广东省广州越秀区第七中学2023-2024学年八年级下学期6月月考数学试题（word版，含解析）

广东省广州越秀区第七中学2023-2024学年八年级下学期6月月考数学试题
一、单选题
1．化简的结果是(　　)
A．5 B．-5 C．±5 D．25
2．下列各式计算错误的是（　　）
A． B．
C． D．
3．在平面直角坐标系中，若一次函数的图像由直线向上平移3个单位长度得到，则一次函数的图像经过的象限是（ ）
A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限 C．第一、二、四象限 D．第二、三、四象限
4．如图，在菱形中，对角线，相交于点O，，，则的长为（ ）

A．1 B．2 C． D．
5．如图，在中，D，E，F分别是边，，的中点，若，，则四边形的周长为（ ）

A．13 B．21 C．26 D．52
6．党的二十大报告提出“深化全民阅读活动”．某校开展了“书香浸润心灵 阅读点亮人生”读书系列活动．为了解学生的课外阅读情况，随机选取了某班甲、乙两组学生一周的课外阅读时间（单位：小时）进行统计，数据如下：
甲组
乙组
两组数据的众数分别为，，方差分别为，，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
7．如图，下列条件之一能使是菱形的为（　　）

①；②平分；③；④；
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
8．甲、乙两车从A城出发前往B城．在整个行程中，汽车离开A城的距离y与时刻t的对应关系如图所示．则下列说法正确的是（ ）

A．甲乙两车在距离B城处相遇
B．甲乙两车同时到达B城，甲车速度是
C．甲车比乙车早出发1小时，乙车的速度是
D．乙车的速度高于甲车，乙车用时4小时从A城到达B城
9．如图，点B，C，E在同一直线上，分别以为边作正方形和正方形，，H是的中点，那么的长是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，直线的解析式为，直线交轴于点，以为边作第一个等边三角形，交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，以为边作第二个等边三角形△，交直线于点，，顺次这样做下去，第2020个等边三角形的边长为（　　）

A． B． C．4038 D．4040
二、填空题
11．二次根式中，x的取值范围是 ．
12．若点在一次函数（b是常数）的图象上，则的大小关系是 ．（填“”、“”或“”）
13．如图，网格中每个小正方形的边长均为1，以A为圆心，为半径画弧，交网格线于点D，则的长为 ．
14．在平面直角坐标系中，一次函数和的图象如图所示，则关于x的一元一次不等式的解集是 ．

15．在平面直角坐标系xOy中，点在第二象限，且，点，若的面积为20，则点A的坐标为 ．
16．如图，四边形和四边形都是正方形，E是延长线上一个动点，点G在射线上（不与点C重合），H是的中点，连接．若，则的最小值为 ．

三、解答题
17．计算：．
18．如图，四边形ABCD是平行四边形，AE平分∠BAD，交DC的延长线于点E.求证：BC=DE
19．已知一次函数（，为常数且）的图象经过点和轴上一点，且与平行．

(1)求一次函数的表达式，并在平面直角坐标系内画出该函数的图象；
(2)当时，请结合图象，直接写出的取值范围___________；
(3)若点在直线上，且的面积等于，求点的坐标．
20．甲，乙两个小区各有户居民，为了解两个小区月份用户使用燃气量情况，小明和小丽分别从中随机抽取户进行调查，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
．甲小区用气量频数分布直方图如下（数据分成组：，，，，）
．甲小区用气量的数据在这一组的是：，，，，，，，，，，，
．甲，乙两小区用气量的平均数、中位数、众数如下：
小区 平均数 中位数 众数
甲
乙
根据以上信息，回答下列问题：
(1)直接写出表中的值为________；
(2)在甲小区抽取的用户中，记月份用气量高于他们的平均用气量的户数为．在乙小区抽取的用户中，记月份用气量高于他们的平均用气量的户数为．直接比较，的大小关系为_______；
(3)计算估计甲小区中用气量超过立方米的户数．
21．如图，在中，点E是的中点，连接，、的延长线相交于点F，连接、．

(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，求证：四边形是矩形．
22．已知甲、乙两地相距，小徐和小马两人沿同一条公路从甲地到乙地，小徐骑自行车到达．小马骑摩托车比小徐晩出发，骑行时追上小徐，停留后继续以原速骑行．在整个行程中，两人与甲地的距离与小徐骑行时间的对应关系分别如图中线段和折线段所示，与的交点为．

