2024-2025 学年第二学期六校联合体 2 月学情调研测试
高三数学
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1．复数 z 1＋i满足 ＝i（i为虚数单位），则复数 z的共轭复数－z ＝
z
A．1－i B．－1－i C．1＋i D．－1＋i
2 ．已知向量 a＝(1，0) ， b＝(x，1) ，若 b ·( b－2 a )＝0，则 x＝
A．－2 B．－1 C．1 D．2
3．有 4辆车停放 5个并排车位，货车甲车体较宽，停放时需要占两个车位，并且乙车与货车甲相邻停
放，则共有多少种停放方法
A．8 B．12 C．16 D．10
4．设等差数列{an}的前 n项和为 Sn，若 S12＝63＋S3，a3＋a12＝12，则{an}的公差为
A．1 B．2 C．3 D．4
5 π．已知函数 f(x)＝sin(x＋ )－cosx在区间[0，t] 1上的最小值为－ ，则 t的最大值为
6 2
A π B π C 5π 4π． ． ． D．
6 3 6 3
6．已知点 P为直线 l：x＋y－2＝0上的一点，过点 P作圆 C：(x＋1)2＋(y＋1)2＝1的切线 PA，切点为
A，则 cos∠PCA的最大值为
A 2 B 3． ． C 5． D 7．
4 4 4 4
7 R f(x) (0 ∞) f(1) 0 f(x)．定义在 上的奇函数 在 ，＋ 上单调递增，且 ＝ ，则不等式 ≥0的解集
4x＋1－17·2x＋4
为
A．(－2，－1]∪(2，＋∞) B．(－∞，－2)∪[－1，0)∪[1，2)
C． (－2，－1]∪{0}∪(2，＋∞) D． (－2，－1]∪[0，1]∪(2，＋∞)
x2 y28．已知双曲线 － ＝ ＞ ＞ ， 为坐标原点，直线 与双曲线交于 ， 两点，且 ⊥ ，若
a2 b2
1(b a 0) O l A B OA OB
点 O到直线 l的距离不小于 b，则离心率的取值范围是
A．(1， 3] B ( 2 1＋ 5． ， ] C．( 2， 3] D [1＋ 5． ， 3]
2 2
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求.全部选对的得 6分，有选错的得 0分，部分选对的得部分分.
9．一个袋中有大小 形状完全相同的 3个球，颜色分别为红 黄 蓝，从袋中无放回地取出 2个球，记“第
一次取到红球”为事件 A，“第二次取到黄球”为事件 B，则
1 －A．P(B)＝ B．P( B |A) 1 1＝ C．P(A|B)＝ D．A，B相互独立
3 3 2
1
10．在棱长为 2 3的正方体 ABCD—A1B1C1D1中，点 E，F分别是棱 BC，CC1的中点，下列选项中正
确的是
A．直线 EF与 A1B π所成的角为
4
B．平面 AEF截正方体 ABCD—A1B1C1D 271所得的截面面积为
2
C ．若点 P满足BP＝cos2θ BC＋sin2θB B1，其中θ∈R，则三棱锥 D—A1C1P的体积为定值
D．以 B1为球心，4为半径作一个球，则该球面与三棱锥 B1—ABC表面相交的交线长为 3π
11．定义在(0，＋∞)上的函数 f(x)满足 f(x＋1)＝f(x)－x，当 0＜x≤1时，f(x)＝ x－x＋1，则
A．当 2＜x≤3时，f(x)＝ x－2－3x＋6
B．对任意正实数 k，f(x)在区间(k，k＋1)内恰有一个极大值点
2
C． 当 n为正整数时，f(n) 2＋n－n＝
2
D．若 f(x)在区间(0，k] 4 193 401内有 个极大值点，则 k的取值范围是[ ， )
64 100
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5分，共 15 分.
