2024-2025学年安徽省马鞍山市红星中学高二（上）期末数学试卷（含答案）

2024-2025学年安徽省马鞍山市红星中学高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若直线平面，直线的方向向量为，平面的法向量为，则下列结论可能正确的是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
2.已知公差不为零的等差数列中，，，，成等比数列，则等差数列的前项和为( )
A. B. C. D.
3.过点作圆：的切线，直线：与直线平行，则直线与的距离为( )
A. B. C. D.
4.在三棱锥中，，，平面，点，分别，的中点，，为线段上的点，使得异面直线与所成的角的余弦值为，则为( )
A. B. C. D.
5.从点射出的一束光线在轴上反射后与圆：相切，则反射光线所在直线的方程为( )
A. B.
C. D.
6.圆心在直线上，且经过两圆，的交点的圆的方程为( )
A. B.
C. D.
7.已知，是双曲线：的左、右焦点，椭圆与双曲线的焦点相同，与在第一象限的交点为，若的中点在双曲线的渐近线上，且，则椭圆的离心率是( )
A. B. C. D.
8.已知数列的前项和为，且，，在等差数列中，，且公差使得成立的最小正整数为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 直线必过定点
B. 截距相等的直线都可以用方程表示
C. 直线的倾斜角为
D. 过点且垂直于直线的直线方程为
10.已知曲线：，则下列结论正确的是( )
A. 若，则曲线表示双曲线
B. 曲线可能表示一个圆
C. 若曲线是椭圆，则其长轴长为
D. 若，则曲线中过焦点的最短弦长为
11.在直三棱柱中，，，、分别是、的中点，在线段上，则下面说法中正确的有( )
A. 平面
B. 直线与平面所成角的正弦值为
C. 若是的中点，若是的中点，则到平面的距离是
D. 直线与直线所成角最小时，线段长为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设，，向量，，，且，，则______．
13.已知数列的前项和为，且点总在直线上，则数列的前项和 ______．
14.已知抛物线：的焦点为，点的坐标为，动点，在抛物线上，且，则的最小值是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知平行六面体，底面是正方形，，，，，，设．
试用表示；
求的长度．
16.本小题分
已知圆的圆心在直线，且过圆上一点的切线方程为．
求圆的方程；
设过点的直线与圆交于另一点，求的最大值及此时的直线的方程．
17.本小题分
如图，已知正四棱台的上、下底面分别是边长为和的正方形，，点是棱上的动点包括端点．
证明，平面平面；
若平面与平面的夹角的余弦值为，求点到平面的距离．
18.本小题分
已知椭圆：的左右焦点分别为、，离心率，直线交椭圆于、两点，为坐标原点．
求椭圆的方程；
若不过点且不平行于坐标轴，记线段的中点为，求证：直线的斜率与的斜率的乘积为定值；
若，求面积的取值范围．
19.本小题分
定义：若无穷数列满足是公比为的等比数列，则称数列为“数列”设数列中，．
若，且数列是“数列”，求数列的通项公式；
设数列的前项和为，且，请判断数列是否为“数列”，并说明理由；
若数列是“数列”，是否存在正整数，使得？若存在，请求出所有满足条件的正整数，；若不存在，请说明理由．
参考答案
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15.解：
；
，是线段的中点，
、、三点共线，且是线段的中点，
，
，
，，，，，，
．
即的长度为．
16.解：由题意，过点的直径所在直线方程为，
即．
联立，解得，圆心坐标为．
半径，
圆的方程为；
，要使最大，则点满足所在直线与所在直线垂直，
此时的最大值为；
，所在直线方程为，即，
联立，得或，
即的坐标为或，
当时，的方程为，即；
当时，的方程为，即．
综上，所在直线方程为或．
17.解：证明：以下底面正方形的中心为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
由于，上、下底面分别是边长为和的正方形，可求出四棱台的高为，
则，
于是，，
设平面的法向量为，
则，
取，可得，
平面的法向量为，
则，
，可得，
由于，
则平面的法向量与平面法向量垂直，
则平面平面；
设，且，，
则，
设平面的法向量为，
则，
取，可得，
设平面与平面的夹角为，
则，
化简即，解出，
因此，
则点到平面的距离为．
18.解：因为椭圆的左右焦点分别为、，
所以，又，所以，，
所以椭圆的方程为．
证明：设直线：，，，，
联立，消去，得，
所以，
由韦达定理有，
所以，
所以线段的中点的坐标为，即，
所以直线的斜率与的斜率的乘积为，
所以直线的斜率与的斜率的乘积为定值．
由可知，，
其中，
又直线：，上有点，，
所以
，
若，则，即，
所以，此时，
则原点到的距离为，
又
，
所以
，
不妨设，
因为，所以，
所以，
由对勾函数单调性以及复合函数单调性可知，在上单调递增，在上单调递减，
所以，，
所以面积的取值范围．
19.解：因为，且数列是“数列”，
所以，所以，，
即，，
所以数列是等差数列，其公差为，
所以数列通项公式为．
由，得，，解得，
由，得，
两式作差，得：，，，
，，对恒成立，
则，
，，，是等比数列，
，，
，
是公比为的等比数列，故数列是“数列“．
由数列是“”数列，，
，，，
，，
当时，，，
假设存在正整数，，使得，则，
由，
，，
，即，
，，．
存在满足条件的正整数，，其中，．
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