22.3 特殊的平行四边形 同步练习（含解析）2024-2025学年八年级下册沪教版（五四学制）（2024）

22.3 特殊的平行四边形
一、单选题
1．正方形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）
A．四个角相等 B．对角线互相垂直
C．对角互补 D．对角线相等
2．如图，在菱形中，对角线，相交于点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．已知矩形的较短边长为6，对角线相交成60°角，则这个矩形的较长边的长是（ ）
A． B． C．9 D．12
4．下面说法正确的是（ ）
A．有一组邻边相等的四边形是菱形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．矩形的对角线相等 D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
5．如图，正方形的对角线相交于点O，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
6．如图，已知菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6cm、8cm，AE⊥BC于点E，则AE的长是( )
A．5cm B．6cm C．cm D．cm；
7．如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，对角线AC的垂直平分线分别交AD、BC于点E、F，连接CE，则△DCE的面积为（　　）
A． B． C．2 D．1
8．如图，点B、C分别在两条直线和上，点A、D是x轴上两点，若四边形是正方形，则k的值为（ ）

A．6 B．5 C． D．
9．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，点E、F分别为AD、DC上的动点，∠EBF＝60°，点E从点A向点D运动的过程中，AE+CF的长度（　　）．
A．逐渐增加 B．逐渐减小
C．保持不变且与EF的长度相等 D．保持不变且与AB的长度相等
10．如图，在正方形中，是对角线上一点，且满足．连接并延长交于点，连接，过点作于点，延长交于点．在下列结论中：①；②；③；④，其中正确的结论有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
11．菱形的边长为5，对角线，则菱形的面积是 ．
12．要使矩形ABCD成为正方形，可添加的条件是 （写一个即可）．
13．如图，E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，且CE=AC，AE交CD于点F，则∠E=
14．如图，一张长，宽的矩形纸片，将它沿某直线折叠使得A、C重合，则折痕的长为 ．

15．如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，点P为边AB上任意一点，过点P作PE⊥AC，PF⊥BD，垂足分别为E、F，则PE+PF= ．
16．已知，矩形，点在边上，点在边上，连接、交于点．若，，，．则 ．
17．如图，在平面直角坐标系中，四边形是边长为1的正方形，顶点分别在轴的正半轴上．点Q在对角线上，且，连接并延长交边于点P，则点P的坐标为 ．
18．如图，有一张矩形纸片，已知，，现将纸片进行如下操作：现将纸片沿折痕进行折叠，使点落在边上的点处，点在上（如图），则 ；然后将绕点旋转到，当过点时旋转停止，则的长度为 ．
三、解答题
19．如图，矩形的对角线，相交于点，过点作的平行线交的延长线于点．

(1)求证：．
(2)若，，求的长．
20．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，DF⊥AC于点F，且AE＝DF．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若∠BAE∶∠EAD＝2∶3，求∠EAO的度数．

21．如图，在平行四边形ABCD中，平分，交于点E，平分，交于点F，与交于点P，连结，.
（1）求证：四边形是菱形.
（2）若，，，求的值.
22．如图，在6×6的方格纸中，请按要求作图．
（1）图1中，A，B是方格纸中的格点，以AB为一边作一个矩形ABCD，要求C，D两点也在格点上；
（2）图2中，E，F是方格纸中的格点，以EF为一边作一个菱形EFGH，要求G，H两点也在格点上．
23．已知：如图，在正方形ABCD中，BD为对角线，E、F分别是AD，CD上的点，且AE＝CF，连接BE、BF、EF．
（1）求证：EM＝FM；
（2）若DE：AE＝2：1，设S△ABE＝S，求S△BEF（用含S的代数式表示）．
24．在正方形ABCD中，AC是对角线，点E在AD边上（不与点A重合），点F在CD边上，连接BE，BF，EF，已知∠DEF=45°．
（1）求证：BE=BF．
（2）设AE=k AD（0＜k＜1），△ABE的面积为S1，△DEF的面积为S2．
①当k=时，求证：S1=2S2；
②当S2=2S1时，求k的值．
25．如图，在矩形中，，．点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是．连接、、．设点P、Q运动的时间为ts．

