2024-2025学年广东省清远市高一（上）期末数学试卷（含答案）

2024-2025学年广东省清远市高一（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集，集合，集合，则( )
A. B. C. D.
2.已知角，则角的终边在( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.下列说法正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若且，则
D. 若，则
4.函数的定义域是( )
A. B.
C. D.
5.已知，设，，，则( )
A. B. C. D.
6.若，则的值为( )
A. B. C. D.
7.已知实数，，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.已知函数，若关于的方程有个不同的实数根，则实数的取值范围为( )
A. ， B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题是真命题的是( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，，则
D. 若，且，则
10.已知函数的图象关于点中心对称，则( )
A. B. 直线是图象的对称轴
C. 在区间上只有个零点 D. 在区间上单调递增
11.已知函数是定义在上的偶函数，若满足，且在上单调递增，则以下说法一定正确的是( )
A. B. 为周期函数
C. D. 在上单调递增
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知扇形的半径为，弧长为，则此扇形的圆心角正角的弧度数是______．
13.已知，且是第三象限角，则______．
14.已知是定义在上的奇函数，当时，恒成立，，则满足的的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数的最小正周期．
求的值；
求在区间上的最大值与最小值．
16.本小题分
已知函数是定义在上的偶函数，当时，．
求函数的解析式；
求不等式的解集．
17.本小题分
根据市场调查，某供应商某产品的售价定为元时，销售量可达到万件已知该产品的供货价格分为固定价格和浮动价格两部分其中固定价格为元件，浮动价格单位：元件与销售量单位：万件成反比，比例系数为假设不计其他成本，即销售每件产品的利润售价供货价格．
当每件产品的售价定为元时，求该供应商销售该产品可获得的总利润；
该产品的售价定为多少元时，单件产品的利润最大？并求出该最大值．
18.本小题分
已知函数的图象经过两点．
求函数的解析式；
判断函数在上的单调性并用定义进行证明；
已知函数，函数，且若对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围．
19.本小题分
若对定义域内任意，都有，，则称函数为“步长”增函数．
已知函数，判断是否为“步长”增函数，并说明理由；
若函数是“步长”增函数，求的最小值；
若函数为上的“步长”增函数，求实数的取值范围．
参考答案
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14.，
15.解：根据题意，函数的最小正周期为，
由周期公式，可得；
，当时，，
对于正弦函数，当时，取得最大值；
当时，取得最小值，
在这个区间内，当，即时，取得最大值，
，
当，即时，取得最小值，
．
16.解：函数是定义在上的偶函数，当时，，
当时，，则，
所以，
；
当时，，解得，
当时，，解得，，
故的范围为．
17.解：当每件产品的售价定为元时，销售量为万件，该供应商可获得的总利润为万元．
设该商品的售价为元，由，得．
设单件商品的利润为元，
则，
当且仅当，即时等号成立．
所以该产品的售价定为元时，单件产品的利润最大，为元．
18.解：，，
，解得，
所以．
在上单调递增，
证明如下：任取，，且，
则，，，且，
所以，，，
所以，即，
所以函数在上单调递增．
，
由可得在上单调递增，
所以，，的值域为，
因为对，使得成立，
所以只需在上恒成立．
当时，，，
设，，则在上是减函数，
所以，
故，
当时，，，
设，，则在上为减函数，
所以，，
所以，此不等式组无解．
综上，实数的取值范围是．
19.解：函数是“步长”增函数．
理由如下：因为的定义域为，，在上都是单调递增，
所以在上单调递增，
所以，所以是“步长”增函数．
因为是“步长”增函数，
所以恒成立，
所以恒成立，
即恒成立，
由，解得或，
因为，所以．
若，在上单调递增，则恒成立，符合题意；
若，分以下情况：
当时，单调递增，则恒成立；
当时，，单调递增，则恒成立；
当时，若，则，解得；
当或时，若，则．
综上，的取值范围是．
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