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专题29 图形的旋转（八大题型）
题型一 中心对称
1．（2024 广州）下列图案中，点为正方形的中心，阴影部分的两个三角形全等，则阴影部分的两个三角形关于点对称的是
A． B．
C． D．
题型二 中心对称图形
2．（2024 无锡）下列图形是中心对称图形的是
A．等边三角形 B．直角三角形 C．平行四边形 D．正五边形
3．（2024 绥化）下列所述图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是
A．平行四边形 B．等腰三角形 C．圆 D．菱形
4．（2024 北京）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A． B． C． D．
5．（2024 广东）下列几何图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是
A． B． C． D．
6．（2024 西藏）下列图形既是中心对称图形又是轴对称图形的是
A． B．
C． D．
7．（2024 长沙）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A． B． C． D．
8．（2024 青岛）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是
A． B． C． D．
9．（2024 泰安）下面图形中，中心对称图形的个数有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（2024 牡丹江）下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是
A． B．
C． D．
11．（2024 淄博）下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A． B．
C． D．
12．（2024 黑龙江）下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A． B．
C． D．
13．（2024 潍坊）下列著名曲线中，既是轴对称图形也是中心对称图形的是
A． B．
C． D．
14．（2024 德州）下列图形是中心对称图形的是
A． B．
C． D．
15．（2024 淮安）中国古典建筑中的镂空砖雕图案精美，下列砖雕图案中不是中心对称图形的是
A． B．
C． D．
16．（2024 辽宁）纹样是我国古代艺术中的瑰宝．下列四幅纹样图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A． B．
C． D．
17．（2024 大庆）垃圾分类功在当代，利在千秋．下列垃圾分类指引标志中，文字上方的图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A．厨余垃圾 B．有害垃圾 C．其他垃圾 D．可回收物
18．（2024 齐齐哈尔）下列美术字中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A． B．
C． D．
19．（2024 内江）2024年6月5日，是二十四节气的芒种，二十四节气是中国劳动人民独创的文化遗产，能反映季节的变化，指导农事活动．下面四幅图片分别代表“芒种”、“白露”、“立夏”、“大雪”，其中是中心对称图形的是
A． B．
C． D．
20．（2024 山西）1949年，伴随着新中国的诞生，中国科学院（简称“中科院” 成立．下列是中科院部分研究所的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是
A．山西煤炭化学研究所 B．东北地理与农业生态研究所
C．西安光学精密机械研究所 D．生态环境研究中心
21．（2024 哈尔滨）剪纸是我国最古老的民间艺术之一．下列剪纸图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A． B． C． D．
22．（2024 自贡）我国汉代数学家赵爽在他所著《勾股圆方图注》中，运用弦图（如图所示）巧妙地证明了勾股定理．“赵爽弦图”曾作为2002年第24届国际数学家大会的会徽图案．下列关于“赵爽弦图”说法正确的是
A．是轴对称图形
B．是中心对称图形
C．既是轴对称图形又是中心对称图形
D．既不是轴对称图形也不是中心对称图形
23．（2024 山东）用一个平面截正方体，可以得到以下截面图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A． B． C． D．
题型三 利用旋转设计图案
24．（2024 深圳）下列用七巧板拼成的图案中，为中心对称图形的是
A． B．
C． D．
题型四 关于原点对称的点的坐标
25．（2024 成都）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是
A． B． C． D．
26．（2024 扬州）在平面直角坐标系中，点关于坐标原点的对称点的坐标为
A． B． C． D．
27．（2024 凉山州）点关于原点对称的点是，则的值是
A．1 B． C． D．5
28．（2024 陕西）一个正比例函数的图象经过点和点．若点与点关于原点对称，则这个正比例函数的表达式为
A． B． C． D．
题型五 坐标与图形变化-旋转
29．（2024 湖北）如图，点的坐标是，将线段绕点顺时针旋转，点的对应点的坐标是
A． B． C． D．
30．（2024 自贡）如图，在平面直角坐标系中，，将△绕点逆时针旋转到△位置．则点坐标为
A． B． C． D．
31．（2024 潍坊）如图，在直角坐标系中，等边三角形的顶点的坐标为，点，均在轴上．将绕顶点逆时针旋转得到△，则点的坐标为 ．
32．（2024 泸州）定义：在平面直角坐标系中，将一个图形先向上平移个单位，再绕原点按逆时针方向旋转角度，这样的图形运动叫做图形的变换．如：点按照变换后得到点的坐标为，则点，按照变换后得到点的坐标为 ．
题型六 作图-旋转变换
33．（2024 济宁）如图，三个顶点的坐标分别是，，．
（1）将向下平移2个单位长度得△．画出平移后的图形，并直接写出点的坐标；
（2）将△绕点逆时针旋转得△．画出旋转后的图形，并求点运动到点所经过的路径长．
34．（2024 安徽）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，格点（网格线的交点），，，的坐标分别为，，，．
（1）以点为旋转中心，将旋转得到△，画出△；
（2）直接写出以，，，为顶点的四边形的面积；
（3）在所给的网格图中确定一个格点，使得射线平分，写出点的坐标．
35．（2024 武汉）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．△三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成四个画图任务，每个任务的画线不得超过三条．
