必修函数复习
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函数复习
内容：函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性、周期性、函数的综合应用
一．常见函数（基本初等函数）：
1． 2．
3． 4．
5．幂函数：（包括前四个函数）
6．指数函数：
7．对数函数：
8．三角函数：，，
由以上函数进行四则运算、复合运算得到的函数都是初等函数。如：，，，试着分析以上函数的构成。
二．定义域：
1．“定义域优先”的思想是研究函数的前提，在求值域、奇偶性、换元时易忽略定义域。
2．求定义域：
例1求下列函数定义域：（1） （2）
三．值域：
例2.已知二次函数 满足且方程有等根。
（1）求的解析式；（2）问是否存在实数使的定义域为，值域为。如存在，求出的值，若不存在说明理由。
答案：(1)，（2）m=-2,n=0
例3.当函数的自变量取值区间与值域区间相同时，我们称这样的区间为该函数的保值区间．函数的保值区间有、、三种形式．以下四个二次函数图象的对称轴是直线l,从图象可知,有2个保值区间的函数是B
四．单调性：
1．单调性的证明：
（1）定义法：
例4. 判断函数的单调性，并用定义证明
2．单调性的简单应用：
例5.已知是上的减函数，那么的取值范围是 （ ）
（A） （B） （C） （D）
解：依题意，有0a1且3a－10，解得0a，又当x1时，（3a－1）x＋4a7a－1，当x1时，logax0，所以7a－10解得x故选C
五．函数的奇偶性：
常用性质：1．是既奇又偶函数； 2．奇函数若在处有定义，则必有；
3．偶函数满足； 4．奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y轴对称；
5．除外的所有函数奇偶性满足：
奇函数±奇函数=奇函数 奇函数×奇函数=偶函数 奇函数±偶函数=非奇非偶
奇函数×偶函数=奇函数 偶函数±偶函数=偶函数 偶函数×偶函数=偶函数
6．任何函数可以写成一个奇函数和一个偶函数的和。
例6.已知函数f(x)=ax2+(b-3)x+3,x[a2-2,a]是偶函数,则a+b=______4
六．函数的周期性：
例7. 已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=－f(x),则,f(6)的值为
(A)－1 (B) 0 (C) 1 (D)2
解：因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（0）＝0，又f（x＋4）＝－f（x＋2）＝f（x），故函数，f（x）的周期为4，所以f（6）＝f（2）＝－f（0）＝0，选B
七．函数的综合应用：
例8.函数f(x)对一切实数x都有f(2+x)=f(2-x),如果方程f(x)=0恰有4个不同的实根，那么这些根之和是
A．0 B．2 C．4 D．8 D
例9.设kR,x1,x2是方程x2-2kx+1-k2=0的两个实根，则x12+x22的最小值是 C
A．-2 B．0 C．1 D．2
例10.已知，则的值等于 3
A．-2 B．1 C．2 D．3
解:
例11.已知二次函数f（x）的图象的对称轴是x+1=0，图象最低点的纵坐标是-4，且在x轴上截得线段长为4，则f（x）=_______ x2+2x-3
例12.已知函数f(x)的定义域为R,且对一切x∈R,都有f(x+2)=f(2-x）,f(x+7)=f(7-x）(1)若f(5)=9，求f(-5)的值；（2）已知x∈[2,7]时，f(x)=（x-2）2，求当x∈[16,20]时，函数g(x)=2x-f(x)的表达式，并求出g(x)的最大值和最小值.
解：（1）由f（x+2）=f（2－x）,f（x+7）=f（7－x）可以发现函数f(x)的图象关于直线x=2,x=7对称,且f(x)=f［（x－2）+2］=f［2－（x－2）］=f（4－x）=f［7－（3+x）］= f［7+（3+x）］=f（10+x）.
∴f(x)是以10为周期的周期函数.∴f（－5）=f（－5+10）=f（5）=9.
