2025年江西省中考数学模拟考试试题（一）（解析版）
满分120分 考试用时120分钟
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．的相反数是（ ）
A．-2025 B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了相反数的定义，根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得．
【详解】解：的相反数是，
故选：A．
2．尼莫点，正式名称为海洋难抵极，是地球表面距离陆地最偏远的地点，位于南太平洋中央的海面上，最近的陆地与当地相隔3667000米之遥，其中3667000用科学记数法表示应为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：，
故选：C．
3．如图，这是某学校领奖台的示意图，其左视图为（ ）
B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查几何图形的三视图，熟练掌握三视图是解题的关键．根据左视图进行观察即可得到答案．
【详解】
解：左视图为，
故选：B．
4．茶文化是中国对茶认识的一种具体表现，其内涵与茶具设计之间存在着密不可分的联系，如图，是一款上下细中间粗的茶杯，向该茶杯中匀速注水，下列图象中能大致反映茶杯中水面的高度与注水时间关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了函数图象的识别，根据茶杯的形状可以推断水面高度上升的速度，据此即可求解．
【详解】解：∵茶杯上下细中间粗，
∴水面高度在茶杯中间位置上升速度较慢，A选项符合题意，
故选：A ．
5．下图是深圳市2024年4月7~11日的天气情况，这5天中最低气温（单位：℃）的中位数与众数分别是（ ）
A．19，19 B．19，18 C．18，19 D．20，19
【答案】A
【分析】本题考查众数和中位数，解答本题的关键是明确题意，利用众数和中位数的知识解答．根据这5天的最低气温，先按照从低到高排列，然后即可得到这组数据的中位数和众数，本题得以解决．
【详解】解：这5天中最低气温从低到高排列是：18，19，19，20，23，
故这组数据的中位数是19，众数是19，
故选：A．
6．如图所示，纸板上有11个小正方形（其中5个有阴影，6个无阴影），从图中6个无阴影的小正方形中选出一个，与5个有阴影的小正方形能够一起折一个正方体的包装盒，不同的选法有（ ）
A．4种 B．3种 C．2种 D．1种
【答案】C
【分析】本题主要考查了正方体的展开图．解题的关键是掌握四棱柱的特征及正方体展开图的各种情形．
【详解】解：如图所示选择标号1或标号2的小正方形都可以与5个阴影部分的小正方形折成一个正方体包装盒，不同的选法有2处，
故选：C．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
7．计算： ．
【答案】
【分析】根据有理数乘方的意义可求解．
【详解】解：．
故答案为
【点睛】此题考查有理数乘方的简单运算，乘方的运算可以利用乘法的运算法则来进行．
8．分解因式： ．
【答案】
【分析】本题主要考查了分解因式，直接提取公因式a即可得到答案．
【详解】解：．
故答案为：．
9．在平面直角坐标系中，把点向左平移2单位，再向下平移5个单位得到点，则点的坐标为 .