（1）在图（1）中，画射线交于点，使平分△的面积；
（2）在（1）的基础上，在射线上画点，使；
（3）在图（2）中，先画点，使点绕点顺时针旋转到点，再画射线交于点；
（4）在（3）的基础上，将线段绕点旋转，画对应线段（点与点对应，点与点对应）．
题型七 旋转的性质
36．（2024 陕西）如图，在△中，，．将△绕点顺时针旋转，得到△，与相交于点，则的长为
A． B． C． D．
37．（2024 无锡）如图，在△中，，，将△绕点逆时针旋转得到△．当落在上时，的度数为
A． B． C． D．
38．（2024 广元）如图，将绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为点，，连接，点恰好落在线段上，若，，则的长为
A． B． C．2 D．
39．（2024 天津）如图，△中，，将△绕点顺时针旋转得到△，点，的对应点分别为，，延长交于点，下列结论一定正确的是
A． B． C． D．
40．（2024 呼和浩特）如图，在中，，，将沿翻折得到，将线段绕点顺时针旋转得到线段，点为的中点，连接，．若，则的面积是
A． B． C． D．
41．（2024 北京）如图，在菱形中，，为对角线的交点．将菱形绕点逆时针旋转得到菱形，两个菱形的公共点为，，，．对八边形给出下面四个结论：
①该八边形各边长都相等；
②该八边形各内角都相等；
③点到该八边形各顶点的距离都相等；
④点到该八边形各边所在直线的距离都相等．
上述结论中，所有正确结论的序号是
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
42．（2024 南充）如图是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成．在正方形中，．下列三个结论：①若，则；②若的面积是正方形面积的3倍，则点是的三等分点；③将绕点逆时针旋转得到，则的最大值为．其中正确的结论是
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
43．（2024 滨州）一副三角板如图1摆放，把三角板绕公共顶点顺时针旋转至图2，即时，的大小为 ．
44．（2024 雅安）如图，在和中，，，将绕点顺时针旋转一定角度，当时，的度数是 ．
45．（2024 盐城）如图，在△中，，，点是的中点，连接，将△绕点旋转，得到△．连接，当时， ．
46．（2024 河南）如图，在中，，，线段绕点在平面内旋转，过点作的垂线，交射线于点．若，则的最大值为 ，最小值为 ．
47．（2024 黑龙江）如图，在中，，，，，线段绕点旋转，点为的中点，则的最大值是 ．
48．（2024 绵阳）如图，在正方形中，，对角线与相交于点，点在线段上（与端点不重合），线段绕点逆时针旋转到的位置，点恰好落在线段上，，垂足为．
（1）求证：△△；
（2）设，求的最小值．
49．（2024 北京）已知，点，分别在射线，上，将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作的垂线交射线于点．
（1）如图1，当点在射线上时，求证：是的中点；
（2）如图2，当点在内部时，作，交射线于点，用等式表示线段与的数量关系，并证明．
50．（2024 徐州）如图，在中，，，，为边上的动点．连接，将绕点逆时针旋转得到，过点作，交直线于点．连接、，分别取、的中点、，连接，交于点．
（1）若点与点重合，则线段的长度为 ．
（2）随着点的运动，与的长度是否发生变化？若不变，求出与的长度；若改变，请说明理由．
题型八 几何变换综合题
51．（2024 泰安）如图1，在等腰△中，，，点，分别在，上，，连结，，取中点，连结．
（1）求证：，；
（2）将△绕点顺时针旋转到图2的位置．
①请直接写出与的位置关系： ；
②求证：．
52．（2024 烟台）在等腰直角中，，，为直线上任意一点，连接．将线段绕点按顺时针方向旋转得线段，连接．
【尝试发现】
（1）如图1，当点在线段上时，线段与的数量关系为 ；
【类比探究】
（2）当点在线段的延长线上时，先在图2中补全图形，再探究线段与的数量关系并证明；
【联系拓广】
（3）若，，请直接写出的值．
53．（2024 东营）在中，，，．
（1）问题发现
如图1，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接，，线段与的数量关系是 ，与的位置关系是 ；
（2）类比探究
将绕点按逆时针方向旋转任意角度得到，连接，，线段与的数量关系，位置关系与（1）中结论是否一致？若交于点，请结合图2说明理由；
（3）迁移应用
如图3，将绕点旋转一定角度得到，当点落到边上时，连接，求线段的长．
54．（2024 辽宁）如图，在△中，，．将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作，垂足为．
（1）如图1，求证：△△．
（2）如图2，的平分线与的延长线相交于点，连接，的延长线与的延长线相交于点，猜想与的数量关系，并加以证明．
（3）如图3，在（2）的条件下，将△沿折叠，在变化过程中，当点落在点的位置时，连接．
①求证：点是的中点；
②若，求△的面积．
55．（2024 德州）在△中，，，点是上一个动点（点不与，重合），以点为中心，将线段顺时针旋转得到线．
（1）如图1，当时，求的度数；
（2）如图2，连接，当时，的大小是否发生变化？如果不变，求的度数；如果变化，请说明理由；
（3）如图3，点在上，且，以点为中心，将线逆时针转得到线段，连接，若，求线段的取值范围．
56．（2024 重庆）在中，，，过点作．
（1）如图1，若点在点的左侧，连接，过点作交于点．若点是的中点，求证：；
（2）如图2，若点在点的右侧，连接，点是的中点，连接并延长交于点，连接．过点作交于点，平分交于点，求证：；
（3）若点在点的右侧，连接，点是的中点，且．点是直线上一动点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，点是直线上一动点，连接，．在点的运动过程中，当取得最小值时，在平面内将沿直线翻折得到，连接．在点的运动过程中，直接写出的最大值．
57．（2024 牡丹江）数学老师在课堂上给出了一个问题，让同学们探究．在△中，，，点在直线上，将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作，交直线于点．
（1）当点在线段上时，如图①，求证：；
分析问题：某同学在思考这道题时，想利用构造全等三角形，便尝试着在上截取，连接，通过证明两个三角形全等，最终证出结论：
推理证明：写出图①的证明过程：
探究问题：
（2）当点在线段的延长线上时，如图②：当点在线段的延长线上时，如图③，请判断并直接写出线段，，之间的数量关系；
拓展思考：
（3）在（1）（2）的条件下，若，，则 ．
