2025年吉林省中考数学模拟考试试题（一）（原卷版）
满分120分 考试用时120分钟
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
单选题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．计算的结果是（ ）
A．17 B． C．7 D．
2．“斗”是我国古代称量粮食的量器，它无盖，其示意图如图所示，下列图形是“斗”的俯视图的是（ ）
A． B． C． D．
3．在剪纸活动中，小花同学想用一张矩形纸片剪出一个正五边形，其中正五边形的一条边与矩形的边重合，如图所示，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
4．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．用不等式的性质说明下图中的事实，正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
6．如图，小明在点处测得树的顶端仰角为，同时测得，则树的高度为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在中，点在边上，且．按以下步骤作图：
①以点为圆心，以适当长为半径画弧，交于点，交于点；
②以点为圆心，以长为半径画弧，交于点
③以点为圆心，以长为半径画弧，交前一条弧于点
④连结并延长，交于点．
则一定可以推得的结论是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，点在函数的图象上．将直线沿轴向上平移，平移后的直线与轴交于点，与函数的图象交于点．若，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
9．单项式的次数是 ．
10．计算： ．
11．若抛物线与x轴无交点，则k的取值范围是 ．
12．已知函数，若随增大而减小，则的取值范围是 ．
13．在活动课上，“凌志组”用含角的直角三角尺设计风车．如图，，，，将直角三角尺绕点逆时针旋转得到，使点落在AB边上，此时与两点间的距离为 ．
14．如图，点在以为直径的半圆上运动（点在点左侧，点不与点重合），于点平分，交于点，交于点．给出下面四个结论：
①；
②是等腰三角形；
③当，时，的面积为；
④．
上述结论中，正确结论的序号有 ．
三、解答题（本大题共10个小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．先化简，再从，，0，2中选择一个合适的数作为a的值代入求值．
为感受华夏五千年的文明脉络，某校组织学生开展“璀璨历史，古都魅力”的研学之旅，策划了三条研学路线让学生选择：A．秦文化，走进秦始皇兵马俑；B．唐文化，走在丝路上的传奇；C．汉文化，走进汉长安城未央宫遗址．每人只能选择一条线路，小明和小红两人用抽卡片的方式确定一条自己要去的线路．他们准备了三张不透明的卡片，正面分别写上字母，代表线路，卡片除了正面的字母以外其余完全相同，将三张卡片正面向下洗匀，小明先随机抽取一张卡片，记下字母后放回、洗匀，小红再随机抽取一张卡片．请用画树状图或者列表法，求两人抽到同一路线的概率．
明代的程大位创作了《算法统宗》，它是一本通俗实用的数学书，将枯燥的数学问题化成了美妙的诗歌，读来朗朗上口，是将数字入诗的代表作，其中有一首饮酒数学诗：“肆中饮客乱纷纷，薄酒名醨厚酒醇，醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人，共同饮了一十九，三十三客醉颜生，试问高明能算士，几多醨酒几多醇？”这首诗是说：“好酒一瓶，可以醉倒3位客人；薄酒三瓶，可以醉倒1位客人，如今33位客人醉倒了，他们总共饮下19瓶酒。试问：其中好酒、薄酒分别是多少瓶？请用学过的知识解决这个问题．
18．如图，平分，且交于点C，平分，且交于点D，连接．求证：四边形是菱形．
19．第24届冬季奥林匹克运动会将于2022年2月4日至2月20日在中国北京和张家口市联合举行．为了解学生对冬奥会冰雪项目的认识程度，某校体育组老师从该校八年级学生中随机抽取了20名学生进行冰上项目和雪上项目的知识测试，获得了他们的测试成绩（百分制），并对数据（测试成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．测试成绩的频数分布表如下：
