2024-2025学年安徽省马鞍山市含山二中高二（上）期末数学试卷（含答案）

2024-2025学年安徽省马鞍山市含山二中高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列命题中正确的是( )
A. 已知向量，则存在向量可以与，构成空间的一个基底
B. 若两个不同平面，的法向量分别是，，且，，则
C. 已知三棱锥，点为平面上的一点，且，则
D. 已知，与方向相同的单位向量是
2.已知等比数列满足，，则( )
A. B. C. D.
3.若直线的方向向量，平面的一个法向量，若，则实数( )
A. B. C. D.
4.直线过抛物线：的焦点，且与交于、两点，则( )
A. B. C. D.
5.过点作直线的垂线，垂足为，则到直线距离的最小值为( )
A. B. C. D.
6.已知数列满足，且数列的前项和若，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
7.设圆上的动点到直线的距离为，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.设，为椭圆：与双曲线的公共点左右焦点，它们在第一象限内交于点，是以线段为底边的等腰三角形，且若椭圆的离心率，则双曲线的离心率取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 直线必过定点
B. 截距相等的直线都可以用方程表示
C. 直线的倾斜角为
D. 过点且垂直于直线的直线方程为
10.下列关于圆锥曲线的命题中，正确的是( )
A. 设，为两个定点，为非零常数，，则动点的轨迹为双曲线
B. 设定圆上一定点作圆的动弦，为坐标原点，若，则动点的轨迹为椭圆
C. 方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率
D. 双曲线与椭圆有相同的焦点
11.如图，是棱长为的正方体的表面上一个动点，为棱的中点，为侧面的中心下列结论正确的是( )
A. 平面
B. 与平面所成角的余弦值为
C. 若点在各棱上，且到平面的距离为，则满足条件的点有个
D. 若点在侧面内运动，且满足，则存在点，使得与所成角为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知数列中，，且，，数列的前项和为，则______．
13.如图所示，已知双曲线和椭圆有共同的右焦点，记曲线为双曲线的右支和椭圆围成的曲线，若，分别在曲线中的双曲线和椭圆上，则周长的最小值等于______．
14.如图所示，正方体的棱长为，，为，的中点，点是正方形内的动点，若平面，则点的轨迹长度为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在平行六面体中，，，，，，是的中点，设，，．
用，，表示；
求的长．
16.本小题分
已知斜率且过点的直线与直线：相交于点．
求以点为圆心且过点的圆的标准方程；
求过点且与中的圆相切的直线方程．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，其中，，，，为棱上的点，且，点在棱上不与点，重合．
求证：平面平面．
求二面角的平面角的余弦值．
直线能与平面垂直吗？若能，求出的值；若不能，请说明理由．
18.本小题分
已知点是离心率为的椭圆：上的一点．
求椭圆的方程；
点在椭圆上，点关于坐标原点的对称点为，直线和的斜率都存在且不为，试问直线和的斜率之积是否为定值？若是，求此定值；若不是，请说明理由；
斜率为的直线交椭圆于，两点，求面积的最大值，并求此时直线的方程．
19.本小题分
设正项数列的前项和为，满足，正项等比数列满足：，．
求数列，的通项公式；
设其中，数列的前项和为，求所有的正整数，使得恰为数列中的项；
设为正整数，已知数列是首项为且公比为正数的等比数列，对任意正整数，当时，都有成立，求的最大值．
参考答案
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15.解：，，，则．
，，，，，
，
．
16.解：，即，：；
由，得，即．
因为在圆上，所以圆的半径，
所以圆的方程为；
由知，圆的方程为：，
因为，，所以，
所以点在圆上，
设过点圆的切线方程为，
当切线的斜率不存在时，切线方程为：，
此时圆心到切线的距离为：，不符合题意，
所以切线的斜率存在，设切线的斜率为，则的方程为，即，
点到直线的距离为，解得，
即所求直线的方程为，
所以过点圆的切线方程为方程．
17.解：证明：因为平面，所以，，
又，则以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
所以，，，
所以，，
所以，，且，，平面，
所以平面，平面，
所以平面平面．
由知是平面的一个法向量，，，
设平面的一个法向量为，
则，所以，即，
令，则，，所以，
所以，
又由图可知二面角的平面角为锐角，
所以二面角的平面角的余弦值为．
由得，，，，
设，则，可得，
所以，
由知是平面的一个法向量，
若平面，可得，
则，该方程无解，
所以直线不能与平面垂直．
18.解：由，可得，即，，
将可得，，
由可得，，
椭圆的方程为；
依题意得在椭圆上．
和的斜率和均存在．
设，则，，
，
又点在椭圆上，
，
，代入得，
直线和的斜率之积为定值；
斜率为的直线，设直线的方程为
由，
消去，整理得，
，解得，
设，，
，，
，
点到直线的距离，
，当且仅当时取等号，
直线方程为．
19.解：正项数列的前项和为，满足，
可得，当时，，解得．
由，可得，当，，
两式相减，得．
，
数列是等差数列，其首项为，公差为，
．
正项等比数列满足：，，设等比数列的公比为，，
，
，
．
由其中，数列的前项和为，
得，
，
．
，
若为中的项只能为，，．
若，则，所以无解；
若，则．
由题意不符合题意，符合题意．
当时，令，，则，
设，则，
即为增函数，故，为增函数．
故，
当时，方程无解，
即是方程唯一解．
若，则，即．
综上所述，或．
设为正整数，已知数列是首项为且公比为正数的等比数列，
对任意正整数，当时，都有成立．
设等比数列的公比为，，
令，可得，即，
若，则由得，此时的最大值为；
若，由，得，
即，此时只需考虑情形：
令，，
则，当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减．
又，且，故的最大值为．
，令，
，故在上单调递减，
，故在上单调递减，
考虑的情形，由题意可知，可得，
又，可得的最大值为．
故的最大值为．
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