2025年浙江省中考数学模拟考试试题（一）（原卷版）
满分150分 考试用时120分钟
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．举世瞩目的杭州第19届亚运会圆满落幕，场馆中的颁奖台如图所示，它的左视图是（ ）
A． B． C． D．
3．元旦游园晚会上有一个闯关活动：将个大小、质量完全相同的球放入一个袋中，其中个白色，个黄色，个红色．任意摸出一个球，如果摸到红色小球才能过关，那么一次过关的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，菱形中，对角线、相交于点，为边中点，菱形的周长为，则的长等于（ ）
A． B． C． D．
5．小丽在张同样的卡片上各写了一个正整数，从中随机抽取张，并将它们上面的数相加，重复这样做，每次所得到的和都是，，，中的一个数，并且这个数都能取到．根据以上信息，下列判断错误的是( )
A．最小的数一定是 B．最大的数可能是
C．四个数中一定有 D．四个数中一定有两个相等的数
6．已知：二次函数的图象上有三点的坐标分别为，，．若在，，这三个实数中，有且只有两个是正数，则的值可以是（ ）
A． B． C．1 D．
7．由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形（如图所示），连结并延长交于点，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．如图正方形，以为斜边作直角三角形，过点B作的垂线交于F，交正方形对角线于G．连结，已知，则的周长是（ ）
A．16 B．15 C．17 D．14
二、填空题（本大题共6个小题，每小题6分，共36分）
9．已知关于的不等式组有四个整数解，则的取值范围是 ．
10．在新冠疫情下，口罩作为重要的防疫物资，国家投入了大量的资金和工厂进行口罩的生产，每个工厂生产的口罩型号，颜色均有差异．某商店共有a种不同型号的口罩，每种口罩都有红、白、蓝三种颜色，并且货源充足，每种型号的口罩红色的价格均为每包50元，白色的价格均为每包b元，蓝色的价格均为每包c元，且满足，b、c均为正整数．A、B、C三人每人都将每种型号的口罩各买一包，且对于同种型号的口罩，三人选择的颜色各不相同．结账时，A、B都花了1200元，且他们买的蓝色口罩数量不同，C花了1400元，三种颜色的口罩皆有购买，请问C用于购买白色、蓝色的口罩最多一共花费 元．
11．一组数据的平均数为5，方差为16，n是正整数，则另一组数据的标准差是 ．
12．已知关于x的函数，y的最大值为4，则a的取值范围是 ．
13．矩形中，，，E、F分别是边、上的动点，且，连接，以为边构造正方形．当点F从C运动到B点的过程中，H运动的路径长为 ．
14．（1）已知关于的一元二次方程有两个根，，且满足．记，则的取值范围是 ．
（2）如图，点O是△ABC的内心，AO的延长线交△ABC的外接圆于点D，交BC于点E，设＝a，则＝ ．（用含a的代数式表示）
三、解答题（本大题共6个小题，第15题10分，第16，17，18题各12分，第19，20题各14分，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．计算:(1)计算：
(2)化简求值，其中。
16．如图，在的方格纸中，有△ABC，仅用无刻度的直尺，分别按要求作图：
(1)在图1中，找到一格点，使与全等；
(2)在图2中，在上找一点，使得．
17．已知关于的一元二次方程．
(1)求证：方程有两个不相等的实数根；
(2)若△ABC的两边，的长是这个方程的两个实数根，第三边的长为，当是直角三角形时，求的值．
18．为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩．如图，在侧面示意图中，遮阳篷长为5米，与水平面的夹角为，且靠墙端离地高为4米，当太阳光线与地面的夹角为时，
(1)求点与的水平距离的长；
(2)求阴影的长．（结果都精确到米；参考数据：，，）
19．如图，在平面直角坐标系内，已知，．
(1)点的坐标为（____，____）；
(2)将△AOB绕点顺时针旋转度．
①当时，点恰好落在反比例函数的图象上，求的值；
②在旋转过程中，点、能否同时落在上述反比例函数的图象上？若能，求出的值；若不能，请说明理由．
20．如图1， 中，，，以为直径的交于点，是的中点，连结．
(1)求证：是的切线；
(2)如图2，过点作的平行线交于点．
①求的长；
