沪教版八年级数学下册 第21章 代数方程单元复习测试卷（含解析）

第21章 代数方程 （单元复习测试卷）
-一、单选题
1．下列说法中，正确的是（ ）
A．是二项方程 B．是分式方程
C．是无理方程 D．是二元二次方程组
2．解方程组的可行方法是（ ）
A．将①式分解因式 B．将②式分解因式
C．将①②式分解因式 D．加减消元
3．在下列方程中，有实数根的是（ ）
A． B．
C． D．
4．方程组有四组不同的实数解，则m的取值范围是（ 　 ）
A． B． C． D．，且
5．“绿水青山就是金山银山”．某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前30天完成了这一任务．设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，则下面所列方程中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
6．使得关于的分式方程的解为非负数的的取值范围是（ ）
A．且 B．且 C．且 D．且
二、填空题
7．如果把二次方程x2﹣xy﹣2y2＝0化成两个一次方程，那么所得的两个一次方程分别是 ．
8．请你设计一个关于的二项方程，使其同时满足以下条件：①该方程为6次方程；②最高次项的系数为5；③在实数范围内有解，则这个方程可以是 ．（只需写出一个）
9．方程的根是 ．
10．解方程，如果设，那么得到关于的整式方程是 ．
11．方程组的解为 ．
12．方程组有 组解．
13．使分式方程产生增根，m的值为 ．
14．方程的根是 ．
15．解方程组 的解为
16．已知A、B两地相距千米，一辆“和谐号”动车组的行驶速度是原乘直快列车速度的倍，乘坐“和谐号”动车组比乘坐直快列车的时间可以减少6小时，求直快列车的速度，设直快列车的速度为x千米/小时，根据题意可列出方程为： ．
17．若关于的方程在实数范围内有两解，则的取值范围是 ．
18．小明在解方程时采用了下面的方法：由
，
又有，可得，将这两式相加可得，
将两边平方可解得，经检验是原方程的解．
请你学习小明的方法，解决下列问题：
（1）已知，则的值为 ．
（2）解方程，得方程的解为 ．
三、解答题
19．解方程：
(1) (2) （3）．
20．解方程组：（1）． （2）．
21．已知关于的方程．
(1)在解该方程时，去分母后所得整式方程的解不是原分式方程的解，求的值；
(2)若该方程的解为负数，求的取值范围．
22．已知方程只有一个根，求a的值．
23．上海轨道交通23号线全长约28.6公里，共设22座站．该线路串联了闵行开发区、紫竹高新、吴泾、徐汇滨江等区域，途经闵行区和徐汇区两区．甲乙两个工程队修建地铁23号线．如果甲乙两队合作，48个月可以完成建设工程；如果甲队单独做40个月后，剩下的工程由乙队独做，还需60个月才能完成建设工程．甲乙两队单独完成地铁23号线的修建各需要几个月？
24．在2024“五五购物节”中，某商店的两种品牌的小电器参与促销活动．经统计后发现，每天的销售中，乙品牌小电器的销售数量y（件）与甲品牌小电器的销售量x（件）符合如图表示的函数关系．
（1）求y关于x的函数解析式（不必写出白变量x的取值范围）；
（2）在5月2日一天的销售中，甲、乙两种品牌的小电器的销售额分别为1200元和1440元，已知甲品牌的小电器单价比乙品牌的小电器单价多20元，求甲、乙两种品牌的小电器的单价．（其中小电器的单价大于100元）
25．阅读材料：在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子解答问题．在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子的分子分母颠倒位置，变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的．
例：已知：，求代数式的值．
解：因为，所以．
即，即．
所以．
根据材料回答问题：（直接写出答案）
(1)已知，则________；________．
(2)解分式方程组，则方程组的解为________．
26．“程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程．”这是我国古代著名数学家刘徽在《九章算术》对方程一词给出的注释，对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的一个解，则称这两个方程为“相似方程”；②若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”．
