贵州省安顺市2023-2024学年高二上学期期末教学质量监测考试数学试题
1．（2024高二上·安顺期末）直线的倾斜角是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高二上·安顺期末）已知数列满足点在直线上，则（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
3．（2024高二上·安顺期末）抛物线的焦点为F，准线为l，则点F到l的距离为（ ）
A．1 B．2 C． D．4
4．（2024高二上·安顺期末）图1是第七届国际数学教育大会的会徽图案，会徽的主体图案是由如图2所示的一连串直角三角形演化而成的，其中，如果把图2中的直角三角形继续作下去，记，，…，的长度构成的数列为，则（ ）
A． B．1 C．10 D．100
5．（2024高二上·安顺期末），，是三个不共面的单位向量，可为空间的一个基底，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6．（2024高二上·安顺期末）已知双曲线的左焦点为F，点P在双曲线C的右支上，M为线段FP的中点，若M到坐标原点的距离为7，则（ ）
A．8或20 B．20 C．6或22 D．22
7．（2024高二上·安顺期末）如图，空间四边形OABC中，点M是OA的中点，点N在BC上，设，则（ ）
A． B． C． D．1
8．（2024高二上·安顺期末）已知椭圆的上顶点为P，左焦点为F，直线PF与C的另一个交点为Q，若，则C的离心率（ ）
A． B． C． D．
9．（2024高二上·安顺期末）数列的通项公式为，其前n项和为，则下列说法一定正确的是（ ）
A．数列是递增数列 B．数列是递减数列
C．的最小值为 D．有可能大于1
10．（2024高二上·安顺期末）已知两直线，，则下列说法正确的是（ ）
A．对任意实数m，直线，的方向向量都不可能平行
B．存在实数m，使直线垂直于x轴
C．存在实数m，使直线，互相垂直
D．当时，直线的方向向量不存在
11．（2024高二上·安顺期末）如图，在正方体中，点O为线段BD的中点，点P在线段上，下列说法正确的是（ ）
A．与平面ABCD所成角为
B．平面ABD与平面的夹角的余弦值为
C．当点P是线段的中点时，平面
D．当点P与点C重合时，点P到平面的距离最小
12．（2024高二上·安顺期末）已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，且（为双曲线的半焦距），点在双曲线的左支上，点为的内心，若成立，则下列结论正确的是（ ）
A．双曲线的离心率 B．
C．点的横坐标为定值 D．当轴时，
13．（2024高二上·安顺期末）已知等比数列满足，则 ．
14．（2024高二上·安顺期末）“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”这是唐代边塞诗人李颀的《古从军行》中的诗句，诗句中隐含着一个著名的数学问题——“将军饮马”问题，即将军白天察看烽火台之后，从山脚下的某处返回军营，途中须到河边饮马然后再赶回军营，将军怎样走才能使返回总路程最短？已知在平面直角坐标系中，军营所在位置为坐标原点，将军从山脚下的点处出发返回军营，河岸线所在直线方程为．则返回总路程最短为 ．
15．（2024高二上·安顺期末）如图，以等腰直角三角形斜边上的高为折痕折成四面体．当四面体中满足平面平面时，则
（1）；
（2）平面平面；
（3）为等腰直角三角形
以上结论中正确的是 （填写你认为正确的结论序号）．
16．（2024高二上·安顺期末）已知双曲线（，）的一条渐近线方程为，，为双曲线C的左、右焦点，过且斜率为的直线l与双曲线C的右支交于M，N两点，若的周长为108，则双曲线C的方程为 ．
17．（2024高二上·安顺期末）已知数列中，，（，），且是和的等差中项．
（1）求实数的值；
（2）求证：数列是等比数列，并求出的通项公式．
18．（2024高二上·安顺期末）已知直线，圆．
（1）若直线与圆无公共点，求实数的取值范围；
（2）若直线与圆交于两点，且（为圆的圆心）为直角三角形，求实数的值．
19．（2024高二上·安顺期末）已知平面直角坐标系内的动点恒满足：点到定点的距离与它到定直线的距离相等．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）过点的直线l与（1）中的曲线C交于A，B两点，O为坐标原点，证明：．