12 1．在二项式( x－ )n（n∈N*）的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，则展开式中 x的系数为
2x
▲ ．（用数字作答）
13．已知等比数列{an}中，a2024＝1，a 1 1 12025＝2，能使不等式(a1－ )＋(a2－ )＋…＋(am－ )＞0成立最
a1 a2 am
小正整数 m＝ ▲ ．
14．已知抛物线 x2＝4y的焦点为 F，过点 F的直线 l交抛物线于 A，B两点，且|AF|＝3|FB|．直线 l1，
l2分别过点 A，B，且与 y轴平行，在直线 l1，l2上分别取点 M，N（M，N均在点 A，B的上方），若
∠ABN和∠BAM的角平分线相交于 P点，则△PAB的周长为 ▲ ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（满分 13分）
在△ABC π中，BC＝3 2，∠BAC＝ ．
3
（1）若 AC＝2 3，求 sinC；
（2）若 D为边 BC上的点且 AD平分∠BAC，AD＝ 3，求△ABC的面积．
2
16．（满分 15分）
梯形 ABCD中，AD 1∥BC，E为 AD上的一点且有 BE⊥AD，AE＝BE＝1，BC＝ ED，将△ABE沿 BE
2
翻折到△PEB使得二面角 P—BE—C的平面角为θ，连接 PC，PD，F为棱 PD的中点．
（1）求证：FC∥面 PBE；
（2 2π）当θ＝ ，PD＝ 7时，求直线 PC与平面 BCF所成角的正弦值．
3
P
E
A D
E D
B C
B C
17．（满分 15分）
某运动会有两种不同价格的开幕式门票，某人花 a元预定该运动会开幕式门票一张，另外还花若干元
预定乒乓球、羽毛球比赛门票各一张．根据相关规定，从所有预定者中随机抽取相应数量的人，这些
人称为预定成功者，他们可以直接购买门票．另外，对于开幕式门票，有自动降级规定，即当这个人
预定的 a元门票未成功时，系统自动使他进入 b元开幕式门票的预定．假设获得 a元开幕式门票的概
率是 0.2，若未成功，仍有 0.3的概率获得 b元开幕式门票的机会，获得乒乓球、羽毛球门票概率均是
0.5，且获得每张门票之间互不影响．
（1）求这个人可以获得该运动会开幕式门票的概率；
（2）假设这个人获得门票总张数是 X，求 X的分布列及数学期望 E(X)．
3
18．（满分 17分）
已知 f(x)＝3x－2sinx－k·lnx．
（1）当 k＝0时，求曲线 f(x) x π在 ＝ 处的切线方程；
2
（2）当 k＝1时，讨论函数 f(x)的极值点个数；
（3）若存在 t1，t2∈R(t1＜t t2)，f(e 1 )＝f(et2 )，证明：t1＋t2＜2lnk．
19．（满分 17分）
已知 P为圆 O：x2＋y2＝4上一动点，过点 P分别作 x轴，y轴的垂线，垂足分别为 M，N，连接 NM
并延长至点 Q，使得|MQ|＝2，点 Q的轨迹记为曲线 C．
（1）求曲线 C的方程；
（2）设曲线 C的左顶点为 T，当直线 l与曲线 C交于不同的 A，B两点， 连结 AT，BT，
k 1AT＋kBT＝－ ，证明：直线 l过定点；
2
（3）若过右焦点 F2的直线 l与曲线 C交于不同的 A，B两点，且F2B＝λAF2，当λ∈[2，3]时，求直线
l在 y轴上的截距的取值范围．
42024-2025 学年第二学期六校联合体 2 月学情调研测试
高三数学
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的.