【答案】
【分析】本题考查了坐标与图形变化——平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．根据平移方式可知，横坐标，纵坐标，即可得到答案．
【详解】解：把点向左平移2单位，再向下平移5个单位得到点，
则点的坐标为，即，
故答案为：．
10．观察下列单项式：x，，，，…考虑他们的系数和次数．请写出第100个： ．
【答案】
【分析】本题考查数字的变化类，根据题目中的单项式可以发现数字因数和字母的指数的变化特点，即可写出第n个单项式，从而可以写出第100个单项式．
【详解】解：∵一列单项式：x，，，，，…，
∴第n个单项式为：，
当时，这个单项式是，
故答案为：．
11．如图，在△ABC中，为的中点，将沿射线方向平移得到，连接，．若，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了平移，矩形的判定与性质，正切等知识，利用平移的性质和线段中点定义可得出，，然后证明四边形是矩形，得出，，在中，利用正切的定义求解即可．
【详解】解∶连接，
∵为的中点，
∴，
∵将沿射线方向平移得到，
∴，，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是矩形，
∴，，
在中，，，，
∴，
故答案为：．
12．如图，在矩形中，，以为直径在矩形内作半圆，点P为半圆上的一动点（不与A，D重合），连接，当为锐角等腰三角形时，的长为 ．
【答案】6或或
【分析】本题考查矩形的性质、等腰三角形的判定和性质、勾股定理、垂径定理等知识点，学会用分类讨论的思想思考问题是解题的关键．
分、、三种情况，分别画出图形、运用垂径定理、切线性质、勾股定理进行解答即可．
【详解】解：由题意可得：．
①当时，是等腰三角形，此时；
②如图：当时，是等腰三角形．
此时是的切线，连接交于F．
∴
∵，
∴垂直平分线段，
∴，
∴；
③当时，是等腰三角形．
如图：作于H，交⊙O于，作．
∴，
在中，，
∴
∴（为钝角三角形，不符合题意），；
综上所述，的长为6或或．
故答案为6或或．
三、解答题（本大题共5个小题，每小题6分，共30分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）13．(1)解方程：
(2)计算：
【答案】（1）x＝3；（2）4
【分析】(1)分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；
(2)原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，以及绝对值的代数意义计算即可求出值．
【详解】解：(1)方程两边同乘以(x+2)(x﹣2)，得(x﹣2)2+4＝x2﹣4，
解得：x＝3，
检验：当x＝3时，(x+2)(x﹣2)＝5≠0，
则x＝3是原分式方程的解；
(2)原式＝3﹣1+2＝4．
【点睛】本题考查解分式方程，实数的运算.涉及零指数幂，负整数指数幂以及绝对值的代数意义计算，注意解分式方程一定要验根．
14．如图，，点E在上，连接，请仅用无刻度直尺作图．（保留作图痕迹）
(1)在图1中以E为顶点，作一个角等于；
(2)在图2中，在的上方，作出一个与相等的角．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了用无刻度直尺作图，对顶角相等，平行线的性质；
（1）由对顶角相等，延长即可；
（2）由平行线的性质，延长交直线于点F，则．
【详解】（1）解：延长到M，则，即为满足条件的角；
（2）解：延长交直线于点F，
由，则．
即为所求作的角．
15．第八届丝博会于2024年9月 20日至24日在西安国际会展中心举办．本届丝博会以“深化互联互通·拓展经贸合作”为主题．在丝博会举办之际，某机构计划向全市中小学生招募“丝博小记者”．某校现有甲、乙两位男生和丙、丁两位女生参加小记者竞选．
(1)若先从这四位竞选者中随机选出一位小记者，则选到男生的概率是 ；
(2)若从这四位竞选者中随机选出两位小记者，请用列表或画树状图的方法求出一男一女当选的概率．
【答案】(1)
(2)一男一女当选的概率为．
【分析】本题考查了用列举法求概率，熟练掌握用列表或画树状图的方法求概率是解题的关键．
（1）根据概率公式计算即可解答；
（2）画出树状图列出所有可能，得到12种等可能的结果，一男一女当选的有8种，根据概率公式计算即可解答．
【详解】（1）解：甲、乙两位男生和丙、丁两位女生参加小记者竞选，
从这四位竞选者中随机选出一位小记者，选到男生的概率，
故答案为：．
（2）根据题意，画出树状图，如下：
由图可知，共有12种等可能的结果，一男一女当选的有8种，
（一男一女当选）．
答：一男一女当选的概率为．
16．如图矩形的顶点A、C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为，反比例函数的图象经过的中点D，且与交于点E，C．
(1)求反比例函数的表达式及点E的坐标．
(2)若点F是边上的一点，且为等腰三角形，求直线的表达式．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先根据点B的坐标为求出D点坐标，代入反比例函数即可求出k的值，进而得出解析式，再把代入求出y的值即可得出E点坐标；
（2）根据为等腰三角形得出的长，进而得出F点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式即可．
【详解】（1）点B的坐标为，点D是的中点，
，
点D在反比例函数上，
，
解得：，
反比例函数的解析式为．
四边形是矩形，点B的坐标为，
当时，，
点坐标为；
（2）为等腰三角形，
，
点B的坐标为，
，
设直线的解析式为，
，
解得：，
直线的解析式为．
【点睛】本题考查的是反比例函数综合题，熟知反比例函数上点的坐标特点，矩形的性质，一次函数的性质等知识是解题的关键．
17．如图，以线段上一点为圆心，长为半径画圆，交于点，是上异于点，的一点．，且．
(1)求证：是的切线．
(2)若，平分，求线段的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】对于（1），连接，．先根据“等边对等角”得，根据直径所对的圆周角是直角得，然后根据平行线的性质得，
进而得出，即可得出答案；
对于（2），根据角平分线定义和已知条件得， 根据含直角三角形的性质得，再根据勾股定理求出，最后在中，根据含直角三角形的性质得出答案．
【详解】（1）证明：如图，连接，．
∵，
∴．
∵是的直径，
∴，
∴．
又∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵是半径，
∴是的切线；
（2）∵平分，
∴．
∵，
∴.
