人教A版（2019）必修第一册 第三章 函数概念与性质 第七次周清 幂函数、函数的应用(一)（含答案）

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第七次周测　幂函数、函数的应用(一)
测试时间：120分钟　满分：150分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列函数是幂函数的是(　　)
A．y＝2x B．y＝x2－1
C. y＝x3 D．y＝|x|
2．若幂函数f＝xα的图象过点，则f的值为(　　)
A． B． C． D．
3． “a＝1”是“f＝a4xa是幂函数”的(　　)
A．充要条件 B．必要不充分条件
C.充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知幂函数y＝f的图象过点，则f的大致图象为(　　)
5．青花瓷，又称白地青花瓷，常简称青花，是中国瓷器的主流品种之一．如图，往该青花瓷中匀速注水，则水的高度y与时间x的函数图象大致是(　　)
6．在一次数学实践课上，同学们进行节能住房设计，综合分析后，设计出房屋的剖面图(如图所示)，屋顶所在直线对应的函数表达式分别是y＝x＋3和y＝－x＋，为保证采光，竖直窗户的高度设计为1 m，那么点A的横坐标为(　　)
A.5 B．6 C．7 D．8
7．已知幂函数f＝xm－2是R上的偶函数，且函数g＝f－x在区间上单调递减，则实数a的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．∪
8．某公司的收入由保险业务收入和理财业务收入两部分组成．该公司2023年总收入为200亿元，其中保险业务收入为150亿元，理财业务收入为50亿元．该公司经营状态良好、收入稳定，预计每年总收入比前一年增加20亿元．因越来越多的人开始注重理财，公司理财业务发展迅速．要求从2024年起每年通过理财业务的收入是前一年的t倍，若要使得该公司2028年的保险业务收入不高于当年总收入的60%，则t的值至少为(　　)
A． B．
C． D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分．若只有2个正确选项，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分．
9．使函数y＝xα的定义域是R，且为奇函数的α的值可以是(　　)
A．－1 B． C．1 D．3
10．约定：如果一个函数的图象上存在一个点，该点的横坐标和纵坐标相等，那么就称该点为该函数的一个回归点，称该函数是一个具有回归点的函数．如果一个函数有且仅有n个回归点，那么就称该函数为一个具有n个回归点的函数．例如，点(0，0)和(1，1)都是函数y＝x2的回归点，函数y＝x2是一个具有两个回归点的函数．根据约定，下列选项中正确的是(　　)
A.函数y＝x5是一个具有回归点的函数
B．具有回归点的函数有无数个
C．存在无数个具有无数个回归点的函数
D．已知点(a，a)是函数f(x)的一个回归点，则点(2a，2a)也是函数f(x)的一个回归点
11．边际函数是经济学中的一个基本概念，在国防、工程、环保和经济管理等许多领域都有十分广泛的应用，函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf(x)＝f(x＋1)－f(x).某公司每月最多生产75台报警系统装置，生产x台(x∈N*)的收入函数R(x)＝3 000x－20x2，成本函数C(x)＝500x＋4 000，利润是收入与成本之差，设利润函数为P(x)，则(　　)
A．P(x)取得最大值时每月产量为63台
B．边际利润函数的解析式为MP(x)＝2 480－40x(x∈N*且x≤75)
C．利润函数P(x)与边际利润函数MP(x)的最大值不同
D．边际利润函数MP(x)说明随着产量的增加，增加生产一台的利润在减少
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．当α∈R时，函数y＝xα－2的图象恒过定点A，则点A的坐标为________．
13．写出一个具有性质①②③的幂函数f(x)＝________．
①f(x)是偶函数；②f(x)在(－∞，0)上单调递增；③f(ab)＝f(a)·f(b).