20．（2024高二上·安顺期末）将矩形面绕边顺时针旋转得到如图所示几何体．已知，，点E在线段上，P为圆弧的中点．
（1）当E是线段的中点时，求异面直线AE写所成角的余弦值；
（2）在线段上是否存在点E，使得平面？如果存在，求出线段BE的长，如果不存在，说明理由．
21．（2024高二上·安顺期末）已知数列的前n项和为，．
（1）求数列的通项公式；
（2）记数列的前n项和为，求的表达式．
22．（2024高二上·安顺期末）已知椭圆经过点，且．
（1）求椭圆C的方程；
（2）椭圆C的右顶点和上顶点分别为A，B，P为椭圆C上位于第三象限内的动点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，探究四边形ABNM的面积是否为定值．若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】直线的倾斜角；直线的斜率
【解析】【解答】解：易知直线的斜率为，则倾斜角为.
故答案为：C.
【分析】由题意，根据倾斜角和斜率的关系求解即可.
2．【答案】A
【知识点】数列的通项公式
【解析】【解答】解：因为点在直线上，所以，则.
故答案为：A.
【分析】由题意，将点代入直线方程，利用通项公式求解即可.
3．【答案】B
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：易知抛物线的焦点，准线，则焦点到的距离为2.
故答案为：B.
【分析】由题意，根据抛物线方程和几何性质求解即可.
4．【答案】C
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式；数列的递推公式
【解析】【解答】解：因为，即，
因为，，…，的长度构成的数列为，则，
则数列是公差为1的等差数列，首项，
所以，即，所以.
故答案为：C.
【分析】由题意得到递推关系式为，再根据等差数列的定义判断出数列是公差为1的等差数列，首项，则由等差数列的通项公式得出数列的通项公式，进而得出数列第100项的值.
5．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；空间向量基本定理
【解析】【解答】解：若，，是三个不共面的单位向量，则可为空间的一个基底，即充分性成立；
若为空间的一个基底，则，，是三个不共面的向量，不一定是单位向量，则必要性不成立，故是的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】根据基底的定义，结合充分，必要条件的定义判断即可.
6．【答案】B
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：易知，，设双曲线的右焦点为，
在中，因为点分别是的中点，所以，解得，
则.
故答案为：B.
【分析】由题意，根据中位线的性质和双曲线的定义，求即可.
7．【答案】B
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】解：由图可知：
，
即，，，则.
故答案为：B.
【分析】由图形，结合向量的线性运算求解即可.
8．【答案】D
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：易知，
因为，所以，
又因为在椭圆上，所以，化简可得，即，
由于，则.
故答案为：D.
【分析】由题意，求出点的坐标，代入椭圆方程求解即可.
9．【答案】B,C
【知识点】数列的函数特性；数列的递推公式；数列的前n项和
【解析】【解答】解：因为数列的通项公式为，
所以，
所以，则数列是递减数列，故A错误，B正确；
由，
则，
即数列单调递增，当时，的最小值为，故C正确，D错误.
故答案为：BC.
【分析】由题意，利用数列单调性的定义证明函数单调性即可判断AB；利用裂项相消法求即可判断CD.
10．【答案】A,C
【知识点】两条直线平行的判定；两条直线垂直的判定
【解析】【解答】解：A、若直线， 的方向向量平行，则，则无实数解，即两直线的方向向量不可能平行，故A正确；
B、直线的斜率为，则直线不可能垂直于x轴，故B错误；
C、若直线， 互相垂直，则，解得，此时直线，直线，两直线垂直，故C正确；
D、当时，直线，则其方向向量可以为，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】由题意，根据直线平行、垂直系数的关系，结合方向向量的定义求解即可.
