2025年福建省中考数学模拟考试试题（一）（原卷版）
满分150分 考试用时120分钟
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．下列实数中，无理数是（ ）
A． B．0 C． D．
2．神舟十八号载人飞船在浩渺星河泛舟192天后，其返回舱于2024年11月4日凌晨划过夜幕，成功抵达东风着陆场，55种总重约34600克的第七批空间科学实验样品也随之顺利返回．数据34600用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．如图是由一个长方体和一个三棱柱组成的几何体，则它的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，一副三角尺按如图方式摆放． 若直线，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．从、1、0、这四个数中任取一个数，为负数的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，、分别切于A、B两点，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．某水果批发商以每千克5元的价格对外批发红富士苹果，为了减少库存，决定对苹果降价销售，经过两次降价后，批发价为每千克元．设平均每次降价的百分率为x，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，四边形中，对角线所在的直线是其对称轴，P是直线上的点，下列判断错误的是（ ）
A． B． C． D．
10．已知点为抛物线（a为常数，）上的两点，当时，（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）
11．分解因式： ．
12．不等式的解集是 ．
13．种植能手李大叔种植了一批新品种黄瓜，为了考察这种黄瓜的生长情况，李大叔抽查了部分黄瓜株上长出的黄瓜根数，得到如图的条形图，则抽查的这部分黄瓜株上所结黄瓜根数的中位数是 ．
14．如图，G、H分别是四边形ABCD的边AD、AB上的点，∠GCH=45°，CD=CB=2，∠D=∠DCB=∠B=90°，则△AGH的周长为 ．
15．已知点A、B分别在反比例函数y=（x＞0），y=﹣（x＞0）的图象上，且OA⊥OB，则tanB为 ．
16．某通信公司准备逐步在山上建设5G基站．如图，某处斜坡的坡角的正切值为，通讯塔垂直于水平地面，在处测得塔顶的仰角为45°，在处测得塔顶的仰角为53°，斜坡路段长26米则通讯塔的高度约为 米．（参考数据：，，）
解答题（本大题共9个小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
计算：．
18．如图，在菱形中，点E，F分别在边上，．
求证：．
解分式方程：．
20．个体户王某经营一家餐馆，下面是在餐馆工作的所有人员去年七月份的工资：会计：410元；厨师甲：450元；厨师乙：400元；
杂工：320元；招待甲：350元；招待乙：320元；
王某：3 000元．
(1)计算所有人员的平均工资；
(2)上面计算出的平均工资能否反映为王某打工的人员在该月收入的一般水平？请说明理由，并求出能够反映打工人员该月收入的一般水平的工资额．
21．如图，已知二次函数的图像与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点，其中．
(1)求二次函数的表达式；
(2)若点D是二次函数图像上的一点，且点D在第一象限，轴于点F，交于点E，当线段的长为最大值时，求的面积．
22．如图，．
(1)在上方求作求作一点E，连接使得（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）．
(2)在（1）的条件下，连接，若，求证：．
23．已知实数m、n满足，，且．
(1)试说明的值恒为正数；
(2)求证：．
24．【提出问题】
有两个相同的长方体纸盒，它们的长、宽、高分别是，现要用这两个纸盒搭成一个大长方体，怎样搭可使长方体的表面积最小？
实践操作：我们发现，无论怎样放置这两个长方体纸盒，搭成的大长方体体积都不变，但是由于摆放位置的不同，它们的表面积会发生变化，经过操作，发现共有3种不同的摆放方式，如图所示：
【探究结论】
(1)请计算图1，图2，图3中的大长方体的长、宽、高及其表面积，并填充下表：