58．（2024 镇江）图1、2是一个折叠梯的实物图．图3是折叠梯展开、折叠过程中的一个主视图．图4是折叠梯充分展开后的主视图，此时点落在上，已知，，点、、、在上，、、、均与所在直线平行，，．点在上，、的长度固定不变．图5是折叠梯完全折叠时的主视图，此时、重合，点、、、、、在上的位置如图所示．
【分析问题】
（1）如图5，用图中的线段填空： ；
（2）如图4， ，由，且的长度不变，可得与之间的数量关系为 ；
【解决问题】
（3）求的长．
59．（2024 绥化）综合与实践
问题情境
在一次综合与实践课上，老师让同学们以两个全等的等腰直角三角形纸片为操作对象．纸片和满足，．
下面是创新小组的探究过程．
操作发现
（1）如图1，取的中点，将两张纸片放置在同一平面内，使点与点重合．当旋转纸片交边于点、交边于点时，设，，请你探究出与的函数关系式，并写出解答过程．
问题解决
（2）如图2，在（1）的条件下连接，发现的周长是一个定值．请你写出这个定值，并说明理由．
拓展延伸
（3）如图3，当点在边上运动（不包括端点、，且始终保持．请你直接写出纸片的斜边与纸片的直角边所夹锐角的正切值 （结果保留根号）．
60．（2024 成都）数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，，．
【初步感知】
（1）如图1，连接，，在纸片绕点旋转过程中，试探究的值．
【深入探究】
（2）如图2，在纸片绕点旋转过程中，当点恰好落在的中线的延长线上时，延长交于点，求的长．
【拓展延伸】
（3）在纸片绕点旋转过程中，试探究，，三点能否构成直角三角形．若能，直接写出所有直角三角形的面积；若不能，请说明理由．
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专题29 图形的旋转（八大题型）
题型一 中心对称
1．（2024 广州）下列图案中，点为正方形的中心，阴影部分的两个三角形全等，则阴影部分的两个三角形关于点对称的是
A． B．
C． D．
【答案】
【考点】全等三角形的性质；正方形的性质；中心对称
【解析】由题可知，、、不是中心对称图形，是中心对称图形图形．
故选．
题型二 中心对称图形
2．（2024 无锡）下列图形是中心对称图形的是
A．等边三角形 B．直角三角形 C．平行四边形 D．正五边形
【答案】
【考点】中心对称图形
【解析】选项、、中的图形均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；
选项中的图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形；
故选．
3．（2024 绥化）下列所述图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是
A．平行四边形 B．等腰三角形 C．圆 D．菱形
【答案】
【考点】中心对称图形；轴对称图形
【解析】．平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
．等腰三角形是轴对称图形但不是中心对称图形，故此选项符合题意；
．圆既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项不符合题意；
．菱形既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项不符合题意；
故选．
4．（2024 北京）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A． B． C． D．
【答案】
【考点】中心对称图形；轴对称图形
【解析】、图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
、图形是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意；
、图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意；
、图形不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意，
故选．
5．（2024 广东）下列几何图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是
A． B． C． D．
【答案】
【考点】中心对称图形；轴对称图形
【解析】．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意；
．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；
．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意．
故选．
6．（2024 西藏）下列图形既是中心对称图形又是轴对称图形的是
A． B．
C． D．
【答案】
【考点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】．该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
．该图形既是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项符合题意；
故选．
7．（2024 长沙）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A． B． C． D．
【答案】
【考点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；
．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
．该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；．
故选．
8．（2024 青岛）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是
A． B． C． D．
【答案】
【考点】中心对称图形；轴对称图形
【解析】不是轴对称图形，但它是中心对称图形，则不符合题意；
是轴对称图形，但它不是中心对称图形，则不符合题意；
不是轴对称图形，但它是中心对称图形，则不符合题意；
既是轴对称图形，也是中心对称图形，则符合题意；
故选．
9．（2024 泰安）下面图形中，中心对称图形的个数有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】
【考点】中心对称图形
【解析】左起第四个图形不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形；
第一、第二和第三个图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形．
所以中心对称图形有3个．
故选．