冰上项目 0 0 12 6 2
雪上项目 1 4 7 3 5
b．雪上项目测试成绩在这一组的是：
70，70，70，71，71，73，75
c．冰上项目和雪上项目测试成绩的平均数、中位数、众数如下：
项目 平均数 中位数 众数
冰上项目 77.95 76 75
雪上项目 76.85 70
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表中的值为__________；
（2）在此次测试中，某学生的冰上项目测试成绩为75分，雪上项目测试成绩为73分，这名学生测试成绩排名更靠前的是_______（填“冰上”或“雪上”）项目，并说明理由；
（3）已知该校八年级共有200名学生，假设该年级学生都参加此次测试，估计冰上项目测试成绩不低于80分的人数．
20．图①、图②、图③均是的正方形网格、每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留必要的作图痕迹．
(1)在图①中，作的中线，
(2)在图②中，在上找一点，使；
(3)在图③中，以为对称中心画一个中心对称四边形，且点、在格点上．
21．弟弟李明林骑自行车保持匀速从家到临江游园观看2024中国·吉林市国际冬季龙舟邀请赛．在观众区观看完“200米直道竞速项目”后，以相同的速度按原路骑自行车返回家中．设李明林距离家的路程为，运动时间为，与之间的函数图象如图所示．
(1)______．
(2)在弟弟李明林从临江游园返回家的过程中，求与之间的函数关系式．
(3)已知哥哥李明吉已在临江游园等待观看赛龙舟．在弟弟从家出发的同时，哥哥接到妈妈电话，要求他马上回家．故哥哥以的速度沿弟弟来时的路径从临江游园匀速步行回家．当兄弟二人之间的距离为时，直接写出哥哥李明吉的运动时间．
22．【问题提出】（1）如图1，在中，对角线平分．求证：四边形是菱形．
【问题探究】（2）如图2，点E在正方形内，点F在正方形外，连接，且．若，求的长．
【问题解决】（3）如图3，某公园内有一块平行四边形草坪，其中平分，，点E，P分别在上，且，连接．现要沿修建步行景观道，为了节省成本，要使所修的步行景观道最短，试求的最小值．（路面宽度忽略不计）
23．如图，在中，，，，动点P以每秒5个单位长度的速度从点A出发，沿的方向向终点B运动．当点P不与A、B、C重合时，过点P作于点Q，点P关于点C的对称点为D，以、为边作．设点P的运动时间为．
(1)______；
(2)用含有t的代数式表示的长；
(3)当为菱形时，求t的值；
(4)作点E关于直线的对称点G，当点G落在内部时，直接写出t的取值范围．
24．已知抛物线是常数，，自变量与函数值的部分对应值如下表：
0 1 2 3 …
1 …
(1)根据以上信息，可知抛物线开口向______，对称轴为直线______．
(2)求抛物线的解析式和的值．
(3)将抛物线的图象记为，将绕点旋转后的图象记为合起来得到的图象记为，完成以下问题：
①若直线与函数有且只有两个交点，直接写出的取值范围．
②若对于函数上的两点，当时，总有，直接写出的取值范围．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页2025年吉林省中考数学模拟考试试题（一）（解析版）
满分120分 考试用时120分钟
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
单选题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．计算的结果是（ ）
A．17 B． C．7 D．
【答案】D
【分析】本题考查了有理数的加法，掌握有理数的加法法则是解题的关键．
绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．
【详解】解：．
故选：D．
2．“斗”是我国古代称量粮食的量器，它无盖，其示意图如图所示，下列图形是“斗”的俯视图的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查简单几何体的三视图，解题的关键是掌握：俯视图是从上面看到的图形．据此可得答案．
【详解】解：从上面看，看到的图形为一个正方形，在这个正方形里面还有一个小正方形，且四条线段连接对应顶点，
