第五章 分式与分式方程 单元测试题（含答案）2024-2025学年八年级下册数学北师大版（2024）

2024-2025北师版八下数学第五章-分式与分式方程-单元测试题
选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）
1. 在 ，，，， 中，分式的个数是 ( )
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
2．若代数式有意义，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．方程的解为（ ）
A． B． C． D．
4．若把分式 中的 x 和y 都扩大2 倍，那么分式的值 ( )
A. 扩大2倍 B. 不变 C. 缩小2倍 D. 缩小4倍
5．解分式方程时，去分母变形正确的是（　 　）
A． B．
C． D．
6．计算的结果是(　　)
A. C.
7．若关于x的方程=0有增根，则m的值是(　　　)
A．3 B．2 C．1 D．－1
8．用换元法解时，若设，则原方程可化为关于y的方程是（　　）
A．y2－2y＋1＝0 B．y2＋2y＋1＝0 C．y2＋y＋2＝0 D．y2＋y－2＝0
9．已知x＝3是分式方程－＝2的解，那么实数k的值为( )
A．－1　 B．0　 C．1　 D．2
10．《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目,其白话译文为:一份文件,若用慢马送到900里远的城市,所需时间比规定时间多1天;若改为快马派送,则所需时间比规定时间少3天,已知快马的速度是慢马的2倍,求规定时间.设规定时间为x天,则可列出正确的方程为(　　)
A.
C.
二、填空题（本题共6小题，11-14每小题4分，15、16每小题5分，共26分）
11．已知 ，则 ．
12．若分式的值为0，则x的值是　 　．
13．函数中自变量的取值范围是 ．
14．按一定规律排列的一组数： （其中 ， 为整数），则b-a的值为　　　　 　
15．若分式方程的解为正数，则的取值范围是 ．
16．若数使关于x的不等式组有且只有四个整数解，且使关于y的方程的解为非负数，则符合条件的所有整数的和为　　　
三、解答下列各题（本题满分64分．17－20每题10分；21－22题每题12分．）
17．今年疫情防控期间，某学校花2 000元购买了一批消毒液以满足全体师生的需要．随着疫情的缓解以及各种抗疫物资供应更充足，消毒液每瓶下降了2元，学校又购买了一批消毒液，花1600元购买到的数量与第一次购买到的数量相等，求第一批购进的消毒液的单价．
18．解方程
（1） （2）
19.问题探索:
（1）已知一个分数 ,如果分子、分母同时增加1,分数的值是增大还是减小 请说明你的理由.
（2）若正分数 中分子和分母同时增加2,3,…,k（整数k>0）,情况如何
（3）请你用上面的结论解释下面的问题:
建筑学规定:民用住宅窗户面积必须小于地板面积,但按采光标准,窗户面积与地板面积的比应不小于10%,并且这个比值越大,住宅的采光条件越好,问:同时增加相等的窗户面积和地板面积,住宅的采光条件是变好了,还是变坏了 请说明理由.
20．（1）先化简，再从不等式组的整数解中选一个合适的x的值代入求值．
（3）先化简，再从－1、2、3、4中选一个合适的数作为x的值代入求值．
21.定义:如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式,那么称这个分式为“和谐分式”.
如:,则是“和谐分式”.
(1)下列分式中,属于“和谐分式”的是　　　　(只填序号).
①.
(2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式:=　　　　.
(3)判断的结果是不是“和谐分式”,并说明理由.
