浙江省绍兴市柯桥区2023-2024学年高二上学期期末数学试题
1．（2024高二上·柯桥期末）下列方程所表示的直线中，倾斜角为的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】直线的倾斜角；直线的一般式方程
【解析】【解答】解：A、直线的斜率为，故直线的倾斜角不是，故A选项错误；
B、直线的斜率为，故直线的倾斜角不是，故B选项错误；
C、直线的斜率为，故直线的倾斜角是，故C选项正确；
D、直线的斜率为，故直线的倾斜角不是，故D选项错误.
故答案为：C.
【分析】先将直线斜截用公式求出来，再判断直线的倾斜是否为1即可求解.
2．（2024高二上·柯桥期末）已知平面平面的法向量分别为，则实数（ ）
A．3 B．-3 C．2 D．-2
【答案】B
【知识点】空间向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：∵平面平面，
∴平面的法向量也垂直，
即，解得：.
故答案为：B.
【分析】先利用平面互相垂直可得对应的法向量也垂直，再然后用空间向量垂直的坐标运算即可求解.
3．（2024高二上·柯桥期末）已知等比数列，则数列的前10项和为（ ）
A．55 B．110 C．511 D．1023
【答案】D
【知识点】等比数列的前n项和；等比数列的性质
【解析】【解答】解：设等比数列的公式为，由，可得，则.
故答案为：D.
【分析】设等比数列的公式为，由题意结合等比数列的求和公式求解即可.
4．（2024高二上·柯桥期末）已知直线，圆，则直线与圆的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切
C．相离 D．以上都有可能
【答案】C
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：已知圆，则，半径，
因为点到直线的距离，
所以直线与圆的位置关系是相离.
故答案为：C.
【分析】先根据圆的标准方程求出圆心和半径，再利用点到直线的距离公式判断即可求解.
5．（2024高二上·柯桥期末）已知椭圆，过原点且倾斜角为的直线交椭圆于两点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解： 过原点且倾斜角为的直线可得直线的方程为，代入中，
消去y整理，解得：，
当，；当时，，故有，
则.
故答案为：D.
【分析】先利用已知条件写出直线方程，与椭圆方程联立求出两交点坐标，利用两点距离公式计算即得.
6．（2024高二上·柯桥期末）正方体中，分别是的中点，点是线段（含端点）上的动点，当由点运动到点时，三棱锥的体积（ ）
A．先变大后变小 B．先变小后变大
C．不变 D．无法判断
【答案】C
【知识点】锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：已知如图所示：
正方体中，，，
四边形为平行四边形，有
正方形中，分别是的中点，有，得，
平面，平面，则平面，
所以由点运动到点时，点到平面的距离保持不变，
又三点为定点，的面积不变，
所以三棱锥的体积不变，即三棱锥的体积不变.
故答案为：C
【分析】先利用等体积转化可得，再利用的面积不变，判断点到平面的距离变化情况即可求解.
7．（2024高二上·柯桥期末）斐波那契数列因数学家莱昂纳多 斐波那契（LeonardodaFibonaci）以兔子繁殖为例而引入，故又称为“兔子数列”．在数学上，斐波那契数列由以下递推方法定义：数列满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】斐波那契数列
【解析】【解答】解：根据斐波那契数列的递推公式，可得
则
.
故答案为：B.
【分析】先根据递推公式，可得，再利用累加即可求解.
8．（2024高二上·柯桥期末）已知直线过点交抛物线于两相异点，点关于轴的对称点为，过原点作直线的垂线，垂足为，则点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题；圆锥曲线的轨迹问题
【解析】【解答】解：设抛物线上两点坐标为，
若直线斜率存在，则，
则直线方程为：，，
又，故方程为：；
若直线斜率不存在，则，
此时直线方程为：，显然也可表示这种情况；
则直线方程可表示为：.
又过点，故；
又为，同理可得直线方程为：，
也即，其恒过定点，记该点为；
根据题意可得，，故点在以为直径的圆上，且不与重合；
容易得该圆圆心为，半径，
故点的轨迹方程为：.