(1)当t为何值时，四边形是矩形，请说明理由；
(2)当t为何值时，四边形是菱形，请说明理由；
(3)直接写出（2）中菱形的周长和面积，周长是______cm，面积是______．
26．如图，在平行四边形ABCD中，，E，F分别为，的中点，作于点G，的延长线交的延长线于点H．
（1）求证：四边形是菱形．
（2）当时，
①求的长．
②如图2，交于点P，记的面积为，的面积为，则的值为________．
27．如图，在平面直角坐标系中，点A（0，8），点B是x轴的正半轴上的一个动点，连接AB，取AB的中点M，将线段MB绕着点B按顺时针方向旋转90°，得到线段BC．过点B作x轴的垂线交直线AC于点D．设点B坐标是（t，0）
(1)当t＝6时，点M的坐标是______；
(2)求点C的坐标（用含t的代数式表示）；
(3)是否存在点B，使四边形AOBD为矩形？若存在，请求出点B的坐标；若不存在，请说明理由；
(4)在点B的运动过程中，平面内是否存在一点N，使得以A、B、N、D为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的纵坐标（不必要写横坐标）；若不存在，请说明理由．
28．正方形中，边长为，点在对角线上，连接，过点作，交直线于点．

(1)如图，当点在边上时，求证：；
(2)当点在的延长线上时，设，面积为，求关于的解析式，并写出定义域；
(3)若，求BM的长．
答案
一、单选题
1．B
【分析】本题考查了正方形和矩形的性质，解决本题的关键是熟记正方形和矩形的性质．对于四边形的性质我们从：①边；②角；③对角线三个方面去理解，因此，只需要根据正方形、矩形的这三个方面性质的不同，即可解答．
【解析】解：根据正方形和矩形的性质对比分析：
①边：有对边与邻边：正方形与矩形对边性质相同，没有区别；邻边性质不同，正方形邻边相等，矩形邻边不相等；
②角：正方形与矩形内角性质相同，对角相等、邻角互补、四个角都是直角；
③对角线：正方形与矩形对角线都相等且互相平分，但正方形对角线相互垂直，而矩形对角线不具有这个特征；
故选：B．
2．B
【分析】根据菱形的性质得到，，再进一步求解即可．
【解析】解：四边形是菱形，
，，
，
，
，
故选B．
3．B
【分析】根据矩形对角线相等且互相平分的性质和题中的条件易得△AOB为等边三角形，即可得到矩形对角线的长，进而求解即可．
【解析】
如图：AB=6，∠AOB=60°，
∵四边形是矩形，AC，BD是对角线，
∴OA=OB=OC=OD=BD=AC，
在△AOB中，OA=OB，∠AOB=60°，
∴OA=OB=AB=6，BD=2OB=12，
∴BC=．
故选：B．
4．C
【分析】根据菱形，矩形，正方形的性质和判定定理，逐个进行判断即可．
【解析】解：A、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故A不正确，不符合题意；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故B不正确，不符合题意；
C、矩形的对角线相等，故C正确，符合题意；
D、对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形，故D不正确，不符合题意；
故选：C．
5．D
【分析】直接利用正方形的性质求解即可．
【解析】解：∵四边形是正方形，
∴，
∴，
故选：D．
6．D
【分析】首先利用菱形的性质结合勾股定理得出BC的长，再利用三角形面积求出答案
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，AC=6cm，BD=8cm，
∴AO=CO=3cm，BO=DO=4cm，∠BOC=90°，
∴BC==5（cm），
∵S△ABC=AE×BC=BO×AC
故5AE=24，
解得：AE=（cm）.
故选D．
7．B
【分析】由EF垂直平分AC可得AE=CE，设CE＝x，则ED＝AD﹣AE＝4﹣x，在Rt△CDE中，利用勾股定理求出x的长，继而根据三角形的面积公式进行求解即可.
【解析】∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝2，AD＝BC＝4，∠D=90°，
∵EO是AC的垂直平分线，
∴AE＝CE，
设CE＝x，则ED＝AD﹣AE＝4﹣x，
在Rt△CDE中，CE2＝CD2+ED2，
即x2＝22+(4﹣x)2，
解得：x＝，
即CE的长为，
DE＝4﹣＝，
