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第五章 一元一次方程
5.2.2.1解一元一次方程
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
课堂练习
05
课堂小结
06
作业布置
01
教学目标
理解一元一次方程的概念和特征。
01
能够通过列方程解决简单的实际问题，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
03
掌握解一元一次方程的基本步骤和方法，包括去括号、去分母、移项、合并同类项和系数化为1。
02
02
新知导入
前面我们遇到的一些方程，例如
45+x=3(13 +x),
这两个方程有什么共同特征
像这样，只含有一个未知数、左右两边都是整式，并且含未知数的项的次数都是Ⅰ的方程叫做一元一次方程(linear equation with one unknown).
02
新知导入
【拓展】
题目：1.方程 3x+5=14 是一元一次方程。（）
答案：对
2.方程 7+x=2x 2 是一元一次方程。（）
答案：对（虽然方程两边都有x，但移项后仍然是一元一次方程的形式）
03
新知讲解
例4 解方程:3(x-2) +1 =x-(2x-1).
解 去括号，得 3x-6+ 1 =x -2x+ 1.
合并同类项，得 3x -5 =-x + 1.
移项，得3x+x = 1 +5.
合并同类项，得 4x=6.
将未知数的系数化为1，得
练习
1.解下列方程：
(1)2x –(x + 10)= 5x + 2(x – 1)；
(2)3x – 7(x – 1) = 3 – 2(x + 3) .
(3)2x+3(2x-1)=16-(x+1)
(4)2x-3(x-1)=3-2(x-1)
03
新知讲解
2.(1)方程 x-(2-2x)=2x的解是 _________(x=2)
(2)若代数式3(x+2)的值比2(2x-3)的值大12，则x的值为 ____
(x=0)
03
新知讲解
解:(1)去括号，得:2x-x-10=5x+2x-2
移项，得:2x-x-5x-2x=-2+10
合并同类项，得:-6x=8
系数化为1，得:x=-
(2)去括号，得:3x-7x+7=3-2x-6
移项，得:3x-7x+2x=3-6-7
合并同类项，得:-2x=-10
系数化为1，得:x=5
03
新知讲解
(3) 去括号,得：2x+6x 3=16 x 1
移项，得 2x+6x+x=16 1+3
合并同类项得9x=18
将系数化为1，得x=2
（4）去括号，得：2x 3x+3=3 2x+2
移项得：2x 3x+2x=3+2 3
合并同类项得：x=2
练习
03
新知讲解
2.
(1)方程 x-(2-2x)=2x的解是 _________
答案：x=2
(2)若代数式3(x+2)的值比2(2x-3)的值大12，则x的值为 ____
答案:x=0
去括号法则是什么？
用“去括号” 解一元一次方程的步骤是什么
03
新知讲解
1.去括号法则是什么？
1)去掉“+( )”，括号内各项的符号都不变号.
2)去掉“-( )”，括号内各项的符号都要变号.
2.用“去括号” 解一元一次方程的步骤：
1) 应用分配律去括号：
2) 移项和合并同类项（如果需要）：
3) 求解未知数：
总结
06
课本例题
例5
解方程：
【分析】 这个方程中的系数出现了分数，通常可以将方程的两边都乘以同一个数(这里是都乘以6)，去掉方程中的分母. 像这样的变形通常称为“去分母”.
06
课本例题
例5
解方程：
解析
解 去分母，得3（x-3）-2（2x+1）=6
去括号，得3x - 9 - 4x - 2 = 6.
移项，得3x-4x= 6 + 9 +2.
合并同类项，得 -x = 17.
将未知数的系数化为1，得x=- 17.
