立几解几概率复习
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直线和圆
1、直线的倾斜角：
例1、直线的倾斜角的范围是____（答：）；
例2、过点的直线的倾斜角的范围值的范围是______（答：）
2、直线的斜率：
例3实数满足 ()，则的最大值、最小值分别为______（答：）
3、直线的方程：（1）点斜式： （2）斜截式：,（3）两点式： ，（4）截距式： （5）一般式：(A,B不同时为0)
例4直线，不管怎样变化恒过点______（答：）；
例5、若曲线与有两个公共点，则的取值范围是_______（答：）
提醒：(1)直线方程的各种形式都有局限性.（如点斜式不适用于斜率不存在的直线，还有截距式呢？）；(2)直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0.直线两截距相等直线的斜率为-1或直线过原点；直线两截距互为相反数直线的斜率为1或直线过原点；直线两截距绝对值相等直线的斜率为或直线过原点。
如过点，且纵横截距的绝对值相等的直线共有___条（答：3）
4.设直线方程的一些常用技巧：（1）知直线纵截距，常设其方程为；（2）知直线横截距，常设其方程为(它不适用于斜率为0的直线)；（3）知直线过点，当斜率存在时，常设其方程为，当斜率不存在时，则其方程为；
（4）与直线平行的直线可表示为；
（5）与直线垂直的直线可表示为.
提醒：求直线方程的基本思想和方法是恰当选择方程的形式，利用待定系数法求解。
5、点到直线的距离及两平行直线间的距离：
（1）点到直线的距离；
（2）两平行线间的距离为。
6、直线与直线的位置关系：
（1）平行（斜率）且（在轴上截距）；
（2）相交；
（3）重合且。
提醒：（1） 、、仅是两直线平行、相交、重合的充分不必要条件！为什么？（2）在解析几何中，研究两条直线的位置关系时，有可能这两条直线重合，而在立体几何中提到的两条直线都是指不重合的两条直线；（3）直线与直线垂直。
例6（1）设直线和，当＝_______时∥；当＝________时；当_________时与相交；当＝_________时与重合
（答：－1；；；3）；
（2）已知直线的方程为，则与平行，且过点（—1，3）的直线方程是______（答：）；
（3）两条直线与相交于第一象限，则实数的取值范围是____
（答：）；
（4）直线过点（１，０），且被两平行直线和所截得的线段长为9，则直线的方程是________（答：）
7、对称（中心对称和轴对称）问题——代入法：
例7已知点与点关于轴对称，点P与点N关于轴对称，点Q与点P关于直线对称，则点Q的坐标为_______（答：）；
例8点Ａ（４，５）关于直线的对称点为Ｂ(－2,7)，则的方程是_________（答：）；例9已知一束光线通过点Ａ（－３，５），经直线:3x－4y+4=0反射。如果反射光线通过点Ｂ（２，15），则反射光线所在直线的方程是_________（答：）；
8、圆的方程：⑴圆的标准方程：。
⑵圆的一般方程：，
特别提醒：只有当时，方程才表示圆心为，半径为的圆
例10（1）圆C与圆关于直线对称，则圆C的方程为____________（答：）；
（2）圆心在直线上，且与两坐标轴均相切的圆的标准方程是__________（答：或）；
（3）如果直线将圆：x2+y2-2x-4y=0平分，且不过第四象限，那么的斜率的取值范围是____（答：[0，2]）；
（4）方程x2+y２－x+y+k=0表示一个圆，则实数k的取值范围为____（答：）；
9、点与圆的位置关系：已知点及圆，（1）点M在圆C外；（2）点M在圆C内