A．该图形不是“斗”的俯视图，故此选项不符合题意；
B．该图形不是“斗”的俯视图，故此选项不符合题意；
C．该图形是“斗”的俯视图，故此选项符合题意；
D．该图形不是“斗”的俯视图，故此选项不符合题意．
故选：C．
3．在剪纸活动中，小花同学想用一张矩形纸片剪出一个正五边形，其中正五边形的一条边与矩形的边重合，如图所示，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了多边形内角与外角，正多边形的内角和，熟练掌握正多边形的内角和公式是解题的关键．
根据正五边形的内角和公式和邻补角的性质即可得到结论．
【详解】解：，
故选：D．
4．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】直接利用整式的加减运算法则计算得出答案．
【详解】A、，故此选项正确．
B、，故此选项错误．
C、，故此选项错误．
D、，故此选项错误．
故选：A．
【点睛】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握其运算法则是解题的关键．
5．用不等式的性质说明下图中的事实，正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】A
【分析】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题关键．根据图形及不等式的性质求解即可．
【详解】解：用不等式的性质说明下图中的事实，正确的是若，则，
故选：A．
6．如图，小明在点处测得树的顶端仰角为，同时测得，则树的高度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由锐角三角函数定义得，即可得出答案．
【详解】解：在中，，，，
．
故选：A．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用－仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
7．如图，在△ABC中，点在边上，且．按以下步骤作图：
①以点为圆心，以适当长为半径画弧，交于点，交于点；
②以点为圆心，以长为半径画弧，交于点
③以点为圆心，以长为半径画弧，交前一条弧于点
④连结并延长，交于点．
则一定可以推得的结论是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了尺规作图--作一个角等于已知角、平行线的判定和相似三角形判定与性质．由作图可知：，推出，利用平行线的性质证出即可解决问题．
【详解】解：由作图可知：，
∴，
∴，
，
，
，
故选：A．
8．如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，点在函数的图象上．将直线沿轴向上平移，平移后的直线与轴交于点，与函数的图象交于点．若，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查反比例函数、解直角三角形、平移的性质等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键．
如图：过点A作x轴的垂线交x轴于点E，过点C作y轴的垂线交y轴于点D，先根据点A坐标计算出、k值，再根据平移、平行线的性质证明，进而根据求出，最后代入反比例函数解析式取得点C的坐标，进而确定,，再运用勾股定理求得，进而求得即可解答．
【详解】解：如图，过点A作x轴的垂线交x轴于点E，过点C作y轴的垂线交y轴于点D，则轴，
∵，
∴，，
∴．
∵在反比例函数的图象上，
∴．
∴将直线向上平移若干个单位长度后得到直线，
∴，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∴，
∴，解得：，即点C的横坐标为2，
将代入，得，
∴C点的坐标为，
∴,，
∴，
∴,
∴
故选：B．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
9．单项式的次数是 ．
【答案】4/四
【分析】本题考查的是单项式，掌握一个单项式中所有字母的指数和叫做单项式的次数是解答关键．
根据单项式次数的定义，求出单项式中所有字母的指数和即求解．