(1)线段所对应的函数表达式为 ，相应自变量的取值范围是 ，线段所对应的函数表达式为 ，相应自变量的取值范围是 ；
(2)小马在段的速度为 ， ；
(3)求小马第二次追上小徐时与乙地的距离．
23．如图，四边形是矩形（），的平分线交于点，交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)是的中点，连接，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．
24．在平面直角坐标系xOy中，对于点和点Q给出如下定义：若点Q的坐标为，则称点Q为点P的“n倍点”．
(1)①若点，点Q为点P的“倍点”，则点Q的坐标为___________；
②当P是直线与x轴的交点时，点P的“n倍点”的坐标为___________．
(2)已知点，，，．
①若对于直线上任意一点Q，在直线上都有点P，使得点Q为点P的“n倍点”，求n的值；
②点P是直线上任意一点，若在四边形的边上存在点P的“n倍点”，且，直接写出k的取值范围．
试卷第1页，共3页
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《广东省广州越秀区第七中学2023-2024学年八年级下学期6月月考数学试题》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C A B C A D A B A
1．A
【知识点】求一个数的算术平方根
【分析】根据开平方的运算法则计算即可．
【详解】解：==5，
故选：A．
【点睛】本题考查了开平方运算，关键是掌握基本的运算法则．
2．C
【知识点】二次根式的加减运算、利用二次根式的性质化简、二次根式的除法
【分析】利用二次根式的加减法对A、B进行判断；根据二次根式的除法法则对C进行判断；根据算术平方根对D进行判断．
【详解】A、，所以A选项的计算正确；
B、原式，所以B选项的计算正确；
C、原式，所以C选项的计算错误；
D、原式，所以D选项的计算正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式的加、减、乘、除运算，掌握二次根式的相关运算法则是解答本题的关键．
3．A
【知识点】判断一次函数的图象、根据一次函数解析式判断其经过的象限、一次函数图象平移问题
【分析】向上平移，则，根据图像位置与系数的关系判断．
【详解】解：由题知，，
∵
∴位于第一、二、三象限．
故选：A．
【点睛】本题考查一次函数图像平移，掌握图像平移与点坐标变化的关系是解题的关键．
4．B
【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长
【分析】利用菱形的性质，求出，得出三角形是直角三角形，再，运用勾股定理求出.
【详解】解：∵四边形是菱形， ，是对角线，，
∴，，
∴，，，即三角形是直角三角形，
又∵，
∴，
设，则，
根据勾股定理可得，，
解得，
故选：B．
【点睛】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，灵活运用这些性质解决问题时解题的关键.
5．C
【知识点】利用平行四边形的判定与性质求解、与三角形中位线有关的求解问题
【分析】根据D，E，F分别是边，，的中点，可判定四边形是平行四边形，再根据三角形中位线定理，即可求得四边形的周长．
【详解】解：∵D，E，F分别是边，，的中点，
∴，，
，，
∴，
故选：C
【点睛】本题考查平行四边形的判定，三角形中位线定理，熟练运用中位线定理是解题的关键．
6．A
【知识点】求一组数据的平均数、求方差
【分析】分别根据众数的定义以及方差的计算方法解答即可．
【详解】解：由题意得，
甲组的平均数为，
∴ ；
乙组的平均数为，
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了平均数与方差的计算，关键是掌握方差与平均数的计算公式．
7．D
【知识点】添一个条件使四边形是菱形
【分析】根据菱形的判定定理判断即可得解．
【详解】解：①，四边形是平行四边形，
∴四边形是矩形；
②平分，四边形是平行四边形，
∴四边形是菱形；
③，四边形是平行四边形，
∴四边形是菱形；
④，四边形是平行四边形，
∴四边形是菱形．
综上所述，由②③④可证得四边形是菱形．
故选：D．
【点睛】本题考查了菱形的判定，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键．
8．A
【知识点】从函数的图象获取信息、行程问题(一次函数的实际应用)
【分析】根据图象得，A城与B城相距，甲车从出发，到达B城，乙车从出发，到达B城，即可得甲车速度，乙车速度， 乙先到达B城，甲车比乙车早出发1小时，根据图象得，甲乙两车在相遇，即可得甲乙两车在距离B城处相遇，即可得选项A正确；选项B错误；选项C错误；根据得乙车的速度高于甲车，根据乙车出发的时间和到达B城的时间即可得乙车用3小时小时从A城到达B城，故选项D错误；即可得．
【详解】解：根据图象得，A城与B城相距，甲车从出发，到达B城，乙车从出发，到达B城，
∴甲车速度：，
乙车速度：，
乙先到达B城，
甲车比乙车早出发1小时，
根据图象得，甲乙两车在相遇，
则，
故选项A正确；选项B错误；选项C错误；
∵，
∴乙车的速度高于甲车，
∵（小时），
∴乙车用3小时小时从A城到达B城，
故选项D错误；
故选：A．
【点睛】本题考查了函数图象的应用，解题的关键是根据图象得到相应的信息，掌握速度，时间，路程三者之间的关系．
9．B
【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、根据正方形的性质求线段长、用勾股定理解三角形
【分析】连接，根据正方形的性质得到，根据勾股定理求出的长，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半计算即可．
【详解】解：连接，
在正方形和正方形中，
∴，
∴，
∵，
∴，
由勾股定理得， ，
又∵H是AF的中点，
∴．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质、勾股定理、直角三角形的性质等知识点，掌握直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半是解答本题的关键．
10．A
【知识点】一次函数的规律探究问题、等边三角形的性质、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形
【分析】延长交轴于，交轴于，根据等边三角形的性质得，，，直线的解析式为，得，由直线的解析式得第一个等边三角形边长为1，解得，，把代入求得的纵坐标，即可求得第二个等边三角形的边长，从而找出规律，按照此规律即可求得第2020个等边三角形的边长．
【详解】解：延长交轴于，延长交轴于，
，，均为等边三角形，
，，，
直线的解析式为：，
，
对于直线，，当时，，
点的坐标为，
，
在中，，，
，，
点的坐标为，
对于，当时，，
点的坐标为，
，
，
，
在中，，，
，，
点的坐标为，
对于，当时，，
，
，
同理得：，，
以此类推，第个等边三角形的边长为，
第2020个等边三角形的边长为．
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、等边三角形的性质、含30度角直角三角形的性质、勾股定理，根据等边三角形的性质找出第个等边三角形的边长为是解题的关键．
11．
【知识点】二次根式有意义的条件
【分析】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，即可．
【详解】解：根据题意得∶，
∴．
故答案为：．
12．
【知识点】比较一次函数值的大小
【分析】由，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而减小，结合，即可得出．
【详解】解：∵，
∴一次函数中，y随x的增大而减小，
又∵点在一次函数（b是常数）的图象上，且，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，牢记“，y随x的增大而增大；，y随x的增大而减小”是解题的关键．
13．
【知识点】用勾股定理解三角形
【分析】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
根据题意得，再利用勾股定理进行计算即可．
【详解】解：连接，如图，
根据题意，得，
在中，由勾股定理，得，
∴，
故答案为：．
14．/
【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集
【分析】写出直线在直线上方所对应的自变量的范围即可．
【详解】解：根据图象可知：两函数的交点为，
关于x的一元一次不等式的解集是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数图像的特征、一元一次不等式；关键在于能数形结合，理解对应相同的自变量，图像上方函数值大于下方的函数值．
15．
【知识点】坐标与图形
【分析】由点A的坐标可得出的长，利用三角形的面积公式可求出的长，进而可得出点的坐标．
【详解】解：∵点A的坐标为，且，点A在第二象限，
∴，
∴边上的高为，
∵点，
∴，
∵，即，
解得：，
∴，
点B的坐标为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了坐标与图形以及三角形的面积，表示出边上的高为是解题的关键．
16．
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质证明
【分析】延长交于点M，证明，则，得到，设，则，，在中，由勾股定理得到，进一步得到，即可得到的最小值．
【详解】解：延长交于点M，

