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1 幂的乘除
第一章 整式的乘除
第3课时 积的乘方
【学习目标】
1. 通过对积的乘方法则的探索，归纳积的乘方法则.
2. 能用积的乘方法则进行有关计算，提高计算能力.
情境导入
壹
目
录
课堂小结
肆
当堂达标
叁
新知初探
贰
情境导入
壹
地球可以近似地看做是球体，地球的半径约为6×103千米，它的体积大约是多少立方千米
根据球的体积公式，地球的体积：
那么，（6×103）3等于多少呢？
新知初探
贰
新知初探
探究一：积的乘方
贰
我们学过的幂的乘方的运算性质适用吗？
活动1：思考下面两道题：
(1)（3×5）4
(2)（3×5）m
我们只能根据乘方的意义及乘法交换律、结合律进行运算.
这两道题有什么特点？
底数是两个因式相乘，积的形式.
这种形式为积的乘方.
解：
(ab)n = (ab)· (ab)· ··· ·(ab)
n 个 ab
= (a · a · ··· ·a) · (b · b · ··· · b)
n 个 a
n 个 b
= anbn.
证明：
思考：积的乘方 (ab)n =
猜想结论：
因此可得：(ab)n = anbn (n为正整数).
(ab)n = anbn (n 为正整数).
活动2：推理验证
积的乘方法则：积的乘方,等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.
(ab)n = anbn (n为正整数)
想一想：三个或三个以上的积的乘方等于什么？
(abc)n = anbncn (n为正整数)
知识要点
积的乘方
乘方的积
情境导入
范例应用
例1 计算：
(1) (3x)2； (2) (－2b)5； (3) (－2xy)4； (4) (3a2)n.
解：(1) 原式 =
(2) 原式 =
(3) 原式 =
(4) 原式 =
= 9x2.
=－32b5.
= 16x4y4.
= 3na2n.
32x2
(－2)5b5
(－2)4x4y4
3n(a2)n
方法总结：运用积的乘方法则进行计算时，注意每个
因式都要乘方，尤其是系数不要漏方．
1. 太阳可以近似地看作是球体，如果用 V、R 分别代表球的体积和半径，那么 V＝ πR3. 太阳的半径约为6×103 千米，它的体积大约是多少立方千米 (π 取 3)
解：因为 R＝6×103 千米，
所以 V＝ πR3 ≈ ×3×(6×103)3
＝ 8.64×1011 (立方千米)．
答：它的体积大约是 8.64×1011 立方千米．
方法总结：读懂题目信息，理解球的体积公式并熟记积的乘方的法则是解题的关键．
即时测评
探究二：幂的运算法则逆运用
amn = (am)n
作用：
可使运算更加简便快捷！
an·bn = (ab)n
am+n = am · an
解：原式
逆用幂的乘方的运算法则
幂的乘方的运算法则
逆用同底数幂的乘法运算法则
逆用积的乘方的运算法则
2. 计算：
提示：可利用 简化运算
即时测评
即时测评
3.如果 (an . bm . b )3 = a9b15 (a，b 均不为 0 和±1)，求 m，n 的值.
所以 (an)3 · (bm)3 · b3 = a9b15.
所以 a3n · b3m · b3 = a9b15 .
所以 a3n · b3m+3 = a9b15.
所以 3n = 9，3m + 3 = 15.
所以 n = 3，m = 4.
解：因为 (an · bm · b)3 = a9b15，
当堂达标
叁
当堂达标
(4) －(－ab2)2 = a2b4 ( )
(3) (－2a2)2 = －4a4 ( )
(2) (3xy)3 = 9x3y3 ( )
(1) (ab2)3 = ab6 ( )
×
×
×
×
1. 判断：
2. 下列运算正确的是（ ）
A. x . x2 = x2 B. (xy)2 = xy2 C. (x2)3= x6 D. x2 + x2 = x4
C
3. (0.04)2022×[(－5)2022]2 =_____.