故答案为：A.
【分析】先求得直线恒过的定点，再利用结合圆的定义即可求解.
9．（2024高二上·柯桥期末）已知曲线，则下列结论正确的是（ ）
A．当时，曲线是椭圆
B．当或时，曲线是双曲线
C．若曲线是焦点在轴上的椭圆，则
D．若曲线是焦点在轴上的双曲线，则
【答案】B,C
【知识点】椭圆的简单性质；双曲线的标准方程
【解析】【解答】解：已知方程：
若，表示圆，此时 ，故A选项不正确
若，表示焦点在轴上的椭圆，此时，故C选项正确；
若，表示焦点在轴上的双曲线，此时，故B选项正确；
若，表示焦点在轴上的双曲线，此时，故D选项不正确；
故答案为：BC.
【分析】对的取值范围进行分类讨论，结合椭圆和双曲线的定义逐项判断即可求解.
10．（2024高二上·柯桥期末）已知等差数列的前项和为，则（ ）
A． B．
C．数列为单调递减数列 D．取得最大值时，
【答案】B,C,D
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：设等差数列的公差为，已知，
则，解得，故A选项错误；
，故B选项正确；
因为，，所以等差数列为单调递减数列，故C选项正确；
，由二次函数的性质可知对称轴为14，
所以取得最大值时，，故D选项正确.
故答案为：BCD.
【分析】先利用已知条件求出首项和公差即可判断A，再利用等差数列的通项公式和性质可判断B、C，再利用求和公式结合二次函数的性质即可求解D.
11．（2024高二上·柯桥期末）已知点，若过点的直线交圆于两点，是圆上的动点，则（ ）
A．的最大值为6 B．的最小值为4
C．的最小值为-1 D．的最大值为34
【答案】A,B,D
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；直线与圆相交的性质
【解析】【解答】解：当直线与垂直时，圆心到直线的距离取最大值，
此时的最小值为，
当直线经过圆心时，的最大值为6，故A，B正确；
设，
则
，
由，当时，，
当时，，故C错误，D正确.
故答案为：ABD
【分析】利用圆的性质可得当直线与垂直时，有最小值即可判断B，当直线经过圆心时，有最大值即可判断A，设，利用数量积的坐标运算可得，结合三角函数的最值即可判断C、D.
12．（2024高二上·柯桥期末）在三棱锥中，分别是线段上的点，且满足平面平面，则下列说法正确的是（ ）
A．四边形为矩形
B．三棱锥的外接球的半径为
C．
D．四边形的面积最大值为
【答案】B,C,D
【知识点】平行公理；球内接多面体
【解析】【解答】解：已知如图所示：
A、平面，平面，
又面，面面，
所以，同理，
而 ，
所以与不垂直，从而与也不垂直，故A选项错误；
B、把题设四棱锥放入长方体中，如图所示：
不妨设长方体的棱长分别为，且，三棱锥的外接球的半径为，
易知长方体的体对角线长度等于三棱锥的外接球的半径的两倍，
所以，解得，故B选项正确；
C、由A可知，且，
所以由截平行线段成比例得，
又，所以，故C选项正确；
D、由A可知，
所以，
设四边形的面积为S，
则，
等号成立当且仅当，故D选项正确.
故答案为：BCD.
【分析】利用即可举出反例即可判断A；先把三棱锥补放入长方体中，利用长方体的对角线长公式即可判断B；利用截平行线段成比例即可判断C；利用三角形面积公式结合基本不等式相关推论即可判断D.
13．（2024高二上·柯桥期末）已知空间向量，且，则 ．
【答案】
【知识点】向量的模；空间向量平行的坐标表示
【解析】【解答】解：已知且，
因为，所以，
则，解得，
故，则.
故答案为：.
【分析】先利用向量平行得到，再利用向量的坐标运算求得参数，最后求的坐标以及模长即可求解.
