2024-2025学年安徽省六安市六安一中高二（上）期末数学试卷（含答案）

2024-2025学年安徽省六安一中高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若函数的导函数存在，且，则( )
A. B. C. D.
2.直线：，：，则“”是“”的条件．
A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要
3.已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则此双曲线的渐近线方程是( )
A. B. C. D.
4.已知定点，点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程是( )
A. B.
C. D.
5.点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离为( )
A. B. C. D.
6.已知数列为等比数列，为数列的前项和，若，，成等差数列，则( )
A. B. C. D.
7.若直线与两函数、的图象都相切，则该直线的斜率为( )
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
8.已知为椭圆的右焦点，过点的直线与椭圆交于，两点，为的中点，为坐标原点，若是以为底边的等腰三角形，且外接圆的面积为，则椭圆的短轴长为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题不正确的是( )
A. 常数列既是等差数列，又是等比数列
B. 等差数列的公差，则是递增数列
C. 数列的前项和，则是等比数列
D. 等比数列是递增数列，则的公比
10.已知动点在直线：上，动点在圆：上，过点作圆的两条切线，切点分别为、，则下列描述正确的有( )
A. 直线与圆相交 B. 的最小值为
C. 存在点，使得 D. 直线过定点
11.下列不等关系中正确的有( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数的导函数为，若，则 ______．
13.若数列满足，，则 ______．
14.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与双曲线的左、右两支分别相交于，两点，直线与双曲线的另一交点为，若为等腰三角形，且的面积是的面积的倍，则双曲线的离心率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数列的前项和为，，数列是以为公差的等差数列．
求数列的通项公式；
若数列满足，求数列的前项和．
16.本小题分
已知抛物线的焦点为，为抛物线上一点，且，直线与抛物线交于另一点，点在抛物线的准线上，且轴．
求抛物线的方程；
若线段中点的纵坐标为，求直线的方程；
求证：直线过定点，并求该定点坐标．
17.本小题分
已知函数．
若在区间上单调递增，求实数的取值范围；
若在区间上的最小值为，求实数的值．
18.本小题分
已知椭圆，点、分别为椭圆的左、右焦点．
若椭圆上点满足，求的值；
定点在轴上，若点为椭圆上一动点，当取得最小值时点恰与椭圆的右顶点重合，求实数的取值范围；
设椭圆的左右顶点分别为、，过的直线交椭圆于点、异于、，设直线、的斜率分别为、，求的值．
19.本小题分
已知函数的定义域为，设，曲线在点处的切线交轴于点，当时，设曲线在点处的切线交轴于点，依次类推，称得到的数列为函数关于的“数列”，已知．
求证：的图象与轴有两个交点；
若，是函数关于的“数列”，记．
证明：数列为等比数列，并求其通项公式；
记，，证明：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：数列的前项和为，，数列是以为公差的等差数列，
可得，
，，
当时，；
上式对也成立，
．
由，则，
则，
，
两式相减得
，
则．
16.解：由抛物线的定义知：，
所以解得，
所以抛物线的方程为．
由知，，因为的斜率不为，
设方程为，，
由，化简得所以，，，
又由，得，
所以方程为，即；
证明：由知：，，因为，
所以方程为，
即：，
又因为，所以，
所以直线经过原点，即直线恒过定点．
17.，
因为在区间上单调递增，所以在上恒成立，
只需，即实数的取值范围是．
令，得或，
当时，恒成立，在单调递增，
所以，不合题意，舍去；
当时，，；，，
所以在上单减，在上单增，所以，解得；
当时，恒成立，在单调递减，
所以，解得，舍去；
综上所述，．
18.解：因为，
设，
因为点在椭圆上，
所以，
解得，
即，
则；
设，
因为点在椭圆上，
所以，，
此时，
所以，，
要使取最小值，
此时，
解得，
则实数的取值范围为；
易知，，
设直线的方程为，，，
联立，消去并整理得，
由韦达定理得，
所以，
即．
则所以
．
19.解：证明：由题意知，，
当单调递减；当单调递增，
所以，
因为，，
所以在和上各有一个零点，
即的图象与轴有两个交点．
证明：，
则在处的切线斜率为，
所以在处的切线方程为，
令，解得，
所以，所以，
即，
所以是以首项为，公比为的等比数列，所以．
证明：由，
则．
第1页，共1页