11．【答案】B,C,D
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式；直线与平面所成的角；用空间向量研究直线与平面的位置关系；用空间向量研究二面角
【解析】【解答】解：A、因为平面，所以为与平面ABCD所成的角，
因为，所以与平面ABCD所成角为，故A错误；
B、设正方体的棱长为1，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，则，
设平面的法向量为，所以，
令，则，易知平面的一个法向量为，
设平面ABD与平面的夹角为，则，
所以平面ABD与平面的夹角的余弦值为，故B正确；
C、当点P是线段的中点时，，则，
因为，所以，
又，所以，
平面，平面，所以平面，故C正确；
D、设，则，
所以点P到平面的距离为，
故当时，，所以当点P与点C重合时，点P到平面的距离最小，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】根据线面角的概念求解即可判断A；建立空间直角坐标系，利用向量法求两平面的夹角及证明线面垂直，求解点到平面的最小距离即可判断BCD.
12．【答案】A,B,C
【知识点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：A、因为，，所以，即，
解得，故A正确；
B、设内切圆的半径为，如图所示：
由于，
所以，则，
则，即，故B正确；
C、设三角形的内切圆分别与线段相切于点，
所以，
则，解得，
而，所以，而轴，所以，故C正确；
D、若轴，则，由，解得，
不妨设，则，故D错误；
故答案为：ABC.
【分析】由题意，根据双曲线的离心率、内切圆等知识逐项分析求解判断即可.
13．【答案】3
【知识点】等比中项
【解析】【解答】解：因为等比数列满足，所以，解得.
故答案为：3.
【分析】根据等比中项的性质求解即可.
14．【答案】
【知识点】与直线关于点、直线对称的直线方程；平面内两点间的距离公式
【解析】【解答】解：过作关于直线对称的点，如图所示：
设，则，解得，即，
故最短距离为.
故答案为：.
【分析】由题意，根据点关于直线的对称求得称的点，再根据两点距离公式求解即可.
15．【答案】（1）（2）
【知识点】直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的判定
【解析】【解答】解：因为AD为等腰直角三角形斜边BC上的高，所以，
又因为折后平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又平面，所以，故（1）正确；
由已知，且面，
所以面，又因为面，所以平面平面，故（2）正确；
由平面，且平面，所以，
所以，由，
所以，
所以为等边三角形，故（3）错误.
故答案为：（1）（2）.
【分析】由题意，根据面面垂直的性质即可判断（1）；通过证明面即可判断（2）；通过证明即可判断（3）.
16．【答案】
【知识点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：因为双曲线的渐进性方程为，
所以，则双曲线方程为，，，
所以直线的方程为，设，，
联立，消元整理得，
由韦达定理得：，，
则，
因为，，
所以，
因为的周长为108，所以，解得，
则双曲线方程为.
故答案为：.
【分析】由渐近线方程可得，联立直线与椭圆方程，消元整理整理，利用韦达定理表示弦长，并结合双曲线的定义表示的周长，求解双曲线方程即可.
17．【答案】（1）解：因为数列满足，，所以，
因为是和的等差中项，所以，解得；
（2）解：由（1）知，所以，
又，所以（常数），
所以数列是以1为首项，以3为公比的等比数列．
则，所以．
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；数列的递推公式；等差中项
【解析】【分析】（1）由题意可得，再根据是和的等差中项建立等式求解即可；
（2）构造数列，根据等比数列定义及通项公式求解即可.