14．（2024高二上·柯桥期末）抛物线的焦点为，准线为，点为抛物线上一点，满足（为坐标原点），，垂足为，若，则 ．
【答案】
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】已知如图所示：
由已知，则轴，
过作轴，垂足为，过作，垂足为，
则，四边形为平行四边形，所以，
且中以为底边的高即为，
在中，由抛物线的定义知，又，
则，
则.
故答案为：.
【分析】先利用结合抛物线的定义可得，在中可得，再利用三角形的面积公式即可求解.
15．（2024高二上·柯桥期末）已知双曲线的左右焦点分别为，过的直线分别交双曲线的左，右两支于两点，若为正三角形，则双曲线的离心率为 ．
【答案】
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：已知如图所示：
因为是正三角形，所以，，
由双曲线定义可知，即，
再由可得
在中，，即，
整理得：，，所以
故答案为：
【分析】先利用是正三角形结合双曲线的定义求出和，再在中利用余弦定理可得，即可求解.
16．（2024高二上·柯桥期末）已知正项数列的前项和为，若，则的最小值为 ．
【答案】
【知识点】等差数列的前n项和；数列与函数的综合
【解析】【解答】解：已知，（1）
当n=1时，，解得或，
因为数列是正项数列，所以，
当时，，（2）
（1）-（2）得，
整理得，
因为数列是正项数列，
所以，即数列是首项为2，公差为1的等差数列，
所以，，
，
又因为在单调递减，在单调递增，
由，
所以，当且仅当时，的最小值为.
故答案为：.
【分析】先利用的关系式和等差数列的定义，从而判断出数列为等差数列，利用等差数列的通项公式可得，再根据等差数列求和公式结合对勾函数的单调性求最值的方法，从而得出的最小值.
17．（2024高二上·柯桥期末）如图所示，在棱长均相等的平行六面体中分别为线段的中点．
（1）设，请以向量表示；
（2）求证：平面平面．
【答案】（1）解：已知如图所示：
.
（2）证明：∵∴，
又∵，
∴，即，
∵底面菱形中，，且，平面.
所以平面．
又平面．
∴平面平面．
【知识点】空间向量基本定理；向量的数量积判断向量的共线与垂直；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【分析】（1）利用空间向量的线性运算可得，再转化成基底向量即可求解.
（2）先利用向量的数量积公式得，再结合菱形性质可得，利用线面垂直的判断定理及面面垂直的判定定理即可得证.
（1）.
（2）∵
∴，
又∵，
∴，即，
∵底面菱形中，，且，平面.
所以平面．
又平面．
∴平面平面．
18．（2024高二上·柯桥期末）在数列中，已知，．
（1）求证：是等比数列．
（2）求数列的前n项和．
【答案】（1）证明：由，得，
即，
所以是首项为，公比为的等比数列.
（2）解：由（1）得.
所以
.
【知识点】等比关系的确定；数列的求和
【解析】【分析】（1）利用等比数列的定义结合通过凑配法即可证得是等比数列.
（2）由（1）先求出数列的通项公式，再利用分组求和法结合求和公式即可求得.
（1）由，得，
即，
所以是首项为，公比为的等比数列.
（2）由（1）得.
所以
.
19．（2024高二上·柯桥期末）如图，已知中，，是上一点，且，将沿翻折至，．
（1）求证：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明：∵中，，由余弦定理，，
∴，，
∵，，∴，即，
又∵中，，，∴，
平面，，∴平面，
有因为平面，∴.
（2）解：以为原点分别为轴，过垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系 如图所示：
，，，
由正弦定理，，，
平面，则点在平面内，
，，得，
又，， ∴，，
设平面的法向量为，
∴，∴，设，则，
又∵，
故直线与平面所成角的正弦值为
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）先利用余弦定理可得，利用线段长度结合勾股定理可得，再利用线面垂直的判定定理可得平面，即可证；
（2）以为原点建立空间直角坐标系，先利用正弦定理可得CD=1，再利用向量法求平面的法向量为，结合线面角的正弦值公式即可求解.
