22.2 平行四边形 同步练习（含解析）2024-2025学年八年级下册数学 沪教版（五四学制）（2024）

22.2 平行四边形
一、单选题
1．平行四边形不一定具有的特征是（ ）
A．对角线互相平分 B．两组对角分别相等
C．内角和为 D．对角线相等
2．已知多边形的每一个内角都等于150°，则这个多边形的边数是（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
3．如图，平行四边形中，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，四边形中，对角线与相交于点O，不能判断四边形是平行四边形的是( )
A． B．
C． D．
5．一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形是几边形？（ ）
A．五角形 B．六边形 C．七边形 D．八边形
6．如图所示，在平行四边形ABCD中，，的平分线交于点，交的延长线于点，则的长是( )
A． B． C． D．
7．若一个多边形共有20条对角线，则这个多边形的内角和是（　　）
A． B． C． D．
8．以三点为顶点画平行四边形，第四个顶点不可能在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
9．如图，在平行四边形ABCD中，对角线、相交于点O，过点O作交于点E，连接．若平行四边形ABCD的周长为20，则的周长为（　　）
A．5 B．10 C．15 D．20
10．如图，平行四边形ABCD中，，点分别为上异于端点的四点，满足，分别为上异于端点的两点，连接，点O为线段上一个动点，从点M出发，运动到点N后停止，连接，当图中存在与四边形时，随着点O的移动，两者的面积之和变化趋势为（ ）
A．先变大再变小 B．先变小再变大 C．一直不变 D．以上都不对
二、填空题
11．正边形的一个内角为，则 ．
12．在平行四边形中，若，则 ．
13．如图，在平行四边形ABCD中，、相交于点O，，，，的周长为 ．
14．如图，若平行四边形ABCD周长为36，两条高，则平行四边形ABCD的面积为 ．
15．一个多边形截去一个角后，形成的新多边形的内角和是，则原多边形的边数是 ．
16．如图，在平行四边形ABCD中，对角线，交于点O，，过点O作交于点E，连接．已知，，则的周长是 ．
17．如图，平行四边形的顶点A，B在函数的图象上，边与y轴交于点D，轴于点E．若的面积为8，则的值为 ．

18．如图，在平行四边形ABCD中，，，将绕点A逆时针旋转角得到，连接，．当为等腰三角形时，旋转角的度数为 ．
三、解答题
19．如图，平行四边形中，的平分线交于E，的平分线交于点F．
(1)求证：；
(2)若，，，求的长．
20．已知：如图，四边形为平行四边形，点E，A，C，F在同一直线上，．
(1)求证： ADE≌ CBF；
(2)连接、，求证：四边形为平行四边形．
21．如图，点是平行四边形对角线上的两点，且．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若．求线段的长．
22．如图，在中，，延长到点E，使过点E作交的延长线于点F，连接．