；（3）点M在圆C上
。
例点P(5a+1,12a)在圆(x－１)２＋y2=1的内部,则a的取值范围是______（答：）
10、直线与圆的位置关系：直线和圆
有相交、相离、相切。可从代数和几何两个方面来判断：
（1）代数方法（判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况）：相交；相离；相切；
（2）几何方法（比较圆心到直线的距离与半径的大小）：设圆心到直线的距离为，则相交；相离；相切。
提醒：判断直线与圆的位置关系一般用几何方法较简捷。
例11（1）若直线与圆切于点，则的值_（答：2）；
（2）直线被曲线所截得的弦长等于 （答：）；
（3）一束光线从点A(－1,1)出发经x轴反射到圆C:(x-2)2+(y-3)2=1上的最短路程是 （答：4）；
（4）与圆x2+(y+5)2=3相切，且纵截距和横截距相等的直线共有 C
A.2条 B.3条 C.4条 D.6条
答案：C 错解：A 错因：忽略过原点的圆C的两条切线
例12已知圆C：，直线L：。①求证：对，直线L与圆C总有两个不同的交点；②设L与圆C交于A、B两点，若，求L的倾斜角；③求直线L中，截圆所得的弦最长及最短时的直线方程. （答：②或 ③最长：，最短：）
12、圆与圆的位置关系（用两圆的圆心距与半径之间的关系判断）：已知两圆的圆心分别为，半径分别为，则（1）当时，两圆外离；（2）当时，两圆外切；（3）当时，两圆相交；（4）当时，两圆内切；（5）当时，两圆内含。
13、圆的切线与弦长：
(1)切线：①过圆上一点圆的切线方程是：，，一般地，如何求圆的切线方程？（抓住圆心到直线的距离等于半径）；②从圆外一点引圆的切线一定有两条，可先设切线方程，再根据相切的条件，运用几何方法（抓住圆心到直线的距离等于半径）来求；③过两切点的直线（即“切点弦”）方程的求法：先求出以已知圆的圆心和这点为直径端点的圆，该圆与已知圆的公共弦就是过两切点的直线方程；
例设A为圆上动点，PA是圆的切线，且|PA|=1，则P点的轨迹方程为__________（答：）；
（2）弦长问题：①圆的弦长的计算：常用弦心距，弦长一半及圆的半径所构成的直角三角形来解：；②过两圆、交点的圆(公共弦)系为，当时，方程为两圆公共弦所在直线方程.。
14.解决直线与圆的关系问题时，要充分发挥圆的平面几何性质的作用(如半径、半弦长、弦心距构成直角三角形，切线长定理、割线定理、弦切角定理等等)!
圆心在直线y=-4x上,且与直线L:x+y-1=0相切于点P(3,-2)的圆的方程是
解:过切点且与直线L垂直的直线必过圆心,则所求圆的圆心在直线y+2=x-3上,
又圆心在已知直线y=-4x上,联立得圆心坐标为(1,-4),易得半径r=
所求的圆方程为(x-1)2+(y+4)2=8
1.如右图为一个几何体的三视图，其中俯视图为正三角形，
A1B1=2，AA1=4，则该几何体的表面积为 C
A.6+ B.24+ C.24+2 D. 32
2.已知某几何体的俯视图是如图所示的边长为2的正方形，主视图与
左视图是边长为2的正三角形，则侧表面积是 D
A．4 B.4 C.4(1+) D.8
3.如图正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为AB、CC1的中点,
则异面直线A1C与EF所成的角的余弦值为 B
A． B. C. D.
4.已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为3,高为4,则异面直线A1B与B1C所成的角的余弦值为 B
