八年级数学下册试题 22.4梯形 -沪教版（含解析）

22.4梯形
一、单选题
1．一组对边平行，且对角线相等的四边形是( )
A．等腰梯形 B．矩形
C．正方形 D．等腰梯形或矩形
2．如果一个四边形四个内角的度数之比是1：2：2：3，那么这个四边形是（　　）
A．平行四边形 B．矩形 C．直角梯形 D．等腰梯形
3．若等腰梯形两底角为30°，腰长为8，高和上底相等，则梯形中位线长为 （ ）
A．8 B．10 C．4 D．16
4．已知梯形的四条边长分别是4、5、7、8，则中位线长可以为（ ）
A．4.5 B．5.5 C．6 D．6.5
5．下列三角形纸片中，用一条平行于三角形一边的直线，把它分割成一个四边形和一个小三角形，得到的四边形可能是等腰梯形的是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，在等腰梯形中，，，对角线、相交于点，那么下列结论一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
7．已知等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AD=BC=8，AB=10，CD=6，则梯形ABCD的面积是（ ）．
A． B．
C． D．
8．如图，四边形中，，是边的中点，如果平分，那么下列结论中不一定成立的是（ ）
A．平分 B．
C． D．
9．如图，在中，，是的中点，过点作的平行线交于点，作的垂线交于点，若，且的面积为，则的长为（ ）.
A． B． C． D．
10．如图，将矩形绕点顺时针旋转至矩形的位置，连接，，取，的中点，，连接，若，，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．梯形的上，下底分别为，，一条腰长，则另一条腰的长度的范围是
12．若等腰梯形的上、下底分别为是3和6，腰长为2.5，则它的高是 ．
13．如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，DC=3cm，∠A=60°，BD平分∠ABC，则这个梯形的周长是 .
14．如图，等腰梯形ABCD中，，AD＝2，BC＝8，M是AB的中点，若MD⊥CD，则梯形的面积为 ．
15．已知一次函数的图像与x轴、y轴分别相交于点A、B,梯形AOBC的边AC=5，且OA//BC,则点C的坐标为 .
16．如图，等腰梯形中，，，对角线，如果高，那么等腰梯形的中位线的长为 ．
17．如图，在中，点D是斜边的中点，于点E，于点F，，，则 ．
18．如图，梯形ABCD中，，，将线段CB绕着点B按顺时针方向旋转，使点C落在CD延长线上的点E处．联结AE、BE，设BE与边AD交于点F，如果，且，那么梯形ABCD的中位线等于 ．
三、解答题
19．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，CE和BD分别为两个底角的平分线．求证：四边形BCDE是等腰梯形．
20．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝12，AB＝DC＝8．∠B＝60°．
（1）求梯形的中位线长．
（2）求梯形的面积．
21．如图，已知梯形，，，．
(1)求的度数；
(2)过点D作，垂足为点E，连接，如果，求的长．
22．已知：在梯形中，，，，点在边上，．
(1)如图1，当为锐角时，设，的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出函数的自变量x的取值范围；
(2)当时，求的面积．
23．如图，在梯形中，，，点M在边的延长线上，点N在边上．
（1）如果，求证：；
（2）如果∠ANB=2∠ACB，求证：四边形是菱形．
24．如图，直角中，，，点D是边的中点，点E是边上的一个动点（不与A，B重合），交于点F，设，．
(1)求证：；
(2)写出y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域；
(3)写出x为何值时，？
25．如图，已知点和点都在一次函数上，是的平分线，过点作，垂足为点，过点作轴的垂线，垂足为．

(1)求这条直线的解析式；
(2)求证：为的中点；
(3)若一次函数图像上有点，和点，，构成梯形，试求点的坐标．
26．如图1，在梯形中，，，，，，点O是对角线的中点．点E为边上一动点，联结．