（2）根据周期性、图象的对称性，结合图象可得到f（x）=
∴g（x）= ∵x∈[16，17]时,g（x）的最大值为16,最小值为9,x∈（17,20］时,g（x）＞g（17）=9，g（x）的最大值为g（20）=36，∴［g（x）］max=36，［g（x）］min=9.
例13.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c满足条件f(2+x)=f(2－x)，其图象的顶点为A，又图象与x轴交于点B、C，其中B点的坐标为(－1，0)，△ABC的面积S=54.试确定这个二次函数的解析式.
解：由f(2+x)=f(2－x)知，图象的对称轴方程为x=2，故可设所求的二次函数解析式为
y=a(x－2)2+m，从而，点A的坐标为（2,m）.因图象过点（－1，0），故9a+m=0.
令或5.于是，C（5，0），|BC|=6.
由S=|BC|·|m|=3|m|=54，得m=±18.于是，当m=18时，a=－2;当m=－18时，a=2.
故所求二次函数的解析式为y=－2(x－2)2+18,或y=2(x－2)2－18.
例14.已知二次函数满足条件：=，且方程=有等根。
(1)求的解析式；
(2)是否存在实数m、n(m答案:（1）（2）存在m=-4，n=0满足要求
例15.已知函数，函数g(x)=f2(x)-2af(x)+3的最小值为h(a);(1)求h(a); (2)是否存在实数m ,n同时满足下列条件：① m>n>3;②当h(a)的定义域为[n,m]时，值域为[n2,m2]？若存在,求出m, n的值; 若不存在,说明理由。
例（1）∵x[-1,1],∴,设，则
当时，； 当时，
当时， ∴
（2）∵，∴在上是减函数。
∵h(a)的定义域为[n,m]，值域为[n2,m2]，∴, ②-①得：，
∵m>n>3，∴m+n=6，但这与“m>n>3”矛盾。∴满足题意的m，n不存在
O
x
D.
C.
B.
A.
l
O
x
y
l
O
x
y
O
x
y(l)
y(l)
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内容：函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性、周期性、函数的综合应用
一．常见函数（基本初等函数）：
1． 2．
3． 4．
5．幂函数：（包括前四个函数）
6．指数函数：
7．对数函数：
8．三角函数：，，
由以上函数进行四则运算、复合运算得到的函数都是初等函数。如：，，，试着分析以上函数的构成。
二．定义域：
1．“定义域优先”的思想是研究函数的前提，在求值域、奇偶性、换元时易忽略定义域。
2．求定义域：
例1求下列函数定义域：（1） （2）
三．值域：
例2.已知二次函数 满足且方程有等根。
（1）求的解析式；（2）问是否存在实数使的定义域为，值域为。如存在，求出的值，若不存在说明理由。
答案：(1)，（2）m=-2,n=0
例3.当函数的自变量取值区间与值域区间相同时，我们称这样的区间为该函数的保值区间．函数的保值区间有、、三种形式．以下四个二次函数图象的对称轴是直线l,从图象可知,有2个保值区间的函数是B
四．单调性：
1．单调性的证明：
（1）定义法：
例4. 判断函数的单调性，并用定义证明
2．单调性的简单应用：
例5.已知是上的减函数，那么的取值范围是 （ ）
（A） （B） （C） （D）
解：依题意，有0a1且3a－10，解得0a，又当x1时，（3a－1）x＋4a7a－1，当x1时，logax0，所以7a－10解得x故选C
五．函数的奇偶性：
常用性质：1．是既奇又偶函数； 2．奇函数若在处有定义，则必有；
3．偶函数满足； 4．奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y轴对称；
5．除外的所有函数奇偶性满足：
奇函数±奇函数=奇函数 奇函数×奇函数=偶函数 奇函数±偶函数=非奇非偶
奇函数×偶函数=奇函数 偶函数±偶函数=偶函数 偶函数×偶函数=偶函数
6．任何函数可以写成一个奇函数和一个偶函数的和。