A. B. C. D.
5.三棱锥S-ABC中,点E、F分别为棱SC、AB的中点,若EF=,AC=SB=2,
则异面直线AC与SB所成的角为C
A．30° B.45° C.60° D.120°
6.已知：四棱柱ABCD-A1B1C1D1的三视图如图⑴ 画出此四棱柱的直观图,并求出四棱柱的体积;⑵ 若E为AA1上一点,EB//平面A1CD,试确定E点位置,并证明EB平面AB1C1D
解：⑴
⑵ 作EF//AD交A1D于F，连CF，则BCFE共面
∵EB//平面A1CD,∴BE//CF,又EF//BC,∴BCEF是平行边形,
∴EF=BC=AD, ∴E为AA1的中点,
在矩形AA1B1B中,AB=2,AE=,∴,∴AB1B=ABE,
∴ BEAB1,又ADAA1 , ADAB , ∴AD平面AA1B1B, ∴ADBE ∴ BE平面AB1C1D
7.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为棱BC、CC1、C1D1、AA1的中点，O为AC与BD的交点（如图），求证：（1）EG∥平面BB1D1D；（2）平面BDF∥平面B1D1H；（3）A1O⊥平面BDF；（4）平面BDF⊥平面AA1C。
解：（1）欲证EG∥平面BB1D1D，须在平面BB1D1D内找一条与EG平行的直线，构造辅助平面BEGO’及辅助直线BO’，显然BO’即是。
（2）按线线平行线面平行面面平行的思路，在平面B1D1H内寻找B1D1和O’H两条关键的相交直线，转化为证明：B1D1∥平面BDF，O’H∥平面BDF。
(3)为证A1O⊥平面BDF，由三垂线定理，易得BD⊥A1O，再寻A1O垂直于平面BDF内的另一条直线。
猜想A1O⊥OF。借助于正方体棱长及有关线段的关系计算得：A1O2+OF2=A1F2A1O⊥OF。
（4）∵ CC1⊥平面AC∴ CC1⊥BD 又BD⊥AC ∴ BD⊥平面AA1C
又BD平面BDF ∴ 平面BDF⊥平面AA1C
1．三种常用抽样方法：(1)简单随机抽样；（2）系统抽样；（3）分层抽样。
2．用样本的数字特征估计总体的数字特征： （1）众数、中位数；（2）平均数与方差。
3．频率分布直方图、折线图与茎叶图。
4．线性回归：回归直线方程。
5．随机事件的概念、概率；事件间的关系：（1）互斥事件；（2）对立事件；（3）包含；
事件间的运算：（1）并事件（和事件）（2）交事件（积事件）
6．古典概型：古典概型的两大特点；古典概型的概率计算公式。
7．几何概型：几何概型的概念；几何概型的概率公式；几种常见的几何概型。
例题：
1、（2009日照一模）右图是某学校举行的运动会上，七位评委为某体操项目打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为 C
A．84，4.84 B．84，1.6 C．85，1.6 D．85，4
2、（2009滨州一模）在区域内任取一点，则点落在单位圆内的概率为 D
(A) (B) (C) (D)
3、在三棱锥的六条棱中任意选择两条,则这两条棱是一对异面直线的概率为（ ）C
A． B． C． D．
4、已知现有编号为①②③④⑤的5个图形,它们分别是两个直角边长为3、3的直角三角形；两个边长为3的正方形；一个半径为3的圆.则以这些图形中的三个图形为一个立体图形的三视图的概率为 .
4.解答:. ①②③；②③④； ③④⑤可构成一个立体图形的三视图
5、下表为某体育训练队跳高、跳远成绩的分布，共有队员40人，成绩分为1～5五个档次，例如表中所示跳高成绩为4分，跳远成绩为2分的队员为5人.将全部队员的姓名卡混合在一起，任取一张，该卡片队员的跳高成绩为x分，跳远成绩为y分.