∴在中，，
根据勾股定理，得，
∴在中，．
【点睛】本题主要考查了切线的判定，勾股定理，直角三角形的性质，直径所对的圆周角是直角，角平分线定义等，构造辅助线是解题的关键．
解答题（本大题共3个小题，每小题8分，共24分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
18．为奖励在数学学科素养活动中表现突出的同学，学校准备购买甲，乙两种学具作为奖品，已知1件甲种学具比1件乙种学具的售价少10元，买3件甲种学具和4件乙种学具共需145元．
(1)甲，乙两种学具的单价分别是多少元？
(2)根据学校实际情况，需要购买甲，乙两种学具共60件，所需费用不超过1100元，那么甲种学具至少需要购买多少件？
【答案】(1)甲种学具的单价是15元，乙种学具的单价是25元
(2)甲种学具至少需要购买40件
【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
（1）设甲种学具的单价是元，则乙种学具的单价是元，根据买3件甲种学具和4件乙种学具共需145元，可列出关于的一元一次方程，解之可求出的值（即甲种学具的单价），再将其代入中，即可求出乙种学具的单价；
（2）设购买件甲种学具，则购买件乙种学具，利用总价单价数量，结合总价不超过1100元，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论．
【详解】（1）解：设甲种学具的单价是元．
依题意可列方程：，
解得：，
，
答：甲种学具的单价是15元，乙种学具的单价是25元．
（2）解：设甲种学具需要购买件．
则，
解得：，
的最小值为40，
答：甲种学具至少需要购买40件．
19．如图1，是南昌八一起义纪念塔，象征着革命的胜利．某校数学社团的同学们欲测量塔的高度．如图2，他们在第一层看台上架设测角仪，从处测得塔的最高点的仰角为，测出，台阶可抽象为线段，，台阶的坡角为，测角仪的高度为，塔身可抽象成线段．
(1)求测角仪与塔身的水平距离；
(2)求塔身的高度．（结果精确到）（参考数据：，，，）
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了解直角三角形，解题的关键是正确作出辅助线，构造直角三角形求解．
（1）延长交的延长线于点，过点作于点，过点作于点，则，，易得，根据勾股定理得出，最后即可解答；
（2）由（1）可知，，根据题意得出，，，则，，根据，即可解答．
【详解】（1）解：如图，延长交的延长线于点，过点作于点，过点作于点，
则，，
由题意可知，，，
，
，
，
答：测角仪与塔身的水平距离为；
（2）解：由（1）可知，，
由题意可知，，，，
，
，
，
答：塔身的高度约为．
20．已知，矩形中，，，的垂直平分线分别交、于点E、F，垂足为O．
(1)如图1，连接、．求的长；
(2)如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿和各边匀速运动一周．即点P自停止，点Q自停止．在运动过程中，
①已知点P的速度为每秒，点Q的速度为每秒，运动时间为t秒，当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．
②若点P、Q的运动路程分别为a、b（单位：，），已知A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形，求a与b满足的数量关系式．
【答案】(1)
(2)①以A、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时，秒；②
【分析】（1）先证明四边形为平行四边形，再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形作出判定；根据勾股定理即可求得的长；
（2）分情况讨论可知，当点在上、点在上时，才能构成平行四边形，根据平行四边形的性质列出方程求解即可；
分三种情况讨论可知与满足的数量关系式．
【详解】（1）解：四边形是矩形，
∴，，
，，
垂直平分，垂足为，
，
，
，
四边形为平行四边形，
又，
四边形为菱形，
设菱形的边长，则，
在中，，
由勾股定理得，
解得，
．
（2）解：根据解析（1）可知，四边形为菱形，
∴，，