（1）∵中，，
由余弦定理，，而为三角形内角，
∴，，
∵，，∴，即，
又∵中，，，∴，
平面，，∴平面，
平面，∴.
（2）以为原点，分别为轴，过垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系：，
，，，
由正弦定理，，，
平面，则点在平面内，
，，得，
又，， ∴，，
设平面的法向量为，
∴，∴，设，则，
又∵，
故直线与平面所成角的正弦值为
20．（2024高二上·柯桥期末）已知双曲线的焦距为，渐近线方程为：，双曲线左，右两个顶点分别为．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）过点的直线与双曲线交于两点．设的斜率分别为，若，求的方程．
【答案】（1）解：双曲线的焦距，；
双曲线的渐近线方程为，即，，
又，，，
双曲线的标准方程为：．
（2）解：已知如图所示：
由（1）得：，，设，，
如图可知：直线的斜率一定存在，则可设，
由得：，
由解得：且，
，，
；
，，即，
，
解得：或，又且，故，
则直线的方程为：，即．
【知识点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）先利用间距可得，再利用渐近线得到结合即可求解；
（2）设出直线的点斜式方程，与双曲线方程联立消元得一元二次方程，求出的取值范围，根据根与系数关系可得，，再利用代入点的坐标进行等价转化，得到，解此方程，并进行取舍即得直线的方程.
（1）双曲线的焦距，；
双曲线的渐近线方程为，即，，
又，，，
双曲线的标准方程为：．
（2）由（1）得：，，设，，
如图可知：直线的斜率一定存在，则可设，
由得：，
由解得：且，
，，
；
，，即，
，
解得：或，又且，故，
则直线的方程为：，即．
21．（2024高二上·柯桥期末）已知等差数列的前项和为，满足．
（1）求的值；
（2）设的前项和为，求证：．
【答案】（1）解：∵，∴，得：，
∴，
∴，
∴.
（2）证明：由（1）得，①，
②，
①-②得：，
∴，
.
【知识点】等差数列的前n项和；等比数列的前n项和
【解析】【分析】（1）先利用已知条件列出关于和d的方程，求出即可得通项公式，再代入求和公式即可得解；
（2）由（1）可得，再利用错位相减法求和即可得证.
（1）∵，
∴，得：，
∴，
∴，
∴.
（2）由（1）得，
①，
②，
①-②得：，
∴，
.
22．（2024高二上·柯桥期末）已知椭圆过点，且离心率为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）圆的圆心为椭圆的右焦点，半径为，过点的直线与椭圆及圆交于四点（如图所示），若存在，求圆的半径取值范围．
【答案】（1）解：由题意得：，②，③，①②③联立得：，
∴椭圆标准方程为：
（2）解：∵过点的直线与椭圆及圆依次交于四点，∴圆在椭圆内部，故：；
，∴设直线，
由代入椭圆，整理得：，易知，
∴
∵，
（*）
又，，
，
代入（*）式得：
，
又，，
所以，整理得：，
故上述关于的方程有解即可；
由因，则，故，
所以，即解得：
又因，解得：；
当不存在时，直线，此时，
，
，即，解得.
综上所述：的取值范围为．
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用已知条件列出关于的方程组，解方程可得即可求解；
（2）设直线，，直线与椭圆方程联立，利用根与系数关系可得，再将转化为的表达式，再利用转化得，利用求的范围问题转化为求的值域问题即可求解.
（1）由题意得：，②，③，
①②③联立得：，∴椭圆标准方程为：
（2）∵过点的直线与椭圆及圆依次交于四点，
∴圆在椭圆内部，故：；
，∴设直线，
由代入椭圆，整理得：，易知，
∴
∵，
（*）
又，，
，
代入（*）式得：
，
又，，
所以，整理得：，
故上述关于的方程有解即可；
由因，则，故，
所以，即解得：
又因，解得：；
当不存在时，直线，此时，
，
，即，解得.