(1)求的长；
(2)如果点E为边的中点，联结，求的面积；
(3)如图2，延长交射线于点F，联结，如果平分，求四边形的周长．
答案
一、单选题
1．D
【分析】已知一组对边平行，则对这组对边是否相等进行分类讨论，分别判断其形状．
【解析】解：分为两种情况：
①当，且时，四边形是矩形；
②当，且时，四边形是等腰梯形．
故选：D．
2．C
【分析】先根据四边形的四个内角的度数之比分别求出四个内角，根据直角梯形的特点判定这个四边形的形状．
【解析】解：设四边形的四个内角的度数分别为x，2x，2x，3x，则
2x+2x+x+3x=360°，
解得x=45°．
则2x=90°，3x=135°．
∴这个四边形的形状是直角梯形．
故选：C．
3．C
【分析】分析题意画出图形，则DE=CD=CF，AD=8，∠A=30°，由DE⊥AB，∠A=30°，AD=8，即可得出DE=4，进而求出CD的长度；运用勾股定理得出AE和BF的长度，易证四边形CDEF是平行四边形，得出EF的长度，进而得出AB+CD的长度，由梯形中位线的性质，即可解答本题.
【解析】根据题意画出图形，则DE=CD=CF，AD=8，∠A=30°.
因为DE⊥AB，∠A=30°，AD=8，
所以DE=AD=4，
所以CD=4，AE= =4，同理BF=4.
因为DE⊥AB，CF⊥AB，
所以DE∥CF.
因为CD∥EF，
所以四边形CDEF是平行四边形，
所以EF=CD=4.
因为CD=4cm，AB=AE+EF+FB=4+4+4=8+4，
所以AB+CD=8+4+4=8+8，
所以梯形的中位线长为 (AB+CD)=4+4.
故选C.
4．C
【分析】把构成梯形的条件转换成构成三角形的条件，通过从上底的一个顶点作一腰的平行线，通过平行四边形的性质结合三角形三边的关系进行求解即可．
【解析】解：∵梯形的四条边长分别是4、5、7、8，故梯形不是等腰梯形，
分情况：
第一种：上底为4，下底为5，腰分别是7和8，如图，