1 i
1.复数 z满足 i（ i为虚数单位），则复数 z的共轭复数 z ＝（ ）
z
A．1－i B．－1－i C．1＋i D．－1＋i
【答案】C
2.已知向量 a （1，0）， b (x,1)，若b (b 2a) 0，则 x （ ）
A. 2 B. 1 C.1 D.2
【答案】C
3．有 4 辆车停放 5 个并排车位，货车甲车体较宽，停靠时需要占两个车位，并且乙车与货车甲相邻停
放，则共有多少种停放方法？ （ ）
A．8 B．12 C．16 D．10
【答案】B
4. 设等差数列 an 的前 n项和为 Sn，若 S12 63 S3 ,a3 a12 12，则 an 的公差为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
5.已知函数 f (x) sin(x ) cos x在区间 0，t 1上的最小值为 ，则 t的最大值为（ ）
6 2
A. B. C. 5 D. 4
6 3 6 3
【答案】D
6.已知点 P为直线 l : x y 2 0上的一点，过点 P作圆C : x 1 2 2 y 1 1的切线 PA，切点
为 A，则 PCA的最大值为 （ ）
A. 2 B. 3 C. 5 D. 7
4 4 4 4
【答案】A
f x
7. 定义在R上的奇函数 f x 在 0, 上单调递增，且 f 1 0，则不等式
x 1 0的4 17 2x 4
解集为（ ）
A. 2, 1 2, B. , 2 1,0 1,2
C. 2, 1 0 2, D. 2， 1 0,1 2,
【答案】D
x2 y2
8.双曲线 2 2 1(b a 0)，F 为双曲线焦点，O为坐标原点，若直线 l交双曲线于两点A、B，满a b
足OA OB，若点O到直线 l的距离不小于b，则离心率取值范围是（ ）
A． 1 3 2 ,1 5 1 5 ， B． ， C． 2，, 3 D． ，, 32 2
【答案】C
二、多项选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分.在每小题给出的选
项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6分，有选错的得 0分，部分选对
的得部分分.
9．一个袋中有大小 形状完全相同的 3个小球，颜色分别为红 黄 蓝，从袋中先后无放回地取出 2个
球，记“第一次取到红球”为事件 A，“第二次取到黄球”为事件 B，则
A．P(B) 1＝ B．P(－B |A) 1＝
3 3
C．P(A|B) 1＝ D．A，B相互独立
2
【答案】AC
10．在棱长为 2 3的正方体 ABCD—A1B1C1D1中，点 E，F分别是棱 BC，CC1的中点，下列结论正确
的有
A．直线 EF与 A1B π所成的角为
4
B．经过 A，E F 27， 三点的截面面积为
2
C ．若点 P满足BP＝cos2θ·BC＋sin2θ·BB1，其中θ∈R，则三棱锥 D—A1C1P体积为定值
D．以 B1为球心，4为半径作一个球，则该球面与三棱锥 B1—ABC表面相交的交线长为 3π
【答案】BCD
11. 定义在 0, 上的函数 f x 满足 f x 1 f x x，当0 x 1时， f x x x 1，
则（ ）
A. 当 2 x 3时， f x x 2 3x 6
B.对任意正实数 k, f x 在区间 k,k 1 内恰有一个极大值点
2 n n2
C. 当 n为正整数时， f n
2
D. 若 f x 在区间 0,k 193 401 内有 4 个极大值点，则 k的取值范围是 ,64 100
【答案】ACD
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分.
n
1
12．在 x ， n N 的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，则展开式中 x的系数为
2x
________．【答案】7
a 1,a 2 1 1 13．已知等比数列 an 中， 2024 2025 ，能使不等式 a a
1
1 2 a a
am 0成
1 2 a
m
立最小正整数m= _______________．【答案】4048
14.已知抛物线 x2 4y的焦点为 F ，直线 l过点 F 交抛物线于 A,B两点，且 AF 4 FB ．直线 l1、l2 分
别过点 A,B，且与 y轴平行，在直线 l1、l2 上分别取点M、N（M、N 均在点 A,B的上方），分别作 ABN
和 BAM 8 3的角平分线且相交于 P点，则 PAB的周长为 ．【答案】8
3
四、解答题：本题共 5小题，共 77分.解答应写出文字说明、证明过程或演
算步骤.