（1）根据题意有，
因为是和的等差中项，
所以，解得．
（2）由（1）知，所以，
又，所以（常数），
所以数列是以1为首项，以3为公比的等比数列．
则，所以．
18．【答案】（1）解：易知圆的圆心坐标为，半径，
若直线与圆无公共点，则圆心到直线的距离，
解得或，故实数的取值范围是；
（2）解：由题意知，半径CA，CB互相垂直，则为等腰直角三角形，
圆心到直线的距离为，解得，
因为，所以，解得：．
【知识点】平面内点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系
【解析】【分析】（1）易知圆心和半径，根据圆心到直线的距离与半径的关系列式求解即可；
（2）根据圆的弦长公式，结合点到直线的距离公式求解即可.
（1）易知圆的圆心坐标为，半径．
由直线与圆无公共点知，
圆心到直线的距离或．
故实数的取值范围是或．
（2）由题意知，半径CA，CB互相垂直，为等腰直角三角形．
又圆心到直线的距离为，可得，
又，即，解得：．
19．【答案】（1）解：设点P的坐标，由题设及抛物线的定义可知，
点P的轨迹为以焦点，准线方程为的抛物线，
故点P的轨迹C的方程为：；
（2）证明：由（1）得，曲线C的方程为：，
由题设可知，直线l的斜率必不为0，故设，
由得：，，
设，，则，，
所以，故，即．
【知识点】抛物线的定义；直线与圆锥曲线的综合问题；圆锥曲线的轨迹问题
【解析】【分析】（1）根据抛物线的定义求解即可；
（2）设，联立直线与抛物线的方程，消元整理，结合韦达定理，代入计算得即可证明.
（1）设点P的坐标，由题设及抛物线的定义可知，
点P的轨迹为以焦点，准线方程为的抛物线，
故点P的轨迹C的方程为：．
（2）证明：由（1）得，曲线C的方程为：．
由题设可知，直线l的斜率必不为0，故设，
由得：，，
设，，则，．
所以，，故即．
20．【答案】（1）解：以A为原点，以AC，AB，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，
当E是线段的中点时，，，，
则，
故异面直线AE与所成角的余弦值为；
（2）解：设，
设平面的法向量为，
又，，，
所以，令，得，
若平面，则，解得，
所以在线段上存在点E，使得平面，．
【知识点】用空间向量研究直线与平面的位置关系；用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【分析】（1）以A为原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求线线角即可；
（2）利用空间位置关系的向量证明即可.
（1）如图，以A为原点，以AC，AB，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系Axyz．
则，，，，
当E是线段的中点时，，，，
则，
所以异面直线AE与所成角的余弦值为．
（2）设，
设平面的法向量为，
又，，，
所以，令，得，
若平面，则，解答．
所以在线段上存在点E，使得平面，此时．
21．【答案】（1）解：因为数列的前n项和为， ，所以（，），
则（，），
因为也满足上式，所以数列的通项公式为；
（2）解：由（1）知，
所以，
，
两式作差得，．
【知识点】数列的通项公式；数列的前n项和；通项与前n项和的关系
【解析】【分析】（1）由题意，根据的关系求数列通项公式即可；
（2）由（1）可得，利用错位相减法求和即可.
（1）因为，
所以（，）．
所以（，）．
又也满足上式，
所以数列的通项公式为；
（2）由（1）知，
所以，
．
两式作差得，
．
22．【答案】（1）解：因为，椭圆C经过点，所以，
由，解得：，，
故椭圆C的方程为：；
（2）解：设（，），则，即，
又因为，，所以直线PA的方程为，
令，得，
从而；
直线PB的方程为，令，得，
从而．
因为，所以四边形ABNM的面积，
即，
故四边形ABNM的面积为定值4．
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）将点代入椭圆方程，再结合，求解椭圆方程即可；
（2）利用坐标分别表示直线和的方程，再求点的坐标，并利用对角线垂直，表示四边形的面积，利用点在椭圆上求解即可.