10．（2024 牡丹江）下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是
A． B．
C． D．
【答案】
【考点】中心对称图形；轴对称图形
【解析】、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；
、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选．
11．（2024 淄博）下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A． B．
C． D．
【答案】
【考点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
．该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意．
故选．
12．（2024 黑龙江）下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A． B．
C． D．
【答案】
【考点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】、既是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
、是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；
、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
、既是轴对称图形，不是中心对称图形，符合题意；
故选．
13．（2024 潍坊）下列著名曲线中，既是轴对称图形也是中心对称图形的是
A． B．
C． D．
【答案】
【考点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】选项是轴对称图形不是中心对称图形，故选项不符合题意；
选项不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项不符合题意；
选项既是轴对称图形也是中心对称图形，故选项符合题意；
选项是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项不符合题意；
故选．
14．（2024 德州）下列图形是中心对称图形的是
A． B．
C． D．
【答案】
【考点】中心对称图形
【解析】选项、、的图形都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；
选项的图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选．
15．（2024 淮安）中国古典建筑中的镂空砖雕图案精美，下列砖雕图案中不是中心对称图形的是
A． B．
C． D．
【答案】
【考点】中心对称图形
【解析】、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项合题意；
、既是轴对称图形，中心对称图形，故此不选项合题意；
、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项不符合题意；
、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选．
16．（2024 辽宁）纹样是我国古代艺术中的瑰宝．下列四幅纹样图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A． B．
C． D．
【答案】
【考点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】中图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，则不符合题意；
中图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，则符合题意；
中图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，则不符合题意；
中图形不是轴对称图形，但它是中心对称图形，则不符合题意；
故选．
17．（2024 大庆）垃圾分类功在当代，利在千秋．下列垃圾分类指引标志中，文字上方的图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A．厨余垃圾 B．有害垃圾 C．其他垃圾 D．可回收物
【答案】
【考点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】是轴对称图形，但它不是中心对称图形，则不符合题意；
既是轴对称图形，也是中心对称图形，则符合题意；
不是轴对称图形，也不是中心对称图形，则不符合题意；
不是轴对称图形，也不是中心对称图形，则不符合题意；
故选．
18．（2024 齐齐哈尔）下列美术字中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A． B．
C． D．
【答案】
【考点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】．是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不合题意；
．是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不合题意；
．是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不合题意；
．既是轴对称图形又是中心对称图形．故本选项符合题意．
故选．
19．（2024 内江）2024年6月5日，是二十四节气的芒种，二十四节气是中国劳动人民独创的文化遗产，能反映季节的变化，指导农事活动．下面四幅图片分别代表“芒种”、“白露”、“立夏”、“大雪”，其中是中心对称图形的是
A． B．
C． D．
【答案】
【考点】中心对称图形
【解析】、、中的图形不是中心对称图形，故、、不符合题意；
、图形是中心对称图形，故符合题意．
故选．
20．（2024 山西）1949年，伴随着新中国的诞生，中国科学院（简称“中科院” 成立．下列是中科院部分研究所的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是
A．山西煤炭化学研究所 B．东北地理与农业生态研究所
C．西安光学精密机械研究所 D．生态环境研究中心
【答案】
【考点】中心对称图形
【解析】中的图形是中心对称图形，符合题意；
、、中的图形不是中心对称图形，不符合题意．
故选．
21．（2024 哈尔滨）剪纸是我国最古老的民间艺术之一．下列剪纸图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A． B． C． D．
【答案】