15．（满分 13分）
在△ABC中，BC＝3 2 BAC π，∠ ＝ ．
3
（1）若 AC＝2 3，求 sinC；
（2）D为边 BC上的点且满足 AD平分∠BAC，AD＝ 3，求△ABC的面积．
解析：
2 2 2
（1）法 1：由余弦定理可知 3 2 c 2 3 2 2 3 c cos
3
c 2 2 3c 6 0
c 3 3，又c 0, ---------------------------------3 分
c 3 3
c 3 2
由正弦定理知： ，
sinC sin
3
sinC 2 6 ---------------------------------6 分
4
AC 2 3 AC 3 2 sin B 2法 2：因 由正弦定理知： ， --------------------2 分
sin B sin 2
3
AC BC, B A ， B -------------------4 分
3 4
sinC sin(A B) sin AcosB cos Asin B
3 2 1 2 2 6
= --------------------6 分
2 2 2 2 4
2（2）由条件知： 由余弦定理可知 3 2 c 2 b 2 2 b c cos
3
18 c 2 b 2 b c ， 18 （b c）2 3b c ① -----------------8 分
S ABC S ABD S ACD
1
AB AC sin BAC 1 AB AD sin BAD 1 AD AC sin DAC
2 2 2
1
bc 3 1 3b 3 1 3c 3
2 2 2 2 2 2
bc b c ②--------------------10 分
由①②得 bc 6 --------------------12分
S 1 bc sin A 1 6 3 3 3 ABC --------------------13分2 2 2 2
16．（满分 15分）
梯形 ABCD中，AD∥BC，E为 AD上的一点且有 BE⊥AD，AE＝BE＝1，BC 1＝ ED，将△ABE沿 BE
2
翻折到△PEB使得二面角 P—BE—C的平面角为θ，连接 PC，PD，F为棱 PD的中点．
（1）求证：FC∥面 PBE；
（2 θ 2π）当 ＝ ，PD＝ 7时，求直线 PC与平面 BCF所成角的正弦值．
3
P
z E
A D
E D
Q
B C
B C
y
x
解析：
（1）取PE中点G,连接GB,GF
已知 BC // ED 1 ， BC ED
2 GF // BC ,GF BC -----------------2 分
在 PED 中， GF // ED 1， GF ED
2
FC 面PBE
四边形BCFG为平行四边形 FC //GB FC //面PBE -----------------5 分
GB 面PBE
注： FC 面PBE未写扣 1分
(2)
BE 面BCDE
BE AD BE PE且BE ED 面PDE 面BCDE
BE 面PDE
在平面PDE内，过点E作EQ ED交PD于点Q，
DE 面PDE 面BCDE
EQ 面BCDE
以 EB,ED,EQ 为正交基底建立如图坐标系 ----------------7 分
P(0, 1 , 3 ),D(0,2,0), F (0, 3 , 3 )
2 2 4 4
B(1,0,0),C(1,1,0)
PC (1, 3 , 3 ) , BC (0.1,0),BF ( 1, 3 , 3 ), ----------------10分
2 2 4 4
设n (x, y, z)为面BCF的法向量
y 0 n BC 0
则 3 n ( 3,0,4) ----------------12 分
n BF 0 x z 0 4
cos n,PC 3 57 ----------------14 分
2 19 38
sin 57 ----------------15分
38
17．（满分 15分）
某运动会有两种不同价格的开幕式门票，某人花 a元预定该运动会开幕式门票一张，另外还预定了乒
乓球、羽毛球比赛门票各一张，根据相关规定，从所有预定者中随机抽取相应数量的人，这些人称为
预定成功者，他们可以直接购买门票，另外，对于开幕式门票，有自动降级规定，即当这个人预定的 a
元门票未成功时，系统自动使他进入b元开幕式门票的预定.假设获得 a元开幕式门票的概率是 0.2，
若未成功，仍有 0.3的概率获得b元开幕式门票的机会，获得乒乓球、羽毛球门票概率均是 0.5，且获
得每张门票之间互不影响.