⑴求m+n的值；
⑵求x=4的概率及x≥3且y=5的概率．
yx 跳 远
5 4 3 2 1
跳高 5 1 3 1 0 1
4 1 0 2 5 1
3 2 1 0 4 3
2 1 m 6 0 n
1 0 0 1 1 3
解：(1) m+n=40-37=3
（2）．当x=4时的概率为, 当x≥3且y=5时的概率为．
6、已知关于x的一元二次函数（1）设集合P={1，2，3}和Q={－1，1，2，3，4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为和，求函数在区间[上是增函数的概率；（2）设点（，）是区域内的随机点，求函数上是增函数的概率。
解（1）∵函数的图象的对称轴为
要使在区间上为增函数，
当且仅当>0且……………………2分
若=1则=－1，
若=2则=－1，1
若=3则=－1，1，；………………4分
∴事件包含基本事件的个数是1+2+2=5
∴所求事件的概率为………………6分
（2）由（1）知当且仅当且>0时，
函数上为增函数，
依条件可知试验的全部结果所构成的区域为
构成所求事件的区域为三角形部分。………………8分
由………………10分
∴所求事件的概率为………………12分
A
B
A1
B1
正视图
侧视图
俯视图
第3题
PAGE
6
1、直线的倾斜角：
例1、直线的倾斜角的范围是____（答：）；
例2、过点的直线的倾斜角的范围值的范围是______（答：）
2、直线的斜率：
例3实数满足 ()，则的最大值、最小值分别为______（答：）
3、直线的方程：（1）点斜式： （2）斜截式：,（3）两点式： ，（4）截距式： （5）一般式：(A,B不同时为0)
例4直线，不管怎样变化恒过点______（答：）；
例5、若曲线与有两个公共点，则的取值范围是_______（答：）
提醒：(1)直线方程的各种形式都有局限性.（如点斜式不适用于斜率不存在的直线，还有截距式呢？）；(2)直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0.直线两截距相等直线的斜率为-1或直线过原点；直线两截距互为相反数直线的斜率为1或直线过原点；直线两截距绝对值相等直线的斜率为或直线过原点。
如过点，且纵横截距的绝对值相等的直线共有___条（答：3）
4.设直线方程的一些常用技巧：（1）知直线纵截距，常设其方程为；（2）知直线横截距，常设其方程为(它不适用于斜率为0的直线)；（3）知直线过点，当斜率存在时，常设其方程为，当斜率不存在时，则其方程为；
（4）与直线平行的直线可表示为；
（5）与直线垂直的直线可表示为.
提醒：求直线方程的基本思想和方法是恰当选择方程的形式，利用待定系数法求解。
5、点到直线的距离及两平行直线间的距离：
（1）点到直线的距离；
（2）两平行线间的距离为。
6、直线与直线的位置关系：
（1）平行（斜率）且（在轴上截距）；
（2）相交；
（3）重合且。
提醒：（1） 、、仅是两直线平行、相交、重合的充分不必要条件！为什么？（2）在解析几何中，研究两条直线的位置关系时，有可能这两条直线重合，而在立体几何中提到的两条直线都是指不重合的两条直线；（3）直线与直线垂直。
例6（1）设直线和，当＝_______时∥；当＝________时；当_________时与相交；当＝_________时与重合
（答：－1；；；3）；
（2）已知直线的方程为，则与平行，且过点（—1，3）的直线方程是______（答：）；
（3）两条直线与相交于第一象限，则实数的取值范围是____
（答：）；
（4）直线过点（１，０），且被两平行直线和所截得的线段长为9，则直线的方程是________（答：）
7、对称（中心对称和轴对称）问题——代入法：
例7已知点与点关于轴对称，点P与点N关于轴对称，点Q与点P关于直线对称，则点Q的坐标为_______（答：）；
例8点Ａ（４，５）关于直线的对称点为Ｂ(－2,7)，则的方程是_________（答：）；例9已知一束光线通过点Ａ（－３，５），经直线:3x－4y+4=0反射。如果反射光线通过点Ｂ（２，15），则反射光线所在直线的方程是_________（答：）；
8、圆的方程：⑴圆的标准方程：。