(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，直接写出的长．
23．如图，是四边形的对角线，，，过点A作交C的延长于E．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)过点E作交的延长线于点F，连接，若，求的长．
24．如图：平行四边形ABCD的对角线相交于点，直线过点与相交于点，
(1)与的数量关系是 ；
(2)若直线与的延长线相交于，上述结论还成立吗？如成立，请说明理由．
25．如图，直线与轴交于点，与反比例函数的图像交于点．
(1)求反比例函数表达式；
(2)将线段向右平移个单位长度，得到对应线段，连接，．
①如图，当点恰好落在反比例函数图像上时，过点作轴于点，交反比例函数图像于点，求的值；
②在①的条件下，在坐标平面内是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
26．在四边形中，，，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若点为线段上的动点点不与点重合，连接，过点作交直线于点．
①如图2，当点为线段的中点时，请直接写出，的数量关系；
②如图3，当点在线段上时，求证：．
答案
一、单选题
1．D
【分析】根据平行四边形的性质，对各选项进行判断作答即可．
【解析】解：平行四边形对角线互相平分，两组对角分别相等，内角和为，对角线不一定相等，
∴A、B、C，不符合要求，D符合要求；
故选：D．
2．D
【分析】先求出多边形一个外角的度数，然后根据多边形的外角和为360°，求出边数即可．
【解析】解：∵多边形的每一个内角都等于150°，
∴多边形的每一个外角都等于180°-150°=30°，
∴边数n=360°÷30°=12．
故选：D．
3．D
【分析】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．根据平行四边形的性质结合已知条件即可求解．
【解析】解∶∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
又，
∴．
故选：D．
4．A
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，熟知平行四边形的判定条件是解题的关键．
【解析】解：A、，一边平行，另一边相等的四边形不一定是平行四边形，也有可能是等腰梯形，故此条件不能判断四边形是平行四边形，符合题意；
B、，两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故此条件能判断四边形是平行四边形，不符合题意；
C、，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故此条件能判断四边形是平行四边形，不符合题意；
D、，对角线互相平分的四边形是平行四边形，故此条件能判断四边形是平行四边形，不符合题意；
故选：A．
5．D
【分析】本题主要考查多边形的内角和定理与外角和的性质的综合．根据多边形的内角和公式，外角和为的数量关系列式计算即可求解．
【解析】解：∵多边形的内角和为，外角和为，
∴，
解得，，
∴这个多边形是的八边形．
故选：D．
6．B
【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，由平行四边形的性质可得，，由平行线的性质和角平分线的可得，即可求解．
【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
，
平分，
，
，
，
，
故选：B．
7．C
【分析】根据多边形对角线与边数关系得出具体是几边形，然后利用多边形内角和公式求出结果
【解析】解：设这个多边形的边数为n，
由题意得，，
解得或（舍去），
∴这个多边形是八边形，
∴这个多边形的内角和为，
故选C．
8．B
【分析】本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形，根据平行四边形的性质，易求得第四个顶点的坐标，即可得到答案，采用数形结合的思想是解此题的关键．
【解析】解：如图，∵第四个顶点可能为，
∴第四个顶点不可能在第二象限．
9．B
【分析】本题主要平行四边形的性质，线段垂直平分线的性质和判定，先说明是线段的中垂线，可得，然后说明的周长为，即可得出答案.
【解析】解：∵在平行四边形ABCD中，对角线相互平分，
∴O是中点.
∵，
∴是线段的中垂线，
∴，
∴的周长为.
∵平行四边形ABCD的周长为20，
∴，即的周长为10．
故选：B．
10．D
【分析】本题考查平行四边形的性质，割补法求阴影部分的面积．熟练掌握平行四边形的性质，利用割补法表示出阴影部分的面积，是解题的关键．连接，设点到的距离为，到的距离为，到的距离为，到的距离为，利用面积公式求出，，发现均为定值，和也为定值，利用割补法得到与四边形的面积之和为，即可得出结论．
【解析】解：连接，设点到的距离为，到的距离为，到的距离为，到的距离为，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵为定值，是平行四边形的高，均为定值，
∴，，均为定值，
∵的边长是定值，
∴也为定值，
∵与四边形的面积之和为，为定值，
∴与四边形的面积之和保持不变，
当点O在HE，MN交点的左侧时， 如图，
，
而为定值，且变小，
故阴影部分面积是变化的，先变小，然后再保持不变，
故选：D．
二、填空题
11．
【分析】根据多边形的内角得出多边形的外角，再用多边形的外角和除以多边形外角的度数，即可得出答案．
【解析】正边形的一个内角为，
边形的外角都为，
多边形的外角和为，
，
故答案为：．
12．
【分析】本题考查的是平行四边形的性质．根据平行四边形的性质即可得到结果．
【解析】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
13．16
【分析】本题考查了平行四边形性质，根据平行四边形性质可求出，，，进而可求出最后结果．
【解析】四边形为平行四边形，、相交于点O，
，，，
的周长为，
故答案为：16．
14．40
【分析】此题考查了平行四边形的性质．注意利用方程思想求解是解此题的关键．由的周长为36，可得①，又由分别是边上的高，且，由等积法，可得②，继而求得答案．
【解析】解：∵平行四边形ABCD的周长为36，
∴①，
∵分别是边上的高，且，
∴②，
由①②得：，
，
∴平行四边形ABCD的面积为：，
故答案为：40．
15．17，18或19
【分析】根据多边形的内角和公式可得：，求出新多边形的边数，然后再根据截去一个角的情况进行讨论，计算即可．
【解析】解：设新多边形的边数为，
则，
解得：，
若截去一个角后边数增加1，则原多边形边数为19，
若截去一个角后边数减少1，则原多边形边数为17，
若截去一个角后边数不变，则原多边形边数为18，
则多边形的边数是17，18或19，
故答案为：17，18或19．
16．/
【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，垂直平分线的性质，熟练掌握勾股定理，平行四边形的性质，是解题的关键．根据平行四边形的性质，得到，，根据勾股定理得，利用垂直平分线的性质得，利用勾股定理，计算周长即可．
【解析】∵平行四边形，，，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
的周长是．
故答案为：．
17．
【分析】本题主要考查平行四边形的性质以及反比例函数的性质，根据题意得，，则有，化简得到，结合反比例函数的性质得，即可求得答案．
【解析】解：∵四边形是平行四边形，的面积为8，
∴，，
∴，
∴，
∴，
则，
∵点A在函数的图象上，
∴，
∴，
则，
∴，
故答案为：．
18．或或
【分析】分三种情况讨论，一是点在上，则是等边三角形，可证明，则是等腰三角形，此时；二是点在上，可证明，则是等腰三角形，此时；三是是等腰三角形，且，作于点，交于点，则，可证明，再推导出，则，所以，可求得，此时．
【解析】解：如图1，点在上，
由旋转得，
，，
是等边三角形，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
是等腰三角形，
；
如图2，点在上，