【详解】解：单项式中所有字母的指数和为：，
所以单项式的次数是4．
故答案为：4．
10．计算： ．
【答案】
【分析】本题考查二次根式加减，解题的关键是熟练掌握将二次根式化到最简，然后合并．
【详解】解：
故答案为：
11．若抛物线与x轴无交点，则k的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数与轴的交点问题，转化为一元二次方程无实根是解题的关键．根据题意可得方程无实根，得出，解不等式即可求解．
【详解】解：∵抛物线与轴无交点，
则方程无实根，
即，
解得，
故答案为：．
12．已知函数，若随增大而减小，则的取值范围是 ．
【答案】/
【分析】此题主要考查了一次函数图象与系数的关系，利用一次函数的性质可知：当一次函数的系数小于零时，一次函数的函数值随着自变量的增大而减小，即可得到答案．
【详解】解：∵函数，随增大而减小，
∴，
解得：，
故答案为：．
13．在活动课上，“凌志组”用含角的直角三角尺设计风车．如图，，，，将直角三角尺绕点逆时针旋转得到，使点落在AB边上，此时与两点间的距离为 ．
【答案】4
【分析】本题主要考查了直角三角形角所对的边等于斜边的一半，旋转的性质，熟练地掌握相关内容是解题的关键．根据直角三角形角所对的边等于斜边的一半，易知，结合旋转的性质可知，根据直角三角形角所对的边等于斜边的一半可求出的长．
【详解】解：如图，连接，
，，，
，，
由旋转的性质得，，
为等边三角形，
．
故答案为：4．
14．如图，点在以为直径的半圆上运动（点在点左侧，点不与点重合），于点平分，交于点，交于点．给出下面四个结论：
①；
②是等腰三角形；
③当，时，的面积为；
④．
上述结论中，正确结论的序号有 ．
【答案】①②③
【分析】先由直径所对的圆周角是直角得到，再由得到，从而确定①正确；由①的推理过程及平分，得到，再由对顶角相等，等量代换即可确定，由等腰三角形的判定即可确定②正确；由，作出图形，得到，，由含的直角三角形性质及勾股定理求出相关线段长，再由等边三角形的判定得到是等边三角形，再由角平分线及三角函数进而求出等边三角形边长，过点作，垂足为，如图所示，求出的高即可得到其面积；由相似三角形的判定得到，由相似性质确定即可得到答案．
【详解】解：是的直径，
，则，
，
，则，
，故①正确；
，
，
，
，
平分，
，
，
，
，即为等腰三角形，故②正确；
，如图所示：
，，
在中，，，则，
由勾股定理可得，
由②知是等腰三角形，由①知，
，即是等边三角形，
平分，
，
在中，，，则，
，
过点作，垂足为，如图所示：
，
在中，，则，
，故③正确；
如图所示：
平分，
，
，
，
，
由①可知，
在中，，故④错误；
综上所述，正确结论的序号有①②③，
故答案为：①②③．
【点睛】本题考查几何综合，综合性特别强，难度很大，涉及圆周角定理、互余、角平分线定义、等腰三角形的判定与性质、含的直角三角形性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质、三角函数、三角形面积公式及相似三角的判定与性质等知识，熟练掌握相关几何性质，根据所要求解的问题，准确构造辅助线是解决问题的关键．
三、解答题（本大题共10个小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．先化简，再从，，0，2中选择一个合适的数作为a的值代入求值．
【答案】，当时，原式．
【分析】本题考查分式的化简求值，先根据分式的混合运算法则化简，再根据分式的意义得出， ，将代入求解即可．
【详解】
∵， ，
∴ 当时，原式．
16．为感受华夏五千年的文明脉络，某校组织学生开展“璀璨历史，古都魅力”的研学之旅，策划了三条研学路线让学生选择：A．秦文化，走进秦始皇兵马俑；B．唐文化，走在丝路上的传奇；C．汉文化，走进汉长安城未央宫遗址．每人只能选择一条线路，小明和小红两人用抽卡片的方式确定一条自己要去的线路．他们准备了三张不透明的卡片，正面分别写上字母，代表线路，卡片除了正面的字母以外其余完全相同，将三张卡片正面向下洗匀，小明先随机抽取一张卡片，记下字母后放回、洗匀，小红再随机抽取一张卡片．请用画树状图或者列表法，求两人抽到同一路线的概率．
【答案】
【分析】此题考查了用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．画树状图，共有9种等可能的结果，其中两人抽到同一路线的结果有3种，再由概率公式求解即可．