②如图3，点在线段上，连结交并延长交于点，当时，求的值．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页2025年浙江省中考数学模拟考试试题（一）（解析版）
满分150分 考试用时120分钟
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据整式的除法，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法运算法则进行计算即可判断．
【详解】解：A．a2 a3=a5，故A不符合题意；
B．6a÷3a=2，故B不符合题意；
C．（a-b）3=a3-3a2b+3ab2-b3，故C不符合题意；
D．（-ab2）2=a2b4，故D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了整式的除法，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，熟练掌握它们的运算法则是解题的关键．
2．举世瞩目的杭州第19届亚运会圆满落幕，场馆中的颁奖台如图所示，它的左视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查简单几何体三视图，理解视图的定义，掌握简单组合体三视图的画法和形状是正确解答的关键．根据简单组合体三视图的画法画出它的左视图即可．
【详解】解：这个颁奖台的左视图为：
故选：B．
3．元旦游园晚会上有一个闯关活动：将个大小、质量完全相同的球放入一个袋中，其中个白色，个黄色，个红色．任意摸出一个球，如果摸到红色小球才能过关，那么一次过关的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了概率公式，直接由概率公式求解即可，熟记概率公式是解题的关键．
【详解】解：由题意得，一次过关的概率是，
故选：．
4．如图，菱形中，对角线、相交于点，为边中点，菱形的周长为，则的长等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了菱形的性质，三角形中位线的定义和性质．根据菱形的四条边都相等和对角线互相平分得出，，根据连接三角形任意两边中点的连线叫中位线，三角形的中位线等于第三边的一半即可求解．
【详解】解：∵菱形的周长为，
∴，，
∵为边中点，为的中点，
∴，
故选：D．
5．小丽在张同样的卡片上各写了一个正整数，从中随机抽取张，并将它们上面的数相加，重复这样做，每次所得到的和都是，，，中的一个数，并且这个数都能取到．根据以上信息，下列判断错误的是( )
A．最小的数一定是 B．最大的数可能是
C．四个数中一定有 D．四个数中一定有两个相等的数
【答案】B
【分析】分别列出两数相加为，，，的所有可能性求解．
【详解】解：相加得3的两个整数可能为：，
相加得的两个整数可能为：，或，
相加得的两个整数可能为：，或，．
相加得的两个整数可能为：，或，或，．
每次所得两个整数和最小是，
最小两个数字为，，
每次所得两个整数和最大是，
最大数字为，
∴四个正整数分别为，，，．
最小的数一定是，四个正整数中一定有．四个数中一定有两个相等的数，故A,C,D正确，B错误
故选：B．
【点睛】本题考查有理数的应用，解题关键是利用分类讨论求解．
6．已知：二次函数的图象上有三点的坐标分别为，，．若在，，这三个实数中，有且只有两个是正数，则的值可以是（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解一元一次不等式组，根据抛物线的轴对称性分类求解是解题的关键．由题意知，抛物线经过两个定点，，所以对称轴为直线，分和两种情况讨论，利用轴对称性，结合，，中有且只有两个是正数，分别求出a的取值范围，即可判断答案．
【详解】解：当和时, ，
抛物线的对称轴是直线，
当时，抛物线开口向上，
，
，，
，
即，
，
没有符合的选项；
当时，抛物线开口向下，
，
，，
，
解得，
符合题意；
综上所述，符合题意．
故选：B．
7．由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形（如图所示），连结并延长交于点，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、正切的定义、正方形的性质，作于，由题意可得证明，得出，设，，则，，由全等三角形的性质可得，由正方形的性质，证明，得出，最后再由正切的定义求解即可．
【详解】解：如图：作于，
