人教A版（2019）必修第一册 第三章 函数概念与性质 第六次周清 函数的基本性质B卷（含答案）

中小学教育资源及组卷应用平台
第六次周测　函数的基本性质
B卷　能力提升
测试时间：120分钟　满分：150分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设函数f(x)(x∈R)为奇函数，f(1)＝，f(x＋3)＝f(x)＋f(1)，则f(6)＝(　　)
A．0 B．1 C． D．6
2．“a＝4”是“y＝x2－ax＋1在(2，＋∞)上单调递增”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C.充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．若函数f(x)的值域是，则函数F(x)＝f(x)＋的最大值是(　　)
A．3 B． C． D．5
4．函数f(x)＝的图象大致为(　　)
5．已知f是定义在R上的偶函数，且在区间上单调递减，则不等式f>f的解集为(　　)
A．∪
B．
C．
D．∪
6．函数f(x)＝x3＋x＋－8(a∈R)在区间[m，n]上的最大值为10，则函数f(x)在区间[－n，－m]上的最小值为(　　)
A．－10 B．－8
C．－26 D．与a有关
7．已知定义在R上的函数f(x)的图象是连续不断的，且满足以下条件：① x∈R，f(－x)＝f(x)；② x1，x2∈(0，＋∞)，当x1≠x2时，>0.记a＝f(1)，b＝，c＝，则(　　)
A.cC．c8．已知函数f(x)，g(x)都是定义域为R的函数，函数g(x－1)为奇函数，f(1＋x)－g(x)＝0，f(3－x)－g(－2－x)＝0，则f(2)＝(　　)
A．－1 B．2 C. 1 D．0
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分．若只有2个正确选项，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分．
9．关于函数y＝，下列说法正确的是(　　)
A．在区间[－1，0]上单调递减
B．单调递增区间为[－3，－1]
C．最大值为2
D．没有最小值
10．若定义域为R的函数f满足f为奇函数，且对任意x1，x2∈[1，＋∞)，都有>0，则下列结论正确的是(　　)
A.f的图象关于点对称
B．f在R上是增函数
C．f＋f＝2
D．关于x的不等式f<0的解集为
11．已知函数f(x)对任意x，y∈R都有f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，且f(0)≠0.则下列结论正确的是(　　)
A．f(x)为偶函数
B．若f(π)＝0，则f(2π)＝0
C．f(2x)＝f2(x)－2
D．若f(1)＝0，则f(x＋4)＝f(x)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．若函数f(x)＝x2－kx－3在区间[4，7]上是减函数，则实数k的取值范围是________．
13．写出一个满足f(x－1)为偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增的函数f(x)＝________．
14．设函数f(x)＝，区间M＝[a，b](a四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(13分)(1)如图①，给出奇函数y＝f(x)的局部图象，试作出y轴右侧的图象并求出f(3)的值；
(2)如图②，给出偶函数y＝f(x)的局部图象，试作出y轴右侧的图象并比较f(1)与f(3)的大小．
16．(15分)某开发商计划2024年在某湿地景区开发新的游玩项目，全年需投入固定成本400万元，若该项目在2024年有x万名游客，则需另投入成本R(x)万元，且R(x)＝.
已知该游玩项目的每张门票售价为80元．
(1)求2024年该项目的利润W(x)(万元)关于游客数量x(万人)的函数关系式(利润＝销售额－成本)；
(2)当2024年游客数量为多少时，该项目所获利润最大？最大利润是多少？
17．(15分)函数f(x)＝是定义在(－3，3)上的奇函数，且f(1)＝.
(1)确定f(x)的解析式；
(2)判断f(x)在(－3，3)上的单调性，并用定义证明．
18．(17分)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，f(0)＝，f(1)＝1，且其图象对称轴为x＝－1.
(1)求二次函数f(x)的解析式；
(2)若函数g(x)＝4f(x)－x＋|x－λ|的最小值为2，求实数λ的值．
19．(17分)已知函数f(x)定义域为R，且函数f(x)同时满足下列3个条件：①对任意的实数x，y，f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2恒成立；②当x>0时，f(x)<－2；③f(1)＝－3.