【考点】中心对称图形；轴对称图形
【解析】．图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
．图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，故此选项不合题意；
．图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项不合题意；
．图形既是轴对称图形又是中心对称图形形，故此选项符合题意，
故选．
22．（2024 自贡）我国汉代数学家赵爽在他所著《勾股圆方图注》中，运用弦图（如图所示）巧妙地证明了勾股定理．“赵爽弦图”曾作为2002年第24届国际数学家大会的会徽图案．下列关于“赵爽弦图”说法正确的是
A．是轴对称图形
B．是中心对称图形
C．既是轴对称图形又是中心对称图形
D．既不是轴对称图形也不是中心对称图形
【答案】
【考点】轴对称图形；勾股定理的证明；中心对称图形
【解析】“赵爽弦图”是中心对称图形，但不是轴对称图形．
故选．
23．（2024 山东）用一个平面截正方体，可以得到以下截面图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A． B． C． D．
【答案】
【考点】中心对称图形；轴对称图形；截一个几何体
【解析】．该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项不合题意；
．该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项不合题意；
．该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项不合题意；
．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意．
故选．
题型三 利用旋转设计图案
24．（2024 深圳）下列用七巧板拼成的图案中，为中心对称图形的是
A． B．
C． D．
【答案】
【考点】七巧板；利用旋转设计图案
【解析】选项、中的图形既不是轴对称图形也不是中心对称图形，不符合题意；
选项中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
选项中的图形是中心对称图形，符合题意；
故选．
题型四 关于原点对称的点的坐标
25．（2024 成都）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是
A． B． C． D．
【答案】
【考点】关于原点对称的点的坐标
【解析】在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是．
故选．
26．（2024 扬州）在平面直角坐标系中，点关于坐标原点的对称点的坐标为
A． B． C． D．
【答案】
【考点】关于原点对称的点的坐标
【解析】点，
关于坐标原点的对称点的坐标为．
故选．
27．（2024 凉山州）点关于原点对称的点是，则的值是
A．1 B． C． D．5
【答案】
【考点】关于原点对称的点的坐标
【解析】点关于原点对称的点是，
，，
，
故选．
28．（2024 陕西）一个正比例函数的图象经过点和点．若点与点关于原点对称，则这个正比例函数的表达式为
A． B． C． D．
【答案】
【考点】待定系数法求正比例函数解析式；关于原点对称的点的坐标
【解析】点和点关于原点对称，
，
点的坐标为．
设正比例函数的表达式为，
点在正比例函数的图象上，
，
解得：，
正比例函数的表达式为．
故选．
题型五 坐标与图形变化-旋转
29．（2024 湖北）如图，点的坐标是，将线段绕点顺时针旋转，点的对应点的坐标是
A． B． C． D．
【答案】
【考点】全等三角形的判定与性质；坐标与图形变化旋转
【解析】如图所示，
分别过点和点作轴的垂线，垂足分别为和，
由旋转可知，
，，
，
．
在△和△中，
，
△△，
，．
点的坐标为，
，，
点的坐标为．
故选．
30．（2024 自贡）如图，在平面直角坐标系中，，将△绕点逆时针旋转到△位置．则点坐标为
A． B． C． D．
【答案】
【考点】坐标与图形变化旋转
【解析】，
，，
旋转，
，，
，
故选．
31．（2024 潍坊）如图，在直角坐标系中，等边三角形的顶点的坐标为，点，均在轴上．将绕顶点逆时针旋转得到△，则点的坐标为 ．
【答案】．
【考点】坐标与图形变化旋转；等边三角形的性质
【解析】作，交轴于点，
由题可得：，
是等边三角形，，
是的角平分线，
，
，
在中，，
即，
解得，
，
，
，
，
故答案为：．
32．（2024 泸州）定义：在平面直角坐标系中，将一个图形先向上平移个单位，再绕原点按逆时针方向旋转角度，这样的图形运动叫做图形的变换．如：点按照变换后得到点的坐标为，则点，按照变换后得到点的坐标为 ．
【答案】．
【考点】坐标与图形变化平移；坐标与图形变化旋转
【解析】由题知，
将点向上平移2个单位所得点的坐标为．
如图所示，
过点作轴的垂线，垂足为，
则，．
在中，
，，
所以．
由旋转可知，
，，
所以．
过点作轴的垂线，垂足为，
则，
所以△是等腰直角三角形．
又因为，
所以，
所以点的坐标为．
故答案为：．
题型六 作图-旋转变换
33．（2024 济宁）如图，三个顶点的坐标分别是，，．
（1）将向下平移2个单位长度得△．画出平移后的图形，并直接写出点的坐标；
（2）将△绕点逆时针旋转得△．画出旋转后的图形，并求点运动到点所经过的路径长．
【考点】轨迹；作图平移变换；作图旋转变换
【解析】（1）如图，△即为所求．
由图可得，点的坐标为．
（2）如图，△即为所求．
点运动到点所经过的路径长为．
34．（2024 安徽）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，格点（网格线的交点），，，的坐标分别为，，，．
（1）以点为旋转中心，将旋转得到△，画出△；
（2）直接写出以，，，为顶点的四边形的面积；
（3）在所给的网格图中确定一个格点，使得射线平分，写出点的坐标．
【考点】角平分线的性质；作图旋转变换
【解析】（1）如图，画出△；
（2）以，，，为顶点的四边形的面积；
（3）如图，点即为所求（答案不唯一），点的坐标．
35．（2024 武汉）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．△三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成四个画图任务，每个任务的画线不得超过三条．
（1）在图（1）中，画射线交于点，使平分△的面积；
（2）在（1）的基础上，在射线上画点，使；
（3）在图（2）中，先画点，使点绕点顺时针旋转到点，再画射线交于点；
（4）在（3）的基础上，将线段绕点旋转，画对应线段（点与点对应，点与点对应）．
【考点】角平分线的性质；作图旋转变换
【解析】（1）如图1中，线段即为所求；
（2）如图1中，点即为所求；
（3）如图2中，点，射线，点即为所求；
