人教A版（2019）必修第一册 第三章 函数概念与性质 第六次周清 函数的基本性质A卷（含答案）

中小学教育资源及组卷应用平台
第六次周测　函数的基本性质
A卷　基础练
测试时间：120分钟　满分：150分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.
如图是函数y＝f的图象，则函数f的单调递减区间为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A． B．
C． D．
2．若f(x)＝x(x＋1)(x＋a)(a∈R)为奇函数，则a的值为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　
A．－1 B．0 C．1 D．－1或1
3．已知f(x)是R上的偶函数，在(－∞，0]上单调递增，且f(2)＝0，则下列不等式成立的是(　　)
A．0C．f(－3)4．函数y＝在区间上的值域为(　　)
A．
B．
C．∪
D．
5．已知函数f(x)＝x2－2x在区间[－1，t]上的最大值为3，则实数t的取值范围是(　　)
A．(1，3] B．[1，3]
C．[－1，3] D．(－1，3]
6．已知图1对应的函数为y＝f(x)，则图2对应的函数是(　　)
A．y＝f(－|x|) B．y＝f(－x)
C．y＝f(|x|) D．y＝－f(－x)
7．已知偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝，则f(x－1)<1的解集为(　　)
A. B．
C. D．∪
8．已知函数f(x)＝且f(x)在定义域上是单调函数，则实数t的取值范围为(　　)
A．(－∞，－1] B．(1，5)
C．(－1，2) D．(－1，＋∞)
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分．若只有2个正确选项，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分．
9．已知f(x)，g(x)都是定义在R上且不恒为0的函数，则(　　)
A．y＝f(x)＋f(－x)为偶函数
B．y＝g(x)－g(－x)为奇函数
C．若f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，则y＝g(f(x))为奇函数
D．若f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，则y＝f(x)·g(x)为非奇非偶函数
10.
函数s＝f(t)的图象如图所示(图象与t轴正半轴无限接近，但永不相交)，则下列说法正确的是(　　)
A．函数s＝f(t)的定义域为[－3，－1]∪[0，＋∞)
B．函数s＝f(t)的值域为(0，5]
C.当s∈[2，4]时，有三个不同的t值与之对应
D．当t1，t2∈(0，1)(t1≠t2)时，>0
11．若函数f(x)在定义域内的某区间M是增函数，且在M上是减函数，则称f(x)在M上是“弱增函数”，则下列说法正确的是(　　)
A．若f(x)＝x2，则不存在区间M使f(x)为“弱增函数”
B．若f(x)＝x＋，则存在区间M使f(x)为“弱增函数”
C．若f(x)＝x3＋x，则f(x)为R上的“弱增函数”
D．若f(x)＝x2＋(4－a)x＋a在区间(0，2]上是“弱增函数”，则a＝4
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知函数f(x)＝mx2＋nx＋2(m，n∈R)是定义在[2m，m＋3]上的偶函数，则m＋n＝________．
13．函数f(x)的定义域为D，给出下列两个条件：
①对任意x1，x2∈D，当x1≠x2时，总有f(x1)≠f(x2)；
②f(x)在定义域内不是单调函数．
请写出一个同时满足条件①②的函数f(x)，则f(x)＝________．
14.已知函数f(x)满足f(x)＋2f(－x)＝6x2－4x＋12，则f(x)＝________；若函数g(x)＝8x2 ＋16x－m，对任意x∈[－3，3]，f(x)≥g(x)恒成立，则实数m的取值范围是________．(本题第一空2分，第二空3分)
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(13分)已知函数f(x)＝x2－2x＋2.
(1)画出f(x)的图象，并根据图象写出f(x)的单调递增区间和单调递减区间．
(2)当x>0时，求函数y＝的最小值，并求y取最小值时x的值．(结果保留根号)
16．(15分)已知函数f(x)＝ 2x2＋(x－a)2.
(1)若f(x＋1)为偶函数，求a的值；
(2)若f(x)在[0，1]上有最小值9，求a的值．
17．(15分)定义在R上的函数f＝满足f＝0，且当x≠0时，f＝－f.
(1)求a，b的值，并判断函数f的奇偶性；
(2)判断并用定义证明函数f在上的单调性．
18．(17分)(2024·安徽芜湖一中高一检测)已知f(x)是(0，＋∞)上的增函数，对一切正数x，y都有f(xy)＝f(x)＋f(y)成立，且f(3)＝1.