显然，1、7、8不能构成三角形，此情况不存在；
第二种：上底为4，下底为7，腰分别是5和8，如图，

显然，3、5、8不能构成三角形，此情况不存在；
第三种：上底为4，下底为8，腰分别是5和7，如图，

显然，4、5、7能构成三角形，
此时，中位线长为；
第四种：上底为5，下底为7，腰分别是4和8，如图，
显然，2、4、8不能构成三角形，此情况不存在；

第五种：上底为5，下底为8，腰分别是7和4，如图，
显然，3、4、7不能构成三角形，此情况不存在；

第六种：上底为7，下底为8，腰分别是4和5，如图，
显然，1、4、5不能构成三角形，此情况不存在；

故选：C．
5．B
【分析】根据三角形内角和定理求得第三个角的度数，结合等腰梯形的性质即可求解．
【解析】解：A、，没有相等的角，故不合题意，
B、，有2个的角，符合题意；
C、，没有相等的角，故不合题意；
D、，没有相等的角，故不合题意；
故选：B．
6．D
【分析】根据等腰梯形的性质证明，进而可以解决问题．
【解析】解：四边形是等腰梯形，，
，，
在和中，
∵，
，
，
结论一定成立的是．
故选D．
7．A
【分析】分别过C、D作CF、DE垂直于AB，垂足分别为F、E，则易得△ADE≌△BCF，有AE=BF，且四边形CDEF为矩形，EF=CD=6，从而可得AE的长，由勾股定理可求得DE，由梯形面积公式即可求得梯形面积．
【解析】解：分别过C、D作CF、DE垂直于AB，垂足分别为F、E，如图
∴∠DEA=∠CFB=90゜
∵四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD
∴AD=BC，∠A=∠B
在△ADE和△BCF中
∴△ADE≌△BCF
∴AE=BF
∵AB∥DC，DE⊥AB，CF⊥AB
∴DE⊥DC，CF⊥DC
∴∠EDC=∠FCD=∠DEA=∠CFB=90゜
∴四边形CDEF为矩形
∴EF=CD=6
∴
在Rt△DEA中，由勾股定理得
∴
故选：A
8．C
【分析】延长交延长线于，求出，推出，，，即可推出A，B正确，根据梯形中位线与三角形的面积公式即可判断D；根据含度角的直角三角形的性质判断C选项．
【解析】解：延长交延长线于，
∵，
，
，
，
，
为中点，
，
，
，
，，
，
，，
；平分；
∴，
故A，B选项正确，
取中点，连接，
，分别是，的中点，
是梯形是中位线
，
，
，
，故D选项正确，
当时，，故C选项不一定成立
故选：C．
9．A
【分析】本题考查了三角形中位线定理，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的性质．熟练掌握三角形中位线定理，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的性质是解题的关键．
由题意知，是的中位线，则，设，则，由勾股定理得，，如图，过作，交的延长线于，证明，则，由，，可得，即，计算求出满足要求的，进而可求．
【解析】解：∵是的中点，，
∴是的中位线，
∴，
设，
∵，
∴，
由勾股定理得，，
如图，过作，交的延长线于，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴，即，
解得，或（舍去），
∴，
故选：A．
10．D
【分析】连接、，根据矩形性质、旋转性质可得，、分别是、的中点，，再根据勾股定理可求得的值，最后根据三角形的中位线定理得到．
【解析】解：如图，连接，，
、为分别为矩形、矩形对角线，
且矩形由矩形旋转得到，也可看作由旋转得到，
，
，
，
又，分别为，中点，
由矩形性质可得，也是中点，
是的中位线， 即．
故选：．
二、填空题
11．
【分析】作交于点,则四边形是平行四边形，依据平行四边形的性质求出三角形DEC的两条边，依据三角形三角边关系，求出的取值范围.
【解析】解：如图梯形,,,,,,
作交于点,
则四边形是平行四边形，
∴,,
∴,
∵,
∵,
故答案为：.
12．2
【分析】画出图形，结合全等三角形和勾股定理计算即可．
【解析】解：如图四边形ABCD是等腰梯形，由题意得BC=6，AD=3，AB=CD=2.5，
过A作AE⊥BC于E，过D作DF⊥BC于F，
则AEDF，∠AEC=∠ADF=90°，
∵ADBC，
∴四边形AEFD是矩形，
∴AD=EF=3，AE=DF，
在Rt△AEB和Rt△DFC中
，
∴Rt△AEB≌Rt△DFC（HL），
∴BE=FC，
∵BC=6，EF=3，
∴BE=CF=1.5，
在Rt△AEB中，由勾股定理得：
故答案为：2．
13．15cm.
【分析】根据题意，可知∠A=∠ABC=60°，即可推出∠ABD=∠DBC=30°，∠ADB=90°，∠BDC=30°，因此，CD=BC=AD=3，得到 AB=6，便可推出梯形的周长．
【解析】∵等腰梯形ABCD中，AB∥CD，DC=3cm，∠A=60°，
∴BC=AD，∠A=∠ABC=60°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC=30°，
∴∠BDC=30°，
∵∠ABD=30°，∠A=60°，
∴∠ADB=90°，
∵CD=3cm，
∴CD=BC=AD=3cm，
∴AB=2AD=6cm，
∴梯形ABCD的周长=AB+BC+CD+DA=6+3+3+3=15cm，
故答案为15cm.
14．
【分析】用作辅助线的方法把梯形的上底移到下底上，从而梯形的面积转化成三角形的面积来解决．
【解析】解：延长DM交CB的延长线于点E，
∵AD//CE，
∴∠ADM=∠E，
∵M是AB的中点，
∴AM=BM，
在△ADM与△BEM中，
，
∴△ADM≌△BEM（ASA），
∴AD=BE．
∵AD=2，BC=8，
∴AD+BC=10，
∴EB+BC=10，
即CE=10，
过A作AN⊥BC于N，DF⊥BC于F，
则NF=AD=2，
∵AB=CD，
∴BN=CF=3，
∴EF=7
∵DM⊥CD，DF⊥BC，
∴
∴
∴
∴DF2=21，
∴DF=，
∴S梯形ABCD=S△DCE=．
故答案为：．
15．(5,4)或(11,4)；
【分析】根据梯形的对边平行，画出图形，结合勾股定理求解.
【解析】如图，
∵一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于点A. B，
∴A(8,0),B(0,4).