【详解】解：依题意，画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中小明和小红两人都抽到相同字母的结果有3种，即两人抽到同一路线的结果有3种，
∴两人抽到同一路线的结果的概率是．
17．明代的程大位创作了《算法统宗》，它是一本通俗实用的数学书，将枯燥的数学问题化成了美妙的诗歌，读来朗朗上口，是将数字入诗的代表作，其中有一首饮酒数学诗：“肆中饮客乱纷纷，薄酒名醨厚酒醇，醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人，共同饮了一十九，三十三客醉颜生，试问高明能算士，几多醨酒几多醇？”这首诗是说：“好酒一瓶，可以醉倒3位客人；薄酒三瓶，可以醉倒1位客人，如今33位客人醉倒了，他们总共饮下19瓶酒。试问：其中好酒、薄酒分别是多少瓶？请用学过的知识解决这个问题．
【答案】有好酒10瓶，薄酒9瓶
【分析】设有好酒x瓶，薄酒y瓶，根据题意列出二元一次方程组，解方程组，即可求解．
【详解】解：设有好酒x瓶，薄酒y瓶，根据题意，
得
解得
答：有好酒10瓶，薄酒9瓶．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键．
18．如图，平分，且交于点C，平分，且交于点D，连接．求证：四边形是菱形．
【答案】证明见解析
【分析】由平行线的性质和角平分线定义得出，证出，同理：，得出，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证得四边形是平行四边形，再由邻边相等的平行四边形是菱形即可得出结论．
【详解】证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
同理得，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是菱形．
【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的判定、平行四边形的判定等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解决问题的关键．
19．第24届冬季奥林匹克运动会将于2022年2月4日至2月20日在中国北京和张家口市联合举行．为了解学生对冬奥会冰雪项目的认识程度，某校体育组老师从该校八年级学生中随机抽取了20名学生进行冰上项目和雪上项目的知识测试，获得了他们的测试成绩（百分制），并对数据（测试成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．测试成绩的频数分布表如下：
冰上项目 0 0 12 6 2
雪上项目 1 4 7 3 5
b．雪上项目测试成绩在这一组的是：
70，70，70，71，71，73，75
c．冰上项目和雪上项目测试成绩的平均数、中位数、众数如下：
项目 平均数 中位数 众数
冰上项目 77.95 76 75
雪上项目 76.85 70
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表中的值为__________；
（2）在此次测试中，某学生的冰上项目测试成绩为75分，雪上项目测试成绩为73分，这名学生测试成绩排名更靠前的是_______（填“冰上”或“雪上”）项目，并说明理由；
（3）已知该校八年级共有200名学生，假设该年级学生都参加此次测试，估计冰上项目测试成绩不低于80分的人数．
【答案】（1）72；（2）雪上，见解析；（3）80人．
【分析】（1）有20个数据，中位数是排序后第10个和第11个数据的平均值，第10个数据是71，第11个数据是73，由此可求出中位数；
（2）分别求出雪上项目和冰上项目的中位数，用该生的成绩与对应中位数比较，即可得出答案；
（3）根据样本中不低于80分的人数所占样本总数的百分比，即可求得答案．
【详解】（1）由题可知，雪上项目的中位数为：，
故m的值为72；
（2）这名学生的冰上项目测试成绩是75分，小于中位数76分，所以该生冰上项目的成绩在10名以后；这名学生的雪上项目测试成绩是73分，大于中位数72分，所以该生冰上项目的成绩在10名以前，所以这名学生的雪上项目成绩排名更靠前；
