人教A版（2019）必修第一册 第三章 函数概念与性质 第五次周清 函数的概念及其表示（含答案）

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第五次周测　函数的概念及其表示
测试时间：120分钟　满分：150分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．函数f(x)＝－(x－3)0的定义域是(　　)
A．[2，＋∞) B．(2，＋∞)
C．(2，3)∪(3，＋∞) D．[3，＋∞)
2．下列各式为y关于x的函数解析式的是(　　)
A．|y|＝x－(x－3) B．y＝＋
C．y＝ D．y＝
3．下列图形经过旋转后可以看成函数图象的是(　　)
4．下列各组函数表示同一函数的是(　　)
A．f＝x，g(x)＝
B．f＝1，g(x)＝x0
C．f(x)＝，g(x)＝()2
D．f＝x＋1，g(x)＝
5．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＋2f(1－x)＝x2＋1，则f(0)＝(　　)
A．1 B．－1 C．－ D．
6．已知函数f满足f＝f＋f－1，且x，y∈，则f＋f＋f＋f＋f＝(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　
A．0 B．1 C．5 D．
7.
若函数f(x)＝的部分图象如图所示，则f(5)＝(　　)
A．－ B．－ C．－ D．－
8．定义min{a，b}＝，若函数f(x)＝min{x2－3x＋3，－|x－3|＋3}，且f(x)在区间[m，n]上的值域为，则区间[m，n]长度的最大值为(　　)
A．1 B． C． D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分．若只有2个正确选项，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分．
9.
某打车平台欲对收费标准进行改革，现制定了甲、乙两种方案供乘客选择，车费y(单位：元)与路程x(单位：km)的函数关系大致如图所示，则下列说法正确的是(　　)
A．当路程为8 km时，乘客选择甲方案省钱
B．当路程为10 km时，乘客选择甲、乙方案均可
C．当路程大于3 km时，每千米增加的车费甲方案比乙方案多
D．甲方案路程3 km内(含3 km)车费为5元，路程大于3 km每增加1 km车费增加0.7元
10．已知函数f(x)＝，关于函数f(x)的结论正确的是(　　)
A．f(x)的定义域为R
B．f(x)的值域为(－∞，4]
C．若f(x)＝2，则x的值是－
D．f(x)<1的解集为(－1，1)
11．已知函数f(x)定义域为R，且f(x)＝x3f(x∈∪)，f＋f＋xy＝f，则下列说法正确的是(　　)
A．f(0)＝0
B．f(3)＝3
C．f(x)－f(－x)＝x(x≠0)
D．f(x)＝
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知f(2x)＝x2－x＋3，则f(－2)＝________．
13．已知定义在R上的函数f(x)不是常函数，且同时满足：①f(x)的图象关于x＝2对称；②对任意x1∈R，均存在x2∈R使得f(x1)＝2f(x2)成立．则函数f(x)＝________．(写出一个符合条件的答案即可)
14．函数f(x)＝，则f(f(0))＝________，使得f(a)≥4a的实数a的取值范围是________．(本题第一空2分，第二空3分)
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(13分)已知函数f(x)＝3x2 －5x＋2.
(1)求函数f(x)的定义域和值域；
(2)分别求f(3)，f(a)，f(x＋1).
16．(15分)从商业化书店到公益性城市书房，再到“会呼吸的文化森林”——图书馆．建设高水平、现代化、开放式的图书馆一直以来是大众的共同心声．现有一块不规则的地，其平面图形如图1所示，AC＝8，建立如图2所示的平面直角坐标系，将曲线AB看成函数f(x)＝k图象的一部分，BC为一次函数y＝－x＋b图象的一部分．
(1)求k的值；
(2)若在此地块上建一座图书馆，其平面图为直角梯形CDEF(如图2，点D在AC上，点F在BC上，点E在曲线AB上，EF∥CD，ED⊥DC)，求图书馆平面图CDEF周长的最大值．
17．(15分)已知函数f，g满足f＋g＝4x2－2x－1.
