江苏省大丰市新丰中学2015-2016学年高一下学期期中考试数学试题

2015-2016学年大丰区新丰中学第二学期期中考试
高一年级数学试题
命题人 奚圣兰
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分。不需要写出解答过程，请把答案直接填空在答题纸相应位置上。）
1.直线y=x+3的倾斜角的大小为 .
2.点M(-1,2，－3)关于原点的对称点是________．
3.已知直线与平行，则= ．
4.若＝＝，则△ABC的形状是________________三角形．
5.在△ABC中，角的对边分别为，若a2＋c2－b2＝ac，则角B= ．
6.两点A(－2,0)，B(0,2)，点C是圆x2＋y2－2x＝0上任意一点，则△ABC面积的最小值是________．
若圆与圆的公共弦长为，则 ．
8.已知l、m是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面．下列命题：
① 若l α，m α，l∥β，m∥β，则α∥β；　② 若l α，l∥β，α∩β＝m，则l∥m；
③ 若α∥β，l∥α，则l∥β；　　　　　　　 ④ 若l⊥α，m∥l，α∥β，则m⊥β.
其中真命题是____________(写出所有真命题的序号)．
9.从直线x－y＋3＝0上的点向圆x2＋y2－4x－4y＋7＝0引切线，则切线长的最小值为________．
10.一个水平放置的圆柱形储油桶(如图所示)，桶内有油部分所在圆弧占底面圆周长的，则油桶直立时，油的高度与桶的高度的比值是______．
11.若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是____________．
12.若一个长方体的长、宽、高分别为、、1，则它的外接球的表面积是 ．
13.过点的直线与圆相交于两点，若点恰好是线段的中点，则直线的方程为 .
14.在平面直角坐标系xOy中，圆C的方 ( http: / / www.21cnjy.com )程为x2＋y2－8x＋15＝0，若直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是________．
二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内。）
15.（本小题满分14分）设锐角三角形ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，
a＝2bsin A。
(1)求B的大小．
(2)若a＝3，c＝5，求b。
16.（本小题满分14分）
(1)已知圆C的方程为x2＋y2＝4，直线l过点P(1,2)，且与圆C交于A、B两点．
若|AB|＝2，求直线l的方程；
(2)设直线l的方程为(a＋1)x＋y－2－a＝0(a∈R)．若直线l在两坐标轴上的截距相等，
求直线l的方程．
17.（本小题满分16分）如图所示，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，
E是PC的中点．
求证：PA∥面BDE；
平面PAC⊥平面BDE；
18.（本小题满分14分）如图所示，在四棱柱(侧棱垂直于底面的四棱柱)ABCD－A1B1C1D1
中，已知DC＝DD1＝2AD＝2AB，AD⊥DC，AB∥DC．
(1)求证D1C⊥AC1；
(2)设E是DC上一点，试确定E的位置，使D1E∥平面A1BD，并说明理由．
19.（本小题满分16分）已知方程x2＋y2－2x－4y＋m＝0．
(1)若此方程表示圆，求m的取值范围；
(2)若(1)中的圆与直线x＋2y－4＝0相交于M、N两点，且OM⊥ON(O为坐标原点)，
求m；
(3)在(2)的条件下，求以MN为直径的圆的方程．
20.（本小题满分16分）已知⊙O：x2＋y2＝1和点M(4,2)．
(1)过点M向⊙O引切线l，求直线l的方程；
(2)求以点M为圆心，且被直线y＝2x－1截得的弦长为4的⊙M的方程；
(3)设P为(2)中⊙M上任一点，过点P向 ( http: / / www.21cnjy.com )⊙O引切线，切点为Q.试探究：平面内是否存在一定点R，使得为定值？若存在，请举出一例，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由．
2015-2016学年第二学期期中考试
高一年级数学答题卷
一．填空题（每小题5分，满分共70分） 1. ； 2. ；3. ； 4. ；5. ； 6. ；7. ； 8. ；9. ； 10. ；11. ； 12. ；13. ； 14. .
二．解答题（满分共90分）答题说明：解答题应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤15.(14分)
请在各题规定的黑色矩形区域内答题，超出该区域的答案无效！请在各题规定的黑色矩形区域内答题，超出该区域的答案无效！
16. (14分)
请在各题规定的黑色矩形区域内答题，超出该区域的答案无效！
请在各题规定的黑色矩形区域内答题，超出该区域的答案无效！
17. (14分)
请在各题规定的黑色矩形区域内答题，超出该区域的答案无效！请在各题规定的黑色矩形区域内答题，超出该区域的答案无效！
18. (16分)
请在各题规定的黑色矩形区域内答题，超出该区域的答案无效！请在各题规定的黑色矩形区域内答题，超出该区域的答案无效！
19. (16分)
请在各题规定的黑色矩形区域内答题，超出该区域的答案无效！
请在各题规定的黑色矩形区域内答题，超出该区域的答案无效！
20. (16分)
请在各题规定的黑色矩形区域内答题，超出该区域的答案无效！
2015-2016学年大丰区新丰中学第二学期期中考试
高一年级数学试卷答案
填空题
1. 2.(1，－2,3)
3. 4.等腰直角
5. 6.