（3）在样本中，冰上项目测试成绩在组，的人数分别为6，2，所以样本中冰上项目测试成绩不低于80分的人数为8人；假设该年级学生都参加此次测试，估计冰上项目测试成绩不低于80分的人数为：（人）．
【点睛】本题考查频数分布表，中位数，以及频率、频数、总数之间的关系，解题关键是根据所给表格得出解题所需的数据，并且熟练掌握中位数的定义和意义、样本估计总体思想的运用．
20．图①、图②、图③均是的正方形网格、每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留必要的作图痕迹．
(1)在图①中，作△ABC的中线，
(2)在图②中，在上找一点，使；
(3)在图③中，以为对称中心画一个中心对称四边形，且点、在格点上．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查了用无刻度直尺在格点图中作图，涉及矩形的性质，相似三角形的判定与性质，中心对称图形的性质等知识，掌握相关知识是关键．
（1）取格点G、H，连接交于点，连接即可；
（2）取格点P、F，连接交于点E，则点E满足条件，即为所作的点；
（3）延长到M，延长到N，且使，显然M、N均是格点，依次连接，则可得四边形是中心对称图形．
【详解】（1）解：如图，取格点G、H，连接交于点，连接，则为所作的中线；
（2）解：取格点P、F，连接交于点E，则；
（3）解：如图，延长到M，延长到N，且使，显然M、N均是格点，依次连接，则可得四边形是中心对称图形．
21．弟弟李明林骑自行车保持匀速从家到临江游园观看2024中国·吉林市国际冬季龙舟邀请赛．在观众区观看完“200米直道竞速项目”后，以相同的速度按原路骑自行车返回家中．设李明林距离家的路程为，运动时间为，与之间的函数图象如图所示．
(1)______．
(2)在弟弟李明林从临江游园返回家的过程中，求与之间的函数关系式．
(3)已知哥哥李明吉已在临江游园等待观看赛龙舟．在弟弟从家出发的同时，哥哥接到妈妈电话，要求他马上回家．故哥哥以的速度沿弟弟来时的路径从临江游园匀速步行回家．当兄弟二人之间的距离为时，直接写出哥哥李明吉的运动时间．
【答案】(1)14
(2)
(3)或或
【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，准确分析图象并结合行程问题求解是解决问题的关键．
（1）根据题意，以相同的速度按原路骑自行车返回家中，则所用时间也相等，进而根据图象列式求解即可；
（2）设与之间的函数关系式为：，将图象中的两个点代入解析式求得、即可求解；
（3）本题需要进行分类讨论，分别以当弟弟在前往临江游园的途中，与哥哥相遇前，两人相距，以当弟弟在前往临江游园的途中，与哥哥相遇后，两人相距，当弟弟在返回家中的途中，两人相距为三种情况列式求解即可得解．
【详解】（1）解：根据题意，以相同的速度按原路骑自行车返回家中，则所用时间也相等，
，
，
故答案为：14；
（2）解：设与之间的函数关系式为：，
将与代入得，
解得，
与之间的函数关系式为：；
（3）解：根据题意，临江游园到家的距离为，哥哥回家的速度为
设弟弟去游园时的函数解析式为，
当时，，可得，解得
弟弟去游园时，对应的函数解析式为：，
设哥哥去回来时的函数解析式为，
当时，，当，时，
可得，解得
对应的函数解析式为：，
①以当弟弟在前往临江游园的途中，与哥哥相遇前，两人相距，
，解得；
②以当弟弟在前往临江游园的途中，与哥哥相遇后，两人相距，
，解得，
③当弟弟在返回家中的途中，
，解得，
综上所述：哥哥李明吉的运动时间或或．
22．【问题提出】（1）如图1，在中，对角线平分．求证：四边形是菱形．
【问题探究】（2）如图2，点E在正方形内，点F在正方形外，连接，且．若，求的长．
【问题解决】（3）如图3，某公园内有一块平行四边形草坪，其中平分，，点E，P分别在上，且，连接．现要沿修建步行景观道，为了节省成本，要使所修的步行景观道最短，试求的最小值．（路面宽度忽略不计）
【答案】（1）见解析；（2）；（3）
【分析】（1）由平行四边形的性质得，从而有；由平分，得，即有，由菱形的判定即可证明；
（2）由证，从而可得，由勾股定理即可求解；
（3）首先由（1）可得，四边形为菱形，从而得；过点A作，取，连接，由证明，则有，从而得．连接、，当G、E、C三点共线时，取得最小值，最小值为．由，可得，由勾股定理即可求得，从而求得最小值．