（1）求这个人可以获得该运动会开幕式门票的概率；
（2）假设这个人获得门票总张数是 X ，求 X 的分布列及数学期望 E X ．
17．解：（1）记“获得 a元开幕式门票”为事件 A，“获得 b元开幕式门票”为事件 B，“获得开幕式
门票”为事件 C ……………………1分
则 P(A)＝0.2，P(B)＝0.3，P(－A )＝0.8
P(C)＝P(A)＋P(－A B)＝P(A)＋P(－A )P(B)＝0.2＋0.8×0.3＝0.44 11＝ ……………………3分
25
∴这个人可以获得亚运会开幕式门票的概率为 0.44
（2）X∈{0，1，2，3}
P(X＝0)＝(1－0.44)×0.5×0.5＝0.14 7＝
50
P(X＝1)＝(1－0.44)×0.5×0.5×2＋0.44×0.5×0.5＝0.39 39＝
100
P(X＝2)＝(1－0.44)×0.5×0.5＋0.44×0.5×0.5×2 0.36 9＝ ＝
25
P(X＝3)＝0.44×0.5×0.5＝0.11 11＝ ……………………12分
100
∴X的分布为
X 0 1 2 3
P 0.14 0.39 0.36 0.11
……………………13分
E(X)＝0×0.14＋1×0.39＋2×0.36 36＋3×0.11＝1.44＝ ……………………15分
25
18．（满分 17 分）
已知 f (x) 3x 2sinx k lnx．
（1）当 k 0时，求曲线 f x x 在 处的切线方程；
2
（2）当 k 1时，讨论函数 f (x)的极值点个数；
（3）若存在 t1，t R (t t )， f (e
t1 ) f (et22 1 2 )，求证： t1 t2 2ln k．
【答案】
【小问 1详解】
当 k 0时， f x 3x 2sin x，因为 f x 3 2cos x，
f 所以切线的斜率为 3， ..........................................................2分
2
3
又因为切点为 ， 2
，
2 2
所以曲线 f x 在 x 处的切线方程为 y 3x 2 ......................................3分
2
【小问 2详解】
当 k 1时， f (x) 3x 2 sin x ln x，则 f (x) 3 2 cos x
1
，
x
当 x 1时， f (x) 2 2 cos x 0，
故 f (x)在 1, 上单调递增，不存在极值点； ......................................4分
f (x) 3 2cos x 1 1当0 x 1时， ，则 f (x) 2sin x 0总成立，
x x2
1 1
故函数 f (x)在(0,1)上单调递增，且 f (1) 2 2 cos1 0， f 2cos 0，
3 3
1
所以存在唯一 x0 ,1 ，使得 f x0 0， ......................................6分
3
所以当0 x x0 时， f x 0， f (x)单调递减；当 x0 x 1时， f x 0， f (x)单调递增；
故在 0,1 上存在唯一极小值点，
综上，当 k 1时，函数 f (x)的极值点有且仅有一个． ......................................8分
【小问 3详解】
t1 t2
令e x1，e x2．
由 f (x1) f (x2 )知3x1 2sin x1 k ln x1 3x2 2sin x2 k ln x2，......................................9分
整理得，3(x1 x2) 2(sin x1 sin x2) k(ln x1 ln x2)（*），
不妨令 g(x) x sin x(x 0)，则 g (x) 1 cos x 0，故 g(x)在 (0, )上单调递增，
当0 x1 x2时，有 g(x1) g(x2 )，即 x1 sin x1 x2 sin x2 ，
那么sinx1 sinx2 x1 x2，
x1 x2
因此，（*）即转化为 k ln x ln x ， ......................................11分1 2
x1 x2
接下来证明 x1x (0
x x
2 x1 x2)，等价于证明 ln
x1 1 2
ln x1 ln x
，
2 x2 x2 x1
x1 x1 x2 x1
即 ln 0，所以不妨令 m（0 m 1），
x2 x2 x1 x2
2