（4）如图2中，线段即为所求．
（其中（2）的方法二：如图所示）．
题型七 旋转的性质
36．（2024 陕西）如图，在△中，，．将△绕点顺时针旋转，得到△，与相交于点，则的长为
A． B． C． D．
【答案】
【考点】直角三角形斜边上的中线；勾股定理；等腰直角三角形；旋转的性质
【解析】，，
，
由旋转的性质得到：，，，，
，
△绕点顺时针旋转，
，
，
，
，
是的中点，
．
故选．
37．（2024 无锡）如图，在△中，，，将△绕点逆时针旋转得到△．当落在上时，的度数为
A． B． C． D．
【答案】
【考点】旋转的性质
【解析】由旋转的性质可得出，
，
，
，
，
故选．
38．（2024 广元）如图，将绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为点，，连接，点恰好落在线段上，若，，则的长为
A． B． C．2 D．
【答案】
【考点】旋转的性质
【解析】如图，连接，
将绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为点，，连接，点恰好落在线段上，
，，，
又，，
，
，
故选．
39．（2024 天津）如图，△中，，将△绕点顺时针旋转得到△，点，的对应点分别为，，延长交于点，下列结论一定正确的是
A． B． C． D．
【答案】
【考点】平行线的判定；旋转的性质
【解析】设与相交于点，如图所示：
△中，将△绕点顺时针旋转得到△，
，
，
在△中，，
，故选项正确；
设，
，
，
，
，
不一定等于，
不一定等于，
不一定成立，故选项不正确；
，，不一定等于，
不一定成立，故选项不正确；
将△绕点顺时针旋转得到△，
，
，故选项不正确；
故选．
40．（2024 呼和浩特）如图，在中，，，将沿翻折得到，将线段绕点顺时针旋转得到线段，点为的中点，连接，．若，则的面积是
A． B． C． D．
【答案】
【考点】旋转的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形的面积
【解析】过点作于点，
，，
，
设，则，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
过点作于点，
，，
的面积，
故选．
41．（2024 北京）如图，在菱形中，，为对角线的交点．将菱形绕点逆时针旋转得到菱形，两个菱形的公共点为，，，．对八边形给出下面四个结论：
①该八边形各边长都相等；
②该八边形各内角都相等；
③点到该八边形各顶点的距离都相等；
④点到该八边形各边所在直线的距离都相等．
上述结论中，所有正确结论的序号是
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【答案】
【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；菱形的性质；旋转的性质
【解析】延长和，连接，
菱形，，
，，
菱形绕点逆时针旋转 得到菱形，
点，，，一定在对角线，上，且，，
，，
，
△△，
，，
同理可证，，，
，，，
△△，
，
，
该八边形各边长都相等，故①正确；
根据角的平分线的性质定理，得点到该八边形各边所在直线的距离都相等，故④正确；
根据题意，得，
，，
，
该八边形各内角不相等，故②错误；
，，，
△△，
，，
，
点到该八边形各顶点的距离不相等，故③错误；
故选．
42．（2024 南充）如图是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成．在正方形中，．下列三个结论：①若，则；②若的面积是正方形面积的3倍，则点是的三等分点；③将绕点逆时针旋转得到，则的最大值为．其中正确的结论是
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】
【考点】勾股定理的证明；旋转的性质；解直角三角形
【解析】在中，
．
令，，
则，
解得（舍负），
所以，．
因为外部的四个直角三角形全等，
所以，
所以．
故①正确．
因为的面积是正方形面积的3倍，
所以．
因为，
所以，
整理得，
．
则，
解得（舍负），
则点是的三等分点．
故②正确．
由旋转可知，
，
所以点在以为直径的圆上．
在中，
．
当点，，共线时，取得最大值，
此时．
故③正确．
故选．
43．（2024 滨州）一副三角板如图1摆放，把三角板绕公共顶点顺时针旋转至图2，即时，的大小为 ．
【答案】75．
【考点】平行线的性质；旋转的性质
【解析】由已知可得，
，
，
，
由图可得，，
，
故答案为：75．
44．（2024 雅安）如图，在和中，，，将绕点顺时针旋转一定角度，当时，的度数是 ．
【答案】或．
【考点】旋转的性质；平行线的性质
【解析】当点在点的左侧时，如图1所示．
，，
．
，
，
．
当点在点的右侧时，如图2所示．
，，
．
，
，
．
当时，的度数为或．
故答案为：或．
45．（2024 盐城）如图，在△中，，，点是的中点，连接，将△绕点旋转，得到△．连接，当时， ．
【答案】或．
【考点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形；旋转的性质
【解析】作于点，如图所示，
，，点是的中点，
，，
，
由旋转的性质可知：△△，
，
，
，
，
，
，
；
当点运动点时，此时，
同理可得，，，
；
故答案为：或．
46．（2024 河南）如图，在中，，，线段绕点在平面内旋转，过点作的垂线，交射线于点．若，则的最大值为 ，最小值为 ．
【答案】；．
【考点】等腰直角三角形；旋转的性质
【解析】，
，
点是在以为直径的圆上运动，
，且是绕点旋转，
点是在以为圆心，以1为半径的圆上运动，
，
当最大时，最大，当最小时，最小．
①如图，当与圆相切于点，且在内部时，最小，最大，
，
，
，
，
，
此时，即的最大值为，
②如图，当与圆相切于点，且在外部时，最大，最小，
同理可得，，
此时，即的最小值为，
故答案为：；．
47．（2024 黑龙江）如图，在中，，，，，线段绕点旋转，点为的中点，则的最大值是 ．
【答案】．
【考点】解直角三角形；旋转的性质
【解析】作的中点．连结，作以为圆心为半径的圆．
是的中点，是的中点，
是的中位线，
．
线段绕点旋转时，点在以为圆心为半径的圆上移动，
当经过点时的值最大．
，，
，
．
，
（负数不合题意舍去）．
的最大值为．
故答案为：．
48．（2024 绵阳）如图，在正方形中，，对角线与相交于点，点在线段上（与端点不重合），线段绕点逆时针旋转到的位置，点恰好落在线段上，，垂足为．
（1）求证：△△；
（2）设，求的最小值．
【考点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质；旋转的性质
【解析】（1）证明：四边形是正方形，
，
，
，
，
，
由旋转得：，，
，
，
在△和△中，
，
△△；
（2）解：四边形是正方形，
，，，
△△，
，，
，
，
，
点在线段上（与端点不重合），
，
当时，的最小值是．
