题意；
D、若知矩形的周长，则可知：，所以可以求出四边形的面积，不符合题意；
故选：B．
11．-4
【难度】0.94
【知识点】求一个数的立方根
【分析】直接利用立方根的意义，一个数的立方等于a，则a的立方根是这个数进行求解．
【详解】解：根据立方根的意义，一个数的立方等于a，则a的立方根是这个数，
可知-64的立方根为-4．
故答案为：-4．
【点睛】本题考查了立方根，解题的关键是掌握一个数的立方等于a，则a的立方根是这个数．
12．2
【难度】0.85
【知识点】分式值为零的条件
【分析】根据分式的值为0的条件可知，分子为0，分母不为0，即可求解．
【详解】解：∵分式的值为0，
∴，
解得，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了分式的值为0的条件，掌握分式的值为0的条件为“分子为0，分母不为0”是解题的关键．
13．/
【难度】0.85
【知识点】根据概率公式计算概率
【分析】由朝上的面的点数有6种等可能结果，其中朝上面的点数大于3的有共3种结果，根据概率公式计算可得．
【详解】解：任意抛掷这枚骰子，朝上的面的点数有6种等可能结果，其中朝上面的点数大于3的有共3种结果，
∴朝上面的点数大于3的概率是．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查概率公式，随机事件的概率事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数．
14．
【难度】0.85
【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数
【分析】本题考查了解一元二次方程直接开平方法，实数的运算，根据定义的新运算可得：，从而可得，然后利用解一元二次方程直接开平方法进行计算，即可解答．
【详解】解：，
，
，
方程没有实数根，
，
，
故答案为：．
15．2或
【难度】0.4
【知识点】利用矩形的性质证明、切线的性质定理、用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值
【分析】当与和相切时，点为的中点，此时的半径为2；当与相切点时，连接，延长交于点，根据切线的性质得到，根据矩形性质得到，根据垂径定理得到，设的半径为，则，，在中利用勾股定理得到，然后解方程得到此时的半径．
【详解】解：当与和相切时，为的直径，点A和为切点，
点为的中点，此时的半径为2；
当与相切点时，
连接，延长交于点，如图，
，
四边形为矩形，
，
，
，
，
四边形为矩形，
，
设的半径为，则，，
在中，，
解得，
即此时的半径为，
综上所述，的半径为2或．
故答案为：2或．
【点睛】本题考查了圆与矩形综合．熟练掌握矩形性质，圆切线的性质：垂径定理，勾股定理解直角三角形，分类讨论，是解决问题的关键．
16． /
【难度】0.65
【知识点】反比例函数与几何综合、一次函数与反比例函数的交点问题、三线合一
【分析】本题考查反比例函数的几何意义，关键是掌握反比例函数的性质和待定系数法求函数解析式．
设点坐标为，，然后根据已知条件求出点坐标，用待定那个系数法求直线的解析式，再根据求出直线解析式，然后解方程组求出点坐标，求出点坐标，然后把，，坐标代入直线解析式，从而求出的值，再根据面积公式求面积．
【详解】解：设点坐标为，，
，点在轴上，
，
设的表达式为，
代入，得，
解得，
的表达式为，
，
的表达式为，
联立方程组，
解得，
，，
，
点，，
设直线的表达式为，代入，得：，
把点坐标代入得：，
，
解得，
点所在反比例函数解析式为，
则．
故答案为：，．
17．（1）；（2）
【难度】0.85
【知识点】运用完全平方公式进行运算、求不等式组的解集
【分析】本题考查了整式的混合运算，单项式乘多项式，完全平方公式，解一元一次不等式组，准确熟练地进行计算是解题的关键．
（1）利用完全平方公式，单项式乘多项式的法则进行计算，即可解答；
（2）按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，即可解答．
【详解】解：（1）
；
（2），
解不等式①得：，
解不等式②得：，
原不等式组的解集为：．
18．（1）见解析；（2）见解析
【难度】0.85
【知识点】利用旋转设计图案、 利用平移、轴对称、旋转、中心对称设计图案
【分析】（1）直接利用轴对称图形以及中心对称图形的定义分析得出答案；
（2）直接利用轴对称图形以及中心对称图形的定义分析得出答案．
【详解】解：（1）如图所示：是轴对称图形，但不是中心对称图形．
（2）如图所示：既是轴对称图形，又是中心对称图形．
．
【点睛】本题主要考查了利用旋转设计图案以及利用轴对称设计图案，正确掌握相关定义是解题关键．
19．(1)
(2)
【难度】0.65
【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集、一次函数与反比例函数的交点问题、求反比例函数解析式
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式是关键．
（1）先求出一次函数解析式，根据面积求出长点的点的横坐标，根据横坐标和一次函数解析式求出点纵坐标，即可得到反比例函数解析式；
（2）根据两个函数的交点坐标和函数图象，直接写出不等式解集即可．
【详解】（1）在直线的图象上，
一次函数解析式为，，
如图，作轴，垂足为点，
，
，
，
点的横坐标为，
在直线中，令得，，
点的坐标为，且在反比例函数图象上，
反比例函数的表达式为：；
（2）解：根据图象可知，当时，．
20．(1)100，图形见解析
(2)72，C；
(3)估计该校每天完成书面作业不超过90分钟的学生有1710人．