显然当点在上时，点在上，此时A、、、四点不可能构成平行四边形；
同理点在上时，点在或上或在，在时不能构成平行四边形；
因此只有当点在上、点在上时，才能构成平行四边形，
以A、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时，，
点的速度为每秒，点的速度为每秒，运动时间为秒，
，，即，
，
解得，
以A、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时，秒．
由题意得，四边形是平行四边形时，点、在互相平行的对应边上．
分三种情况：
如图，当点在上、点在上时，，即，得；
如图，当点在上、点在上时，，即，得；
如图，当点在上、点在上时，，即，得．
综上所述，与满足的数量关系式是．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质、菱形的判定与性质、勾股定理、平行四边形的判定与性质，注意分类思想的应用．
解答题（本大题共2个小题，每小题9分，共18分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
21．为进一步落实生活垃圾分类工作，提升学生垃圾分类技能，某校开展了为期两个月的垃圾分类知识培训活动．活动结束后，该校为了了解培训效果，对全校学生进行两次（这两个月的月底各一次）关于垃圾分类知识的测试，并从中随机抽取部分八年级学生的测试成绩，对他们的两次测试成绩进行整理，得到如下统计表和统计图．
整理描述
第一次测试成绩统计表
成绩x/分 人数 频率
5 0.05
30 0.3
35 m
23 0.23
7 0.07
合计 n 1
(1)统计表中的 ， ．
(2)抽样数据中，第二次测试成绩在分数段的学生人数为 ．
(3)分析数据：①该校某老师说：“还是培训有作用，通过培训，掌握垃圾分类知识的学生更多了，学生垃圾分类的观念更强了！”请你选择一个能反映总体的统计量，说明培训的作用．
②若成绩达到80分及以上为优秀，已知该校八年级学生有800人，则该校八年级第二次测试获得优秀的人数比第一次测试获得优秀的人数增加了多少？
【答案】(1)0.35，100
(2)0
(3)①见解析；②该校八年级第二次测试获得优秀的人数比第一次测试获得优秀的人数增加了40人
【分析】本题考查统计表和扇形统计图，解答本题的关键是明确题意．
（1）根据表格中的数据，可以求得m、n的值；
（2）根据第二次测试成绩中的描述，可以得分数的值；
（3）①根据中位数说明理由即可；
②八年级第二次测试获得优秀的人数减去比第一次测试获得优秀的人数即可．
【详解】（1）解：，
，
故答案为：0.35，100；
（2）抽样数据中，第二次测试成绩在没有人，
故答案为：0；
（3）①第一次测试成绩中位数在之间，第二次测试成绩中位数在之间，所以通过培训第二次测试成绩中位数大于一次测试成绩中位数，掌握垃圾分类知识的学生更多了，学生垃圾分类的观念更强了；
②八年级第二次测试获得优秀的人数（人），
八年级第一次测试获得优秀的人数（人），
（人），
答：该校八年级第二次测试获得优秀的人数比第一次测试获得优秀的人数增加了40人．
22．2024年3月4日，跳水世界杯蒙特利尔站女子十米台，中国队选手包揽冠亚军，出色的表现，再次向世界展示了中国跳水队的卓越实力．如图，建立平面直角坐标系xOy．如果运动员从点A起跳后的运动路线可以看作抛物线的一部分，那么从起跳到入水的过程中，她的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系式．
(1)在平时训练完成一次跳水动作时，运动员的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：
水平距离 3 3.5 4 4.5
竖直高度 10 __________ __________ 6.25
①求抛物线的解析式．
②补全表格．
(2)信息一：运动员起跳后达到最高点B，点B到水面的高度为km，从到达最高点B开始计时，则她到水面的距离与时间之间满足．
信息二：已知运动员在到达最高点后，在落水前至少需要的时间才能完成极具难度的跳水动作．
①请通过计算说明，在（1）的这次训练中1，运动员能否顺利完成极具难度的跳水动作？
②运动员进行第二次跳水训练，此时她们竖直高度与水平距离的关系为．若她在到达最高点后要顺利完成极具难度的跳水动作，则n的取值范围是__________．