所以△DCE的面积＝××2＝，
故选B．
8．D
【分析】设点，根据正方形的性质可得，再代入求得，再根据，，列方程求解即可．
【解析】解：∵点B、C分别在两条直线和上，
设点，
∵四边形是正方形，
∴，
∴把代入得，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
故选：D．
9．D
【分析】证明△ABE≌△DBF（AAS），可得AE＝DF；结合图形可知：AE+CF＝AB，AB是一定值，从而完成求解．
【解析】连接BD
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD＝CD，
∵∠A＝60°
∴△ABD是等边三角形
∴AB＝BD，∠ABD＝60°
∵DC∥AB
∴∠CDB＝∠ABD＝60°
∴∠A＝∠CDB
∵∠EBF＝60°
∴∠ABE+∠EBD＝∠EBD+∠DBF
∴∠ABE＝∠DBF
∵
∴△ABE≌△DBF（AAS）
∴AE＝DF
∴AE+CF＝DF+CF＝CD＝AB
故选：D．
10．C
【分析】先判断出∠DAE＝∠ABH，再判断△ADE≌△CDE得出∠DAE＝∠DCE＝22.5°，∠ABH＝∠DCF，再判断出△ABH≌△DCF从而得到①正确，根据三角形的外角求出∠AEF＝45°，得出②正确；结合①②可得DF＝DE，根据AH＝DF即可得③正确；连接HE，判断出S△EFH≠S△EFD得出④错误．
【解析】解：∵BD是正方形ABCD的对角线，
∴∠ABE＝∠ADE＝∠CDE＝45°，AB＝BC，
∵BE＝BC，
∴AB＝BE，
∵BG⊥AE，
∴BH是线段AE的垂直平分线，∠ABH＝∠DBH＝22.5°，
在Rt△ABH中，∠AHB＝90°﹣∠ABH＝67.5°，
∵∠AGH＝90°，
∴∠DAE＝∠ABH＝22.5°，
在△ADE和△CDE中，
，
∴△ADE≌△CDE（SAS），
∴∠DAE＝∠DCE＝22.5°，
∴∠ABH＝∠DCF，
在△ABH和△DCF中，
，
∴△ABH≌△DCF（ASA），
∴AH＝DF，∠CFD＝∠AHB＝67.5°，
∵∠CFD＝∠EAF+∠AEF，
∴67.5°＝22.5°+∠AEF，
∴∠AEF＝45°，故①②正确；
∵∠FDE＝45°，∠DFE＝∠FAE+∠AEF＝22.5°+45°＝67.5°，
∴∠DEF＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°，
∴DF＝DE，
∵AH＝DF，
∴AH＝DE，故③正确；
如图，连接HE，
∵BH是AE垂直平分线，
∴AG＝EG，
∴S△AGH＝S△HEG，
∵AH＝HE，
∴∠AHG＝∠EHG＝67.5°，
∴∠DHE＝45°，
∵∠ADE＝45°，
∴∠DEH＝90°，∠DHE＝∠HDE＝45°，
∴EH＝ED，
∴△DEH是等腰直角三角形，
∵EF不垂直DH，
∴FH≠FD，
∴S△EFH≠S△EFD，
∴S四边形EFHG＝S△HEG+S△EFH＝S△AHG+S△EFH≠S△DEF+S△AGH，故④错误，
∴正确的是①②③．
故选：C
二、填空题
11．24
【分析】根据菱形的对角线互相垂直，再利用勾股定理求出另一条对角线的长度，根据菱形的面积计算方法求解即可．
【解析】如图所示，
∵菱形的边长为5，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴菱形的面积．
故答案为：24．
12．AB=BC；BC=CD；CD=AD；AD=AB；AC⊥BD（挑选一个即可）
【分析】根据正方形的判定定理进行添加即可．
【解析】从边上添加：有AB=BC，BC=CD，CD=DA，DA=AB（有一组领边相等的矩形为正方形）
从对角线上添加：有AC⊥BD（对角线互相垂直的矩形为正方形）．
故答案为：AB=BC；BC=CD；CD=AD；AD=AB；AC⊥BD（挑选一个即可）
13．22.5 °
【分析】由于正方形的对角线平分一组对角，那么∠ACB=45°，即∠ACE=135°，在等腰△CAE中，已知了顶角的度数，即可由三角形内角和定理求得∠E的度数．
【解析】解：正方形对角线平分直角，故∠ACD=45°，
已知DC⊥CE，则∠ACE=∠135°，
又∵CE=AC，
∴∠E==22.5°．
故答案为：22.5°．
14．
【分析】由题意可知，连接，利用翻折的性质可知，，，进而可得，则，设，则，在中由勾股定理可得，列出方程即可求得，在中由勾股定理可得，进而可求得折痕的长度．
【解析】解：由题意可知，，，，
∴，
连接，