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，
，
．
平分，
，
，
，
∴四边形是菱形．
（2）解：∵四边形是正方形，
．
在和中，，
，
．
，
，
，
．
（3）解：∵四边形为平行四边形，平分，
∴由（1）可知，四边形为菱形，
，
．
如图，过点A作，取，连接．
在和中，，
，
，
．
连接，当G，E，C三点共线时，取得最小值，最小值为．
在菱形中，，
是等边三角形，
，
，
，
故的最小值为．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定与性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识，有一定的综合性，证明全等三角形是解题的关键．
23．如图，在中，，，，动点P以每秒5个单位长度的速度从点A出发，沿的方向向终点B运动．当点P不与A、B、C重合时，过点P作于点Q，点P关于点C的对称点为D，以、为边作．设点P的运动时间为．
(1)______；
(2)用含有t的代数式表示的长；
(3)当为菱形时，求t的值；
(4)作点E关于直线的对称点G，当点G落在内部时，直接写出t的取值范围．
【答案】(1)10
(2)
(3)或
(4)或
【分析】（1）根据勾股定理即可求解；
（2）分点P在上和上运动两种情况讨论，计算求解即可；
（3）当点P在上运动时，证出，表示出，再根据菱形的性质，利用即可求解；当点P在上运动时，证出，表示出，再根据菱形的性质，利用即可求解．
（4）当点E关于直线的对称点G落在线段上时，利用求出，再根据证出四边形是平行四边形，进而得到，
，进行求解即可；当点E关于直线的对称点G落在线段上时，同理可得，，然后进行求解，即可确定取值范围．
【详解】（1）解：在中，，，
由勾股定理得，
故答案为：10．
（2）当点P在上运动时（），
；
当点P在上运动时（），
．
故
（3）①当点P在上运动时，如图，
∵
∴
∴
∴
即
解得
∵为菱形
∴
∴
解得
②当点P在上运动时，如图，
∵
∴
∴
∴
即
解得
∵为菱形
∴
∴
解得
综上所述，t的值为或．
（4）①当点E关于直线的对称点G落在线段上时，如图，
连接、交于点O，
则，，
∵四边形是平行四边形
∴，
∴
∴
∴
∵
∴
又∵
∴四边形是平行四边形
∴
∴
即
解得
②当点E关于直线的对称点G落在线段上时，如图，
连接、交于点O，
则，，
∵四边形是平行四边形
∴，
∴
∴
∴
∵
∴
又∵
∴四边形是平行四边形
∴
∴
即
解得
综上所述，t的取值范围为或．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定、菱形的判定、勾股定理、全等三角形的性质和判定、轴对称的性质平行线的判定以及相似三角形的性质和判定，熟练掌握平行四边形的性质和判定以及相似三角形的性质和判定是解题的关键．
24．已知抛物线是常数，，自变量与函数值的部分对应值如下表：
0 1 2 3 …
1 …
(1)根据以上信息，可知抛物线开口向______，对称轴为直线______．
(2)求抛物线的解析式和的值．
(3)将抛物线的图象记为，将绕点旋转后的图象记为合起来得到的图象记为，完成以下问题：
①若直线与函数有且只有两个交点，直接写出的取值范围．
②若对于函数上的两点，当时，总有，直接写出的取值范围．
【答案】(1)开口向上，对称轴为
(2)，
(3)①；②或
【分析】本题考查的是二次函数综合运用，图形的旋转、解不等式；
（1）由表格数据，根据函数的图象和性质即可求解；
（2）用待定系数法即可求解；
（3）①画出函数图象，观察函数图象即可求解；
②当点在轴右侧和点之间以及在点的左侧时，总有，即可求解．
【详解】（1）解：由表格数据知，其对称轴为直线，在对称轴的右侧，随的增大而增大，
故抛物线开口向上，
故答案为：开口向上，；
（2）设抛物线的解析式为，
代入、得：
解得：
，
将代入上式，得：；
（3）①如下图，从图象看，当的值为或或时，直线与函数有且只有两个交点，
②当点在轴右侧和点之间以及在点的左侧时，总有，如下图：
当点在轴右侧和点之间时，
则且，
即；
当点在点的左侧时，
根据函数的对称性，轴右侧抛物线的表达式为：，
当时，，
当，
则正值舍去
则，
综上，或．
试卷第1页，共3页
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