在梯形AOBC中，OA=8，OB=4，
当BC∥OA时,设点C(x,4).
∵AC=5，
∴(x 8) +(4 0)=5，
∴x=5,x=11，
这时点C的坐标为(5,4)或(11,4)，
∴点C的坐标为(5,4)或(11,4)；
故答案为(5,4)或(11,4)；
16．8
【分析】过点D作DF∥AC，交BC延长线于F，根据等腰梯形的性质证得AC=BD，AD∥BC，由此得到四边形ACFD是平行四边形，再推出△BDF是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形斜边中线的性质推出，由此得到答案．
【解析】解：过点D作DF∥AC，交BC延长线于F，
∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴AC=BD，AD∥BC，
∵DF∥AC，
∴四边形ACFD是平行四边形，
∴AC=DF，AD=CF，
∴BD=DF ，
∵，
∴DF⊥BD，
∴△BDF是等腰直角三角形，
∵DE⊥BF，
∴
∴，即梯形的中位线是8cm，
故答案为：8．
17．
【分析】本题考查直角三角形斜边中线定理、勾股定理、三角形面积等知识，解题的关键是利用面积法求高．如图作于M，连接，利用求出，利用即可解决问题．
【解析】解：如图作于M，连接．
，
，
∵，
，
，
，
．
故答案为：．
18．7
【分析】由根据三角形的面积公式，由得，进而求得DE=2，从而求得底边EC的长，于是可求得CD的长，进而求得梯形ABCD的中位线．
【解析】解：过点B作BM⊥CE于点M，如下图，
∵，，
∴∠ADC=180°-∠A=180°-90°=90°，
∵，
∴，
∵，
∴DE=2，
∵BM⊥CE，
∴∠BMD=90°，
∴四边形ABMD是矩形，
∴DM=AB=4，
∴EM=2+4=6，
∵将线段CB绕着点B按顺时针方向旋转，使点C落在CD延长线上的点E处，
∴BE=BC，
∵BM⊥CE，
∴EC=2EM=12，
∴CD=12-2=10，
∴梯形ABCD的中位线为：，
故答案为：7．
三、解答题
19．证明：如图所示，
∵AB＝AC，BD，CE是△ABC的角平分线．
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠DBC＝∠ECB，
又∵BC＝CB，
∴△EBC≌△DCB（ASA），
∴BE＝CD，
∴AE＝AD，
∴∠AED＝（180°﹣∠A），
∵∠ABC＝（180°﹣∠A），
∴∠AED＝∠ABC，
∴DE∥BC，
∴四边形BCDE是等腰梯形．
20．解：（1）过A作AE∥CD交BC于E，
∵AD∥BC，
∴四边形AECD是平行四边形，
∴AD＝EC，AE＝DC，
∵AB＝DC，
∴AB＝AE，
∵∠B＝60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴BE＝AB＝8，
∴AD＝EC＝BC﹣BE＝12﹣8＝4，
∴梯形ABCD的中位线长＝（AD+BC）＝（4+12）＝8；
（2）作AF⊥BC于F，
则∠BAF＝90°﹣∠B＝30°，
∴BF＝AB＝4，AF＝BF＝4，
∴梯形ABCD的面积＝（AD+BC）×AF＝（4+12）×4＝32.
21．（1）∵，
∴
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴
∴；
（2）如图所示，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
在中，．
在中，．
22．（1）解：作于，如图1所示：
则，，，
在和Rt△ECB中，
，
，
，
，
，
的面积为梯形的面积的面积的面积，
即；
（2）①当为锐角，时，，
，
即，
，
的面积；
②当为钝角，时，，
过点作于，如图2所示：
设，
同（1），
，
，
，
即，
，
的面积梯形的面积的面积的面积；
综上所述，当时，的面积为或．
23．解：证明：（1）∵AD∥BC，BA=AD=DC，
∴梯形ABCD是等腰梯形，
∴∠ABC=∠DCM，
∵∠ABM+∠ABC=180°，∠DCM+∠D=180°，
∴∠ABM=∠D，
在△ABM和△CDA中，
，
∴△ABM≌△CDA（SAS），
∴AM=AC；
（2）∵∠ANB=∠CAN+∠ACB，∠ANB=2∠ACB，
∴∠CAN+∠ACB=2∠ACB，
∴∠CAN=∠ACB，
∴AN=CN，
∵AD=DC，
∴∠DAC=∠DCA，
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB，
∴∠CAN=∠ACB=∠DAC=∠DCA，
在△ACN和△ACD中，
，
∴△ACN≌△ACD（ASA），
∴AN=AD，
∴AN=CN=AD=DC，
∴四边形四边形ADCN是菱形．
24．（1）解：取的中点记为H，取的中点记为N．连接
∵，点D是边的中点，
∴都是三角形中位线
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
在与中，
，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴
即
∵E是边上的一个动点（不与A、B重合），
∴；
（3）解：连接，当E与H重合时，，
∵此时，
∴当时，．
25．（1）解：把点和点代入得：
，
解得：，
这条直线的解析式为；
（2）如图，延长交轴于点，

是的平分线，
，
，
，
，
，
，
，
为的中点；
（3）如图：

由（2）可知，，
，
为的中点，，
，
，，
当时，
在中，令得，
；
当时，
由，得直线的解析式为，
设直线的解析式为，把代入，
得，，
解得：，
直线的解析式为，
解，得，
，
综上所述，的坐标为或．
26．（1）解：过A作，过D作，垂足分别为M、N，

则，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
在中，
∵
∴，
∴，
∴．
（2）过点O作，垂足为点Q，则，

∵O是的中点，E是的中点，
∴，，，
∴，
∴，
在中，，，
．
（3）∵，
∴，
∵O是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是菱形，

过点D作于点N，
由（1）可知，，
∴，
由勾股定理得，
设，则，
在中，，
即，
解得，
∴四边形的周长．