由翻折可知，，，，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，
在中由勾股定理可得：，
即：，解得：，即：，
∴在中由勾股定理可得：，
∴．
故答案为：．
15．
【分析】连接OP．由勾股定理得出AC=10，可求得OA=OB=5，由矩形的性质得出S矩形ABCD=AB BC=48，S△AOB=S矩形ABCD=12，OA=OB=5，由S△AOB=S△AOP+S△BOP=OA PE+OB PF=OA（PE+PF）=×5×（PE+PF）=12求得答案．
【解析】解：连接OP，如图：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，OA=OC，OB=OD，AC=BD，
∴OA=OB，AC==10，
∴S矩形ABCD=AB BC=48，S△AOB=S矩形ABCD=12，OA=OB=5，
∴S△AOB=S△AOP+S△BOP=OA PE+OB PF=OA（PE+PF）=×5×（PE+PF）=12，
∴PE+PF=；
故答案为：．
16．6
【分析】过点作，垂足为，交于点H，证明，得出是等腰直角三角形，进而得出四边形是平行四边形，即可求解．
【解析】解：如图所示，过点作，垂足为，交于点H，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，，，
∴,
∴
∴,，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
故答案为：6．
17．
【分析】首先根据正方形的性质得到对角线，结合题意推出，并由正方形的性质推出∠BPQ＝∠BQP，得到，从而得到，即可得出结论．
【解析】解：∵四边形OABC是边长为1的正方形，
∴根据勾股定理，得对角线，
∵OQ＝OC，
∴，∠OCQ＝∠OQC，
∵OC//AB，
∴∠OCQ＝∠BPQ，
∵∠OQC＝∠BQP（对顶角相等），
∴∠BPQ＝∠BQP，
∴，
∴，
又 ∵OA＝1，
∴点P的坐标为，
故答案为：．
18． 2
【分析】连接，证四边形是正方形，得，进而得，，由勾股定理得，证明（）得，，从而点垂直平分，点垂直平分，，最后利用面积公式构造方程即可得解．
【解析】解：∵四边形是矩形，
∴，，，
∵将纸片沿折痕进行折叠，使点落在边上的点处，点在上，
∴，，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，
∴，，
∴，
连接，
∵将绕点旋转到，
∴，，
∵，
∴（）
∴，，
∴点垂直平分，点垂直平分，
∴，
∴，即，
∴，
故答案为：，．
三、解答题
19．（1）证明：四边形是矩形，
，，
．
，
四边形是平行四边形，
，
．
（2）解：四边形是矩形，
，，
．
∴
，
，
．
20．（1）解：∵，
∴
又∵，
∴△AEO≌△DFO
∴
∵四边形是平行四边形
∴
∴
∴四边形是矩形
（2）解：∵ ，是矩形
∴，
∴在中，
∴在中，
∴在中，
21．（1）∵在平行四边形ABCD中，平分，
∴∠BCE=∠DCE，∠BCE=∠DEC，
∴∠DCE=∠DEC，
∴DE=DC，
∵平分，
∴∠ADF=∠CDF，∠ADF=∠DFC，
∴∠CDF =∠DFC，
∴CF=DC=DE，
∵ED∥FC，
∴四边形是菱形；
（2）作PH⊥BC于点H，
∵∠BAD=120°，
∴∠PCH=60°，
∵四边形是菱形，AB=2，
∴CE=2，
∴CP=1，
∴CH=，PH=，
∵BC=3，
∴BH=，
∴.
22．解：（1）如图1，四边形ABCD即为所求作的矩形；
（2）如图2，四边形EFGH即为所求作的菱形；
．
23．（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴，
又∵AE＝CF，
∴，
∴是等腰三角形，
又∵，
∴EM＝FM；
（2）∵DE：AE＝2：1，
∴设，，，
∴，
∴，
同理可求得：，
∴，
∴．
24．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=∠BCD=∠D=90°，AB=BC=CD=AD，
在Rt△DEF中，∠DEF=45°，
∴∠DFE=90°-∠DEF=45°=∠DEF，
∴DE=DF，
∴AD- DE=CD -DF，
∴AE=CF，