1
(1) (ab)8 ； (2) (2m)3； (3) (－xy)5；
(4) (5ab2)3； (5) (2×102)2； (6) (－3×103)3.
4. 计算：
解：(1) 原式 = a8b8.
(2) 原式 = 23·m3 = 8m3.
(3) 原式 = (－x)5 ·y5 = －x5y5.
(4) 原式 = 53 ·a3 ·(b2)3 = 125a3b6.
(5) 原式 = 22×(102)2 = 4×104.
(6) 原式 = (－3)3×(103)3 = －27×109 = －2.7×1010.
(1) 2(x3)2·x3－(3x3)3 + (5x)2 · x7；
(2) (3xy2)2 + (－4xy3) · (－xy)；
(3) (－2x3)3 · (x2)2.
解：原式 = 2x6·x3－27x9 + 25x2 · x7
= 2x9－27x9 + 25x9 = 0.
解：原式 = 9x2y4 + 4x2y4 = 13x2y4.
解：原式 =－8x9·x4 =－8x13.
注意：运算顺序是先乘方，再乘除，最后算加减.
5.计算：
课堂小结
肆
课堂小结
幂的运算法则
法则
am · an = am+n，(am)n = amn，(ab)n = anbn (m，n 都是正整数)
逆用
am+n = am · an，
amn = (am)n，
an · bn = (ab)n.
可使某些计算简捷
注意
运用积的乘方法则时要注意：公式中的 a、b 代表任何代数式；每一个因式都要“乘方”；注意结果的符号、幂指数及其逆向运用(混合运算要注意运算顺序)
课后作业
基础题：1.习题1.1 第 5、10题。
提高题：2.请学有余力的同学完成习题1.1第6、11、21、22题
谢
谢(共15张PPT)
数学 七年级下册BSD
第3课时 积的乘方
预习导学
课堂互动
中档题
素养题
基础题
预习导学
1.积的乘方法则
(1)文字描述:积的乘方等于积中各因式乘方的积;
(2)符号表示:(ab)n= (n是正整数)。
拓展:(abc)n=anbncn(n是正整数)。
2.积的乘方的逆用:anbn= (n是正整数)。
anbn
(ab)n
课堂互动
知识点1:积的乘方
例1 计算:
(2)(-3x2)3=(-3)3·(x2)3=-27x6。
知识点2:积的乘方的应用
例2 一个正方体的棱长是3×102 mm,它的体积是多少立方毫米
[思路点拨] 根据正方体的体积等于棱长的立方,然后用积的乘方法则进行计算,要注意用科学记数法把一个较大的数表示成 a×10n时,a的取值范围是1≤a<10。
解:(3×102)3=33×(102)3=27×106=2.7×107(mm3)。
答:这个正方体的体积为2.7×107 mm3。
[易错提醒] 积的乘方运算的“三点注意”:
(1)当底数为多个因式相乘时,注意把每个因式分别乘方,不要漏掉其中的某一项;
(2)当底数是负数时,不要忽略“-”;
(3)进行积的乘方时,系数也应乘方,而不是系数直接与幂指数相乘。
知识点3:积的乘方法则的逆向运用
例3 计算:
(1)(-0.25)11×411;
[思路点拨] 本题是逆向运用积的乘方法则进行计算。
解:(1)(-0.25)11×411=(-0.25×4)11=(-1)11=-1。
基础题
1.(2024眉山)下列运算正确的是( )
A.a2-a=a B.a·a2=a3
C.(a2)3=a5 D.(2ab2)3=6a3b6
B
D
3.若am=5,则a2m等于( )
A.5 B.10 C.15 D.25
4.已知am=3,bm=4,那么(ab)m等于( )
A.12 B.3 C.4 D.16
5.现规定一种运算:a※b=(ab)b。如3※2=(3×2)2=36,那么(xy)※3的结果为 。