49．（2024 北京）已知，点，分别在射线，上，将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作的垂线交射线于点．
（1）如图1，当点在射线上时，求证：是的中点；
（2）如图2，当点在内部时，作，交射线于点，用等式表示线段与的数量关系，并证明．
【考点】平行线的性质；三角形内角和定理；全等三角形的判定与性质；直角三角形的性质；旋转的性质
【解析】（1）证明：连接，
由题意得：，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
点是的中点；
（2）解：，
在射线上取点，使得，取的中点，连接，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，，
是的中点，
，，
，
，
，
，
，
，
．
50．（2024 徐州）如图，在中，，，，为边上的动点．连接，将绕点逆时针旋转得到，过点作，交直线于点．连接、，分别取、的中点、，连接，交于点．
（1）若点与点重合，则线段的长度为 ．
（2）随着点的运动，与的长度是否发生变化？若不变，求出与的长度；若改变，请说明理由．
【考点】平行四边形的性质；旋转的性质
【解析】（1）当点与点重合时，点在点处，此时、、、、共线，
如图①，在平行四边形中，．
将绕点逆时针旋转得到，．
点、分别是，的中点，由中位线可知．
．
故答案为：5．
（2）结论：不变．
如解图②，连接并延长到点，使得，连接，，
点为中点，
．
四边形 为平行四边形，
，．
延长，交于点，连接．
，．
四边形为平行四边形，
，
．
如解图②，延长至点，使得，连接，
在平行四边形中，
，
，
△是等边三角形，
．，
，，
，
又，，
△△．
，
△ 为等边三角形．
点、为、的中点，
为△的中位线，．
．
．且长度不变；
连接，
由△和△都为等边三角形．
由手拉手模型易证△△．
．
设与 交于点，易证△和△为等边三角形．
由上可知：△和△为等边三角形，
．
，
，
，
，设，
则，，，
．
为△的中位线，为中点，
，
．
故和的长度都不变．
题型八 几何变换综合题
51．（2024 泰安）如图1，在等腰△中，，，点，分别在，上，，连结，，取中点，连结．
（1）求证：，；
（2）将△绕点顺时针旋转到图2的位置．
①请直接写出与的位置关系： ；
②求证：．
【考点】几何变换综合题
【解析】（1）证明：在△和△中，
，，，
△△，
，．
是△斜边的中点，
，
，
，
．
，
，
．
；
（2）①；
理由如下：延长到点，使，连结．延长到，使，连接并延长交于点．
证△△（具体证法过程跟②一样）．
，
是中点，是中点，
是△中位线，
，
，
，
，
，
．
故答案为：；
②证明：延长到点，使，连结．
，，，
△△，
，．
．
，
，
，
．
，
．
在△和△中，
，，，
△△，
．
，
，
52．（2024 烟台）在等腰直角中，，，为直线上任意一点，连接．将线段绕点按顺时针方向旋转得线段，连接．
【尝试发现】
（1）如图1，当点在线段上时，线段与的数量关系为 ；
【类比探究】
（2）当点在线段的延长线上时，先在图2中补全图形，再探究线段与的数量关系并证明；
【联系拓广】
（3）若，，请直接写出的值．
【考点】几何变换综合题
【解析】（1）如图，过点作延长线于点，
由旋转得，，
，
，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
故答案为：；
（2）补全图形如图，，理由如下：
过点作于点，
由旋转得，，
，
，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
；
（3）如图，当点在延长线上时，过点作延长线于点，
由（2）得，，
，
，
；
当点在延长线上时，过点作于点，
同理可得：，
，，
，
，
，
综上，或．
53．（2024 东营）在中，，，．
（1）问题发现
如图1，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接，，线段与的数量关系是 ，与的位置关系是 ；
（2）类比探究
将绕点按逆时针方向旋转任意角度得到，连接，，线段与的数量关系，位置关系与（1）中结论是否一致？若交于点，请结合图2说明理由；
（3）迁移应用
如图3，将绕点旋转一定角度得到，当点落到边上时，连接，求线段的长．
【考点】几何变换综合题
【解析】（1）如图1，延长交于，
将绕点按逆时针方向旋转得到，
，，，
，，，，
，，
，
，
故答案为：，；
（2）线段与的数量关系，位置关系与（1）中结论一致，理由如下：
如图2，延长交于，
将绕点按逆时针方向旋转任意角度得到，
，，，
，
，
，，
，
，
，
；
（3）如图3，过点作于，
，，，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，，
，
由（2）可知：．
54．（2024 辽宁）如图，在△中，，．将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作，垂足为．
（1）如图1，求证：△△．
（2）如图2，的平分线与的延长线相交于点，连接，的延长线与的延长线相交于点，猜想与的数量关系，并加以证明．
（3）如图3，在（2）的条件下，将△沿折叠，在变化过程中，当点落在点的位置时，连接．
①求证：点是的中点；
②若，求△的面积．
【考点】几何变换综合题
【解析】（1）证明：，
，
，
，
，
线段绕点顺时针旋转得到线段，
，，
，
，
△△；
（2），理由如下：
是的平分线，
，
由（1）知，
，△△，
，
，
△△，
，
，
；
（3）①△沿折叠，点落在点，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
点是的中点；
②解：设，，
，
由①知，
点是的中点，
，
，
，
△△，
，
，，
，
，，，，
，
化简得，
，
或，
，
舍去，
，
，
，
，
，
，
，
△的面积是30．
55．（2024 德州）在△中，，，点是上一个动点（点不与，重合），以点为中心，将线段顺时针旋转得到线．
（1）如图1，当时，求的度数；
（2）如图2，连接，当时，的大小是否发生变化？如果不变，求的度数；如果变化，请说明理由；
（3）如图3，点在上，且，以点为中心，将线逆时针转得到线段，连接，若，求线段的取值范围．
【考点】几何变换综合题
【解析】（1），
，
，
线段顺时针旋转得到线，
，
；
（2）方法一，
如图1，
的度数不变，理由如下：
连接，
线段顺时针旋转得到线，
，，
，
，，
，
，
点、、、共圆，
，
方法二，
如图1，
连接，
由上知：，
，
△△，
，
，
△△，
；
（3）如图2，
连接，
由（2）知，
，
线段时针转得到线段，
，，
，
设，，，
，
，
点在上，
，
，
，
．
56．（2024 重庆）在中，，，过点作．
（1）如图1，若点在点的左侧，连接，过点作交于点．若点是的中点，求证：；
（2）如图2，若点在点的右侧，连接，点是的中点，连接并延长交于点，连接．过点作交于点，平分交于点，求证：；