【答案】(1)①抛物线的解析式为；②11.25，10
(2)①运动员不能顺利完成极具难度的跳水动作；②
【分析】本题考查了二次函数的应用，熟知二次函数的相关性质，熟练解析相关抛物线是解题的关键．
（1）①设二次函数的关系为设函数解析式为，代入点，，即可得到函数表达式；
②把分别代入，即可求出结果；
（2）①由题意，得最高点B的坐标为，可得解析式，再将代入，对比即可解答；
②通过得到最高点，可得的解析式，再通过解不等式，即可解答．
【详解】（1）解：①设函数解析式为，
抛物线经过点，，
把点，代入，
得解得
抛物线的解析式为．
②把代入可得，；
把代入可得，；
故答案为：11.25；10．
（2）（2）①由题意，得最高点B的坐标为，
她到水面的距离与时间之间满足．
当时，．
，
运动员不能顺利完成极具难度的跳水动作．
②解：，
最高点的坐标为，
运动员第二次跳水到水面的距离与时间之间满足．
当时，；
当时，运动员能够完成此动作，
，
解得，
当，运动员能顺利完成极具难度的跳水动作．
解答题（本大题12分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
23．综合与实践
某数学兴趣小组在探索等腰直角三角形有关问题时，经历了如下过程：
如图1，△ABC和△ADE是共顶点的等腰直角三角形，．
问题初探
（1）如图2，当点D在直线上时，
①求证：．
②推断：与的比值．
问题深入
（2）当点D不在直线上时，（1）中的结论还成立吗？请结合图1说明理由．
问题解决
（3）如图3，点O是正方形的中心，点E在直线上运动，连接，过点E作，且，连接，．
①正方形的边上是否存在一点M，使恒成立？若存在，直接写出点M的位置；若不存在，说明理由．
②连接，若正方形的边长为4，设，，当x为何值时，y的值最小，最小值为多少？
【答案】（1）①见解析；②；（2）（1）①中的结论不成立，（1）②中的结论成立，理由见解析；（3）①存在，见解析；②x=4，最小值为
【分析】（1）①由，，，得，，则，，所以，则，即可证明；
②由相似三角形的性质得；
（2）由，，，得，，则，所以，因为，所以，则与不垂直，可知（1）①中的结论不成立；因为，所以（1）②中的结论成立；
（3）①连接、，作于点M，可证明，，所以，则，，而，，所以，，则，，可证明，得，则，所以边上存在使恒成立的点M，点M为的中点．
②由，可知点F在经过点C且与垂直的直线上运动，作交的延长线于点P，求得，则，当点P与点F重合时，的值最小，此时y取得最小值，由点E与点C重合，得，所以当点E在点B的右侧，且时，y的值最小，最小值为．
【详解】解：（1）①证明：如图2，∵和都是等腰直角三角形，，
∴，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵点D在直线上，
∴，
∴，
∴．
②的值为，
理由：∵，
∴，
∴的值为．
（2）（1）①中的结论不成立，（1）②中的结论成立，
理由：如图1，∵，，，
∴，，，
∴，，
∴，
∴，
∵点D不在直线上，
∴，
∴，
∴与不垂直，
∴（1）①中的结论不成立；
∵，
∴，
∴的值为，
∴（1）②中的结论成立．
（3）①存在，点M是的中点，
理由：如图3，连接、，作于点M，则，
∵点O是正方形的中心，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∵，且，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴边上存在使恒成立的点M，点M为的中点．
②如图3，
∵，
∴，
∴点F在经过点C且与垂直的直线上运动，
作交的延长线于点P，则，
∵，，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴当点P与点F重合时，的值最小，此时y取得最小值，
如图4，点P与点F重合，连接，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴点E与点C重合，
∴，即，
∴当点E在点B的右侧，且时，y的值最小，最小值为．