14．调查显示，垃圾分类投放可以带来约0.34元/kg的经济效益．为激励居民垃圾分类，某市准备给每个家庭发放一张积分卡，每分类投放1 kg积分1分，若一个家庭一个月内垃圾分类投放总量不低于100 kg，则额外奖励x(x为正整数)分．月底积分会按照0.1元/分进行自动兑换．
①当x＝10时，若某家庭某月垃圾分类投放总量为120 kg，该家庭该月积分能兑换________元；
②为了保证每个家庭每月积分兑换的金额均不超过当月垃圾分类投放带来的收益的40%，则x的最大值为________．(本题第一空2分，第二空3分)
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(13分)为了更好地服务用户，某公司计划下调用户消费资费．已知该公司共有用户10万人，人均月消费50元．经测算，若人均月消费下降x%(0(1)若要保证该公司月总收入不减少，试求x的取值范围；
(2)为了布局“5G网络”，该公司拟投入资金进行5G网络基站建设，投入资金方式为从每位用户月消费中固定划出2元作为基站建设资金，若使该公司月总盈利最大，试求x的值．(月总盈利＝月总收入－月总投入)
16．(15分)已知幂函数f＝xm＋1的图象关于y轴对称．
(1)求m的值及函数f的解析式；
(2)设函数g＝f－4x＋5，求g在区间上的值域．
17．(15分)党的二十大报告明确要求：我们要构建高水平社会主义市场经济体制，坚持和完善社会主义基本经济制度，毫不动摇巩固和发展公有制经济，毫不动摇鼓励、支持、引导非公有制经济发展，充分发挥市场在资源配置中的决定性作用，更好发挥政府作用．这为我们深入推进非公有制企业改革发展指明了方向，提供了根本遵循．某非公有制企业抓住机遇推进生产改革，从单一产品转为生产A、B两种产品，根据市场调查与市场预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图1；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2(注：所示图中的横坐标表示投资金额，单位为万元)
(1)分别求出A、B两种产品的利润表示为投资的函数关系式；
(2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A、B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润是多少？
18．已知幂函数f(x)＝(k2＋k－1)x(2－k)(1＋k)，且f(2)(1)求函数f(x)的解析式；
(2)试判断是否存在正数m，使得函数g(x)＝1－f(x)＋2mx在区间[0，1]上的最大值为5，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
19．(17分)若存在常数k(k>0)，使得对定义域D内的任意x1，x2(x1≠x2)，都有|f(x1)－f(x2)|≤k|x1－x2|成立，则称函数f(x)在其定义域D上是“k 利普希茨条件函数”
(1)请写出一个“k 利普希茨条件函数”(要求明确函数的表达式、k的值及定义域D)；
(2)若函数f(x)＝(1≤x≤4)是“k 利普希茨条件函数”，求常数k的取值范围．
第七次周测　幂函数、函数的应用(一)
1．C　[形如y＝xα的函数为幂函数，则y＝x3为幂函数．故选C.]
2．D　[由幂函数f＝xα的图象过点，所以f＝4α＝2，
解得α＝，故f＝x，所以f＝3＝.故选D.]
3．C　[令a4＝1，得a＝±1，故“a＝1”是“f＝a4xa是幂函数”的充分不必要条件．故选C.]
4．B　[因为函数y＝f为幂函数，设f＝xa，则f＝2a＝，可得a＝－2，所以f＝x－2＝，则x≠0，所以函数f的定义域为，又函数f(x)为偶函数，图象关于y轴对称，故A，C，D错．故选B.]
5．C　[由题图可知该青花瓷上、下细，中间粗，则在匀速注水的过程中，水的高度一直增高，且开始时水的高度增高的速度越来越慢，到达瓷瓶最粗处之后，水的高度增高的速度越来越快，直到注满水．结合选项所给图象，只有C选项符合先慢后快的趋势．故选C.]
6．B　[设A的横坐标为a，则A的坐标为(a，0)，
∵屋顶所在直线对应的函数表达式分别是y＝x＋3和y＝－x＋，为保证采光，竖直窗户的高度设计为1 m，
∴a＋3－＝1，解得a＝6，故点A的横坐标为6.故选B.]
7．C　[因为幂函数f＝xm－2是R上的偶函数，则m2－5m＋5＝1，解得m＝1或m＝4，
当m＝1时，f＝x－1，该函数是定义域为的奇函数，不符合题意；
当m＝4时，f＝x2，该函数是定义域为R的偶函数，符合题意．
所以f＝x2，则g＝x2－x，其对称轴方程为x＝a－3，
因为g在区间上单调递减，则a－3≥3，解得a≥6.故选C.]
8．A　[因为该公司2023年总收入为200亿元，预计每年总收入比前一年增加20亿元，所以2028年的总收入为300亿元．因为要求从2024年起每年通过理财业务的收入是前一年的t倍，所以2028年通过理财业务的收入为50t5亿元，所以300－50t5≤300×0.6，解得t≥.故t的值至少为，故选A.]
9．CD　[当α＝－1时，y＝x－1，定义域为{x|x≠0}，不满足题意；当α＝时，y＝，定义域为[0，＋∞)，不满足题意；当α＝1时，y＝x，定义域为R，且为奇函数，满足题意；当α＝3时，y＝x3，定义域为R，且为奇函数，满足题意．故选CD.]