综上所述：的取值范围为．
1 / 1浙江省绍兴市柯桥区2023-2024学年高二上学期期末数学试题
1．（2024高二上·柯桥期末）下列方程所表示的直线中，倾斜角为的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高二上·柯桥期末）已知平面平面的法向量分别为，则实数（ ）
A．3 B．-3 C．2 D．-2
3．（2024高二上·柯桥期末）已知等比数列，则数列的前10项和为（ ）
A．55 B．110 C．511 D．1023
4．（2024高二上·柯桥期末）已知直线，圆，则直线与圆的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切
C．相离 D．以上都有可能
5．（2024高二上·柯桥期末）已知椭圆，过原点且倾斜角为的直线交椭圆于两点，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2024高二上·柯桥期末）正方体中，分别是的中点，点是线段（含端点）上的动点，当由点运动到点时，三棱锥的体积（ ）
A．先变大后变小 B．先变小后变大
C．不变 D．无法判断
7．（2024高二上·柯桥期末）斐波那契数列因数学家莱昂纳多 斐波那契（LeonardodaFibonaci）以兔子繁殖为例而引入，故又称为“兔子数列”．在数学上，斐波那契数列由以下递推方法定义：数列满足，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高二上·柯桥期末）已知直线过点交抛物线于两相异点，点关于轴的对称点为，过原点作直线的垂线，垂足为，则点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
9．（2024高二上·柯桥期末）已知曲线，则下列结论正确的是（ ）
A．当时，曲线是椭圆
B．当或时，曲线是双曲线
C．若曲线是焦点在轴上的椭圆，则
D．若曲线是焦点在轴上的双曲线，则
10．（2024高二上·柯桥期末）已知等差数列的前项和为，则（ ）
A． B．
C．数列为单调递减数列 D．取得最大值时，
11．（2024高二上·柯桥期末）已知点，若过点的直线交圆于两点，是圆上的动点，则（ ）
A．的最大值为6 B．的最小值为4
C．的最小值为-1 D．的最大值为34
12．（2024高二上·柯桥期末）在三棱锥中，分别是线段上的点，且满足平面平面，则下列说法正确的是（ ）
A．四边形为矩形
B．三棱锥的外接球的半径为
C．
D．四边形的面积最大值为
13．（2024高二上·柯桥期末）已知空间向量，且，则 ．
14．（2024高二上·柯桥期末）抛物线的焦点为，准线为，点为抛物线上一点，满足（为坐标原点），，垂足为，若，则 ．
15．（2024高二上·柯桥期末）已知双曲线的左右焦点分别为，过的直线分别交双曲线的左，右两支于两点，若为正三角形，则双曲线的离心率为 ．
16．（2024高二上·柯桥期末）已知正项数列的前项和为，若，则的最小值为 ．
17．（2024高二上·柯桥期末）如图所示，在棱长均相等的平行六面体中分别为线段的中点．
（1）设，请以向量表示；
（2）求证：平面平面．
18．（2024高二上·柯桥期末）在数列中，已知，．
（1）求证：是等比数列．
（2）求数列的前n项和．
19．（2024高二上·柯桥期末）如图，已知中，，是上一点，且，将沿翻折至，．
（1）求证：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
20．（2024高二上·柯桥期末）已知双曲线的焦距为，渐近线方程为：，双曲线左，右两个顶点分别为．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）过点的直线与双曲线交于两点．设的斜率分别为，若，求的方程．
21．（2024高二上·柯桥期末）已知等差数列的前项和为，满足．
（1）求的值；
（2）设的前项和为，求证：．
22．（2024高二上·柯桥期末）已知椭圆过点，且离心率为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）圆的圆心为椭圆的右焦点，半径为，过点的直线与椭圆及圆交于四点（如图所示），若存在，求圆的半径取值范围．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】直线的倾斜角；直线的一般式方程
【解析】【解答】解：A、直线的斜率为，故直线的倾斜角不是，故A选项错误；
B、直线的斜率为，故直线的倾斜角不是，故B选项错误；
C、直线的斜率为，故直线的倾斜角是，故C选项正确；
D、直线的斜率为，故直线的倾斜角不是，故D选项错误.