（1）由题设得，，又椭圆C经过点，所以，
由，解得：，．
故椭圆C的方程为：；
（2）设（，），则，即．
又，，所以直线PA的方程为，
令，得，
从而；
直线PB的方程为，令，得，
从而．
因为，所以四边形ABNM的面积，
即
．
故四边形ABNM的面积为定值4．
1 / 1贵州省安顺市2023-2024学年高二上学期期末教学质量监测考试数学试题
1．（2024高二上·安顺期末）直线的倾斜角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】直线的倾斜角；直线的斜率
【解析】【解答】解：易知直线的斜率为，则倾斜角为.
故答案为：C.
【分析】由题意，根据倾斜角和斜率的关系求解即可.
2．（2024高二上·安顺期末）已知数列满足点在直线上，则（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】A
【知识点】数列的通项公式
【解析】【解答】解：因为点在直线上，所以，则.
故答案为：A.
【分析】由题意，将点代入直线方程，利用通项公式求解即可.
3．（2024高二上·安顺期末）抛物线的焦点为F，准线为l，则点F到l的距离为（ ）
A．1 B．2 C． D．4
【答案】B
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：易知抛物线的焦点，准线，则焦点到的距离为2.
故答案为：B.
【分析】由题意，根据抛物线方程和几何性质求解即可.
4．（2024高二上·安顺期末）图1是第七届国际数学教育大会的会徽图案，会徽的主体图案是由如图2所示的一连串直角三角形演化而成的，其中，如果把图2中的直角三角形继续作下去，记，，…，的长度构成的数列为，则（ ）
A． B．1 C．10 D．100
【答案】C
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式；数列的递推公式
【解析】【解答】解：因为，即，
因为，，…，的长度构成的数列为，则，
则数列是公差为1的等差数列，首项，
所以，即，所以.
故答案为：C.
【分析】由题意得到递推关系式为，再根据等差数列的定义判断出数列是公差为1的等差数列，首项，则由等差数列的通项公式得出数列的通项公式，进而得出数列第100项的值.
5．（2024高二上·安顺期末），，是三个不共面的单位向量，可为空间的一个基底，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；空间向量基本定理
【解析】【解答】解：若，，是三个不共面的单位向量，则可为空间的一个基底，即充分性成立；
若为空间的一个基底，则，，是三个不共面的向量，不一定是单位向量，则必要性不成立，故是的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】根据基底的定义，结合充分，必要条件的定义判断即可.
6．（2024高二上·安顺期末）已知双曲线的左焦点为F，点P在双曲线C的右支上，M为线段FP的中点，若M到坐标原点的距离为7，则（ ）
A．8或20 B．20 C．6或22 D．22
【答案】B
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：易知，，设双曲线的右焦点为，
在中，因为点分别是的中点，所以，解得，
则.
故答案为：B.
【分析】由题意，根据中位线的性质和双曲线的定义，求即可.
7．（2024高二上·安顺期末）如图，空间四边形OABC中，点M是OA的中点，点N在BC上，设，则（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】解：由图可知：
，
即，，，则.
故答案为：B.
【分析】由图形，结合向量的线性运算求解即可.
8．（2024高二上·安顺期末）已知椭圆的上顶点为P，左焦点为F，直线PF与C的另一个交点为Q，若，则C的离心率（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：易知，
因为，所以，
又因为在椭圆上，所以，化简可得，即，
由于，则.
故答案为：D.
【分析】由题意，求出点的坐标，代入椭圆方程求解即可.
9．（2024高二上·安顺期末）数列的通项公式为，其前n项和为，则下列说法一定正确的是（ ）
A．数列是递增数列 B．数列是递减数列
C．的最小值为 D．有可能大于1
【答案】B,C
【知识点】数列的函数特性；数列的递推公式；数列的前n项和
【解析】【解答】解：因为数列的通项公式为，
所以，
所以，则数列是递减数列，故A错误，B正确；
由，
则，
即数列单调递增，当时，的最小值为，故C正确，D错误.
故答案为：BC.
【分析】由题意，利用数列单调性的定义证明函数单调性即可判断AB；利用裂项相消法求即可判断CD.