【点睛】此题重点考查等腰直角三角形的性质、正方形的性质、勾股定理、正多边形的半径及中心角的定义、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数与解直角三角形、垂线段最短等知识，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页2025年江西省中考数学模拟考试试题（一）（原卷版）
满分120分 考试用时120分钟
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．的相反数是（ ）
A．-2025 B． C． D．
2．尼莫点，正式名称为海洋难抵极，是地球表面距离陆地最偏远的地点，位于南太平洋中央的海面上，最近的陆地与当地相隔3667000米之遥，其中3667000用科学记数法表示应为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，这是某学校领奖台的示意图，其左视图为（ ）
B．
C． D．
4．茶文化是中国对茶认识的一种具体表现，其内涵与茶具设计之间存在着密不可分的联系，如图，是一款上下细中间粗的茶杯，向该茶杯中匀速注水，下列图象中能大致反映茶杯中水面的高度与注水时间关系是（ ）
A． B． C． D．
5．下图是深圳市2024年4月7~11日的天气情况，这5天中最低气温（单位：℃）的中位数与众数分别是（ ）
A．19，19 B．19，18 C．18，19 D．20，19
6．如图所示，纸板上有11个小正方形（其中5个有阴影，6个无阴影），从图中6个无阴影的小正方形中选出一个，与5个有阴影的小正方形能够一起折一个正方体的包装盒，不同的选法有（ ）
A．4种 B．3种 C．2种 D．1种
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
7．计算： ．
8．分解因式： ．
9．在平面直角坐标系中，把点向左平移2单位，再向下平移5个单位得到点，则点的坐标为 .
10．观察下列单项式：x，，，，…考虑他们的系数和次数．请写出第100个： ．
11．如图，在△ABC中，为的中点，将沿射线方向平移得到，连接，．若，则的值为 ．
12．如图，在矩形中，，以为直径在矩形内作半圆，点P为半圆上的一动点（不与A，D重合），连接，当为锐角等腰三角形时，的长为 ．
三、解答题（本大题共5个小题，每小题6分，共30分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）13．(1)解方程：
(2)计算：
14．如图，，点E在上，连接，请仅用无刻度直尺作图．（保留作图痕迹）
(1)在图1中以E为顶点，作一个角等于；
(2)在图2中，在的上方，作出一个与相等的角．
15．第八届丝博会于2024年9月 20日至24日在西安国际会展中心举办．本届丝博会以“深化互联互通·拓展经贸合作”为主题．在丝博会举办之际，某机构计划向全市中小学生招募“丝博小记者”．某校现有甲、乙两位男生和丙、丁两位女生参加小记者竞选．
(1)若先从这四位竞选者中随机选出一位小记者，则选到男生的概率是 ；
(2)若从这四位竞选者中随机选出两位小记者，请用列表或画树状图的方法求出一男一女当选的概率．
16．如图矩形的顶点A、C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为，反比例函数的图象经过的中点D，且与交于点E，C．
(1)求反比例函数的表达式及点E的坐标．
(2)若点F是边上的一点，且△BCF为等腰三角形，求直线的表达式．
17．如图，以线段上一点为圆心，长为半径画圆，交于点，是上异于点，的一点．，且．
(1)求证：是的切线．
(2)若，平分，求线段的长．
解答题（本大题共3个小题，每小题8分，共24分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
18．为奖励在数学学科素养活动中表现突出的同学，学校准备购买甲，乙两种学具作为奖品，已知1件甲种学具比1件乙种学具的售价少10元，买3件甲种学具和4件乙种学具共需145元．
(1)甲，乙两种学具的单价分别是多少元？
(2)根据学校实际情况，需要购买甲，乙两种学具共60件，所需费用不超过1100元，那么甲种学具至少需要购买多少件？