例6.已知函数f(x)=ax2+(b-3)x+3,x[a2-2,a]是偶函数,则a+b=______4
六．函数的周期性：
例7. 已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=－f(x),则,f(6)的值为
(A)－1 (B) 0 (C) 1 (D)2
解：因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（0）＝0，又f（x＋4）＝－f（x＋2）＝f（x），故函数，f（x）的周期为4，所以f（6）＝f（2）＝－f（0）＝0，选B
七．函数的综合应用：
例8.函数f(x)对一切实数x都有f(2+x)=f(2-x),如果方程f(x)=0恰有4个不同的实根，那么这些根之和是
A．0 B．2 C．4 D．8 D
例9.设kR,x1,x2是方程x2-2kx+1-k2=0的两个实根，则x12+x22的最小值是 C
A．-2 B．0 C．1 D．2
例10.已知，则的值等于 3
A．-2 B．1 C．2 D．3
解:
例11.已知二次函数f（x）的图象的对称轴是x+1=0，图象最低点的纵坐标是-4，且在x轴上截得线段长为4，则f（x）=_______ x2+2x-3
例12.已知函数f(x)的定义域为R,且对一切x∈R,都有f(x+2)=f(2-x）,f(x+7)=f(7-x）(1)若f(5)=9，求f(-5)的值；（2）已知x∈[2,7]时，f(x)=（x-2）2，求当x∈[16,20]时，函数g(x)=2x-f(x)的表达式，并求出g(x)的最大值和最小值.
解：（1）由f（x+2）=f（2－x）,f（x+7）=f（7－x）可以发现函数f(x)的图象关于直线x=2,x=7对称,且f(x)=f［（x－2）+2］=f［2－（x－2）］=f（4－x）=f［7－（3+x）］= f［7+（3+x）］=f（10+x）.
∴f(x)是以10为周期的周期函数.∴f（－5）=f（－5+10）=f（5）=9.
（2）根据周期性、图象的对称性，结合图象可得到f（x）=
∴g（x）= ∵x∈[16，17]时,g（x）的最大值为16,最小值为9,x∈（17,20］时,g（x）＞g（17）=9，g（x）的最大值为g（20）=36，∴［g（x）］max=36，［g（x）］min=9.
例13.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c满足条件f(2+x)=f(2－x)，其图象的顶点为A，又图象与x轴交于点B、C，其中B点的坐标为(－1，0)，△ABC的面积S=54.试确定这个二次函数的解析式.
解：由f(2+x)=f(2－x)知，图象的对称轴方程为x=2，故可设所求的二次函数解析式为
y=a(x－2)2+m，从而，点A的坐标为（2,m）.因图象过点（－1，0），故9a+m=0.
令或5.于是，C（5，0），|BC|=6.
由S=|BC|·|m|=3|m|=54，得m=±18.于是，当m=18时，a=－2;当m=－18时，a=2.
故所求二次函数的解析式为y=－2(x－2)2+18,或y=2(x－2)2－18.
例14.已知二次函数满足条件：=，且方程=有等根。
(1)求的解析式；
(2)是否存在实数m、n(m
例15.已知函数，函数g(x)=f2(x)-2af(x)+3的最小值为h(a);(1)求h(a); (2)是否存在实数m ,n同时满足下列条件：① m>n>3;②当h(a)的定义域为[n,m]时，值域为[n2,m2]？若存在,求出m, n的值; 若不存在,说明理由。
例（1）∵x[-1,1],∴,设，则
当时，； 当时，
当时， ∴
（2）∵，∴在上是减函数。
∵h(a)的定义域为[n,m]，值域为[n2,m2]，∴, ②-①得：，
∵m>n>3，∴m+n=6，但这与“m>n>3”矛盾。∴满足题意的m，n不存在
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B.
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