10．（2024高二上·安顺期末）已知两直线，，则下列说法正确的是（ ）
A．对任意实数m，直线，的方向向量都不可能平行
B．存在实数m，使直线垂直于x轴
C．存在实数m，使直线，互相垂直
D．当时，直线的方向向量不存在
【答案】A,C
【知识点】两条直线平行的判定；两条直线垂直的判定
【解析】【解答】解：A、若直线， 的方向向量平行，则，则无实数解，即两直线的方向向量不可能平行，故A正确；
B、直线的斜率为，则直线不可能垂直于x轴，故B错误；
C、若直线， 互相垂直，则，解得，此时直线，直线，两直线垂直，故C正确；
D、当时，直线，则其方向向量可以为，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】由题意，根据直线平行、垂直系数的关系，结合方向向量的定义求解即可.
11．（2024高二上·安顺期末）如图，在正方体中，点O为线段BD的中点，点P在线段上，下列说法正确的是（ ）
A．与平面ABCD所成角为
B．平面ABD与平面的夹角的余弦值为
C．当点P是线段的中点时，平面
D．当点P与点C重合时，点P到平面的距离最小
【答案】B,C,D
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式；直线与平面所成的角；用空间向量研究直线与平面的位置关系；用空间向量研究二面角
【解析】【解答】解：A、因为平面，所以为与平面ABCD所成的角，
因为，所以与平面ABCD所成角为，故A错误；
B、设正方体的棱长为1，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，则，
设平面的法向量为，所以，
令，则，易知平面的一个法向量为，
设平面ABD与平面的夹角为，则，
所以平面ABD与平面的夹角的余弦值为，故B正确；
C、当点P是线段的中点时，，则，
因为，所以，
又，所以，
平面，平面，所以平面，故C正确；
D、设，则，
所以点P到平面的距离为，
故当时，，所以当点P与点C重合时，点P到平面的距离最小，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】根据线面角的概念求解即可判断A；建立空间直角坐标系，利用向量法求两平面的夹角及证明线面垂直，求解点到平面的最小距离即可判断BCD.
12．（2024高二上·安顺期末）已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，且（为双曲线的半焦距），点在双曲线的左支上，点为的内心，若成立，则下列结论正确的是（ ）
A．双曲线的离心率 B．
C．点的横坐标为定值 D．当轴时，
【答案】A,B,C
【知识点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：A、因为，，所以，即，
解得，故A正确；
B、设内切圆的半径为，如图所示：
由于，
所以，则，
则，即，故B正确；
C、设三角形的内切圆分别与线段相切于点，
所以，
则，解得，
而，所以，而轴，所以，故C正确；
D、若轴，则，由，解得，
不妨设，则，故D错误；
故答案为：ABC.
【分析】由题意，根据双曲线的离心率、内切圆等知识逐项分析求解判断即可.
13．（2024高二上·安顺期末）已知等比数列满足，则 ．
【答案】3
【知识点】等比中项
【解析】【解答】解：因为等比数列满足，所以，解得.
故答案为：3.
【分析】根据等比中项的性质求解即可.
14．（2024高二上·安顺期末）“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”这是唐代边塞诗人李颀的《古从军行》中的诗句，诗句中隐含着一个著名的数学问题——“将军饮马”问题，即将军白天察看烽火台之后，从山脚下的某处返回军营，途中须到河边饮马然后再赶回军营，将军怎样走才能使返回总路程最短？已知在平面直角坐标系中，军营所在位置为坐标原点，将军从山脚下的点处出发返回军营，河岸线所在直线方程为．则返回总路程最短为 ．
【答案】
【知识点】与直线关于点、直线对称的直线方程；平面内两点间的距离公式
【解析】【解答】解：过作关于直线对称的点，如图所示：
设，则，解得，即，
故最短距离为.
故答案为：.