由题意可得：，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，，则，，
∵四个直角三角形全等，
∴，
∵中间为正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：或（不符合题意，舍去），
∴，
故选：B．
8．如图正方形，以为斜边作直角三角形，过点B作的垂线交于F，交正方形对角线于G．连结，已知，则的周长是（ ）
A．16 B．15 C．17 D．14
【答案】A
【分析】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，过点作于点，证明和全等得，则的周长，再证明和全等得，，则四边形为正方形，从而得，则，即的周长，由此可得出答案．
【详解】解：过点作于点，如图：
四边形为正方形，为对角线，
，，，
，
，
的周长，
，，，
，
四边形为矩形，
，，
，
，
，
，，
矩形为正方形，
，
，
的周长，
∵，
的周长，
故选：A．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题6分，共36分）
9．已知关于的不等式组有四个整数解，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组的整数解个数可得m的取值范围．
【详解】解：，
由①得：，
由②得：，
所以不等式组的解集为：，
∵关于的不等式组有四个整数解，
∴整数解为，
∴，
解得：，
故答案为：．
10．在新冠疫情下，口罩作为重要的防疫物资，国家投入了大量的资金和工厂进行口罩的生产，每个工厂生产的口罩型号，颜色均有差异．某商店共有a种不同型号的口罩，每种口罩都有红、白、蓝三种颜色，并且货源充足，每种型号的口罩红色的价格均为每包50元，白色的价格均为每包b元，蓝色的价格均为每包c元，且满足，b、c均为正整数．A、B、C三人每人都将每种型号的口罩各买一包，且对于同种型号的口罩，三人选择的颜色各不相同．结账时，A、B都花了1200元，且他们买的蓝色口罩数量不同，C花了1400元，三种颜色的口罩皆有购买，请问C用于购买白色、蓝色的口罩最多一共花费 元．
【答案】1350
【详解】由题意可得，再由a，b，c均为正整数，且，求出，，则满足条件的有四种情况：①，；②，；③，；④，；设A、B购买红色型号的口罩x包，白色型号的口罩y包，蓝色型号的口罩包，分别列出方程求解讨论即可．
【解答】解：A、B、C三人将a种不同型号的口罩三种颜色的口罩各买一包，共花了（元），即，
∵a，b，c均为正整数，且，
∴，
∴，，即，，
∴有四种情况：①，；②，；③，；④，；
设A、B购买红色型号的口罩x包，白色型号的口罩y包，蓝色型号的口罩包，
①，
整理得，
∵，，且x、y是整数，
∴，
∴C只购买了白色和蓝色口罩，不符合题意；
②，
整理得，
∵，，且x、y是整数，
∴，
∴C只购买了白色和蓝色口罩，不符合题意；
③，
整理得，
∵，，且x、y是整数，
∴，
∴C只购买了白色和蓝色口罩，不符合题意；
④，
整理得，
∵，，且x、y是整数，
∴或或或，
∴当，时，C用于购买白色、蓝色的口罩最多，1400﹣50＝1350（元）；
综上所述：C用于购买白色、蓝色的口罩最多一共花费1350元，
故答案为：1350．
【点睛】本题考查二元二次方程的实际应用，能够理解题意，根据题意列出方程，根据所给的取值范围，求解不定方程是解题的关键．
11．一组数据的平均数为5，方差为16，n是正整数，则另一组数据的标准差是 ．
【答案】12
【分析】本题主要考查了求平均数、标准差、方差的方法，理解并掌握平均数、标准差和方差的定义是解题关键．方差和标准差的关系．标准差是方差的平方根．
分别列出二组数据的平均数和方差的数学式子，进行对比容易得出方差，即可求出结果．
【详解】解：根据题意，数据的平均数为5，方差为16，
即，
，
则的平均数
，
另一组数据的方差
，
∴标准差．
故答案为：12．
12．已知关于x的函数，y的最大值为4，则a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的最值．通过转化得到，即，根据，推出，据此求解即可．
【详解】解：由题意得，
即，
∴，即，
又∵，
∴，即，
∵，
∴，
解得，
故答案为：．
13．矩形中，，，E、F分别是边、上的动点，且，连接，以为边构造正方形．当点F从C运动到B点的过程中，H运动的路径长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了矩形的判定和性质，正方形的性质，坐标与图形，全等三角形的判定和性质，一次函数的应用，适当建立直角坐标系，利用数形结合的思想解决问题是关键．