∴△ABE≌△CBF（SAS），
∴BE=BF；
（2）解：设AD=x，则AB=AD=x，
∵AE=k AD，
∴AE=k x，
∴DE=DF=AD- AE=x -kx=（1-k）x，
∴S1=AE AB=k x x=kx2，
S2=DE DF= [（1-k）x]2=（1-k）2x2，
①当k=时，S1=kx2=x2，
S2=（1-k）2x2=（1-）2x2=x2，
∴S1=2S2；
②当S2=2S1时，2×kx2=（1-k）2x2，
∴k=2+（由于0＜k＜1，所以，舍去）或k=2-，
即k=2-．
25．（1）解：由题意得，，则，
四边形是矩形，
，，
当时，四边形为矩形，
，
解得，，
故当时，四边形为矩形；
（2）解：由（1）可知，四边形为平行四边形，
当时，四边形为菱形，
即时，四边形为菱形，
解得，，
故当时，四边形为菱形；
（3）解：当时，，
菱形的周长为：，
菱形的面积为：，
故答案为：15；．
26．解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∵E、F分别为BC、AD中点，
∴AF=AD，BE=BC，
∴AF=BE，
∵AF∥BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AD=2AB，AD=2AF，
∴AB=AF，
∴四边形ABEF是菱形；
（2）①连接AE交BF于点O，
∵四边形ABEF是菱形，
∴AE⊥BF，OB=OF=BE=4，OA=OE=AE，
∴∠AOB=90°，
在Rt△AOB中，OA==3,
∴AE=2OA=6，
∴S菱形ABEF=AE·BF=×6×8=24，
∵E、F分别是BC、AD中点，
∴BE=EC，AF=FD，
∵AD∥BC，
∴四边形ABEF，四边形EFDC都是平行四边形，且底和高相等，
∴S四边形ABEF=S四边形EFDC=24，
∴S四边形ABCD=S四边形ABEF+S四边形EFDC=48，
∵CG⊥AB，
∴S四边形ABEF=AB·CG=5CG=48，∠BGC=90°，
∴CG=，
∵AD=BC=2AB=10，
∴BG=，
∴AG=AB -BG=5-=，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=5，AB∥CD，
∴∠A=∠FDH，∠GCH=∠BGC=90°，
∵F是AD中点，
∴AF=DF，
在△AFG和△DFH中，
，
∴△AFG≌△DFH（ASA），
∴AG=DH=，
∴CH=CD+DH=5+=，
在Rt△GCH中，GH==12；
②过F作FK⊥AB交BA延长线于K，
∴S四边形ABEF=AB·FK=5FK=24，
∴FK=，
∴S△BGF=BG·FK==，
S△BGC=BG·CG==，
∵S2=S△BGC -S△BGP=-S△BGP，
S1=S△BGF -S△BGP=-S△BGP，
∴S2-S1=-=．
27．（1）如图1中，
，，，
，
故答案为：（3，4）；
（2）如图1中，作于，轴于．
∵，
，，
，
，，
，
，
，
，，
，
．
（3）存在．
如图2中，作于，轴于．
理由：由题意当时，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形，
，
四边形是矩形，
又∵由（2）得，
即：，解得：．
．
（4）①如图3中，当时，以为对角线可得菱形，此时点在轴上．作BE⊥AC交于点E，
设，，
∵点M是AB的中点，，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
在中，则有，
①②联立，解得：，
，
点的纵坐标为3．
②如图4中，当时，以为对角线可得菱形．此时点的纵坐标为8．
③，
不存在以为对角线的菱形．
综上所述，满足条件的点的纵坐标为3或8．
28．（1）过点作于点，于点，

，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）过点作于点，交于点．

，
在正方形中，，，
四边形为矩形，
，，，
，
，
，
，
在中，，，
，
，
，
又，，
，
，
，
，
，
，
；
（3）当点在边上时，连接，交于，过作于，

在正方形中，，，
，
在中，，则，
∵S BNM= BM NE，，且，
，
∵∠AOB=900，
，
，
，
又，
，
，
，
当点在的延长线上时，同理可得．