这里为什么要添上括号
06
课本例题
【思考】回顾以上各例题的解答过程，总结一下：
1.解一元一次方程通常有哪些步骤
2.各步骤进行的是怎样的变形
3.如何根据方程的特点灵活运用方程的变形规则
03
新知讲解
1.解一元一次方程的一般步骤包括哪些
去分母 2) 去括号 3) 移项 4) 合并同类项 5) 系数化为1
2. 在解一元一次方程前，需先观察方程特点，如分数、括号和同类项等。根据特点确定解题步骤，如去分母、去括号。解题时要灵活运用变形规则，可能需多次运用，如去括号后移项合并同类项，再系数化为1求解。总之，要针对方程特点，灵活应用变形规则求解。
总结
04
新知探究
1.解方程
练习
解:(1)去分母(方程两边乘4),
得2(x+1)-4=8+(2-x).
去括号,得2x+2-4=8+2-x.
移项,得2x+x=8+2-2+4.
合并同类项,得3x=12.
系数化为1,得x=4.
04
新知探究
1.解方程
练习
解:(2)去分母(方程两边乘6),
得18x+3(x-1)=18-2(2x-1).
去括号,得18x+3x-3=18-4x+2.
移项,得18x+3x+4x=18+2+3.
合并同类项,得25x=23.
系数化为1,得x=.
06
课本例题
【强调】用“去分母”法则解一元一次方程的步骤可以概括为以下几点：
1. 确定最小公倍数
2. 两边同时乘以最小公倍数
3. 化简：去括号、移项、合并同类项等。
4. 求解未知数
05
课堂小结
1. 一元一次方程的概念：只含有一个未知数，且未知数的次数为1的方程称为一元一次方程。
2. 解一元一次方程的步骤：
o 去括号：
o 去分母：
o 移项：
o 合并同类项：
o 系数化为1：
总结
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1.方程7(2x-1)-3(4x-1)=11 去括号后，正确的是 ( )
A. 14x-7-12x+1=11 B. 14x-1-12x-3=11
C. 14x-7-12x+3=11 D. 14x-1-12x+3=11
2.若代数式3a+1与3(a-1)的值互为相反数，则a的值为（ ）
A. B. C. - D.-
C
A
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
如果x=3是方程4x-3(a-x)=6x-7(a-x)的解，那么a=______
解方程：x+1-2(x-1)=1-3x
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
5. 一个长方形的长减少2cm，宽增加2cm后，面积保持不变.
已知这个长方形的长是6cm，求它的宽.
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
6.某工厂加强节能措施，去年下半年与上半年相比，月平均用电量减
少2 000 kW·h(千瓦·时)，全年用电15万kW·h.这个工厂去年上半年
每月平均用电是多少？
温馨提示：1kW·h的电量是指1kW的电器1h的用电量.
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
分析:设上半年每月平均用电量为 x kW·h,则下半年每月平均用电量为:
(x－2000) kW·h．
上半年用电量为：6x kW·h；
下半年用电量为：6(x－2000) kW·h
根据题意列出方程：6x+6(x-2000)=150000
解:去括号，得:6x+6x-12000=150000
移项，得:6x+6x=150000+12000
合并同类项，得:12x=162000 系数化为1，得:x=13500
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学 科 数学 年 级 七年级 设计者
教材版本 浙教版 册、章 下册第五章
课标要求 内容要求： 1.能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出方程:理解方程解的意义，经历估计方程解的过程； 2.掌握等式的基本性质；能解一元一次方程。 学业要求：