故答案为：C.
【分析】先将直线斜截用公式求出来，再判断直线的倾斜是否为1即可求解.
2．【答案】B
【知识点】空间向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：∵平面平面，
∴平面的法向量也垂直，
即，解得：.
故答案为：B.
【分析】先利用平面互相垂直可得对应的法向量也垂直，再然后用空间向量垂直的坐标运算即可求解.
3．【答案】D
【知识点】等比数列的前n项和；等比数列的性质
【解析】【解答】解：设等比数列的公式为，由，可得，则.
故答案为：D.
【分析】设等比数列的公式为，由题意结合等比数列的求和公式求解即可.
4．【答案】C
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：已知圆，则，半径，
因为点到直线的距离，
所以直线与圆的位置关系是相离.
故答案为：C.
【分析】先根据圆的标准方程求出圆心和半径，再利用点到直线的距离公式判断即可求解.
5．【答案】D
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解： 过原点且倾斜角为的直线可得直线的方程为，代入中，
消去y整理，解得：，
当，；当时，，故有，
则.
故答案为：D.
【分析】先利用已知条件写出直线方程，与椭圆方程联立求出两交点坐标，利用两点距离公式计算即得.
6．【答案】C
【知识点】锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：已知如图所示：
正方体中，，，
四边形为平行四边形，有
正方形中，分别是的中点，有，得，
平面，平面，则平面，
所以由点运动到点时，点到平面的距离保持不变，
又三点为定点，的面积不变，
所以三棱锥的体积不变，即三棱锥的体积不变.
故答案为：C
【分析】先利用等体积转化可得，再利用的面积不变，判断点到平面的距离变化情况即可求解.
7．【答案】B
【知识点】斐波那契数列
【解析】【解答】解：根据斐波那契数列的递推公式，可得
则
.
故答案为：B.
【分析】先根据递推公式，可得，再利用累加即可求解.
8．【答案】A
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题；圆锥曲线的轨迹问题
【解析】【解答】解：设抛物线上两点坐标为，
若直线斜率存在，则，
则直线方程为：，，
又，故方程为：；
若直线斜率不存在，则，
此时直线方程为：，显然也可表示这种情况；
则直线方程可表示为：.
又过点，故；
又为，同理可得直线方程为：，
也即，其恒过定点，记该点为；
根据题意可得，，故点在以为直径的圆上，且不与重合；
容易得该圆圆心为，半径，
故点的轨迹方程为：.
故答案为：A.
【分析】先求得直线恒过的定点，再利用结合圆的定义即可求解.
9．【答案】B,C
【知识点】椭圆的简单性质；双曲线的标准方程
【解析】【解答】解：已知方程：
若，表示圆，此时 ，故A选项不正确
若，表示焦点在轴上的椭圆，此时，故C选项正确；
若，表示焦点在轴上的双曲线，此时，故B选项正确；
若，表示焦点在轴上的双曲线，此时，故D选项不正确；
故答案为：BC.
【分析】对的取值范围进行分类讨论，结合椭圆和双曲线的定义逐项判断即可求解.
10．【答案】B,C,D
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：设等差数列的公差为，已知，
则，解得，故A选项错误；
，故B选项正确；
因为，，所以等差数列为单调递减数列，故C选项正确；
，由二次函数的性质可知对称轴为14，
所以取得最大值时，，故D选项正确.
故答案为：BCD.
【分析】先利用已知条件求出首项和公差即可判断A，再利用等差数列的通项公式和性质可判断B、C，再利用求和公式结合二次函数的性质即可求解D.
11．【答案】A,B,D
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；直线与圆相交的性质
【解析】【解答】解：当直线与垂直时，圆心到直线的距离取最大值，
此时的最小值为，
当直线经过圆心时，的最大值为6，故A，B正确；
设，
则
，
由，当时，，
当时，，故C错误，D正确.