(1)求f＋g的值；
(2)若g＝2x，求f的解析式与最小值．
18．(17分)已知函数f(x)＝
(1)求f；
(2)若f(a)＝2，求a的值；
(3)画出f(x)的图象，并写出函数f(x)的值域(直接写出结果即可).
19．(17分)已知函数f(x)＝.
(1)若f(x)的定义域是R，求实数a的取值范围；
(2)若f(x)的值域是(0，＋∞)，求实数a的取值范围．
函数的概念及其表示
1．C　[由，解得x>2且x≠3，
∴函数f(x)＝－(x－3)0的定义域为(2，3)∪(3，＋∞)，故选C.]
2．C　[A项，|y|＝x－(x－3)＝3，定义域为R，定义域内每个值按对应法则不是唯一实数y与之对应，所以不是函数，A项错误；B项，y＝＋，定义域为，无解，所以不是函数，B项错误；C项，y＝，定义域满足R，对于定义域内每一个值都有唯一实数y与之对应，所以是函数，C项正确；D项，y＝，当x＝1时，y有两个值0，1与之对应，所以不是函数，D项错误．故选C.]
3．D　[函数图象满足：自变量在它的允许范围内取定一个值时，在图象上都有唯一确定的点与它对应，选项D中的图形经过旋转后可以看成函数图象，其他三个选项都不满足条件．故选D.]
4．A　[对于A，因g(x)＝＝x，两函数定义域相同，对应法则也相同，故是同一函数，故A正确；
对于B，g(x)＝x0的定义域为{x|x≠0}，而f＝1的定义域为R，故不是同一函数，故B错误；
对于C，f(x)＝的定义域是R，而g(x)＝()2的定义域为[0，＋∞)，故不是同一函数，故C错误；
对于D，f＝x＋1的定义域是R，而g(x)＝的定义域是{x|x≠1}，故不是同一函数，故D错误．]
5．A　[∵f(x)＋2f(1－x)＝x2＋1，
∴当x＝0时，f(0)＋2f(1)＝1　①，当x＝1时，f(1)＋2f(0)＝2　②，②×2－①，得3f(0)＝3，解得f(0)＝1.故选A.]
6．C　[由题意，在f＝f＋f－1中令x＝y＝1，则f＝2f－1，解得f＝1，令y＝，则f＝1＝f＋f－1，则f＋f＝2，所以f＋f＋f＋f＋f＝f＋f＋f＋f＋f＝1＋2＋2＝5.]
7．A　[由题中图象知，ax2＋bx＋c＝0的两根为2，4，且函数f(x)图象过点(3，1)，所以，解得a＝－2，b＝12，c＝－16，所以f(x)＝＝，所以f(5)＝＝－，故选A.]
8.
B　[根据定义作出函数f(x)的图象，如图所示．其中A(1，1)，B(3，3)，即f(x)＝.当f(x)＝时，若x>3或x<1，由3－|x－3|＝，得|x－3|＝，即xC＝，xG＝；若1≤x≤3，由x2－3x＋3＝，得xD＝.当f(x)＝时，若1≤x≤3，由x2－3x＋3＝，得xE＝；若x>3或x<1，由3－|x－3|＝，得xF＝.结合图象知，若f(x)在区间[m，n]上的值域为，则区间[m，n]长度的最大值为xE－xC＝－＝.故选B.
9．ABC　[对于A，当310．BC　[函数f(x)＝的定义域是[－2，＋∞)，故A错误；当－2≤x<1时，f(x)＝x2，值域为[0，4]，当x≥1时，f(x)＝－x＋2，值域为(－∞，1]，故f(x)的值域为(－∞，4]，故B正确；当x≥1时，令f(x)＝－x＋2＝2，无解，当－2≤x<1时，令f(x)＝x2＝2，得到x＝－，故C正确；当－2≤x<1时，令f(x)＝x2<1，解得x∈(－1，1)，当x≥1时，令f(x)＝－x＋2<1，解得x∈(1，＋∞)，故f(x)<1的解集为(－1，1)∪(1，＋∞)，故D错误．故选BC.]