(1)判断分式方程与无理方程是否是“相似方程”，并说明理由；
(2)已知关于，的方程：和，它们是“相似方程”吗？如果是，请写出它们的公共解；如果不是，请说明理由；
(3)已知关于，的二元一次方程：和（其中为整数）是“相伴方程”，求的值．
答案
一、单选题
1．D
【分析】根据二项方程、分式方程、无理方程、二元二次方程组的定义，逐项分析判断即可求解．
【解析】A. 不是二项方程，故该选项不正确，不符合题意；
B. 不是分式方程，故该选项不正确，不符合题意；
C. 不是无理方程，故该选项不正确，不符合题意；
D. 是二元二次方程组，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
2．C
【分析】由于组中的两个二元二次方程都可以分解为两个二元一次方程，所以先因式分解组中的两个二元二次方程，再解答即可．
【解析】解：∵因式分解①得： ，
因式分解②得：
∴或，
将或代入中得到或，
得到方程组或，
解得：，
故答案为：C．
3．C
【分析】利用二次根式的非负性对A进行判断；利用根的判别式的意义对B进行判断；解无理方程对C进行判断；解分式方程对D进行判断．
【解析】解：A、移项得：，∵，所以原方程没有实数解，所以A选项不符合题意；
B、因为，所以原方程没有实数解，所以B选项不符合题意；
C、给方程两边同时平方得：，化为一般形式为：，解得，经检验时不满足原方程，所以，所以C选项符合题意；
D、解方程得，经检验当时分母为零，所以原方程无实数解，所以D选项不符合题意．
故选C．
4．D
【分析】首先运用代入法将方程组变形，然后利用根的判别式即可得解.
【解析】
由②，得③
将③代入①，得
∵方程组有四组不同的实数解，
∴且
∴，且
故选：D.
5．C
【分析】设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，根据工作时间=工作总量÷工作效率结合提前 30 天完成任务，即可得出关于x的分式方程．
【解析】解：设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，则原来每天绿化的面积为万平方米，
依题意得：，
即．
故选C．
6．D
【分析】方程两边同时乘以，解得，根据解为非负性、、即可求出的取值范围．
【解析】
∵解为非负数
∴且
∴
∵，
∴
∴且
故答案为：D．
二、填空题
7．x﹣2y＝0或x+y＝0
【分析】由于二元二次方程x2﹣xy﹣2y2＝0进行因式分解可以变为（x﹣2y）（x+y）＝0，即可解决问题．
【解析】∵x2﹣xy﹣2y2＝0，
∴（x﹣2y）（x+y）＝0，
∴x﹣2y＝0或x+y＝0．
故答案为：x﹣2y＝0或x+y＝0．
8．（答案不唯一）
【分析】根据题意，写出方程，即可求解．
【解析】解：根据题意得：这个方程可以是．
故答案为：（答案不唯一）
9．或
【分析】将方程化为二项方程，因式分解法解方程即可求解．
【解析】解：，
即，
∴，
∵，
∴，
即，
，
或，
经检验，或，是原方程的解，
方程的根是或，
故答案为：或．
10．
【分析】将代入原方程可得，再两边同时乘以可得，整理即可得到答案．
【解析】解：设，
则方程可化为：，
两边同时乘以可得：，
整理得：，
得到关于的整式方程是：，
故答案为：．
11．
【分析】设=m，=n，即可得到一个关于m，n的方程组求得m，n的值，进而即可求得x，y的值．
【解析】解：设=m，=n．
则原方程组即可化为：，
解得：，
则，
解得：．
经检验是原方程组的解．
故答案是：．
12.3
【分析】由可得或，再分当时和当时，分别进行计算即可得到答案．
【解析】解：，
或，
或，
当时，，
，
当时，，
解得：或，
或，
方程组的解为：或或，共有3组解，
故答案为：3．
13．
【分析】本题考查了分式方程的增根．原分式方程化为整式方程，根据方程有增根，得到，将其代入整式方程即可求解．
【解析】解：去分母，得：，
∵原方程有增根，
∴，即，
把代入整式方程，即，
解得，
故答案为：．
14．
【分析】先把无理方程化为或，分别求解，再检验，即可．
【解析】解：∵，
∴或，
解得：或，
∵，
∴
∴，
检验：为方程的根，不是方程的根，
故答案为．
15．
【分析】首先把方程②变形为y=，然后利用代入法消去y，得到关于x的一元二次方程，解方程求出x，然后就可以求出y，从而求解．
【解析】解：，
由②得:y=③　　　　　　　　　　　
把③代入①得:x2-+4()2+x--2=0.