22．随着人们“节能环保，绿色出行”意识的增强，越来越多的人喜欢骑自行车出行，也给自行车商家带来商机．某自行车行经营的A型自行车去年销售总额为8万元．今年该型自行车每辆售价预计比去年降低200元．若该型车的销售数量与去年相同，那么今年的销售总额将比去年减少10%，求：
（1）A型自行车去年每辆售价多少元？
（2）该车行今年计划新进一批A型车和新款B型车共60辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍．已知，A型车和B型车的进货价格分别为1500元和1800元，计划B型车销售价格为2400元，应如何组织进货才能使这批自行车销售获利最多？
参考答案
一、选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D D C D A B A B B
二、填空题（本题共6小题，11—14每小题4分，15、16每小题5分，共26分）
11. 8； 12. 2； 13. ≥-2且x≠1； 14.42； 15.a<4且a≠2
16. 1；
三、解答下列各题（本题满分44分.17题每小题3分；18题每小题3分；19题8分；20题8分；21题8分；22题8分.）
17.解：设第一批购进的消毒液的单价为x元，则第二批购进的消毒液的单价为(x－2)元，
依题意，得＝，解得：x＝10，经检验，x＝10是原方程的解，且符合题意．
答：第一批购进的消毒液的单价为10元．
18.(1)解：解：去分母得 1=x-1-3(x-2)
去括号得 1=x-1-3x+6
移项，合并同类项得2x=4
解得 x=2
检验：当x=2时，分母x-2=0，是增根，舍去
原分式方程无实数解。
(2) 去分母得：x2+2x+1﹣4=x2﹣1，解得：x=1，
经检验x=1是增根，分式方程无解．
考点：实数的运算；解分式方程.
19. 解：分数 （m>n>0）中，若分子、分母同时增加1，分数的值增大.
理由如下：
- = = ，
∵m>n>0，
∴n-m<0，m（m+1）>0，即 <0，
∴ < ，
∴分数 （m>n>0）中,，若分子、分母同时增加1，分数的值增大
（2）解：若正分数 中分子和分母同时增加k（整数k＞0），分数值增大，
理由如下：
- = = ，
∵m>n>0，k＞0，
∴ ＜0，m（m+k）＞0，
∴ ＜0，
∴ < （m>n>0，k>0）；
（3）解：住宅的采光条件变好.
理由: 设原来的地板面积和窗户面积分别为x，y，增加面积为k，
则由（2）知 > ，所以住宅的采光条件变好了.
20. （１）解：原式＝×
＝，
解不等式组得﹣2＜x＜4，
∴其整数解为﹣1，0，1，2，3，
∵要使原分式有意义，
∴x可取0，2．
∴当x＝0 时，原式＝﹣3，
（或当x＝2 时，原式＝﹣）．
（2）解：原式＝[﹣]÷
＝[﹣]）÷
＝
＝x+2
∵x﹣2≠0，x﹣4≠0，
∴x≠2且x≠4，
∴当x＝﹣1时，
原式＝﹣1+2＝1．
21.解　(1)∵,∴①是“和谐分式”;
∵分式中分子的次数低于分母的次数,
∴该分式不能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式,
∴②不是“和谐分式”;
∵,∴③是“和谐分式”;
∵=2x+1,
∴④不是“和谐分式”.
故答案为①③.
(2)
=.
故答案为x-1+.
(3)的结果是“和谐分式”.
理由:
=
=
=
=
=4+.
∴的结果是“和谐分式”.
22．【分析】（1）设去年A型车每辆售价x元，则今年售价每辆为（x﹣200）元，由卖出的数量相同建立方程求出其解即可；
（2）设今年新进A型车a辆，则B型车（60﹣a）辆，获利y元，由条件表示出y与a之间的关系式，由a的取值范围就可以求出y的最大值．
【解答】解：（1）设去年A型车每辆售价x元，则今年售价每辆为（x﹣200）元，由题意，得
，
解得：x＝2000．
经检验，x＝2000是原方程的根．
答：去年A型车每辆售价为2000元；
（2）设今年新进A型车a辆，则B型车（60﹣a）辆，获利y元，由题意，得
y＝（1800﹣1500）a+（2400﹣1800）（60﹣a），
y＝﹣300a+36000．
∵B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍，
∴60﹣a≤2a，
∴a≥20．
∵y＝﹣300a+36000．
∴k＝﹣300＜0，
∴y随a的增大而减小．
∴a＝20时，y有最大值
∴B型车的数量为：60﹣20＝40辆．
∴当新进A型车20辆，B型车40辆时，这批车获利最大．
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