2024-2025学年安徽省安庆一中高二（上）期末数学试卷（含答案）

2024-2025学年安徽省安庆一中高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知空间中三点，，，则下列说法正确的是( )
A. B. C. D.
2.若直线的方向向量，平面的一个法向量，若，则实数( )
A. B. C. D.
3.过点作圆：的切线，直线：与直线平行，则直线与的距离为( )
A. B. C. D.
4.在三棱锥中，，，平面，点，分别，的中点，，为线段上的点，使得异面直线与所成的角的余弦值为，则为( )
A. B. C. D.
5.过点作直线的垂线，垂足为，则到直线距离的最小值为( )
A. B. C. D.
6.已知数列满足，且数列的前项和若，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
7.已知椭圆：与双曲线：有相同的焦点，，点是两曲线的一个公共点，且，若椭圆离心率，则双曲线的离心率( )
A. B. C. D.
8.数列满足，，，则数列的前项和为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下面四个结论正确的是( )
A. 若，，三点不共线，面外的任一点，有，则，，，四点共面
B. 有两个不同的平面，的法向量分别为，且，，则
C. 已知为平面的一个法向量，为直线的一个方向向量，若，，则与所成角为
D. 已知向量，，若，则，为钝角
10.已知曲线：，则下列结论正确的是( )
A. 若，则曲线表示双曲线
B. 曲线可能表示一个圆
C. 若曲线是椭圆，则其长轴长为
D. 若，则曲线中过焦点的最短弦长为
11.如图，是棱长为的正方体的表面上一个动点，为棱的中点，为侧面的中心下列结论正确的是( )
A. 平面
B. 与平面所成角的余弦值为
C. 若点在各棱上，且到平面的距离为，则满足条件的点有个
D. 若点在侧面内运动，且满足，则存在点，使得与所成角为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知正项数列中，，，，则数列的前项和______．
13.如图所示，已知双曲线和椭圆有共同的右焦点，记曲线为双曲线的右支和椭圆围成的曲线，若，分别在曲线中的双曲线和椭圆上，则周长的最小值等于______．
14.年是中国传统的农历“鼠年”，有人用个圆构成“卡通鼠”的形象，如图：是圆的圆心，圆过坐标原点；点、均在轴上，圆与圆的半径都等于，圆、圆均与圆外切已知直线过点设该直线的斜率为，若直线截圆、圆、圆所得弦长均等于，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，四棱锥的底面为平行四边形，且，，，是的中点．
若，求的值；
求线段的长．
16.本小题分
已知圆的圆心在直线，且过圆上一点的切线方程为．
求圆的方程；
设过点的直线与圆交于另一点，求的最大值及此时的直线的方程．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，其中，，，，为棱上的点，且，点在棱上不与点，重合．
求证：平面平面．
求二面角的平面角的余弦值．
直线能与平面垂直吗？若能，求出的值；若不能，请说明理由．
18.本小题分
已知点是离心率为的椭圆：上的一点．
求椭圆的方程；
点在椭圆上，点关于坐标原点的对称点为，直线和的斜率都存在且不为，试问直线和的斜率之积是否为定值？若是，求此定值；若不是，请说明理由；
斜率为的直线交椭圆于，两点，求面积的最大值，并求此时直线的方程．
19.本小题分
已知数列：，，，为个数，，，的一个排列，其中，且．
若在集合中至少有一个元素使得，则称数列具有性质．
Ⅰ当时，判断数列：，，，，，和数列：，，，，，是否具有性质；
Ⅱ若数列和均为等差数列，且，，证明：对于所有的偶数，数列：，，，不具有性质；
Ⅲ在所有由，，，的排列组成的数列中，记具有性质的数列的个数为，不具有性质的数列的个数为，证明：对于任意，．
参考答案
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15.解：，
；
，
，
即有，
．
16.解：由题意，过点的直径所在直线方程为，
即．
联立，解得，圆心坐标为．
半径，
圆的方程为；
，要使最大，则点满足所在直线与所在直线垂直，
此时的最大值为；
，所在直线方程为，即，
联立，得或，
即的坐标为或，
当时，的方程为，即；
当时，的方程为，即．
综上，所在直线方程为或．
17.解：证明：因为平面，所以，，
又，则以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
所以，，，
所以，，
所以，，且，，平面，
所以平面，平面，
所以平面平面．
由知是平面的一个法向量，，，
设平面的一个法向量为，
则，所以，即，
令，则，，所以，
所以，
又由图可知二面角的平面角为锐角，
所以二面角的平面角的余弦值为．
由得，，，，
设，则，可得，
所以，
由知是平面的一个法向量，
若平面，可得，
则，该方程无解，
所以直线不能与平面垂直．
18.解：由，可得，即，，
将可得，，
由可得，，
椭圆的方程为；
依题意得在椭圆上．
和的斜率和均存在．
设，则，，
，
又点在椭圆上，
，
，代入得，
直线和的斜率之积为定值；
斜率为的直线，设直线的方程为
由，
消去，整理得，
，解得，
设，，
，，
，
点到直线的距离，
，当且仅当时取等号，
直线方程为．
19.解：Ⅰ当时，若数列：，，，，，具有性质，
则集合中至少有一个元素，使得，
验证可得，不存在，使得，所以数列不具有性质．
对于数列：，，，，，，集合中存在元素时，满足，所以数列具有性质．
Ⅱ证明：因为数列和均为等差数列，
且，，所以数列：，，，，，，，
所以任意相邻两项的差绝对值都是奇数，
所以当为偶数时，在集合，，，中不存在元素使得，
故对于所有的偶数，数列不具有性质．
Ⅲ证明：设数列：，，，为任意一个不具有性质的数列，
因为，，，为，，，的一个排列，
所以在，，，中有且仅有一项，使得，
在数列中，将项移到项的前面，其余项的顺序保持不变，
得到新数列：，，，，，，
新数列为，，，的一个新排列，
显然数列具有性质，且任意一个与不同的不具有性质的数列通过上述移动首项方法都得不到数列．
结合数列为任意一个不具有性质的数列，且根据可以构造一个符合题意的具有性质的数列，可
得．
又因为数列：，，，，，，具有性质，
且任何一个不具有性质的数列都不可能通过上述移动首项方法得到数列，所以．
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