整理得:4x2-21x+27=0
∴x1=3　 x2=.
把x=3代入③　得:y=1
把x=代入④　得:y=.
∴原方程组的解为:
16．
【分析】设直快列车的速度为x千米/小时，则“和谐号”动车组的行驶速度是千米/小时，根据乘坐“和谐号”动车组比乘坐直快列车的时间可以减少6小时列方程即可．
【解析】解：设列车提速前的速度为x千米/小时，则提速后的速度为千米/小时，
由题意，得：．
故答案为：．
17．
【分析】先变形得，再化为整式方程得，利用判别式的意义得到，然后解不等式得到满足条件的k的取值范围．
【解析】解：，
两边平方得，
根据题意得，
整理得，解得或，
而，
所以k的取值范围为．
故答案为．
18．
【分析】（1）根据题目所给方法，可求的值，然后结合，即可求出的值；
（2）根据题目所给方法，可求，再解方程即可．
【解析】解：（1），
又，
∴
∴；
（2）
，
又，
∴，
两式相加，得，
两边同时平方，得，
解得，
经检验，是原方程的解．
故答案为：；．
三、解答题
19．（1）解：
，
两边同乘得：，
整理得：，
解得：，，
经检验，，是该分式方程的解：
（2）解：由题意得：，
两边同时平方得：，
两边再平方整理得：，
解得：或，
经检验，不符合题意，舍，
∴；
（3）解：，
，
两边同时平方得：，
整理得：，
两边同时平方得：，
整理得：，
解得：，，
当时，，不符合题意，
当时，，符合题意，
原无理方程的解为．
20．（1）
由①可得，
将③代入②得，
整理得，
或
解得，
将代入③得，；
将代入③得，．
∴方程组的解为或．
（2）解：设，，
则原方程组化为：，
解得：，
即，
解得：，
经检验是原方程组的解，
所以原方程组的解是．
21.（1）解：方程两边同乘得：，
移项、合并同类项得：，
系数化为得：，
去分母后所得整式方程的解不是原分式方程的解，
当时，满足题意，
，
解得：；
（2）解：方程两边同乘得：，
移项、合并同类项得：，
系数化为得：，
该方程的解为负数，
，
解得：，
由（1）可得，要使原分式方程有解，则，
的取值范围为：且．
22.解：
去分母得：
去括号得：
①有一根为x=-1时，代入得a=5，
，则另一个根为x=0，
此时分式方程只有一个根x=0，且分母不等于零，符合题意；
②有一根为x=-2时，代入得a=9，
，则另一个根为x=1，
此时分式方程只有一个根x=1，且分母不等于零，符合题意；
③有两个相同根时，4-8（5-a）=0，a=，
，，
此时分式方程只有一个根x=，且分母不等于零，符合题意；
∴a的值为5或9或；
23.解：设甲队单独做需a个月，乙队单独做需b个月，
根据题意，得：，
解得：
经检验，是原方程组的解．
故甲队单独做需80个月，乙队单独做需120个月．
24.解：（1）设关于的函数解析式为．
将，代入得：
，
解得：，
关于的函数解析式为；
（2）设甲品牌的小电器单价元，则乙品牌的小电器单价为元，
依题意得：，
解得：，．
小电器的单价大于100元，
，
（元），
答：甲品牌的小电器单价为200元，则乙品牌的小电器单价为180元．
25.（1）∵
∴
∴
∴
∴，
故答案为：，．
（2）由得
即
由，并组成方程组，得
，得
解得
把代入可得
解得
经检验，原方程组的解是．
26.（1）解：是相似方程，理由如下：
，
给方程两边同时乘以，
得，
化简得，
解得，，
，
，
，
，
，
，
舍去，，
因为分式方程与无理方程有一个相同的解，
所以分式方程与无理方程是“相似方程”；
（2）不是相似方程，理由如下：
，
，
，
，
和，它们不是“相似方程”；
（3）根据题意可得：，
解得：，
当时，不符合题意，
当时，则，
，都是整数，
，或．