能根据具体问题中的数量关系列出方程，理解方程的意义；认识方程解的意义，经历估计方程解的过程；掌握等式的基本性质，能运用等式的基本性质进行等式的变形，能根据等式的基本性质解一元一次方程。
内容分析 教材从生活实例引出方程概念，如猜年龄、跑步路程问题，让学生感受方程的实用性。通过天平平衡直观呈现等式性质，为方程变形和解方程做铺垫。逐步深入讲解一元一次方程的解法，从简单方程到含分母、括号的复杂方程，符合学生认知规律。实际应用部分涵盖人员分配、工程、行程等多种问题，培养学生建模和解决问题能力。教材内容逻辑连贯，为后续学习方程相关知识奠定基础。
学情分析 学生在小学已接触简单方程，对等式有一定认识，但从算术思维向代数思维转变仍有困难。对于抽象的方程概念和等式性质，部分学生理解可能不深入。在找实际问题中的等量关系时，由于问题情境多样，学生难以准确分析。解方程过程中，移项、去分母等步骤容易出错。不过，七年级学生好奇心强，对生活中的数学问题感兴趣，利于开展教学活动。
单元目标 （一）教学目标 1.学生能阐述方程及一元一次方程概念，准确识别方程； 2.熟练掌握一元一次方程解法，能正确求解各类一元一次方程； 3.能从实际问题中找出等量关系，列出并求解方程，解决实际问题。 4.通过方程概念的形成、方程解法的探究及实际问题的解决，培养学生抽象概括、逻辑推理和数学建模能力，体会方程思想。 5.让学生感受数学与生活的联系，认识数学的应用价值，提高学习数学的积极性，培养认真严谨的学习态度。 （二）教学重点、难点 教学重点： 1.一元一次方程的解法，包括移项、去分母、去括号等步骤的正确运用。 2.从实际问题中分析数量关系，找出等量关系并列出一元一次方程。 教学难点： 对等式性质的理解与运用，尤其是在方程变形过程中的准确应用。 准确分析复杂实际问题中的等量关系，建立方程模型
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架 （二）课时安排 课时编号单元主要内容课时数5.1从实际问题到方程15.2解一元一次方程 35.3实践与探索1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务5.1 从实际问题到方程学生能理解方程概念，掌握方程解的判断方法，学会从实际问题列方程，提升抽象思维与建模能力。观察学生课堂参与度，看能否积极举例列方程；检查练习完成情况，评估列方程的准确性；根据学生对拓展问题的思考，评价创新思维能力。1.方程概念引入：借助 “猜年龄”“跑步时间比较” 等实际问题，引导学生用字母表示未知量，根据题目中的等量关系列出含有未知数的等式，从而自然地引出方程的定义。 2.方程解的概念探究：通过尝试检验法，代入不同数值到方程中，判断等式是否成立，以此帮助学生理解方程的解的概念。5.2.1 等式的性质与方程的简单变形学生理解等式性质，掌握方程移项、系数化为 1 等变形方法，能正确进行方程简单变形。从学生对等式性质的举例和判断练习，评估对性质的理解；依据方程变形练习的正确率，评价变形方法的掌握程度；观察学生在练习中的思考过程，判断运算能力。1.等式性质探究：利用天平平衡的直观演示 2.方程变形规则推导：基于等式的性质，引导学生推导出方程的变形规则，即方程两边都加上（或都减去）同一个数或同一个整式，方程的解不变；方程两边都乘以（或都除以）同一个不等于 0 的数，方程的解不变。5.2.2 解一元一次方程 学生掌握一元一次方程定义，熟练运用步骤解方程，能解决实际问题。通过判断方程类型，考查对定义的理解；依据解方程练习的错误率和速度，评价解题能力；从实际问题的解答，评估知识应用能力。1.一元一次方程定义讲解：通过展示一系列方程，让学生观察方程的特点，归纳出一元一次方程的定义，即只含有一个未知数、左右两边都是整式，并且含未知数的项的次数都是 1 的方程。 2.解方程步骤教学：以不同类型的一元一次方程为例，详细讲解解方程的一般步骤，包括去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1。5.2.3一元一次方程的实际应用掌握用一元一次方程解决实际问题的一般步骤；用列方程解实际问题(代数方法)比用算术方法解的优越性． 