(1)求f(1)和f(81)的值；
(2)若f(x)＋f(x－8)≤2，求x的取值范围．
19．(17分)(2024·辽宁沈阳二中月考)喷绘在商业广告、宣传等领域应用广泛，喷绘画面是使用喷绘机打印出来的，喷绘机工作时相当于一条直线(喷嘴)连续扫过一张画布．一家广告公司在一个等腰梯形OABC的画布上使用喷绘机印刷广告，画布的底角为45°，上底长2米，下底长4米，如图所示，记梯形OABC位于直线x＝t(0(1)试求函数f(t)的解析式；
(2)定义“”为“平均喷绘率”，求g(t)＝的峰值(即最大值).
第六次周测　函数的基本性质
A卷　基础练
1．C　[根据题意，结合函数图象可得函数f的单调递减区间为：.]
2．A　[由题意知f(－x)＝(－x)(－x＋1)(－x＋a)＝－f(x)＝－x(x＋1)(x＋a)，所以(－x＋1)(－x＋a)＝(x＋1)(x＋a)，即x2－(a＋1)x＋a＝x2＋(a＋1)x＋a，所以a＋1＝0，则a＝－1.故选A.]
3．B　[因为f(x)是R上的偶函数，在(－∞，0]上单调递增，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减，f(－3)＝f(3).又因为f(2)＝0，1<2<3<5，所以f(1)>f(2)>f(3)>f(5)，即f(5)4．D　[函数y＝＝1＋，易得函数在上单调递减，在上单调递减，
当x＝2时，y＝－3；当x＝4时，y＝5；所以函数的值域为∪.]
5．D　[函数f(x)＝x2－2x图象的对称轴为直线x＝1，开口向上，且f(－1)＝3.因为函数f(x)＝x2－2x在区间[－1，t]上的最大值为3，且f(3)＝9－6＝3，所以实数t的取值范围是(－1，3].故选D.]
6．A　[根据函数图象知，当x≤0时，所求函数图象与已知函数图象相同，又所求函数图象关于y轴对称，所以所求函数为偶函数，且x≤0时与y＝f(x)相同，故B，D不符合要求．当x≤0时，y＝f(－|x|)＝f(x)，y＝f(|x|)＝f(－x)，故A正确，C错误．故选A.]
7．D　[由题意得f(x)＝＝－1＋在[0，＋∞)上单调递减，且f＝1.因为f(x－1)<1＝f，f(x)为偶函数，所以|x－1|>，解得x>或x<.故选D.]
8．A　[由于函数y＝x＋1在定义域上单调递增，所以函数f(x)在定义域上是单调递增函数．当t＝0时，函数f(x)＝在定义域上不单调，不符合题意；当t≠0时，函数y＝ tx2＋x＋2图象的对称轴为x＝－，当t>0时，函数y＝tx2 ＋x＋2在区间上单调递减，不符合题意，当t<0时，函数y＝tx2＋x＋2在区间上单调递增，要使函数f(x)在定义域上单调递增，则需t＋1≥t3＋t＋2，即t3≤－1，解得t≤－1.故实数t的取值范围为(－∞，－1].故选A.]
9．AB　[设h(x)＝f(x)＋f(－x)，因为f(x)定义在R上，所以h(x)的定义域为R，h(－x)＝f(－x)＋f(x)＝h(x)，所以h(x)为偶函数，故A正确；设t(x)＝g(x)－g(－x)，因为g(x)定义在R上，所以t(x)的定义域为R，t(－x)＝g(－x)－g(x)＝－[g(x)－g(－x)]＝－t(x)，所以t(x)为奇函数，故B正确；设m(x)＝g(f(x))，因为f(x)，g(x)都定义在R上，所以m(x)定义域为R，因为f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，所以m(－x)＝g(f(－x))＝g(－f(x))＝g(f(x))＝ m(x)，所以m(x)为偶函数，故C错误；设n(x)＝f(x)·g(x)，因为f(x)，g(x)都定义在R上，所以n(x)定义域为R，n(x)＋n(－x)＝f(x)·g(x)＋f(－x)·g(－x)＝f(x)·g(x)－f(x)·g(x)＝0，所以n(x)是奇函数，故D错误，故选AB.]
10．ABD　[由函数图象可知，函数s＝f(t)的定义域为[－3，－1]∪[0，＋∞)，值域为(0，5]，故A，B正确；当s∈[2，4)时，有三个不同的t值与之对应，当s＝4时，有两个不同的t值与之对应，故C错误；因为函数s＝f(t)在(0，1)上单调递增，所以当t1，t2∈(0，1)(t1≠t2)时，>0，故D正确．故选ABD.]