(1)求f(0)及f(－1)的值；
(2)求证：函数f(x)是R上的减函数；
(3)若f－2f>2，求实数t的取值范围．
第六次周测　函数的基本性质
B卷　能力提升
1．B　[f(6)＝f(3)＋f(1)＝f(0)＋f(1)＋f(1)＝0＋＋＝1.故选B.]
2．A　[若函数y＝x2－ax＋1在(2，＋∞)上单调递增，则≤2，∴a≤4，∴“a＝4”是“y＝x2－ax＋1在(2，＋∞)上单调递增”的充分不必要条件，故选A.]
3．B　[令f(x)＝t，y＝t＋，则t∈.当t∈时，y＝t＋单调递减，当t∈[1，3]时，y＝t＋单调递增，又当t＝时，y＝，当t＝3时，y＝，所以函数F(x)的最大值为.故选B.]
4．A　[函数f(x)＝的定义域为{x|x≠0}，且f(－x)＝＝＝f(x)，所以f(x)是偶函数，图象关于y轴对称，故排除B，C；当x>0时，f(x)＝＝x－，在(0，＋∞)上单调递增，排除D.故选A.]
5．A　[因为f是定义在R上的偶函数，所以f>f，
又因为f在区间上单调递减，所以<，即<，于是有3x2＋6x>0，解得x<－2或x>0，故不等式f>f的解集为∪.]
6．C　[设g(x)＝x3＋x＋，则f(x)＝g(x)－8，即g(x)＝f(x)＋8，故g(x)在区间[m，n]上的最大值为g(x)max＝f(x)max＋8＝18，又g(－x)＝－g(x)，即g(x)是奇函数，图象关于原点中心对称，所以g(x)在区间[－n，－m]上的最小值为g(x)min＝－18＝f(x)min＋8，故f(x)在区间[－n，－m]上的最小值为f(x)min＝－26.故选C.]
7．B　[依题意， x1，x2∈(0，＋∞)，x1≠x2，>0 >0，所以函数在(0，＋∞)上单调递增．又 x∈R，f(－x)＝f(x)，所以函数f(x)是R上的偶函数，所以＝.显然有<<，所以a8．D　[由函数g(x－1)为奇函数，得g(x)的图象关于点(－1，0)对称，所以g(x)＋g(－2－x)＝0，而f(3－x)－g(－2－x)＝0，所以f(3－x)＋g(x)＝0，又f(1＋x)－g(x)＝0，可得f(1＋x)＋f(3－x)＝0，令x＝1，得f(2)＋f(2)＝0，则f(2)＝0.故选D.]
9．ABC　[由4－(x＋1)2≥0得－3≤x≤1，即函数y＝的定义域为[－3，1]，令t＝4－(x＋1)2，则t＝4－(x＋1)2的图象是开口向下，对称轴为x＝－1的抛物线，所以函数t＝4－(x＋1)2在[－3，－1]上单调递增，在[－1，1]上单调递减，又y＝显然单调递增，所以y＝在[－3，－1]上单调递增，在[－1，1]上单调递减，故A，B正确；ymax＝＝2，当x＝－3时，y＝＝0，当x＝1时，y＝＝0，则ymin＝0，故C正确，D错误．故选ABC.]
10．BD　[由定义域为R的函数f满足f为奇函数，得f(－x＋1)＝－f(x＋1)，
因此函数f关于对称，由对任意x1，x2∈[1，＋∞)，都有>0，
得f在上递增，由函数的对称性知，f在(－∞，1]上递增，因此f在R上是增函数，B正确；
显然f(－1)由f关于对称，得f＋f＝0，C错误；
显然f＝0，又f在R上单调递增，则由f<0，得x<1，D正确．]
11．ACD　[因为函数f(x)对任意x，y∈R都有f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，且f(0)≠0，所以令x＝y＝0可得f(0)＋f(0)＝f2(0)，所以f(0)＝2.令x＝0可得f(y)＋f(－y)＝f(0)f(y)＝2f(y)，所以f(y)＝f(－y)，所以f(x)为偶函数，故A正确；令x＝y＝π可得f(2π)＋f(0)＝f(π)·f(π)，所以f(2π)＝－2，故B错误；令y＝x可得f(2x)＝f2(x)－2，故C正确；令y＝1可得f(x＋1)＋f(x－1)＝f(x)·f(1)＝0，所以f(x＋1)＝ －f(x－1)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2) ＝f(x)，故D正确．故选ACD.]