2.通过分析找出实际问题中的等量关系，并根据等量关系列出方程．1.用一元一次方程解决实际问题的一般步骤． 2.找出实际问题中的等量关系，并根据等量关系列出方程． 活动一：通过问题情景引入新课，鼓励学生观察天平的操作探索新知. 活动二：学习例题6和7，进一步加深对解方程应用题的步骤进行理解和掌握．5.3 实践与探索 学生学会分析数量关系、建模解题，培养合作探究和创新思维，体会数学应用价值。观察小组讨论参与度，评价合作能力；从拓展问题的解答，评估创新思维；通过学生总结反思，了解对解题方法的掌握和应用意识。1.问题探究与解决：针对课本中的实践问题，如用铁丝围长方形、不同年级捐款问题等，引导学生分析问题中的数量关系，设出合适的未知数，找出等量关系并列出方程 2.拓展与延伸：对实践问题进行拓展和延伸，如改变问题中的条件或数据，让学生重新思考和解决问题
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分课时教学设计
《5.2.2.1解一元一次方程》教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节课是一元一次方程第二课时的第一部分，重点聚焦于解一元一次方程的步骤。主要是对去括号，去分母这几个关键步骤在解方程中运用的讲解，以及利用一元一次方程解决各类实际问题。这些内容不仅是对一元一次方程概念的深化理解，更是培养学生将实际问题转化为数学模型并求解能力的重要载体，为后续学习更复杂的方程和数学应用奠定基础。
学习者分析 学生在之前已接触过一元一次方程的基本概念，对等式性质也有一定了解，具备初步的运算能力和简单方程求解经验。然而，将实际问题抽象为方程模型，以及在解方程过程中准确运用去括号法则、移项变号等知识，对部分学生而言可能存在困难。同时，不同学生在数学思维和运算速度上存在差异，部分学生可能在复杂问题的分析和计算上需要更多引导与练习。
教学目标 1.理解一元一次方程的概念和特征。 2.掌握解一元一次方程的基本步骤和方法，包括去括号、去分母、移项、合并同类项和系数化为1。 3.能够通过列方程解决简单的实际问题，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
教学重点 正确运用去括号和去分母法则解含括号的一元一次方程；根据实际问题中的等量关系列出方程并求解。
教学难点 从实际问题中准确找出等量关系，构建合理的一元一次方程模型；在解方程过程中，正确处理去括号、移项变号等易错环节，避免计算错误。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：引入新课——一元一次方程的概念教师活动1： 前面我们遇到的一些方程，例如 45+x=3(13 +x), 这两个方程有什么共同特征 像这样，只含有一个未知数、左右两边都是整式，并且含未知数的项的次数都是Ⅰ的方程叫做一元一次方程(linear equation with one unknown). 我们再一起来解几个一元一次方程. 【拓展】题目：1.方程 3x+5=14 是一元一次方程。（）
答案：对 2.方程 7+x=2x 2 是一元一次方程。（） 答案：对（虽然方程两边都有x，但移项后仍然是一元一次方程的形式）学生活动1： 学生回答问题，引出一元一次方程的概念。复习旧知，激活学生已有知识储备，为新知识学习做铺垫，同时通过提问引发学生好奇心和求知欲，营造良好的课堂氛围。活动意图说明：激发学生兴趣,引入新课主题环节二：去括号例4 解方程:3(x-2) +1 =x-(2x-1). 解 去括号，得 3x-6+ 1 =x -2x+ 1. 合并同类项，得 3x -5 =-x + 1. 移项，得3x+x = 1 +5. 合并同类项，得 4x=6. 将未知数的系数化为1，得 练习 1. 