10．ABC　[对于A，令x5＝x，解得x＝1，－1，0，所以函数y＝x5是一个具有回归点的函数，且回归点为(0，0)，(1，1)，(－1，－1)，A正确；对于B，具有回归点的函数有无数个，如对任意实数a，幂函数f(x)＝xa都是具有回归点的函数，都至少存在回归点(1，1)，B正确；对于C，存在无数个具有无数个回归点的函数，如对任意实数a，b，a11．BCD　[由题意得，P(x)＝R(x)－C(x)＝－20x2＋2 500x－4 000，其图象开口向下，对称轴为直线x＝＝62.5.因为x≤75且x∈N*，所以当x＝62或63时，P(x)取得最大值，故A错误．MP(x)＝P(x＋1)－P(x)＝[－20(x＋1)2＋2 500(x＋1)－4 000]－(－20x2 ＋2 500x－4 000)＝2 480－40x(x≤75且x∈N*)，故B正确．由A知，P(x)max＝P(62)＝P(63)＝74 120，因为函数MP(x)＝2 480－40x为减函数，所以MP(x)max＝MP(1)＝2 440，故C正确．由题可知，边际利润函数MP(x)表示增加生产1台装置对应增加的利润，由MP(x)是减函数，易知D正确．故选BCD.]
12．[解析]　由于对任意的α∈R，y＝xα的图象恒经过点(1，1)，所以函数y＝xα－2的图象恒过定点A(1，－1).
[答案]　(1，－1)
13．[解析]　f(x)＝是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增，且f(ab)＝＝·＝f(a)·f(b)，所以f(x)＝符合题意．
[答案]　(答案不唯一)
14．[解析]　①若某家庭某月垃圾分类投放总量为120 kg，则该家庭月底的积分为120＋10＝130(分)，故该家庭该月积分能兑换130×0.1＝13(元).②设每个家庭每月垃圾分类投放总量为t kg，t∈N*，每个家庭每月积分能兑换的金额为f(t)元．若0≤t<100，则f(t)＝0.1t<0.34t×0.4＝0.136t恒成立；若t≥100，则f(t)＝0.1t＋0.1x，由f(t)≤0.34t×0.4，可得x≤(0.36t)min＝36.故x的最大值为36.
[答案]　13　36
15．[解]　(1)根据题意，设该公司的月总收入为W万元，则W＝50，0解得0所以要保证该公司月总收入不减少，x的取值范围为(0，20].
(2)设该公司的月总盈利为y万元，
则y＝50－2＝－＋x＋ 480＝－(x－8)2＋484，0所以当x＝8时，该公司的月总盈利最大．
16．[解]　(1)因为f＝xm＋1为幂函数，所以m2＋m－1＝1，解得m＝1或m＝－2，
当m＝1时，f＝x2，函数图象关于y轴对称，符合题意；
当m＝－2时，f＝x－1，函数图象关于原点对称，不符合题意，综上可得m＝1，f＝x2.
(2)因为g＝f－4x＋5，x∈，所以g＝x2－4x＋5＝＋1，
所以g在上单调递减，在上单调递增，
又g＝1，g＝2，g＝5，所以g∈，即g在区间上的值域为.
17．[解]　(1)设投资为x万元，A产品的利润为f(x)万元，B产品的利润为g(x)万元，
由题意知f(x)＝k1x，g(x)＝k2 .由图可知f(2)＝1，k1＝，g(4)＝4，k2＝2，
从而f(x)＝x(x≥0), g(x)＝2(x≥0).
(2)设A产品投入x万元，则B产品投入10－x万元，设企业利润为y万元．
则 y＝f(x)＋g(10－x)＝x＋2(0≤x≤10) ，
令 ＝t, 则y＝＋2t＝－(t－2)2＋7(0≤t≤ )
当t＝2，ymax＝7，x＝6，
所以当A产品投入6万元，B产品投入4万元时，企业获得最大利润为7万元．
18．[解]　(1)由题知，k2＋k －1＝1，解得k＝－2或k＝1.
当k＝1时，f(x)＝x2，满足f(2)当k＝－2时，f(x)＝x－4，不满足f(2)所以f(x)＝x2.
(2)g(x)＝1－f(x)＋2mx＝－x2＋2mx＋1.
函数g(x)图象的对称轴为x＝m，当0所以g(x)max＝g(m)＝m2＋1＝5，解得m＝±2，不合题意；
当m≥1时，g(x)在区间[0，1]上单调递增，
所以g(x)max＝g(1)＝2m＝5，解得m＝.
综上所述，存在正数m＝，使得g(x)在区间[0，1]上的最大值为5.
19．[解]　(1)f(x)＝x，定义域D＝[1，2]，k＝3(答案不唯一).
(2)若函数f(x)＝(1≤x≤4)是“k 利普希茨条件函数”，则对于定义域[1，4]内的任意x1，x2(x1≠x2)，都有|f(x1)－f(x2)|≤k|x1－x2|成立，
不妨设x1>x2，则k≥＝恒成立．
因为1≤x≤4，
所以<<，
所以k≥，
所以k的取值范围是.
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