D
A
27x3y3
7.计算:
(1)(x8y2)n+(x4nyn)2;
解:(1)(x8y2)n+(x4nyn)2
=x8ny2n+x8ny2n
=2x8ny2n。
(2)(-2an)3·(-bn)2-(a3b2)n=-8a3nb2n-a3nb2n=-9a3nb2n。
中档题
8.已知2n=a,3n=b,12n=c,那么a,b,c之间满足的等量关系是( )
A.c=a2b B.c=ab3
C.c=ab D.c=a3b
9.已知正方体的棱长为2×103 m,则它的表面积是 m2,体积是 m3。
10.若3x+2×5x+2=153x-4,则(-3)x= 。
A
2.4×107
8×109
-27
12.已知x2n=2,求(2x3n)2-(3xn)2的值。
解:因为x2n=2,
所以(2x3n)2-(3xn)2
=4x6n-9x2n
=4(x2n)3-9x2n
=4×23-9×2
=14。
素养题
13.(运算能力)比较:218×310与210×315的大小。
解:因为218×310
=28×210×310
=28×(2×3)10
=256×610,
210×315=210×310×35=(2×3)10×35=243×610,
又因为256>243,
所以218×310>210×315。中小学教育资源及组卷应用平台
第3课时 积的乘方 学案
班级 姓名 组别 总分
【学习目标】
1. 通过对积的乘方法则的探索，归纳积的乘方法则.
2. 能用积的乘方法则进行有关计算，提高计算能力.
【学习过程】
任务一：积的乘方
活动1：地球可以近似地看做是球体，地球的半径约为6×103千米，它的体积大约是多少立方千米
活动2：计算下列各式，并说明理由.
(1) ( 3×5 )4＝3( ) ·5( )；
(2) ( 3×5 )m＝3( ) ·5( )；
(3) ( ab )n＝a( ) ·b( ).
【方法归纳】积的乘方法则：(ab)n = 。
活动3：例题解析
例4 计算：
(1) (3x)2； (2) (-2b)5； (3) (-2xy)4； (4) (3a2)n.
【即时测评】
1.太阳可以近似地看作是球体，如果用 V、R 分别代表球的体积和半径，那么 V＝ πR3. 太阳的半径约为6×103 千米，它的体积大约是多少立方千米 (π 取 3)
评价任务一
得分：
任务二：幂的运算法则逆运用
活动4:填空
1.am+n = a ·a 2.amn = (a ) 3.an·bn = (ab)
【即时测评】
2. 计算：
3.如果 (an·bm·b )3 = a9b15 (a，b 均不为 0 和±1)，求 m，n 的值.
【方法归纳】注意：运算顺序是先乘方，再乘除，最后算加减.
评价任务二
得分：
自我反思：
一节课的学习中，你收获了什么？
当堂训练：（要求：限时5分钟，独立完成后组内订正，成绩计入小组量化.）
判断：
（1）(ab2)3 = ab6 ( )
（2） (3xy)3 = 9x3y3 （ ）
（3） (－2a2)2 = －4a4 ( )
（4）－(－ab2)2 = a2b4 ( )
2. 下列运算正确的是（ ）
A. x . x2 = x2 B. (xy)2 = xy2 C. (x2)3= x6 D. x2 + x2 = x4
3. (0.04)2022×[(－5)2022]2 =_____.
4. 计算：
(1) (ab)8 ； (2) (2m)3； (3) (－xy)5；
(4) (5ab2)3； (5) (2×102)2； (6) (－3×103)3.
计算：
(1) 2(x3)2·x3－(3x3)3 + (5x)2 · x7；
(2) (3xy2)2 + (－4xy3) · (－xy)；
(3) (－2x3)3 · (x2)2.