解下列方程： (1)2x –(x + 10)= 5x + 2(x – 1)； (2)3x – 7(x – 1) = 3 – 2(x + 3) . (3)2x+3(2x-1)=16-(x+1) (4)2x-3(x-1)=3-2(x-1) 解:(1)去括号，得:2x-x-10=5x+2x-2 移项，得:2x-x-5x-2x=-2+10 合并同类项，得:-6x=8 系数化为1，得:x=- (2)去括号，得:3x-7x+7=3-2x-6 移项，得:3x-7x+2x=3-6-7 合并同类项，得:-2x=-10 系数化为1，得:x=5 (3) 去括号,得：2x+6x 3=16 x 1 移项，得 2x+6x+x=16 1+3 合并同类项得9x=18 将系数化为1，得x=2 （4）去括号，得：2x 3x+3=3 2x+2 移项得：2x 3x+2x=3+2 3 合并同类项得：x=2 2.(1)方程 x-(2-2x)=2x的解是 (x=2) (2)若代数式3(x+2)的值比2(2x-3)的值大12，则x的值为 (x=0) 【强调】1.去括号法则是什么？ 1)去掉“+( )”，括号内各项的符号都不变号. 2)去掉“-( )”，括号内各项的符号都要变号. 2.用“去括号” 解一元一次方程的步骤： 应用分配律去括号：
使用分配律（即乘法分配律，a(b+c) = ab + ac）来去掉括号。如果括号前有系数，需要将这个系数与括号内的每一项相乘；如果括号前是负号，则需要将括号内的每一项都乘以-1（即改变符号）。 移项和合并同类项（如果需要）：
在整理方程后，如果还需要进一步简化方程，可以执行移项和合并同类项的操作。 求解未知数：
最后，将方程化简为一元一次方程的标准形式（即ax = b的形式），然后求解未知数x。学生活动2： 认真听讲，跟随教师思路理解去括号和解方程步骤，在练习中尝试运用所学方法解题，遇到问题及时提问 活动意图说明：通过具体实例，让学生直观理解去括号和解方程的方法，练习加深对知识的掌握；引导学生分析实际问题，培养其建模能力和解决问题的能力。环节三：新知探究——去分母教师活动3： 例5 解方程： 【分析】 这个方程中的系数出现了分数，通常可以将方程的两边都乘以同一个数(这里是都乘以6)，去掉方程中的分母. 像这样的变形通常称为“去分母”. 解 去分母，得3（x-3）-2（2x+1）=6【这里为什么要添上括号 】 去括号，得3x - 9 - 4x - 2 = 6. 移项，得3x-4x= 6 + 9 +2. 合并同类项，得 -x = 17. 将未知数的系数化为1，得x=- 17. 【思考】回顾以上各例题的解答过程，总结一下：解一元一次方程通常有哪些步骤 各步骤进行的是怎样的变形 如何根据方程的特点灵活运用方程的变形规则 1.解一元一次方程的一般步骤包括哪些 去分母：将方程两边同时乘以所有分母的最小公倍数，以消除分数。当方程中含有分数时，这一步是必要的。 去括号：利用分配律，将括号内的项与括号外的数相乘，从而去掉括号。当方程中含有括号时，需要执行这一步。 移项：将方程两边的同类项进行交换，使所有包含未知数的项在方程的一边，常数项在另一边。这是为了合并同类项做准备，也是求解方程的关键步骤。 合并同类项：将方程两边的同类项相加或相减，从而简化方程。 这一步可以进一步简化方程，使其更易于求解。 系数化为1：将未知数前的系数化为1，从而解出未知数。这是求解一元一次方程的最后一步，通过除法或乘法将系数化为1。 2.在解一元一次方程前，需先观察方程特点，如分数、括号和同类项等。根据特点确定解题步骤，如去分母、去括号。解题时要灵活运用变形规则，可能需多次运用，如去括号后移项合并同类项，再系数化为1求解。总之，要针对方程特点，灵活应用变形规则求解。 练习： 1.解方程 解:(1)去分母(方程两边乘4), 得2(x+1)-4=8+(2-x). 去括号,得2x+2-4=8+2-x. 移项,得2x+x=8+2-2+4. 合并同类项,得3x=12. 系数化为1,得x=4. (2)去分母(方程两边乘6), 得18x+3(x-1)=18-2(2x-1). 去括号,得18x+3x-3=18-4x+2. 移项,得18x+3x+4x=18+2+3. 合并同类项,得25x=23. 系数化为1,得x=. 【强调】用“去分母”解一元一次方程的步骤可以概括为以下几点： 确定最小公倍数：
找出方程中所有分母的最小公倍数。这个最小公倍数将用于方程两边同时乘以，以消除分数。 两边同时乘以最小公倍数：
将方程的两边都乘以找到的最小公倍数。这一步的目的是为了消除方程中的分数，使方程变得更简单。 化简：