故答案为：ABD
【分析】利用圆的性质可得当直线与垂直时，有最小值即可判断B，当直线经过圆心时，有最大值即可判断A，设，利用数量积的坐标运算可得，结合三角函数的最值即可判断C、D.
12．【答案】B,C,D
【知识点】平行公理；球内接多面体
【解析】【解答】解：已知如图所示：
A、平面，平面，
又面，面面，
所以，同理，
而 ，
所以与不垂直，从而与也不垂直，故A选项错误；
B、把题设四棱锥放入长方体中，如图所示：
不妨设长方体的棱长分别为，且，三棱锥的外接球的半径为，
易知长方体的体对角线长度等于三棱锥的外接球的半径的两倍，
所以，解得，故B选项正确；
C、由A可知，且，
所以由截平行线段成比例得，
又，所以，故C选项正确；
D、由A可知，
所以，
设四边形的面积为S，
则，
等号成立当且仅当，故D选项正确.
故答案为：BCD.
【分析】利用即可举出反例即可判断A；先把三棱锥补放入长方体中，利用长方体的对角线长公式即可判断B；利用截平行线段成比例即可判断C；利用三角形面积公式结合基本不等式相关推论即可判断D.
13．【答案】
【知识点】向量的模；空间向量平行的坐标表示
【解析】【解答】解：已知且，
因为，所以，
则，解得，
故，则.
故答案为：.
【分析】先利用向量平行得到，再利用向量的坐标运算求得参数，最后求的坐标以及模长即可求解.
14．【答案】
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】已知如图所示：
由已知，则轴，
过作轴，垂足为，过作，垂足为，
则，四边形为平行四边形，所以，
且中以为底边的高即为，
在中，由抛物线的定义知，又，
则，
则.
故答案为：.
【分析】先利用结合抛物线的定义可得，在中可得，再利用三角形的面积公式即可求解.
15．【答案】
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：已知如图所示：
因为是正三角形，所以，，
由双曲线定义可知，即，
再由可得
在中，，即，
整理得：，，所以
故答案为：
【分析】先利用是正三角形结合双曲线的定义求出和，再在中利用余弦定理可得，即可求解.
16．【答案】
【知识点】等差数列的前n项和；数列与函数的综合
【解析】【解答】解：已知，（1）
当n=1时，，解得或，
因为数列是正项数列，所以，
当时，，（2）
（1）-（2）得，
整理得，
因为数列是正项数列，
所以，即数列是首项为2，公差为1的等差数列，
所以，，
，
又因为在单调递减，在单调递增，
由，
所以，当且仅当时，的最小值为.
故答案为：.
【分析】先利用的关系式和等差数列的定义，从而判断出数列为等差数列，利用等差数列的通项公式可得，再根据等差数列求和公式结合对勾函数的单调性求最值的方法，从而得出的最小值.
17．【答案】（1）解：已知如图所示：
.
（2）证明：∵∴，
又∵，
∴，即，
∵底面菱形中，，且，平面.
所以平面．
又平面．
∴平面平面．
【知识点】空间向量基本定理；向量的数量积判断向量的共线与垂直；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【分析】（1）利用空间向量的线性运算可得，再转化成基底向量即可求解.
（2）先利用向量的数量积公式得，再结合菱形性质可得，利用线面垂直的判断定理及面面垂直的判定定理即可得证.
（1）.
（2）∵
∴，
又∵，
∴，即，
∵底面菱形中，，且，平面.
所以平面．
又平面．
∴平面平面．
18．【答案】（1）证明：由，得，
即，
所以是首项为，公比为的等比数列.
（2）解：由（1）得.
所以
.
【知识点】等比关系的确定；数列的求和
【解析】【分析】（1）利用等比数列的定义结合通过凑配法即可证得是等比数列.
（2）由（1）先求出数列的通项公式，再利用分组求和法结合求和公式即可求得.
（1）由，得，
即，
所以是首项为，公比为的等比数列.
（2）由（1）得.
所以
.
19．【答案】（1）证明：∵中，，由余弦定理，，
∴，，
∵，，∴，即，
又∵中，，，∴，
平面，，∴平面，
有因为平面，∴.