12．[解析]　函数f(x)＝x2－kx－3图象的对称轴为直线x＝，开口向上，又函数f(x)在[4，7]上单调递减，所以≥7，解得k≥14，即k∈[14，＋∞).
[答案]　[14，＋∞)
13．[解析]　f(x－1)为偶函数，故f(－x－1)＝f(x－1)，故f(x)图象的对称轴为x＝－1.取f(x)＝|x＋1|，f(x)的图象关于x＝－1对称，当x>0时，f(x)＝x＋1，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
[答案]　|x＋1|(答案不唯一)
14．[解析]　f(x)＝＝，当x≥0时，f(x)＝＝2－显然单调递增，当x<0时，f(x)＝＝－2＋显然单调递增，因此函数f(x)在R上单调递增，所以当x∈M＝[a，b]时，其值域为N＝[f(a)，f(b)]＝，由M＝N可得，由＝a可得a＝0或a＝±1；同理b＝0或b＝±1.因为a[答案]　3
15．[解]　(1)奇函数y＝f(x)在y轴左侧图象上任一点P(－x，f(－x))关于原点的对称点为P′(x，－f(－x))，图a为图①补充后的图象，易知f(3)＝－2.
(2)偶函数y＝f(x)在y轴左侧图象上任一点P(－x，f(－x))关于y轴的对称点为P′(x，f(－x))，图b为图②补充后的图象，易知f(1)>f(3).
　
16．[解]　(1)由题意可得，
W(x)＝，
即W(x)＝.
(2)当0当5当x>20时，由基本不等式知x＋≥80，当且仅当x＝，即x＝40时等号成立，故W(x)≤W(40)＝－80＋450＝370.
综上，游客数量为40万人时利润最大，最大利润为370万元．
17．[解]　(1)由函数f(x)＝是定义在(－3，3)上的奇函数知f(0)＝＝0，解得b＝0.
经检验，当b＝0时，f(x)＝是(－3，3)上的奇函数，满足题意．
又f(1)＝＝，解得a＝1，
故f(x)＝，x∈(－3，3).
(2)f(x)在(－3，3)上为增函数．证明如下：
在(－3，3)内任取x1，x2且x1因为x2－x1>0，9＋x1x2>0，9－x>0，9－x>0，
所以f(x2)－f(x1)>0，
即f(x2)>f(x1)，
所以f(x)在(－3，3)上为增函数．
18．[解]　(1)因为y＝f(x)图象的对称轴是x＝－1，f(0)＝，f(1)＝1，所以，解得，所以函数f(x)＝x2＋x＋.
(2)由题意g(x)＝x2＋x＋1＋|x－λ|＝，
①当λ≤－1时，g(x)min＝g(－1)＝－λ＝2，解得λ＝－2；
②当－1<λ≤0时，g(x)min＝g(λ)＝λ2＋λ＋1＝2，λ＝，不符合题意，舍去；
③当λ>0时，g(x)min＝g(0)＝λ＋1＝2，解得λ＝1.
综上所述，实数λ＝－2或1.
19．[解]　(1)当x＝y＝0时，由题意得f(0＋0)＝f(0)＋f(0)＋2，解得f(0)＝－2，
当x＝1，y＝－1时，由题意f(1－1)＝f(1)＋f(－1)＋2，解得f(－1)＝－1.
(2)证明：任取x1>x2，且x1－x2＝m，则m>0，f(m)<－2，所以f(x2＋m)＝f(x2)＋f(m)＋2，即f(x1)＝f(x2)＋f(m)＋2，所以f(x1)－f(x2)＝f(m)＋2<－2＋2＝0，即f(x1)(3)令y＝x，由f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2可得f(2x)＝2f(x)＋2，
所以f(3t－2)＝2f＋2，
又因为f－2f>2，所以f>f(3t－2)，
由(2)可知f(x)是R上的减函数，所以t2<3t－2，解得t∈(3－，3＋).
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)