在乘以最小公倍数后，方程中的分数将被消除，留下整数项。此时，可以进一步简化方程，例如去括号、移项、合并同类项等。 求解未知数：
经过上述步骤后，方程将变为一个更简单的形式，通常是一个一元一次方程。此时，可以通过移项和系数化为1等步骤来求解未知数。学生活动3： 独立思考，认真计算，完成练习题，接受教师指导并改正错误。活动意图说明：通过探究和练习，让学生掌握去分母的方法和步骤，加深对一元一次方程解法的理解。
课堂总结 节课我们主要学习了一元一次方程的解法以及其在实际问题中的应用。以下是本节课所学的关键知识点总结： 一元一次方程的概念：只含有一个未知数，且未知数的次数为1的方程称为一元一次方程。 解一元一次方程的步骤： 去括号：利用分配律去掉方程中的括号，注意括号前是负号时，括号内的各项符号都要变号。 去分母：当方程中含有分数时，通过两边同时乘以所有分母的最小公倍数来消除分数。 移项：将方程两边的同类项进行交换，使所有包含未知数的项在方程的一边，常数项在另一边。 合并同类项：将方程两边的同类项相加或相减，从而简化方程。 系数化为1：将未知数前的系数化为1，从而解出未知数。 实际应用问题： 我们通过天平平衡问题和搬运教科书问题，学习了如何根据题意列出等量关系，并设立方程进行求解。 列方程的关键是找出题目中的等量关系，并设立未知数来表示这些关系。 解题技巧与注意事项： 在解题过程中，要灵活运用变形规则，可能需多次运用去括号、移项、合并同类项等步骤。 注意检查解是否符合题意，进行解的验证。 通过本节课的学习，同学们应该能够熟练掌握一元一次方程的解法，并能够运用所学知识解决实际问题。希望同学们在今后的学习中，能够继续巩固和提高自己的数学能力
作业设计 【知识技能类作业】 1.方程7(2x-1)-3(4x-1)=11 去括号后，正确的是 ( C ) A. 14x-7-12x+1=11 B. 14x-1-12x-3=11 C. 14x-7-12x+3=11 D. 14x-1-12x+3=11 2.若代数式3a+1与3(a-1)的值互为相反数，则a的值为（ A ） A. B. C. - D.- 3. 如果x=3是方程4x-3(a-x)=6x-7(a-x)的解，那么a= .（） 4. 解方程：x+1-2(x-1)=1-3x 解： 去括号，得：x+1 2x+2=1 3x 移项，得：x 2x+3x=1 ( 1) (1+2) 合并同类项，得：2x= 2 系数化为1，得：x= 1 【综合拓展类作业】 5. . 一个长方形的长减少2cm，宽增加2cm后，面积保持不变. 已知这个长方形的长是6cm，求它的宽. 解：设这个长方形的宽为 x cm。
根据题目：长方形的长减少了2cm，变为 6 2=4 cm；宽增加了2cm，变为 x+2 cm。
变化后的长方形面积为 4(x+2) cm 。
列方程：6x=4(x+2)
去括号得：6x=4x+8
移项并合并同类项：2x=8
解得：x=4
答：这个长方形的宽为4cm。 6.某工厂加强节能措施，去年下半年与上半年相比，月平均用电量减少2 000 kW·h(千瓦·时)，全年用电15万kW·h.这个工厂去年上半年每月平均用电是多少？ 温馨提示：1kW·h的电量是指1kW的电器1h的用电量. 解： 分析:设上半年每月平均用电量为 x kW·h,则下半年每月平均用电量为:(x－2000) kW·h． 上半年用电量为：6x kW·h； 下半年用电量为：6(x－2000) kW·h 根据题意列出方程：6x+6(x-2000)=150000 解:去括号，得:6x+6x-12000=150000 移项，得:6x+6x=150000+12000 合并同类项，得:12x=162000 系数化为1，得:x=13500
教学反思 本节课通过引导学生掌握解一元一次方程的基本步骤和方法，取得了一定的教学效果。但在教学过程中，也发现了一些问题。例如，部分学生在去括号和去分母步骤上存在一定的困难，需要进一步加强练习和指导。同时，也需要注重培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力，鼓励学生多思考、多尝试，以更好地掌握一元一次方程的解法。
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