长 宽 高 表面积
图1 16 6
图2 6 2
图3 16 2
完成上表，根据上表可知，表面积最小的是_______所示的长方体．（填“图1”，“图2”，“图3”）
(2)现在有4个小长方体盒纸盒，每个的长、宽、高分别是，若用这4个长方体盒子搭成一个大长方体，搭成的大长方体的表面积最小为_______．
(3)元旦将至，小张在网上定制了若干个大小相同的长方体礼盒，如图是这些长方体礼盒搭成的几何体从三个不同方向看到的形状图，商家准备将这若干个长方体礼盒打成一个包裹寄给小张．请你帮忙商家计算打包用的包装纸最少要用多少平方厘米？（接头处忽略不计）
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页2025年福建省中考数学模拟考试试题（一）（解析版）
满分150分 考试用时120分钟
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．下列实数中，无理数是（ ）
A． B．0 C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了无理数的定义，无理数就是无限不循环小数．其中初中范围内学习的无理数有：等；开方开不尽的数；以及像，等数．
【详解】解：根据无理数的定义可得：无理数是；，0和，都是有理数，
故选：D．
2．神舟十八号载人飞船在浩渺星河泛舟192天后，其返回舱于2024年11月4日凌晨划过夜幕，成功抵达东风着陆场，55种总重约34600克的第七批空间科学实验样品也随之顺利返回．数据34600用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了正整数指数科学记数法，对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为比原数的整数位数少1的正整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
【详解】解：．
故选C．
3．如图是由一个长方体和一个三棱柱组成的几何体，则它的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了立体图形的三视图，三视图是指主视图，俯视图，左视图，解答此题的关键是弄清三视图的定义．
主视图是指从正面看所得的图形，根据主视图的定义解答即可．
【详解】解：这个几何体的主视图是：
故选：B．
4．如图，一副三角尺按如图方式摆放． 若直线，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键．
先根据平行线的性质可得°，从而可得，再根据余角关系求出，然后根据平行线的性质即可得．
【详解】解：如图，
∵直线，
∴
∵，
∴，
∵
∴，
故选：C．
5．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了同底数幂乘除法计算，幂的乘方计算和合并同类项，根据同底数幂乘除法计算法则，幂的乘方和合并同类项等计算法则求解判断即可．
【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算正确，符合题意；
D、，原式计算错误，不符合题意；
故选：C．
6．从、1、0、这四个数中任取一个数，为负数的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了概率公式以及有理数的分类，熟记概率公式是解题的关键．
首先找出是负数的个数，根据概率负数个数与个数之比，求解即可．
【详解】解：∵负数有，，共2个，
∴从这4个数中任取一个数，取到负数的的概率是，
故选：A．
7．如图，、分别切于A、B两点，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，连接，根据切线的性质，结合四边形的内角和，求出的度数，再利用圆周角定理进行求解即可．
【详解】解：连接，由题意，得：，
∴，
∴；
故选C
8．某水果批发商以每千克5元的价格对外批发红富士苹果，为了减少库存，决定对苹果降价销售，经过两次降价后，批发价为每千克元．设平均每次降价的百分率为x，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】设平均每次降价的百分率为x，根据题意，得，解答即可．
本题考查了一元二次方程的应用，增长率问题，熟练掌握增长率的意义是解题的关键．
【详解】解：设平均每次降价的百分率为x，根据题意，得，