参考答案
即时测评：
1.8.64×1011 立方千米 2.4 3.n = 3，m = 4
当堂训练
1.（1）× （2）× （3）× （4）×
2.C
3.1
4.（1）a8b8 （2）8m3 （3）－x5y5 （4）125a3b6 （5） 4×104 （6）－2.7×1010
5.（1）0 （2）13x2y4 （3）－8x13
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第3课时 积的乘方
课标摘录 1.会用文字和符号语言表述积的乘方法则。 2.能根据积的乘方法则进行运算。
教学目标 1.理解并掌握积的乘方的运算法则。 2.掌握积的乘方的推导过程,并能灵活运用。
教学重难点 重点:理解并掌握积的乘方的运算法则。 难点:掌握积的乘方的推导过程,并能灵活运用。
教学策略 通过一组算式的计算入手,深入浅出地把新知识一点一滴的落实下来。通过前期的数学学习,学生对探讨幂的运算方式方法已经具有一定的体会,由前期工作的铺垫,学生对新知识的接受没有太大的疑惑。在教学中,教师注意引导学生对积的乘方一般规律的探索和表达,鼓励学生通过独立思考与讨论发现关系,给学生留下充分探索和交流的空间。
情境导入 地球可以近似地看成球体,地球的半径约为6×103 km,它的体积大约是多少立方千米 根据球的体积公式,地球的体积 V球=πr3=π×(6×103)3。 那么,(6×103)3等于多少呢
新知初探 探究一 积的乘方法则 活动1:计算下列各式,并说明理由。 (1)(3×5)4=3( )·5( ); (2)(3×5)m=3( )·5( )。 师生活动:学生独立计算,两位学生在黑板上板书,要求每个步骤都要写出运算的依据,师生共同分析板书的结果。如果学生有困难,教师可以引导学生回顾同底数幂的乘法,再进行计算。
新知初探 观察这两组式子的结果,我们得到下面两个等式: (1)(3×5)4=34×54; (2)(3×5)m=3m×5m. 思考:你发现了什么规律 猜想:积的乘方,等于把积的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘,即(ab)n=an·bn。 活动2:你能证明你的猜想吗 一般地,对于任意底数a,b与任意正整数n, (ab)n=(乘方的意义) =()·()(乘法的交换律) =anbn(同底数幂的乘法)。 活动3:总结积的乘方法则。 师生活动:学生尝试用数学语言概括出积的乘方法则:(ab)n=anbn(n是正整数)。 教师引导学生完成文字说明:积的乘方等于把积的每一个乘数分别乘方,再把所得的幂相乘。即(ab)n=an·bn。 意图说明 教师要鼓励学生自己发现积的乘方性质的特点,并运用自己的语言进行描述,如积的乘方等于每一个因数乘方的积。教师可以再次让学生回顾获得这一性质的过程,进一步体会幂的意义,以及自然语言与代数语言之间的转化。 探究二 积的乘方法则的应用 活动4:例题解析 例4 计算: (1)(3x)2; (2)(-2b)5; (3)(-2xy)4; (4)(3a2)n。 师生活动:师生共同分析解答,教师板书(1),学生板书(2)(3)(4)。教师着重让学生说明底是什么,指数是什么,让学生注意计算时单项式的系数不要忘记乘方,以及要注意符号乘方的问题。 活动5:巩固提升 计算:（）4×210。 师生活动:提示学生可逆用一些运算法则简化运算。学生独立解答,小组讨论后派代表给出答案。 意图说明 1.让学生运用性质进行计算,积累解题经验,巩固对积的乘方法则的理解。 2.根据学生对积的乘方运算性质的掌握情况,推广积的乘方的运算性质逆向运用的解题方法。
当堂达标 具体内容见同步课件
课堂小结 具体内容见同步课件
板书设计 积的乘方 1.积的乘方法则 2.积的乘方法则的应用 (ab)n=anbn(n是正整数) 例题解析 积的乘方等于把积的每一个乘数 逆用积的乘方法则 分别乘方,再把所得的幂相乘
教学反思
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