以B为原点，、所在的直线分别为轴、轴建立坐标系，设，则，过点作于M，过点作于N，根据正方形的性质，易证，得出，即H的运动轨迹为直线，再由得到两个端点坐标，根据坐标两点的距离公式求解即可．
【详解】解：如图，以B为原点，、所在的直线分别为轴、轴建立坐标系，
则，，，
设，则，
过点作于M，过点作于N，
则，四边形是矩形，
∴，，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，即，
，
∴H的运动轨迹为直线，
∵，
∴当时，，当时，，
∴H运动的路径长为，
故答案为：
14．（1）已知关于的一元二次方程有两个根，，且满足．记，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，不等式的性质，由根和系数的关系可得，，，得到，由可得，即得到，即可求解，掌握一元二次方程根和系数的关系是解题的关键．
【详解】解：由根和系数的关系可得，，，
∴，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
即，
故答案为：．
（2）如图，点O是△ABC的内心，AO的延长线交△ABC的外接圆于点D，交BC于点E，设＝a，则＝ ．（用含a的代数式表示）
【答案】
【分析】过点O作OF∥BD交AB于点F，连接BD，通过三角形内心的性质可得出∠FAO=∠EAC，然后证明△FBO≌△EBO，然后根据成比例线段的性质，根据＝a，得出，BF=BE，，从而得到＝．
【详解】解：过点O作OF∥BD交AB于点F，连接BD，
∴∠AOF=∠ADB=∠ACE，
∵点O是△ABC的内心，
∴∠FAO=∠EAC，
∴∠AFO=180°-∠FAO-∠AOF=180°-∠EAC-∠ACE=∠AEC，
∴∠BFO=∠BEO，
在△FBO和△EBO中，
，
∴△FBO≌△EBO（AAS），
∴OF=OE，BF=BE，
∵∠OBD=∠OBE+∠CBD=∠ABO+∠CAD，
∠OBD=∠ABO+∠BAO=∠BOD，
∴OD=OB，
∴，
∴，
∴，
∵∠BAE=∠OAE，
∴，
∴，
∵＝a，
∴，
∴，
∵BF=BE，
∴，
∴＝．
故答案为．
【点睛】本题考查了三角形的内心的性质，成比例线段的性质，全等三角形的判定与性质，圆周角定理．关键是成比例线段的性质的应用．
三、解答题（本大题共6个小题，第15题10分，第16，17，18题各12分，第19，20题各14分，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．计算:
(1)计算：
(2)化简求值，其中。
【答案】(1)-2
(2)，
【分析】（1）结合零指数幂的意义和绝对值的意义等知识，先求出每一部分的值，再求和即可得解；
（2）先算括号内的加法，把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出即可．
【详解】（1）
；
（2）
，
将代入，
得：原式．
【点睛】本题考查了分式的混合运算和求值，零指数幂、绝对值的意义、二次根式等知识点，能求出每一部分的值是解（1）的关键，能熟练地运用法则进行化简是解（2）的关键，注意运算顺序．
16．如图，在的方格纸中，有，仅用无刻度的直尺，分别按要求作图：
(1)在图1中，找到一格点，使与全等；
(2)在图2中，在上找一点，使得．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查作图—应用与设计作图，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）构造平行四边形即可；
（2）取格点，，连接交于点，连接即可（利用相似三角形的性质,证明:）．
【详解】（1）解：如图1中，点即为所求；
（2）如图2中，点即为所求．
17．已知关于的一元二次方程．
(1)求证：方程有两个不相等的实数根；
(2)若的两边，的长是这个方程的两个实数根，第三边的长为，当是直角三角形时，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)或
【分析】本题考查了根的判别式、三角形三边关系以及勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键；