【分析】由题意，根据点关于直线的对称求得称的点，再根据两点距离公式求解即可.
15．（2024高二上·安顺期末）如图，以等腰直角三角形斜边上的高为折痕折成四面体．当四面体中满足平面平面时，则
（1）；
（2）平面平面；
（3）为等腰直角三角形
以上结论中正确的是 （填写你认为正确的结论序号）．
【答案】（1）（2）
【知识点】直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的判定
【解析】【解答】解：因为AD为等腰直角三角形斜边BC上的高，所以，
又因为折后平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又平面，所以，故（1）正确；
由已知，且面，
所以面，又因为面，所以平面平面，故（2）正确；
由平面，且平面，所以，
所以，由，
所以，
所以为等边三角形，故（3）错误.
故答案为：（1）（2）.
【分析】由题意，根据面面垂直的性质即可判断（1）；通过证明面即可判断（2）；通过证明即可判断（3）.
16．（2024高二上·安顺期末）已知双曲线（，）的一条渐近线方程为，，为双曲线C的左、右焦点，过且斜率为的直线l与双曲线C的右支交于M，N两点，若的周长为108，则双曲线C的方程为 ．
【答案】
【知识点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：因为双曲线的渐进性方程为，
所以，则双曲线方程为，，，
所以直线的方程为，设，，
联立，消元整理得，
由韦达定理得：，，
则，
因为，，
所以，
因为的周长为108，所以，解得，
则双曲线方程为.
故答案为：.
【分析】由渐近线方程可得，联立直线与椭圆方程，消元整理整理，利用韦达定理表示弦长，并结合双曲线的定义表示的周长，求解双曲线方程即可.
17．（2024高二上·安顺期末）已知数列中，，（，），且是和的等差中项．
（1）求实数的值；
（2）求证：数列是等比数列，并求出的通项公式．
【答案】（1）解：因为数列满足，，所以，
因为是和的等差中项，所以，解得；
（2）解：由（1）知，所以，
又，所以（常数），
所以数列是以1为首项，以3为公比的等比数列．
则，所以．
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；数列的递推公式；等差中项
【解析】【分析】（1）由题意可得，再根据是和的等差中项建立等式求解即可；
（2）构造数列，根据等比数列定义及通项公式求解即可.
（1）根据题意有，
因为是和的等差中项，
所以，解得．
（2）由（1）知，所以，
又，所以（常数），
所以数列是以1为首项，以3为公比的等比数列．
则，所以．
18．（2024高二上·安顺期末）已知直线，圆．
（1）若直线与圆无公共点，求实数的取值范围；
（2）若直线与圆交于两点，且（为圆的圆心）为直角三角形，求实数的值．
【答案】（1）解：易知圆的圆心坐标为，半径，
若直线与圆无公共点，则圆心到直线的距离，
解得或，故实数的取值范围是；
（2）解：由题意知，半径CA，CB互相垂直，则为等腰直角三角形，
圆心到直线的距离为，解得，
因为，所以，解得：．
【知识点】平面内点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系
【解析】【分析】（1）易知圆心和半径，根据圆心到直线的距离与半径的关系列式求解即可；
（2）根据圆的弦长公式，结合点到直线的距离公式求解即可.
（1）易知圆的圆心坐标为，半径．
由直线与圆无公共点知，
圆心到直线的距离或．
故实数的取值范围是或．
（2）由题意知，半径CA，CB互相垂直，为等腰直角三角形．
又圆心到直线的距离为，可得，
又，即，解得：．
19．（2024高二上·安顺期末）已知平面直角坐标系内的动点恒满足：点到定点的距离与它到定直线的距离相等．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）过点的直线l与（1）中的曲线C交于A，B两点，O为坐标原点，证明：．
【答案】（1）解：设点P的坐标，由题设及抛物线的定义可知，
点P的轨迹为以焦点，准线方程为的抛物线，
故点P的轨迹C的方程为：；
（2）证明：由（1）得，曲线C的方程为：，
由题设可知，直线l的斜率必不为0，故设，
由得：，，
设，，则，，
所以，故，即．
【知识点】抛物线的定义；直线与圆锥曲线的综合问题；圆锥曲线的轨迹问题
【解析】【分析】（1）根据抛物线的定义求解即可；
（2）设，联立直线与抛物线的方程，消元整理，结合韦达定理，代入计算得即可证明.