故选：A．
9．如图，四边形中，对角线所在的直线是其对称轴，P是直线上的点，下列判断错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了轴对称的性质，全等三角形的判定和性质．根据轴对称的性质得出，，根据对应角相等，对应边相等逐项判断即可求解．
【详解】解：∵在四边形中，对角线所在的直线是其对称轴，点P是直线上的点，
∴，，，，，
∴，，
∴，，
故A，B，D选项正确，
无法判断，
故C选项不正确，
故选：C．
10．已知点为抛物线（a为常数，）上的两点，当时，（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的图象性质以及根据二次函数的对称性求函数值，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
当时，，则点、均为对称轴的右侧，再根据二次函数的增减性即可判定A；若，则点、在对称轴异侧或左侧，再分类求解即可判定B；当时，此时，即可判定C；若，则点、在对称轴异侧或左侧，即可判定D．灵活运用二次函数的性质成为解题的关键．
【详解】解：由(为常数，)知，其开口向上，对称轴为，当时，，且，
A．当时，，则点、均在对称轴的右侧，故，故A错误，不符合题意；
B．若，则点、在对称轴异侧或左侧，
当、在对称轴异侧时，则，解得：；
当、在对称轴左侧时，则，解得：，
综上，，故B错误，不符合题意；
C．当时，则，此时，，
，故C错误，不符合题意；
D．当时，，则点、均为对称轴的右侧，故，故D正确，符合题意；
故选：D．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）
11．分解因式： ．
【答案】
【分析】本题考查了提公因式法进行因式分解．直接提取公因式，即可作答．
【详解】解：∵，
故答案为：．
12．不等式的解集是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式．先去分母，再移项合并同类项，即可求解．
【详解】解：，
去分母得：，
移项合并同类项得：．
故答案为：
13．种植能手李大叔种植了一批新品种黄瓜，为了考察这种黄瓜的生长情况，李大叔抽查了部分黄瓜株上长出的黄瓜根数，得到如图的条形图，则抽查的这部分黄瓜株上所结黄瓜根数的中位数是 ．
【答案】
【分析】本题考查了条形统计图，中位数，根据中位数的定义解答即可求解，由条形统计图获得跟问题有关的信息是解题的关键．
【详解】解：由条形图可得，共抽查了0株黄瓜，
∴中位数为第25株和第26株黄瓜结所黄瓜根数的平均数，
∴中位数是，
故答案为：．
14．如图，G、H分别是四边形ABCD的边AD、AB上的点，∠GCH=45°，CD=CB=2，∠D=∠DCB=∠B=90°，则△AGH的周长为 ．
【答案】4
【分析】把绕点C逆时针旋转90°得到，可证，进而即可求解．
【详解】解：∵CD=CB=2，∠D=∠DCB=∠B=90°，
∴四边形ABCD是正方形，
∴∠A=90°，
把绕点C逆时针旋转90°得到，则CG=CE，∠DCG=∠BCE，
∵∠GCH=45°，
∴∠BCE+∠BCH=∠DCG+∠BCH=90°-45°=45°，即：∠HCE=∠GCH，
又∵CH=CH，
∴，
∴GH=EH=BH+BE=BH+DG，
∴△AGH的周长= GH+AH+AG= BH+DG+AH+AG=AD+AB=2+2=4．
【点睛】本题主要考查正方形的判定和性质，全等三角形的性质，添加辅助线构造全等三角形，是解题的关键．
15．已知点A、B分别在反比例函数y=（x＞0），y=﹣（x＞0）的图象上，且OA⊥OB，则tanB为 ．
【答案】
【详解】解：过A作AC⊥y轴，过B作BD⊥y轴，可得∠ACO=∠BDO=90°，
∴∠AOC+∠OAC=90°，
∵OA⊥OB，
∴∠AOC+∠BOD=90°，
∴∠OAC=∠BOD，
∴△AOC∽△OBD，
∵点A、B分别在反比例函数y=（x＞0），y=﹣（x＞0）的图象上，
∴S△AOC=1，S△OBD=4，
∴S△AOC：S△OBD=1：4，即OA：OB=1：2，
则在Rt△AOB中，tan∠ABO=．
【点睛】本题考查反比例函数及锐角三角函数综合题，正确添加辅助线，数形结合解题是关键．
16．某通信公司准备逐步在山上建设5G基站．如图，某处斜坡的坡角的正切值为，通讯塔垂直于水平地面，在处测得塔顶的仰角为45°，在处测得塔顶的仰角为53°，斜坡路段长26米则通讯塔的高度约为 米．（参考数据：，，）