（2）解：以为原点分别为轴，过垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系 如图所示：
，，，
由正弦定理，，，
平面，则点在平面内，
，，得，
又，， ∴，，
设平面的法向量为，
∴，∴，设，则，
又∵，
故直线与平面所成角的正弦值为
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）先利用余弦定理可得，利用线段长度结合勾股定理可得，再利用线面垂直的判定定理可得平面，即可证；
（2）以为原点建立空间直角坐标系，先利用正弦定理可得CD=1，再利用向量法求平面的法向量为，结合线面角的正弦值公式即可求解.
（1）∵中，，
由余弦定理，，而为三角形内角，
∴，，
∵，，∴，即，
又∵中，，，∴，
平面，，∴平面，
平面，∴.
（2）以为原点，分别为轴，过垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系：，
，，，
由正弦定理，，，
平面，则点在平面内，
，，得，
又，， ∴，，
设平面的法向量为，
∴，∴，设，则，
又∵，
故直线与平面所成角的正弦值为
20．【答案】（1）解：双曲线的焦距，；
双曲线的渐近线方程为，即，，
又，，，
双曲线的标准方程为：．
（2）解：已知如图所示：
由（1）得：，，设，，
如图可知：直线的斜率一定存在，则可设，
由得：，
由解得：且，
，，
；
，，即，
，
解得：或，又且，故，
则直线的方程为：，即．
【知识点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）先利用间距可得，再利用渐近线得到结合即可求解；
（2）设出直线的点斜式方程，与双曲线方程联立消元得一元二次方程，求出的取值范围，根据根与系数关系可得，，再利用代入点的坐标进行等价转化，得到，解此方程，并进行取舍即得直线的方程.
（1）双曲线的焦距，；
双曲线的渐近线方程为，即，，
又，，，
双曲线的标准方程为：．
（2）由（1）得：，，设，，
如图可知：直线的斜率一定存在，则可设，
由得：，
由解得：且，
，，
；
，，即，
，
解得：或，又且，故，
则直线的方程为：，即．
21．【答案】（1）解：∵，∴，得：，
∴，
∴，
∴.
（2）证明：由（1）得，①，
②，
①-②得：，
∴，
.
【知识点】等差数列的前n项和；等比数列的前n项和
【解析】【分析】（1）先利用已知条件列出关于和d的方程，求出即可得通项公式，再代入求和公式即可得解；
（2）由（1）可得，再利用错位相减法求和即可得证.
（1）∵，
∴，得：，
∴，
∴，
∴.
（2）由（1）得，
①，
②，
①-②得：，
∴，
.
22．【答案】（1）解：由题意得：，②，③，①②③联立得：，
∴椭圆标准方程为：
（2）解：∵过点的直线与椭圆及圆依次交于四点，∴圆在椭圆内部，故：；
，∴设直线，
由代入椭圆，整理得：，易知，
∴
∵，
（*）
又，，
，
代入（*）式得：
，
又，，
所以，整理得：，
故上述关于的方程有解即可；
由因，则，故，
所以，即解得：
又因，解得：；
当不存在时，直线，此时，
，
，即，解得.
综上所述：的取值范围为．
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用已知条件列出关于的方程组，解方程可得即可求解；
（2）设直线，，直线与椭圆方程联立，利用根与系数关系可得，再将转化为的表达式，再利用转化得，利用求的范围问题转化为求的值域问题即可求解.
（1）由题意得：，②，③，
①②③联立得：，∴椭圆标准方程为：
（2）∵过点的直线与椭圆及圆依次交于四点，
∴圆在椭圆内部，故：；
，∴设直线，
由代入椭圆，整理得：，易知，
∴
∵，
（*）
又，，
，
代入（*）式得：
，
又，，
所以，整理得：，
故上述关于的方程有解即可；
由因，则，故，
所以，即解得：
又因，解得：；
当不存在时，直线，此时，
，
，即，解得.
综上所述：的取值范围为．
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