（3）若点在点的右侧，连接，点是的中点，且．点是直线上一动点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，点是直线上一动点，连接，．在点的运动过程中，当取得最小值时，在平面内将沿直线翻折得到，连接．在点的运动过程中，直接写出的最大值．
【考点】几何变换综合题
【解析】证明：（1），，
，
，
，
，
，
又，，
，
，
点是的中点，
，
；
证明：（2）过点作于，连接，
，
，，
点是的中点，
，
，
，，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，，
，
，，
，，
，
，
，
，
设，则，，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：过点作交延长线与，连接，
，，
，
，
四边形是矩形，
，
点是的中点，且，
，
是等边三角形，
，
，
，
由旋转的性质可得，，
，
，
，
点在直线上运动，
设直线交于，则，，，
，
由垂线段最短可知，当时，有最小值，
，
设，则，
，
，
，
在中，，
，
，
在中，由勾股定理得，
，
，
，
由折叠的性质可得：，
，
，
当点在线段上时，此时有最大值，最大值为，
的最大值为．
57．（2024 牡丹江）数学老师在课堂上给出了一个问题，让同学们探究．在△中，，，点在直线上，将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作，交直线于点．
（1）当点在线段上时，如图①，求证：；
分析问题：某同学在思考这道题时，想利用构造全等三角形，便尝试着在上截取，连接，通过证明两个三角形全等，最终证出结论：
推理证明：写出图①的证明过程：
探究问题：
（2）当点在线段的延长线上时，如图②：当点在线段的延长线上时，如图③，请判断并直接写出线段，，之间的数量关系；
拓展思考：
（3）在（1）（2）的条件下，若，，则 ．
【考点】几何变换综合题
【解析】（1）证明：在△中，，，点在直线上，将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作，交直线于点．在边上截取，连接．如图1，
．
，
．
又，
．
又，，
．
又，，
△△．
．
．
．
，
．
△是等边三角形．
，
，
；
（2）解：图②：，证明如下：
如图2.1所示，在上取点，使，连接并延长到点使，连接，
，
△是等边三角形，
，
线段绕点顺时针旋转得到线段，
，，
，
，即，
又，
△△，
，，
，
，
，
△是等边三角形，
，
；
图③：，证明如下：
如图2.2所示，在上取点使，
，
，
，
△是等边三角形，
，
，
将线段绕点顺时针旋转得到线段，
，，
，
，
，
，
又，
△△，
，，
，
，
；
（3）解：如图3.1所示，
，，
，，
，
，
，
，，
，，
由（1）可知，，
；
如图3.2所示，当点在线段的延长线上时，
，与矛盾，
不符合题意；
如图3.3所示，当点在线段的延长线上时，
，，
，
由（2）可知，，
，
．
综上所述，或18，
故答案为：10或18．
58．（2024 镇江）图1、2是一个折叠梯的实物图．图3是折叠梯展开、折叠过程中的一个主视图．图4是折叠梯充分展开后的主视图，此时点落在上，已知，，点、、、在上，、、、均与所在直线平行，，．点在上，、的长度固定不变．图5是折叠梯完全折叠时的主视图，此时、重合，点、、、、、在上的位置如图所示．
【分析问题】
（1）如图5，用图中的线段填空： ；
（2）如图4， ，由，且的长度不变，可得与之间的数量关系为 ；
【解决问题】
（3）求的长．
【考点】几何变换综合题
【解析】（1），
，
故答案为：；
（2）、、、均与所在直线平行，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，，
，
，
，
，
故答案为：，；
（3）如图，
作于，
，
，，
，
设，则，，
，
，
．
59．（2024 绥化）综合与实践
问题情境
在一次综合与实践课上，老师让同学们以两个全等的等腰直角三角形纸片为操作对象．纸片和满足，．
下面是创新小组的探究过程．
操作发现
（1）如图1，取的中点，将两张纸片放置在同一平面内，使点与点重合．当旋转纸片交边于点、交边于点时，设，，请你探究出与的函数关系式，并写出解答过程．
问题解决
（2）如图2，在（1）的条件下连接，发现的周长是一个定值．请你写出这个定值，并说明理由．
拓展延伸
（3）如图3，当点在边上运动（不包括端点、，且始终保持．请你直接写出纸片的斜边与纸片的直角边所夹锐角的正切值 或 （结果保留根号）．
【考点】几何变换综合题
【解析】（1）如图：
，且，
，
，
，
，
，
，
在 中，，
，
是的中点，点与点重合，
，
，
，
与的函数关系式为；
（2）的周长定值为2，理由如下：
，，，
，，
在 中，
，
将（1）中代入得：，
，，
，
，
，
的周长；
（3）①过点作于点，作的垂直平分线交于点，连接，如图：
，，
，
，
，
，
，
，
，
在中，设，
，
，
，
在中，
；
②过点作于点，作的垂直平分线交于点，连接，
，，
，
，
，
，
在中，设，
，
由勾股定理得，
，
在 中，
，
综上所述， 或 ，
故答案为：或．
60．（2024 成都）数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，，．
【初步感知】
（1）如图1，连接，，在纸片绕点旋转过程中，试探究的值．
【深入探究】
（2）如图2，在纸片绕点旋转过程中，当点恰好落在的中线的延长线上时，延长交于点，求的长．
【拓展延伸】
（3）在纸片绕点旋转过程中，试探究，，三点能否构成直角三角形．若能，直接写出所有直角三角形的面积；若不能，请说明理由．
【考点】相似形综合题
【解析】（1），，，
，，
，
即，
，
，
，
，，
；
（2）连接，延长交于点，连接交于，延长交于，如图：
同（1）得，
，
是中线，
，
，
，
，即，
，
，，
又，
，
，
四边形是平行四边形，
四边形矩形，
，，，，
，
，
是的中位线，
，
设，则，，
，，，
，
，
，
，
解得：，
，，
，
，
，
，
，
，
；
方法
是斜边上的中线，
，
，
，
，
，
，
，
，即，
，
，
，
，
，
，即，
解得，
；
（3），，三点能构成直角三角形，理由如下：
①当在上时，，此时是直角三角形，如图，
；
②当在的延长线上时，，此时是直角三角形，如图，
；
③当时，是直角三角形，过点作于点，如图，
，，，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
；
④当时，是直角三角形，过点作于点，交于点，如图，
，，
，
，，
，
是的中位线，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
解得，
，，
，
．
综上所述，直角三角形的面积为4或16或12或．
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