，，
，
，
是等腰三角形，
；
如图3，是等腰三角形，且，作于点，交于点，则，

，，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
综上所述，旋转角的度数为或或，
故答案为：或或．
三、解答题
19．（1）解：∵四边形是平行四边形．
∴，，．
∴，．
∵是的平分线，是的平分线．
∴，．
∴，．
∴，．
∴．
∴．
∴．
（2）过点A作，垂足为H，如图：
由（1）知，且，，
∴， ．
∵，
∴，
∴，．
∴．
∵．
∴．
∴．
∴．
20．（1）证明：∵四边形为平行四边形，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
在 ADE和 CBF中，
，
∴；
（2）解：如图，连接、，
∵ ADE≌ CBF，
，
∴DE∥BF
∴四边形是平行四边形．
21．（1）证明：如图所示，连接交于O，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，即，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
22．（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴ FCE≌ ACD，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：由（1）可知，四边形是平行四边形，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
23．（1）证明：∵，
∴，
∴．
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵．
∴四边形是平行四边形；
（2）∵，
∴是的中线，
∵，
∴．
24．（1）解：四边形是平行四边形，对角线相交于点，
，，
，
在和中，
，
，
，
故答案为：；
（2）解：上述结论还成立，
理由如下：
四边形是平行四边形，对角线相交于点，
，，
，
在和中，
，
，
．
25．（1）解：∵点在直线上，
∴ ，
∴，
∵点在反比例函数的图像上，
∴，
∴，
∴反比例函数表达式为；
（2）①∵直线与轴交于点，
当时，得，
∴，
∵将线段向右平移个单位长度，得到对应线段，且点恰好落在反比例函数的图像上， 轴，
当时，得：，
∴，
∴，
∴，
当时，得：，
∴，，
∴，
∴；
②在坐标平面内存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形．
理由：
设，
由①知：，，，
可分以下三种情况：
当且，以为对角线时，
即将线段向右平移个单位再向上平移个单位得到线段，此时可得平行四边形，
此时点的坐标为；
当且，以为对角线时，
即将线段向右平移个单位得到线段，此时可得平行四边形，
此时点的坐标为；
当CD∥AN且，以为对角线时，
即将线段向左平移个单位得到线段，此时可得平行四边形，
此时点的坐标为；
综上所述，点的坐标为或或时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形．
26．（1）证明：，，
，
，
，
，
，
，，
，，
，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：①，
理由如下：连接，如图所示：
由（1）知是等腰直角三角形，当点为线段的中点时，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
②证明：过点作交于点，如图所示：
，，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
又，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，则，
，
．