2024-2025学年安徽省马鞍山市含山二中高一（上）期末数学试卷（含答案）

2024-2025学年安徽省马鞍山市含山二中高一（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.下列命题正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
3.“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 既不充分又不必要条件 D. 充要条件
4.函数的零点的个数为( )
A. B. C. D.
5.茶叶是中国文化元素的重要象征之一，饮茶习俗在中国源远流长茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，已知某种茶叶的茶水温度单位：和泡茶时间单位：满足关系式若喝茶的最佳口感水温大约是，则需要等待的时间为( )
A. B. C. D.
6.在直角坐标系中，绕原点将轴的正半轴逆时针旋转角交单位圆于点、顺时针旋转角交单位圆于点，若点的纵坐标为，且的面积为，则点的纵坐标为( )
A. B. C. D.
7.已知函数，设，，，则，，的大小关系是( )
A. B. C. D.
8.记表示，二者中较大的一个，函数，，若，，使得成立，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知、为正实数，，则( )
A. 的最大值为 B.
C. 的最大值为 D. 的最小值为
10.函数，对都有，则下列说法正确的是( )
A.
B. 在上单调递减
C. 将函数的图象向左平行移动个单位，得到的函数图象关于原点对称
D. 若，则函数的最小值为
11.已知函数，若关于的方程有四个不同的实数根，它们从小到大依次记为，，，，则( )
A. B.
C. D. 函数有个零点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. ______．
13.已知函数，且在区间上单调递减，则实数的取值范围是______．
14.已知定义域为的函数若对任意恒成立，则的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知集合，．
分别求，．
已知，且，求实数的取值范围．
16.本小题分
用水清洗一件衣服上的污渍，对用一定量的水清洗一次的效果作如下假定：用个单位量的水可洗掉衣服上污渍的用水越多洗掉的污渍也越多，但总有污渍残留在衣服上设用单位量的水清洗一次以后，衣服上残留的污渍与本次清洗前残留的污渍之比为函数．
求的解析式，写出应该满足的条件或具有的性质至少写条，不需要证明；
现有单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成份后清洗两次哪种方案清洗后衣服上残留的污渍比较少？请说明理由．
17.本小题分
已知函数的图像经过点．
求的值，并判断的奇偶性；
判断的单调性并证明；
若对任意恒成立，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知函数的最大值为．
求的值；
求函数的单调递减区间；
英国数学家泰勒发现了如下公式：，该公式被编入计算工具，计算工具计算足够多的项就可以确保显示值的准确性运用上述思想，计算的值结果精确到小数点后位，参考数据：，
19.本小题分
对于任意两正数，，记区间上曲线下的曲边梯形由直线，，和曲线所围成的封闭图形面积为，并约定和，已知．
求，，；
对正数和任意两个正数，，猜想与的大小关系，并证明；
试应用曲边梯形的面积说明：对任意正数，恒有；
若，试说明：当时，．
参考答案
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13.
14.
15.解：集合，
所以，；
显然，
所以，
解得，
即实数的取值范围为．
16.解：因为，解得，即，
函数的定义域为，值域为，在区间内单调递减；
，，，
所以，
当时，，此时清洗一次或两次残留的污渍一样，
当时，，此时清洗一次残留的污渍更少，
当时，，此时清洗两次残留的污渍更少，
综上，时，清洗一次残留的污渍更少；
时，清洗一次或两次残留的一样；
时，清洗两次残留的污渍量更少．
17.解：把点代入函数得，，
解得．
因为，定义域为关于原点对称，
所以是奇函数．
在上单调递增，详见解答过程，
任取，，
因为，
则，
故，即，所以函数在上单调递增；
因为，
若对任意恒成立，
所以对任意恒成立，
又因为在上单调递增，
所以对任意恒成立，
所以恒成立，
根据二次函数的性质可知，当时，取得最大值，
所以的取值范围．
18.解：
，
所以，即，
，令，，
即，，
所以函数的单调递减区间，．
因为，
所以，
由泰勒公式得：，
所以．
19.解：由题意得，
，
；
对正数和任意两个正数，，，
证明：由题知，
，
故L；
设，由题意得，
由小于高为，底为的长方形面积，
得，
由大于高为，底为的长方形面积，
得，
所以对任意正数，恒有；
由得，
显然，当时，，
所以．
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