⑵圆的一般方程：，
特别提醒：只有当时，方程才表示圆心为，半径为的圆
例10（1）圆C与圆关于直线对称，则圆C的方程为____________（答：）；
（2）圆心在直线上，且与两坐标轴均相切的圆的标准方程是__________（答：或）；
（3）如果直线将圆：x2+y2-2x-4y=0平分，且不过第四象限，那么的斜率的取值范围是____（答：[0，2]）；
（4）方程x2+y２－x+y+k=0表示一个圆，则实数k的取值范围为____（答：）；
9、点与圆的位置关系：已知点及圆，（1）点M在圆C外；（2）点M在圆C内
；（3）点M在圆C上
。
例点P(5a+1,12a)在圆(x－１)２＋y2=1的内部,则a的取值范围是______（答：）
10、直线与圆的位置关系：直线和圆
有相交、相离、相切。可从代数和几何两个方面来判断：
（1）代数方法（判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况）：相交；相离；相切；
（2）几何方法（比较圆心到直线的距离与半径的大小）：设圆心到直线的距离为，则相交；相离；相切。
提醒：判断直线与圆的位置关系一般用几何方法较简捷。
例11（1）若直线与圆切于点，则的值_（答：2）；
（2）直线被曲线所截得的弦长等于 （答：）；
（3）一束光线从点A(－1,1)出发经x轴反射到圆C:(x-2)2+(y-3)2=1上的最短路程是 （答：4）；
（4）与圆x2+(y+5)2=3相切，且纵截距和横截距相等的直线共有 C
A.2条 B.3条 C.4条 D.6条
答案：C 错解：A 错因：忽略过原点的圆C的两条切线
例12已知圆C：，直线L：。①求证：对，直线L与圆C总有两个不同的交点；②设L与圆C交于A、B两点，若，求L的倾斜角；③求直线L中，截圆所得的弦最长及最短时的直线方程. （答：②或 ③最长：，最短：）
12、圆与圆的位置关系（用两圆的圆心距与半径之间的关系判断）：已知两圆的圆心分别为，半径分别为，则（1）当时，两圆外离；（2）当时，两圆外切；（3）当时，两圆相交；（4）当时，两圆内切；（5）当时，两圆内含。
13、圆的切线与弦长：
(1)切线：①过圆上一点圆的切线方程是：，，一般地，如何求圆的切线方程？（抓住圆心到直线的距离等于半径）；②从圆外一点引圆的切线一定有两条，可先设切线方程，再根据相切的条件，运用几何方法（抓住圆心到直线的距离等于半径）来求；③过两切点的直线（即“切点弦”）方程的求法：先求出以已知圆的圆心和这点为直径端点的圆，该圆与已知圆的公共弦就是过两切点的直线方程；
例设A为圆上动点，PA是圆的切线，且|PA|=1，则P点的轨迹方程为__________（答：）；
（2）弦长问题：①圆的弦长的计算：常用弦心距，弦长一半及圆的半径所构成的直角三角形来解：；②过两圆、交点的圆(公共弦)系为，当时，方程为两圆公共弦所在直线方程.。
14.解决直线与圆的关系问题时，要充分发挥圆的平面几何性质的作用(如半径、半弦长、弦心距构成直角三角形，切线长定理、割线定理、弦切角定理等等)!
圆心在直线y=-4x上,且与直线L:x+y-1=0相切于点P(3,-2)的圆的方程是
解:过切点且与直线L垂直的直线必过圆心,则所求圆的圆心在直线y+2=x-3上,
又圆心在已知直线y=-4x上,联立得圆心坐标为(1,-4),易得半径r=
所求的圆方程为(x-1)2+(y+4)2=8
1.如右图为一个几何体的三视图，其中俯视图为正三角形，
A1B1=2，AA1=4，则该几何体的表面积为 C
A.6+ B.24+ C.24+2 D. 32
2.已知某几何体的俯视图是如图所示的边长为2的正方形，主视图与
左视图是边长为2的正三角形，则侧表面积是 D
A．4 B.4 C.4(1+) D.8
3.如图正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为AB、CC1的中点,
则异面直线A1C与EF所成的角的余弦值为 B
A． B. C. D.
4.已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为3,高为4,则异面直线A1B与B1C所成的角的余弦值为 B