建构新函数 (m) 2 lnm
1
m (m) 2 1 1 (m 1)，m 2 0，m m m2
则 (m)在(0,1)上单调递减， ......................................13分
x x x
所以 (m) (1) 0，故 ln 1 1 2
x2 x2 x1
x1 x2
即 x1x2 (0 x1 x )ln x ln x 2 得证， ......................................15分1 2
2
由不等式的传递性知 x x t1 t2 21 2 k，即 x1x2 k ，即 e e k ．.................................16分
所以 et1 t2 k 2 ，得证 t1 t2 2ln k . ......................................17分
19．（满分 17 分）
已知 P为圆 O： x2 y2 4上一动点，过点P分别作 x轴， y轴的垂线，垂足分别为 M，N，连接 NM
并延长至点Q，使得 MQ 2 ，点Q的轨迹记为曲线C．
(1) 求曲线 C的方程；
1
(2)设曲线 C的左顶点为 T，当直线 l与曲线C交于不同的 A,B两点， 连结 AT ,BT , kAT kBT ，2
证明：直线 l过定点；
(3)若过右焦点 F2的直线 l与曲线C交于不同的 A,B两点，且 F2B AF2 ，当 [2,3]时，求直线 l在 y
轴上的截距的取值范围．
解:（1）设Q x, y ， P(x0 , y0 )，则M (x0 ,0),N (0, y0 )，
x
由题意知 MN 4，所以QM MN，得( x0 x, y) ( x0 , y )，所以
x0
0 2 ，............2分
y0 y
2 2 2 2
因为 x2 20 y0 4
x y x y
，得 1，故曲线 C的方程为 1．............4分
16 4 16 4
x2 y2
设 直 线 l : y kx m ， A x1, y1 ,B x2 , y2 ， 联 立 方 程 组 1 16 4 ， 消 去 y 得
y kx m
2
1 4k 2 x2 8kmx 4m2 16 0，所以 x1 x 8km ， x 4m 16，2 1 4k 2 1x2 1 4k 2
64k 2m2 4 1 4k 2 4m2 16 16 16k 2 4 m2 0 ............5分
又T 4,0 ,所以
kAT kBT
y1 y2 kx1 m kx2 m kx1 m x2 4 kx2 m x1 4
x1 4 x2 4 x1 4 x2 4 x1 4 x2 4
4m22k 16 8km 2kx1x2 4k m x x 8m 2 4k m 2 8m1 2 1 4k 1 4k 2m 8k 1 ，x1x2 4 x1 x 16 22 4m2 16 8km m 8km 16k 2 2
2 4 2 161 4k 1 4k
............7分
2
化简得，m2 8km 16k 2 4m 16k 0，即 m 4k 4 m 4k 0，
解得m 4k或m 4k 4。 ..........................9分
当m 4k 时，直线1过定点 4,0 与点T重合，舍去
当m 4k 4时，直线1过定点 4, 4 .........................10分
x2 y2
（3）设 直 线 l : x ty 2 3 A x1, y1 ,B x , y ， 2 2 ， 联 立 方 程 组 1 16 4 ， 消 去 x 得 ，
x ty 2 3
t2 y2 4 3ty 4 0，所以 y y 4 3t ①， y y 4 ② ..........................11分1 2 t 2 4 1 2 t 2 4
由QB QA得 y2 y1③，
由①③可得， y 4 3t ，1 y
4 3 t
，
t 2 4 1 2 t 2 4 1
2
代入②化简得，12 t2 t2 4 1 ， ..........................13分
12t2 1 2 2 2 1 1
即 2，由 [2,3]得 1 1 4 2 2 ， ，t 4 2 3
12t2 1 4 1 23 1 即 ，解得 2 ，即 23 2 23
， ， - ， 2， ， .....................15分t2 4 2 3 t2 4 t 2 2
2 3
从而直线 l在 y轴上的截距为 69，-2 6 2 6，69 ..........................17分t