（1）设点P的坐标，由题设及抛物线的定义可知，
点P的轨迹为以焦点，准线方程为的抛物线，
故点P的轨迹C的方程为：．
（2）证明：由（1）得，曲线C的方程为：．
由题设可知，直线l的斜率必不为0，故设，
由得：，，
设，，则，．
所以，，故即．
20．（2024高二上·安顺期末）将矩形面绕边顺时针旋转得到如图所示几何体．已知，，点E在线段上，P为圆弧的中点．
（1）当E是线段的中点时，求异面直线AE写所成角的余弦值；
（2）在线段上是否存在点E，使得平面？如果存在，求出线段BE的长，如果不存在，说明理由．
【答案】（1）解：以A为原点，以AC，AB，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，
当E是线段的中点时，，，，
则，
故异面直线AE与所成角的余弦值为；
（2）解：设，
设平面的法向量为，
又，，，
所以，令，得，
若平面，则，解得，
所以在线段上存在点E，使得平面，．
【知识点】用空间向量研究直线与平面的位置关系；用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【分析】（1）以A为原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求线线角即可；
（2）利用空间位置关系的向量证明即可.
（1）如图，以A为原点，以AC，AB，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系Axyz．
则，，，，
当E是线段的中点时，，，，
则，
所以异面直线AE与所成角的余弦值为．
（2）设，
设平面的法向量为，
又，，，
所以，令，得，
若平面，则，解答．
所以在线段上存在点E，使得平面，此时．
21．（2024高二上·安顺期末）已知数列的前n项和为，．
（1）求数列的通项公式；
（2）记数列的前n项和为，求的表达式．
【答案】（1）解：因为数列的前n项和为， ，所以（，），
则（，），
因为也满足上式，所以数列的通项公式为；
（2）解：由（1）知，
所以，
，
两式作差得，．
【知识点】数列的通项公式；数列的前n项和；通项与前n项和的关系
【解析】【分析】（1）由题意，根据的关系求数列通项公式即可；
（2）由（1）可得，利用错位相减法求和即可.
（1）因为，
所以（，）．
所以（，）．
又也满足上式，
所以数列的通项公式为；
（2）由（1）知，
所以，
．
两式作差得，
．
22．（2024高二上·安顺期末）已知椭圆经过点，且．
（1）求椭圆C的方程；
（2）椭圆C的右顶点和上顶点分别为A，B，P为椭圆C上位于第三象限内的动点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，探究四边形ABNM的面积是否为定值．若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
【答案】（1）解：因为，椭圆C经过点，所以，
由，解得：，，
故椭圆C的方程为：；
（2）解：设（，），则，即，
又因为，，所以直线PA的方程为，
令，得，
从而；
直线PB的方程为，令，得，
从而．
因为，所以四边形ABNM的面积，
即，
故四边形ABNM的面积为定值4．
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）将点代入椭圆方程，再结合，求解椭圆方程即可；
（2）利用坐标分别表示直线和的方程，再求点的坐标，并利用对角线垂直，表示四边形的面积，利用点在椭圆上求解即可.
（1）由题设得，，又椭圆C经过点，所以，
由，解得：，．
故椭圆C的方程为：；
（2）设（，），则，即．
又，，所以直线PA的方程为，
令，得，
从而；
直线PB的方程为，令，得，
从而．
因为，所以四边形ABNM的面积，
即
．
故四边形ABNM的面积为定值4．
1 / 1