19．如图1，是南昌八一起义纪念塔，象征着革命的胜利．某校数学社团的同学们欲测量塔的高度．如图2，他们在第一层看台上架设测角仪，从处测得塔的最高点的仰角为，测出，台阶可抽象为线段，，台阶的坡角为，测角仪的高度为，塔身可抽象成线段．
(1)求测角仪与塔身的水平距离；
(2)求塔身的高度．（结果精确到）（参考数据：，，，）
20．已知，矩形中，，，的垂直平分线分别交、于点E、F，垂足为O．
(1)如图1，连接、．求的长；
(2)如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿和各边匀速运动一周．即点P自停止，点Q自停止．在运动过程中，
①已知点P的速度为每秒，点Q的速度为每秒，运动时间为t秒，当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．
②若点P、Q的运动路程分别为a、b（单位：，），已知A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形，求a与b满足的数量关系式．
解答题（本大题共2个小题，每小题9分，共18分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
21．为进一步落实生活垃圾分类工作，提升学生垃圾分类技能，某校开展了为期两个月的垃圾分类知识培训活动．活动结束后，该校为了了解培训效果，对全校学生进行两次（这两个月的月底各一次）关于垃圾分类知识的测试，并从中随机抽取部分八年级学生的测试成绩，对他们的两次测试成绩进行整理，得到如下统计表和统计图．
整理描述
第一次测试成绩统计表
成绩x/分 人数 频率
5 0.05
30 0.3
35 m
23 0.23
7 0.07
合计 n 1
(1)统计表中的 ， ．
(2)抽样数据中，第二次测试成绩在分数段的学生人数为 ．
(3)分析数据：①该校某老师说：“还是培训有作用，通过培训，掌握垃圾分类知识的学生更多了，学生垃圾分类的观念更强了！”请你选择一个能反映总体的统计量，说明培训的作用．
②若成绩达到80分及以上为优秀，已知该校八年级学生有800人，则该校八年级第二次测试获得优秀的人数比第一次测试获得优秀的人数增加了多少？
22．2024年3月4日，跳水世界杯蒙特利尔站女子十米台，中国队选手包揽冠亚军，出色的表现，再次向世界展示了中国跳水队的卓越实力．如图，建立平面直角坐标系xOy．如果运动员从点A起跳后的运动路线可以看作抛物线的一部分，那么从起跳到入水的过程中，她的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系式．
(1)在平时训练完成一次跳水动作时，运动员的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：
水平距离 3 3.5 4 4.5
竖直高度 10 __________ __________ 6.25
①求抛物线的解析式．
②补全表格．
(2)信息一：运动员起跳后达到最高点B，点B到水面的高度为km，从到达最高点B开始计时，则她到水面的距离与时间之间满足．
信息二：已知运动员在到达最高点后，在落水前至少需要的时间才能完成极具难度的跳水动作．
①请通过计算说明，在（1）的这次训练中1，运动员能否顺利完成极具难度的跳水动作？
②运动员进行第二次跳水训练，此时她们竖直高度与水平距离的关系为．若她在到达最高点后要顺利完成极具难度的跳水动作，则n的取值范围是__________．
解答题（本大题12分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
23．综合与实践
某数学兴趣小组在探索等腰直角三角形有关问题时，经历了如下过程：
如图1，△ABC和△ADE是共顶点的等腰直角三角形，．
问题初探
（1）如图2，当点D在直线上时，
①求证：．
②推断：与的比值．
问题深入
（2）当点D不在直线上时，（1）中的结论还成立吗？请结合图1说明理由．
问题解决
（3）如图3，点O是正方形的中心，点E在直线上运动，连接，过点E作，且，连接，．
①正方形的边上是否存在一点M，使恒成立？若存在，直接写出点M的位置；若不存在，说明理由．
②连接，若正方形的边长为4，设，，当x为何值时，y的值最小，最小值为多少？
试卷第1页，共3页
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