∵四边形是正方形，，
∴，，
∵四边形都是正方形，E是延长线上一个动点，
∴，，
∴，
∵H是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，，
在中，，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
即的最小值为．
故答案为：
【点睛】此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，证明是解题的关键．
17．
【知识点】二次根式的混合运算
【分析】直接利用二次根式的混合运算法则求解即可．
【详解】解：原式
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式混合运算的基本法则．
18．证明见解析.
【知识点】根据等角对等边证明等腰三角形、利用平行四边形的性质证明
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AD=BC，
∴∠BAE=∠E ，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE，
∴∠E=∠DAE ，
∴DA=DE，
又∵AD=BC，
∴BC=DE．
19．(1)一次函数的表达式为，作图见解析；
(2)；
(3)或．
【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、求一次函数解析式、画一次函数图象、比较一次函数值的大小
【分析】（1）一次函数与平行可求得的值，进而把代入一次函数，得出，从而求得一次函数的表达式，再画出图象即可；
（2）当时，代入一次函数的表达式可得出对应的值，结合图像即可得解；
（3）根据铅锤法求面积即可得解．
【详解】（1）解：∵一次函数（，为常数且）的图象经过点和轴上一点，且与平行，
∴，
解得，
∴一次函数的表达式为，
在平面直角坐标系内画如下图，