11．AC　[对于A，f(x)＋f＋xy＝f(x＋y)中令x＝y＝0，则f(0)＝0，A正确；
对于B、C、D，再令y＝－x，则f(x)＋f－x2＝f(0)＝0，即f(x)＋f＝x2，　①
所以f(x)＝x3f＝x3
＝x－x3f＝x＋f(－x)，
即f(x)－f(－x)＝x(x≠0)，　②
又因为f(0)＝0也符合上式，C正确；
联立①②，解得 f(x)＝(x∈R)，D错误；f(3)＝6，B错误．]
12．[解析]　f(－2)＝f[2×(－1)]＝(－1)2－(－1)＋3＝5.
[答案]　5
13．[解析]　由对任意x1∈R，均存在x2∈R使得f(x1)＝2f(x2)成立，知函数f(x)的值域为(－∞，0]或(－∞，0)或[0，＋∞)或(0，＋∞)或R，又f(x)的图象关于x＝2对称，∴f(x)＝(x－2)2符合要求．
[答案]　(x－2)2
14．[解析]　f(f(0))＝f(1)＝4.当a<1时，f(a)＝(a＋1)2≥4a，得到a<1；当a≥1时，f(a)＝4－≥4a，得到a＝1，所以a≤1.
[答案]　4　(－∞，1]
15．[解]　(1)函数f(x)＝3x2－5x＋2的定义域为R，
因为f(x)＝3－≥－
所以f(x)的值域为.
(2) f(3)＝3×32－5×3＋2＝14，
f(a)＝3a2－5a＋2，
f(x＋1)＝3(x＋1)2－5(x＋1)＋2＝3x2＋x.
16．[解]　(1)因为BC为一次函数y＝－x＋b，C，则b＝8，
所以BC的函数解析式为y＝－x＋8，所以B，
由图象知，f(x)＝k的图象经过点B，则4＝k·，解得k＝2.
(2)由(1)得，f(x)＝2，BC的函数解析式为y＝－x＋8，
设E，则D，F，
所以＝8－x，＝2，＝8－2－x，＝2·.
设直角梯形CDEF周长为l，所以l＝＋＋＋＝16－2x＋2·，
令＝t，所以l＝16－2x＋2·＝－2t2＋2t＋16＝－2＋17，
所以当t＝，即x＝时，周长l有最大值，最大值为17.
所以图书馆平面图CDEF周长的最大值为17.
17．[解]　(1)因为函数f，g满足f＋g＝4x2－2x－1，
所以当x＝2时，f＋g＝4×22－2×2－1＝11.
(2)由g＝2x，得g＝2x＋2，于是f＋2x＋2＝4x2－2x－1，
即f＝4x2－4x－3＝(2x－1)2－4，因此f(x)＝x2－4，当x＝0时，f(x)min＝－4，
所以f的解析式是f(x)＝x2－4，最小值为－4.
18．[解]　(1)∵函数f(x)＝
∴f＝＋5＝，f＝f＝－2×＋8＝－3.
(2)∵f(x)＝，
∴或或，
解得a＝－1或a＝3.
(3)画出函数f(x)的图象如图所示，
由图可知，f(x)的最大值为f(1)＝6，函数f(x)的值域为(－∞，6].
19．[解]　(1)由题知，f(x)＝的定义域是R，所以ax2＋ax＋1>0恒成立．
当a＝0时，1>0恒成立；
当a≠0时，应满足，解得0综上可得0≤a<4，即实数a的取值范围为[0，4).
(2)由题知，f(x)＝的值域是(0，＋∞)，
令y＝ ax2＋ax＋1，则(0，＋∞)为y＝ax2＋ax＋1值域的子集．
当a＝0时，y＝1，不满足题意；
当a<0时，y＝ax2＋ax＋1的图象开口向下，不满足题意；
当a>0时，应满足，解得a≥4.
综上可得a≥4，即实数a的取值范围为[4，＋∞).
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