【答案】
【分析】通过作辅助线，利用斜坡坡角的正切值为，CD=26，由勾股定理可求出DM的长，设出DG的长，根据坡度表示BG，进而表示出CF，由于△ACF是等腰直角三角形，可表示BG，在△ADG中由锐角三角函数可列方程求出DG，进而求出AB．
【详解】如图，延长AB与水平线交于F，过D作DM⊥CF，M为垂足，过D作DG⊥AF，G为垂足，连接AC，AD，
∵斜坡的坡角的正切值为，
∴，
设DM=5k米，则CM=12k米，
在Rt△CDM中，CD=26米，由勾股定理得，
CM2+DM2=CD2，
即（5k）2+（12k）2=262，
解得k=2，
∴DM=10（米），CM=24（米），
∵斜坡的坡角的正切值为，
设DG=12a米，则BG=5a米，
∵∠ACF=45°，
∴AF=CF=CM+MF=（24+12a）米，
∴AG=AF-GF=24+12a-10=（14+12a）米，
在Rt△ADG中，DG=12a米，AG=（14+12a）米，
∵，
∴，
解得，
∴DG=12a=42（米），AG=14+12a=56（米），
BG=5a=（米），
∴AB=AG-BG=56-=（米），故答案为．
【点睛】本题考查解直角三角形-仰角俯角问题，坡度坡角问题，通过作垂线构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系和坡度的意义进行计算是解题关键．
解答题（本大题共9个小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．计算：．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的乘法、零指数幂、负整数指数幂，熟练掌握二次根式的乘法、零指数幂、负整数指数幂的运算法则是解题的关键．根据算术平方根的定义、零指数幂、负整数指数幂的运算法则计算即可．
【详解】解：
．
18．如图，在菱形中，点E，F分别在边上，．
求证：．
【答案】证明见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，菱形的性质，根据菱形的性质结合已知条件证明，进而可证明．
【详解】证明：∵四边形是菱形，
∴，
又∵，
∴，
∴．
19．解分式方程：．
【答案】
【分析】本题考查解分式方程，去分母，将分式方程化为整式方程，求解后进行检验即可．
【详解】解：去分母，得：，
去括号，得：，
移项，合并，得：，
系数化1，得：，
检验，经检验，是原方程的解．
20．个体户王某经营一家餐馆，下面是在餐馆工作的所有人员去年七月份的工资：会计：410元；厨师甲：450元；厨师乙：400元；
杂工：320元；招待甲：350元；招待乙：320元；
王某：3 000元．
(1)计算所有人员的平均工资；
(2)上面计算出的平均工资能否反映为王某打工的人员在该月收入的一般水平？请说明理由，并求出能够反映打工人员该月收入的一般水平的工资额．
【答案】(1)750元；
(2)不是，理由见解析；400元
【分析】（1）根据题目中的数据可以求得所有员工的平均工资；
（2）根据题目中的数据和（1）中的答案可以解答本题．
【详解】（1）解：（元），
答：所有人员的平均工资是750元；
（2）解：不能反映出王某打工的人员在该月收入的一般水平，
理由：由平均数和题目中的数据可知只有1人超过平均水平，其他6人都在平均水平以下，故不能反映一般水平．
将这列数按从小到大排列为：320，320，350，400，410，450，3000，
所以它们的中位数为400，
所以能够反映打工人员该月收入的一般水平的工资额是400元．
【点睛】本题考查中位数、算术平均数，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
21．如图，已知二次函数的图像与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点，其中．
(1)求二次函数的表达式；
(2)若点D是二次函数图像上的一点，且点D在第一象限，轴于点F，交于点E，当线段的长为最大值时，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，以及二次函数的最值问题．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求出直线解析式为，再设，则，即可根据二次函数的性质求解最值．
【详解】（1）解：把代入，
得
解得
∴二次函数的表达式为：
（2）解：令
解得