11．ABD　[f(x)＝x2在[0，＋∞)上为增函数，y＝＝x在定义域内的任何区间上都是增函数，故不存在区间M使f(x)＝x2为“弱增函数”，A正确；f(x)＝x＋在[1，＋∞)上为增函数，y＝＝1＋与在[1，＋∞)上为减函数，故存在区间M使f(x)＝x＋“弱增函数”，B正确；f(x)＝x3＋x为奇函数，且x≥0时，f(x)＝x3＋x为增函数，由奇函数的对称性可知，f(x)＝x3＋x为R上的增函数，y＝＝x2＋1为偶函数，其在x≥0时为增函数，在x<0时为减函数，故f(x)＝x3＋x不是R上的“弱增函数”，C错误；若f(x)＝x2＋(4－a)x＋a在区间(0，2]上是“弱增函数”，则f(x)＝x2＋(4－a)x＋a在(0，2]上为增函数，所以－≤0，解得a≤4，又y＝＝x＋(4－a)＋在(0，2]上为减函数，由对勾函数的单调性可知，≥2，则a≥4，综上a＝4，D正确，故选ABD.]
12．[解析]　函数f(x)＝ mx2＋nx＋2(m，n∈R)是定义在[2m，m＋3]上的偶函数，故f(－x)＝f(x)，mx2－nx＋2＝mx2＋nx＋2，即2nx＝0，n＝0，且2m＋m＋3＝0，即m＝－1，所以m＋n＝－1.
[答案]　－1
13．[解析]　易知f(x)＝满足对任意x1，x2∈D，当x1≠x2时，总有f(x1)≠f(x2)，且f(x)＝在其定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)上不单调．
[答案]　
14．[解析]　由f(x)＋2f(－x)＝6x2－4x＋12，将原式中的x代换成－x得f(－x)＋2f(x)＝6x2＋4x＋12，
则联立，消去f(－x)得f(x)＝2x2＋4x＋4.由f(x)≥g(x)，得2x2＋4x＋4≥8x2＋16x－m，即m≥6x2＋12x－4对任意x∈[－3，3]恒成立，∴m≥(6x2＋12x－4)max，x∈[－3，3]，当x＝3时，6x2 ＋12x－4取得最大值86.
∴实数m的取值范围为[86，＋∞).
[答案]　2x2＋4x＋4　[86，＋∞)
15．[解]　(1)函数f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2 ＋1，图象如图所示：
f(x)的单调递增区间为[1，＋∞)，f(x)的单调递减区间为( －∞，1].(注：写成(1，＋∞)，(－∞，1)也可以)
(2)当x>0时，y＝＝＝x＋－2≥2－2，当且仅当x＝时等号成立，
∴y＝的最小值为2－2，y取最小值时x＝.
16．[解]　(1)由题意，函数f(x)＝ 2x2＋(x－a)2＝3x2－2ax＋a2，可得其图象的对称轴方程为x＝.
因为函数f(x＋1)为偶函数，所以二次函数f(x)图象的对称轴为x＝1，所以＝1，解得a＝3.
(2)由(1)知，函数f(x)＝3x2－2ax＋a2，其图象的对称轴方程为x＝.
①当<0，即a<0时，函数f(x)在[0，1]上为增函数，
所以f(x)min＝f(0)＝a2＝9，解得a＝－3；
②当0≤≤1，即0≤a≤3时，函数f(x)在上单调递减，上单调递增，
所以f(x)min＝f＝a2＝9，此时方程无解；
③当>1，即a>3时，函数f(x)在[0，1]上为减函数，
所以f(x)min＝f(1) ＝3－2a＋a2 ＝9，解得a＝1＋或a＝1－(舍去).
综上所述，满足条件的a的值为－3或1＋.
17．[解]　(1)∵f＝＝0，
∴a＝1，f＝，
又f＝－f，即＝，∴b＝1，
∴f＝，其定义域为R，
且满足f＝f，∴函数f为偶函数．
(2)函数f＝1－在上单调递增．
证明如下：令0∴f－f＝－
＝<0，
∴f∴f＝1－在上单调递增．
18．[解]　(1)令x＝3，y＝1，则f(3)＝f(3)＋f(1) f(1)＝0.
令x＝y＝3，则f(9)＝2f(3)＝2，
又令x＝y＝9，则f(81)＝2f(9)＝4.
故f(1)＝0，f(81)＝4.
(2)由题意及(1)，得f(x)＋f(x－8)≤2 f(x2－8x)≤f(9)，
结合f(x)的单调性及定义域，则 819．[解]　(1)由题意知梯形OABC的高为1米，
当0当1当3综上所述，f(t)＝.
(2)g(t)＝＝.
当0当1当3因为3故g(t)max＝g()＝4－.
因为4－>>，所以g(t)的峰值为4－.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)