7.1 8. ②④
9. 10.－
11.(x－2)2＋(y－1)2＝1 12.
13. 14.
解答题
15.（本小题满分14分）
解　(1)∵a＝2bsin A，
∴sin A＝2sin B·sin A， ………………………2分
∴sin B＝. ………………………4分
∵0(2)∵a＝3，c＝5，B＝30°.
由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B ……………… 10 分
＝(3)2＋52－2×3×5×cos 30°
＝7.
∴b＝. ………………………………14分
16.（本小题满分14分）
(1)当直线l的斜率不存在时，画出图象可知，直线x＝1也符合题意…………2分
当直线l的斜率k存在时，其方程可设为y－2＝k(x－1)，
又设圆心到直线l的距离为d.
由d2＝r2－2，得k＝，
代入y－2＝k(x－1)，得y－2＝(x－1)，
即3x－4y＋5＝0.所以直线l的方程为3x－4y＋5＝0和x＝1 .…………7分
当直线l经过坐标原点时，该直线在两坐标轴上的截距都为0，
此时2＋a＝0，解得a＝－2，此时直线l的方程为x－y＝0；…………9分
当直线l不经过坐标原点，即a≠－2时，
由直线在两坐标轴上的截距相等可得：
＝2＋a，解得a＝0，此时直线l的方程为x＋y－2＝0.
所以，直线l的方程为x－y＝0或x＋y－2＝0. …………14分
17.（本小题满分16分）(1)证明　
连结OE，如图所示．
∵O、E分别为AC、PC中点，∴OE∥PA．
∵OE 面BDE，PA 面BDE，
∴PA∥面BDE．…………………………………………7分
∵PO⊥面ABCD，∴PO⊥BD．
在正方形ABCD中，BD⊥AC，
又∵PO∩AC＝0，∴BD⊥面PAC．
又∵BD 面BDE，∴面PAC⊥面BDE ………………14分
18.（本小题满分14分）(1)证明　
在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，连结C1D，
∵DC＝DD1，
∴四边形DCC1D1是正方形，
∴DC1⊥D1C．
又AD⊥DC，AD⊥DD1，DC∩DD1＝D，
∴AD⊥平面DCC1D1，D1C 平面DCC1D1，
∴AD⊥D1C．
∵AD，DC1 平面ADC1，且AD∩DC1＝D，
∴D1C⊥平面ADC1，
又AC1 平面ADC1，
∴D1C⊥AC1．…………………………………………………7分
(2)解　
在DC上取一点E，连结AD1，AE，设AD1∩A1D＝M，BD∩AE＝N，连结MN，
∵平面AD1E∩平面A1BD＝MN，要使D1E∥平面A1BD，须使MN∥D1E，
又M是AD1的中点．
∴N是AE的中点．
又易知△ABN≌△EDN，
∴AB＝DE．
即E是DC的中点．
综上所述，当E是DC的中点时，可使D1E∥平面A1BD．………14分
19.（本小题满分16分）
解：(1)(x－1)2＋(y－2)2＝5－m，∴m<5． ……………………4分
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则x1＝4－2y1，x2＝4－2y2，
则x1x2＝16－8(y1＋y2)＋4y1y2．
∵OM⊥ON，∴x1x2＋y1y2＝0
∴16－8(y1＋y2)＋5y1y2＝0 ①
由
得5y2－16y＋m＋8＝0 ∴y1＋y2＝，y1y2＝
代入①得，m＝． ……………………10分
(3)以MN为直径的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0
即x2＋y2－(x1＋x2)x－(y1＋y2)y＝0
∴所求圆的方程为x2＋y2－x－y＝0． ……………………16分
（本小题满分16分）
解：（Ⅰ）设切线方程为 ，易得，解得 ……3分
∴切线方程为 ………………………………………………………5分
（Ⅱ）圆心到直线的距离为 …………………………7分
设圆的半径为，则 ………………………………………………9分
∴⊙的方程为 ………………………………………………… 10分
（Ⅲ）假设存在这样的点，点的坐标为，相应的定值为，
根据题意可得，∴…………………………12分
即 （*），
又点在圆上∴，即，代入（*）式得：
………………………………14分
若系数对应相等，则等式恒成立，∴，
解得，
∴可以找到这样的定点，使得为定值. 如点的坐标为时，比值为；
点的坐标为时，比值为…………………………………………………………16分
密 封 线