设直线解析式为：
把代入
得：，
解得：
∴直线解析式为
是二次函数图像上的一点，轴于点F，且交于点E，
设
当时，取最大值
．
22．如图，．
(1)在上方求作求作一点E，连接使得（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）．
(2)在（1）的条件下，连接，若，求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查尺规作角平分线，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，添加辅助线构造相似三角形，是解题的关键．
（1）尺规作的角平分线，以A为圆心，以长为半径画弧，与角平分线的交点E即为所求；
（2）连接，由，，得，再证明，结合勾股定理的逆定理，即可得到结论．
【详解】（1）解：如图所示：
∵，
∴，
由作图可知，，
∵，
∴，即，
∴；
（2）解：如图2，连接，
∵，由（1）可知垂直平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
由（1）知，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∵,，
∴ ，
∴．
23．已知实数m、n满足，，且．
(1)试说明的值恒为正数；
(2)求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系．
（1）把m、n看作一元二次方程的两个不相等的根，然后利用根的判别式求解即可；
（2）由根与系数的关系得，，然后把通分后代入整理可得结论成立．
【详解】（1）解：∵实数m、n满足，，且，
∴m、n是一元二次方程的两个不相等的根．
∴，
即的值恒为正数．
（2）证明：∵m、n是一元二次方程的两个根，
∴，，
∴
．
由（1）得，
∴，
∴．
24．【提出问题】
有两个相同的长方体纸盒，它们的长、宽、高分别是，现要用这两个纸盒搭成一个大长方体，怎样搭可使长方体的表面积最小？
实践操作：我们发现，无论怎样放置这两个长方体纸盒，搭成的大长方体体积都不变，但是由于摆放位置的不同，它们的表面积会发生变化，经过操作，发现共有3种不同的摆放方式，如图所示：
【探究结论】
(1)请计算图1，图2，图3中的大长方体的长、宽、高及其表面积，并填充下表：
长 宽 高 表面积
图1 16 6
图2 6 2
图3 16 2
完成上表，根据上表可知，表面积最小的是_______所示的长方体．（填“图1”，“图2”，“图3”）
(2)现在有4个小长方体盒纸盒，每个的长、宽、高分别是，若用这4个长方体盒子搭成一个大长方体，搭成的大长方体的表面积最小为_______．
(3)元旦将至，小张在网上定制了若干个大小相同的长方体礼盒，如图是这些长方体礼盒搭成的几何体从三个不同方向看到的形状图，商家准备将这若干个长方体礼盒打成一个包裹寄给小张．请你帮忙商家计算打包用的包装纸最少要用多少平方厘米？（接头处忽略不计）
【答案】(1)补充表格见详解，表面积最小的是图1
(2)236
(3)18450平方厘米
【分析】本题考查了几何体的表面积，三视图，找出各种不同搭法是解题的关键．
（1）根据长方体的表面积的计算方法分别计算即．
（2）先画出不同的搭法，再利用长方体的表面积计算公式，求出各种搭法的表面积，取其中的最小值即可得出结论．
（3）要使包装的纸最少，应该把长方体最大的面重合在一起，即把的面重合在一起，这样包装后的长方体，长是75厘米，宽为35厘米，高为（厘米），根据长方体的表面积公式，求出包装后的长方体的表面积即可解答．
【详解】（1）解：图1中，长方体的高为4，表面积．
图2中，长为32，表面积．
图3中，宽为12，表面积．
补充表格如下：
长 宽 高 表面积
图1 16 6 4 368
图2 32 6 2 536
图3 16 12 2 496
∴图1的表面积最小．
（2）解：共有6种搭法，可分为两类：
第一类有三种情况，表面积分别为：，
，
．
第二类有三种情况，表面积分别为：，
，
，
∴共有6种不同的方式搭成的大长方体的表面积最小为．
（3）解：根据三视图可得共有四个礼盒，每个礼盒的长宽高分别为，这要使包装的纸最少，应该把长方体最大的面重合在一起，即把的面重合在一起，这样包装后的长方体，长是75厘米，宽为35厘米，高为（厘米），
依题意，（平方厘米），
答：最少需要平方厘米包装纸．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