【难度】0.65
【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、画条形统计图、由扇形统计图求总量、求中位数
【分析】（1）根据C组的人数和所占的百分比，可以计算出本次调查的人数，然后即可计算出D组的人数，从而可以将条形统计图补充完整；
（2）根据统计图中的数据，可以计算出B组的圆心角的度数，以及中位数落在哪一组；
（3）根据题意和统计图中的数据，可以计算出该校每天完成书面作业不超过90分钟的学生人数．
【详解】（1）这次调查的样本容量是：25÷25%=100，
D组的人数为：100-10-20-25-5=40，
补全的条形统计图如图所示：
故答案为：100；
（2）在扇形统计图中，B组的圆心角是：360°×=72°，
∵本次调查了100个数据，第50个数据和51个数据都在C组，
∴中位数落在C组，
故答案为：72，C；
（3）1800×=1710（人），
答：估计该校每天完成书面作业不超过90分钟的学生有1710人．
【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体、中位数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
21．(1)米
(2)米
【难度】0.65
【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）
【分析】（1）过作于，可得四边形为矩形，利用锐角三角函数即可求出的长；
（2）过作交射线于点，则，利用30度角的直角三角形即可求出M，N两点的距离．
【详解】（1）解：如图，过作于，则四边形为矩形，
∴米，米，
∴（米）
在中，
∵
∴（米）；
（2）如图，过作交射线于点，则，
∴，
∵米，
∴，
∵米，
∴米，
∴，
∴，
在中，（米），
∴M，N两点的距离约为米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解决本题的关键是掌握锐角三角函数．
22．(1)
(2)
【难度】0.65
【知识点】投球问题(实际问题与二次函数)
【分析】本题考查二次函数的应用．根据题意判断出抛物线上的点的坐标是解决本题的关键．
（1）小球运动的水平距离为时，小球达到最大高度，那么抛物线的对称轴为：直线，即可得到，把相关数值代入可得的值；易得抛物线经过点，坐标为，那么．即可判断出抛物线的解析式，进而可得时，小球达到的最大的高度；
（2）抛物线经过点，坐标为，那么函数解析式中的．易得点和点的坐标，分别代入题中所给的函数解析式中，可得的值，即可判断出要使小球落人筐中，的取值范围．
【详解】（1）解：小球运动的水平距离为时，小球达到最大高度，
抛物线的对称轴为：直线．
．
解得：．
由题意得：抛物线上点的坐标为．
．
抛物线的解析式为：．
当时，．
答：小球达到的最大高度为；
（2）解：由题意得：点的坐标为，点的坐标为．
抛物线上点的坐标为，
．
抛物线的解析式为：．
①抛物线经过点．
．
解得：．
②抛物线经过点．
．
解得：．
要使小球落人筐中，的取值范围为：．
23．（1）见解析；（2）；（3）20
【难度】0.4
【知识点】利用平行四边形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解
【分析】（1）根据平行可得，再根据相似三角形的判定和性质即可求解；
（2）根据可得的长，再直角中，根据勾股定理即可求解；
（3）如图3，延长交于点P，证明，得，设，则，证明和，可得和的值，最后由平行四边形的面积公式可得结论．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：如图，延长交于点P，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
同理可得：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴（负值舍），
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴平行四边形的面积．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质等知识的综合，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
24．(1)见解析
(2)见解析
(3)①；②
【难度】0.4
【知识点】圆周角定理、解直角三角形的相关计算、用勾股定理解三角形、由平行截线求相关线段的长或比值
【分析】（1）证明，得到，即可求解；
（2）证明平分且，即可求解；
（3）①在中，，求出，根据，即可求解；
②设，则，，则，根据，即可求解．
【详解】（1）连接、，
则，
，
而，
，
，
∵，
，
；
（2）当时，则，
由（1）知，
∴平分，
∴，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）①在等腰三角形中，，
，
，
设，则，
则，
在中，，
即，
解得：，
则，
则；
②过点作于点，
∵，是的直径，
∴，
∴，
∴，
∴
故设，则，，
则，
则，
解得：，
则，，，，
则，；
，
；
∴，
解得：．
【点睛】本题考查的是圆的综合运用，涉及到等腰三角形的性质，圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，解直角三角形，勾股定理，平行线分线段成比例定理，正确作出辅助线是解题的关键．
答案第1页，共2页
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