A. B. C. D.
5.三棱锥S-ABC中,点E、F分别为棱SC、AB的中点,若EF=,AC=SB=2,
则异面直线AC与SB所成的角为C
A．30° B.45° C.60° D.120°
6.已知：四棱柱ABCD-A1B1C1D1的三视图如图⑴ 画出此四棱柱的直观图,并求出四棱柱的体积;⑵ 若E为AA1上一点,EB//平面A1CD,试确定E点位置,并证明EB平面AB1C1D
解：⑴
⑵ 作EF//AD交A1D于F，连CF，则BCFE共面
∵EB//平面A1CD,∴BE//CF,又EF//BC,∴BCEF是平行边形,
∴EF=BC=AD, ∴E为AA1的中点,
在矩形AA1B1B中,AB=2,AE=,∴,∴AB1B=ABE,
∴ BEAB1,又ADAA1 , ADAB , ∴AD平面AA1B1B, ∴ADBE ∴ BE平面AB1C1D
7.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为棱BC、CC1、C1D1、AA1的中点，O为AC与BD的交点（如图），求证：（1）EG∥平面BB1D1D；（2）平面BDF∥平面B1D1H；（3）A1O⊥平面BDF；（4）平面BDF⊥平面AA1C。
解：（1）欲证EG∥平面BB1D1D，须在平面BB1D1D内找一条与EG平行的直线，构造辅助平面BEGO’及辅助直线BO’，显然BO’即是。
（2）按线线平行线面平行面面平行的思路，在平面B1D1H内寻找B1D1和O’H两条关键的相交直线，转化为证明：B1D1∥平面BDF，O’H∥平面BDF。
(3)为证A1O⊥平面BDF，由三垂线定理，易得BD⊥A1O，再寻A1O垂直于平面BDF内的另一条直线。
猜想A1O⊥OF。借助于正方体棱长及有关线段的关系计算得：A1O2+OF2=A1F2A1O⊥OF。
（4）∵ CC1⊥平面AC∴ CC1⊥BD 又BD⊥AC ∴ BD⊥平面AA1C
又BD平面BDF ∴ 平面BDF⊥平面AA1C
1．三种常用抽样方法：(1)简单随机抽样；（2）系统抽样；（3）分层抽样。
2．用样本的数字特征估计总体的数字特征： （1）众数、中位数；（2）平均数与方差。
3．频率分布直方图、折线图与茎叶图。
4．线性回归：回归直线方程。
5．随机事件的概念、概率；事件间的关系：（1）互斥事件；（2）对立事件；（3）包含；
事件间的运算：（1）并事件（和事件）（2）交事件（积事件）
6．古典概型：古典概型的两大特点；古典概型的概率计算公式。
7．几何概型：几何概型的概念；几何概型的概率公式；几种常见的几何概型。
例题：
1、（2009日照一模）右图是某学校举行的运动会上，七位评委为某体操项目打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为 C
A．84，4.84 B．84，1.6 C．85，1.6 D．85，4
2、（2009滨州一模）在区域内任取一点，则点落在单位圆内的概率为 D
(A) (B) (C) (D)
3、在三棱锥的六条棱中任意选择两条,则这两条棱是一对异面直线的概率为（ ）C
A． B． C． D．
4、已知现有编号为①②③④⑤的5个图形,它们分别是两个直角边长为3、3的直角三角形；两个边长为3的正方形；一个半径为3的圆.则以这些图形中的三个图形为一个立体图形的三视图的概率为 .
4.解答:. ①②③；②③④； ③④⑤可构成一个立体图形的三视图
5、下表为某体育训练队跳高、跳远成绩的分布，共有队员40人，成绩分为1～5五个档次，例如表中所示跳高成绩为4分，跳远成绩为2分的队员为5人.将全部队员的姓名卡混合在一起，任取一张，该卡片队员的跳高成绩为x分，跳远成绩为y分.
⑴求m+n的值；
⑵求x=4的概率及x≥3且y=5的概率．
yx 跳 远
5 4 3 2 1
跳高 5 1 3 1 0 1
4 1 0 2 5 1
3 2 1 0 4 3
2 1 m 6 0 n
1 0 0 1 1 3
解：(1) m+n=40-37=3
（2）．当x=4时的概率为, 当x≥3且y=5时的概率为．
6、已知关于x的一元二次函数（1）设集合P={1，2，3}和Q={－1，1，2，3，4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为和，求函数在区间[上是增函数的概率；（2）设点（，）是区域内的随机点，求函数上是增函数的概率。
解（1）∵函数的图象的对称轴为
要使在区间上为增函数，
当且仅当>0且……………………2分
若=1则=－1，
若=2则=－1，1
若=3则=－1，1，；………………4分
∴事件包含基本事件的个数是1+2+2=5
∴所求事件的概率为………………6分
（2）由（1）知当且仅当且>0时，
函数上为增函数，
依条件可知试验的全部结果所构成的区域为
构成所求事件的区域为三角形部分。………………8分
由………………10分
∴所求事件的概率为………………12分
A
B
A1
B1
正视图
侧视图
俯视图
第3题
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