（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出，进而可证出方程有两个不相等的实数根；
（2）利用因式分解法可求出，的长，分为直角边及为斜边两种情况，利用勾股定理可得出关于的一元一次方程或一元二次方程，解之即可得出值，取其正值（利用三角形的三边关系判定其是否构成三角形）即可得出结论．
【详解】（1）证明：，
方程有两个不相等的实数根．
（2）解：，
即，
解得：，．
当为直角边时，，
解得：；
当为斜边时，，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：的值为或
18．为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩．如图，在侧面示意图中，遮阳篷长为5米，与水平面的夹角为，且靠墙端离地高为4米，当太阳光线与地面的夹角为时，
(1)求点与的水平距离的长；
(2)求阴影的长．（结果都精确到米；参考数据：，，）
【答案】(1)米
(2)米
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的性质和判定，等腰三角形的判定，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．
（1）根据余弦的定义求解即可；
（2）过A作于K，根据正弦的定义求出，再证明是矩形，可得，再证明是等腰三角形，可得，进而可求．
【详解】（1）解：由题意知：，，
，
在中，米，
点与的水平距离的长为米；
（2）解：过A作于K，则，
在中，米，
米，
，
四边形是矩形，
米，米，
由题意知：，
，
米，
米，
阴影的长为米．
19．如图，在平面直角坐标系内，已知，．
(1)点的坐标为（____，____）；
(2)将绕点顺时针旋转度．
①当时，点恰好落在反比例函数的图象上，求的值；
②在旋转过程中，点、能否同时落在上述反比例函数的图象上？若能，求出的值；若不能，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)①；②当时，、能同时落在上述反比例函数的图象上．
【分析】（1）作轴于点，在直角中，利用三角函数即可求得、的长度，则的坐标即可求解；
（2）①当时，点的位置与一定关于轴对称，在的坐标可以求得，利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式；
②当时，旋转后点的横纵坐标正好互换，则一定都在反比例函数的图象上．
【详解】（1）解：如图，作轴于点，
在直角中，，
则，，
则的坐标是，
故答案为：，；
（2）解：①当时，的坐标与一定关于轴对称，则旋转后的点．
把代入函数解析式得：；
②当时，旋转后点，点，
，
当，、能同时落在上述反比例函数的图象上．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，图形的旋转，三角函数的综合应用，坐标与图形等，正确求得点的坐标是关键．
20．如图1， 中，，，以为直径的交于点，是的中点，连结．
(1)求证：是的切线；
(2)如图2，过点作的平行线交于点．
①求的长；
②如图3，点在线段上，连结交并延长交于点，当时，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)①；②
【分析】（1）连接、、，利用圆周角定理，直角三角形性质，以及等腰三角形性质得到，，再利用等量代换得到，即可证明是的切线；
（2）①连结，利用勾股定理求出，利用解直角三角形得到，由（1）可知，结合等腰三角形性质和等量代换得到，再结合等腰三角形性质得到，最后根据求解，即可解题；
②过点作于，连结，结合题意得到，利用解直角三角形得到，，进而得到，，连结， 证明，利用相似三角形性质求解，即可解题．
【详解】（1）证明：如图，连接、、，
是圆的直径，
.
是斜边的中点，
.
，
而，
，
，
又是的半径，
是的切线；
（2）解：①连结，
，，
，
而，解得.
，
，
由（1）可知，
，
，
.
又，
，
．
②过点作于，连结，，
，
，
在中，，
，，
，
，
，，
.
.
连结，
，，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了圆周角定理，直角三角形性质，全等三角形性质和判定，切线的判定，勾股定理，解直角三角形，等腰三角形性质，相似三角形性质和判定，解题的关键在于熟练掌握相关知识．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