（2）解：当时，，
当时，，
即可图像可得时，，
故答案为；
（3）解：设，与直线相交于点，

当时，，
∴，
∵的面积等于，点，与轴交于点，
∴，
∴，
解得或，
∴或．
【点睛】本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式，以及一次函数的图象和图象上点的坐标特征，掌握用待定系数法求一次函数的解析式是解题的关键．
20．(1)16
(2)
(3)户
【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、频数分布直方图、求中位数
【分析】本题考查求中位数及其意义，由样本估计总体，解题的关键是理解题意，从表格获取信息，掌握求中位数及其意义，由样本估计总体的方法是解题关键．
（1）利用求中位数的方法求解即可；
（2）利用中位数和平均数的意义分析即可；
（3）根据抽取的30户中用气量超过15立方米的户数所占的比例估算出整体户数．
【详解】（1）解：甲小区抽取的用户中，中位数为顺序排列后第位和第位数的平均数，
即；
（2）解：由题知，（户），
在乙小区抽取的用户中，中位数为，平均数为，
即最少有户高于他们的平均用气量，即，
；
（3）解：由题知，（户），
答：甲小区中用气量超过立方米的户数为户．
21．(1)见解析
(2)见解析
【知识点】利用平行四边形性质和判定证明、证明四边形是矩形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
【分析】（1）通过证明可得，然后由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定四边形是平行四边形；
（2）利用三角形外角的性质和角的倍数关系求得，然后求得，从而可得平行四边形是矩形．
【详解】（1）证明：在中，，
∴，
∵点E是的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）证明：∵四边形是平行四边形；
∴，
又由（1）可得，四边形是平行四边形，
∴，
∵，，
∴，
又∵
∴，
∴，
∴，即四边形是矩形．
【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，矩形的判定，掌握相关性质定理正确推理论证是解题关键．
22．(1)，，，
(2)，
(3)小马第二次追上小徐时与乙地的距离为
【知识点】行程问题(一元一次方程的应用)、从函数的图象获取信息
【分析】（1）由题意得，线段是小徐的函数图象，折线段是小马的函数图象，根据速度路程时间，求出小徐的速度，即可求出线段所对应的函数表达式；再求出小徐骑行的时间，进而求出小马的骑行速度，从而求出线段所对应的函数表达式，再求出对应的自变量的取值范围即可；
（2）根据（1）所求即可得到答案；
（3）设小马在小徐出发t小时后第二次追上小徐，根据两人相遇时，所走的路程相同列出方程求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，线段是小徐的函数图象，折线段是小马的函数图象，
∴小徐的骑行速度为，
∴线段所对应的函数表达式为，其中相应自变量的取值范围是；
在中，当，，
∴在小徐出发时，小马追上小徐，
∴小马的骑行速度为，
∴线段所对应的函数表达式为，其中相应自变量的取值范围是；
故答案为：，，，；
（2）解：由（1）得小马在段的速度为，，
故答案为：，；
（3）解：设小马在小徐出发t小时后第二次追上小徐，
由题意得，，
解得，
∴小马在小徐出发小时后第二次追上小徐，
∴小马第二次追上小徐时与乙地的距离为．
【点睛】本题主要考查了从函数图象获取信息，一元一次方程的实际应用，正确读懂函数图象是解题的关键．
23．(1)见解析
(2)，见解析
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、利用矩形的性质证明、用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半
【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，掌握这些知识点是解题的关键．
（1）根据矩形的性质得出，再证明，等量代换即可得出答案；
（2）依题意补全图形，线段之间的数量关系是：．连接，先证明，再证明，进而得出，根据，即可得出结论．
【详解】（1）证明：四边形是矩形，
，
，
平分，
，
，
，
，
；
（2）解：线段，，之间的数量关系是：．
证明：连接，，．
在中，是的中点，
，
，，
，
，，
∵，
，
，，
，
，
，
．
24．(1)①；②
(2)① ②
【知识点】不等式的性质、坐标与图形、求一次函数解析式、一次函数图象与坐标轴的交点问题
【分析】（1）①直接根据题中定义求解即可；②先求得与x轴的交点坐标，再根据定义求解即可；
（2）①先利用待定系数法求得直线的表达式为．则，又，利用题中定义可求得n值；
②先得出轴，，再求得直线的表达式为，设，则点P的“n倍点”，分点Q在边上时、
点Q在边上时、点Q在边上时、点Q在边上时，求得，进而可求解．
【详解】（1）解：①根据定义，点Q的坐标为，
故答案为：；
②由得，∴，
∴点P的“n倍点”的坐标为，
故答案为：；
（2）解：①设过点，的直线为，
解得
∴直线的表达式为．
．
点P在直线上，．
．
②∵点，，，．
∴轴，，
设直线的表达式为，
将代入，得，
∴直线的表达式为．
设，则点P的“n倍点”，
若点Q在边上时，则，即，
∴，则；
若点Q在边上时，则，即，
∴，则；
若点Q在边上时，则，即，
∴，则；
若点Q在边上时，则，即，
∴，则
综上， ，又，
∴．
【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数解析式、坐标与图形、解不等式、算术平方根等知识，理解题中定义并正确求解是解答的关键．
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