2025年九年级中考数学基础知识专项训练题2 方程（组）(含答案)

2025中考数学基础知识专项训练题2 方程（组）
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．下列4组数中，不是二元一次方程2x+y＝4的解的是（　　）
A． B． C． D．
2．用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的为（ ）
A． B．
C． D．
3．根据等式的性质，下列各式变形正确的是（　　）
A．若，则a＝b B．若ac＝bc，则a＝b
C．若a2＝b2，则a＝b D．若，则x＝﹣2
4．关于x的一元二次方程3x2﹣2x+m＝0有两根，其中一根为x＝1，则这两根之积为（　　）
A． B． C．1 D．﹣
5．已知a、b、c为常数，点P（a，c）在第四象限，则关于x的方程ax2+bx+c＝0的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法判断
6．分式方程的解为（ ）
A． B． C． D．
7．《九章算术》第七卷“盈不足”中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四.问人数、物价各几何？”译为：“今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又差4钱。问人数、物价各多少？”根据所学知识，计算出人数、物价分别是（ ）
A．1，11 B．7，53 C．7，61 D．6，50
8．若分式的值为0，则x的值为 (　 　)
A．1 B．－1 C．±1 D．2
9．已知实数x，y满足方程组则x2－2y2的值为（ ）
A．－1 B．1 C．3 D．－3
10．元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？其大意是：快马每天行240里，慢马每天行150里，慢马先行12天，快马几天可追上慢马？若设快马x天可追上慢马，由题意得（　　）
A．＝ B．＝﹣12
C．240（x﹣12）＝150x D．240x＝150（x+12）
二、填空(11－14每小题4分,第15、16小题每题5分；本大题共26分)
11．若一元二次方程，有一根，则 .
12．已知、均为锐角，且满足，则 .
13．已知关于x，y的方程组的解满足x﹣y＝4，则a的值为 　 　．
14．如果一个矩形内部能用一些正方形铺满，既不重叠，又无缝隙，就称它为“优美矩形”．如图所示，“优美矩形”ABCD的周长为26，则正方形d的边长为 　 　．
15．关于x的分式方程+＝3有增根，则m＝　 　．
16．若实数a、b分别满足a2﹣3a+2＝0，b2﹣3b+2＝0，且a≠b，则+＝　 　．
三、解答题(共64分)
17．解方程（组）：(本题共16分，每小题4分)
（1） (2)
（3） (4)
18．（8分）已知T＝（a+3b）2+（2a+3b）（2a﹣3b）+a2．
（1）化简T；
（2）若关于x的方程x2+2ax﹣ab+1＝0有两个相等的实数根，求T的值．
19.（本小题满分8分）体育器材室有、两种型号的实心球，1只型球与1只型球的质量共7千克，3只型球与1只型球的质量共13千克．
（1）每只型球、型球的质量分别是多少千克？
（2）现有型球、型球的质量共17千克，则型球、型球各有多少只？
20.（10分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m2+m＝0．
（1）求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根；
（2）设该方程的两个实数根为a，b，若（2a+b）（a+2b）＝20，求m的值．
21.（10分）对联是中华传统文化的瑰宝，对联装裱后，如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边．一般情况下，天头长与地头长的比是6：4，左、右边的宽相等，均为天头长与地头长的和的．某人要装裱一副对联，对联的长为100cm，宽为27cm．若要求装裱后的长是装裱后的宽的4倍，求边的宽和天头长．
22.（12分）【综合与实践】：有言道：“杆秤一头称起人间生计，一头称起天地良心”，某兴趣小组将利用物理学中杠杆原理制作简易杆秤，小组先设计方案，然后动手制作，再结合实际进行调试，请完成下列方案设计中的任务，
【知识背景】：如图，称重物时，移动秤砣可使杆秤平衡，根据杠杆原理推导得：（m0+m） l＝M （a+y），其中秤盘质量m0克，重物质量m克，秤砣质量M克，秤纽与秤盘的水平距离为1厘米，秤纽与零刻线的水平距离为a厘米，秤砣与零刻线的水平距离为y厘米．
【方案设计】：目标：设计简易杆秤．设定m0＝10，M＝50，最大可称重物质量为1000克，零刻线与末刻线的距离定为50厘米．
任务一：确定l和a的值．
（1）当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡，请列出关于l，a的方程；
（2）当秤盘放入质量为1000克的重物，秤砣从零刻线移至末刻线时，杆秤平衡，请列出关于l，a的方程；
（3）根据（1）和（2）所列方程，求出l和a的值；
任务二：确定刻线的位置．
（4）根据任务一，求y关于m的函数解析式；
（5）从零刻线开始，每隔100克在秤杆上找到对应刻线，请写出相邻刻线间的距离．
参考答案
一、1.D 2.D 3.A 4.D 5.A 6.A 7.B 8.D 9.A 10.D
二、11. 2017 12. 13.2 14.5 15.-1 16.
三、17.（1）x=-3； （2）x=6,经检验，x=6是原方程的解；（3）
(4)（方法不惟一）解：∵(x-2)(x-3)=0;
X1=2,x2=3
18.解：（1）T＝（a+3b）2+（2a+3b）（2a﹣3b）+a2
＝a2+6ab+9b2+4a2﹣9b2+a2
＝6a2+6ab；
（2）∵关于x的方程x2+2ax﹣ab+1＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝（2a）2﹣4（﹣ab+1）＝0，
∴a2+ab＝1，
∴T＝6×1＝6．
19. 解：（1）设每只型球、型球的质量分别是千克、千克，
根据题意，得，解得，
答：每只型球的质量是3千克、型球的质量是4千克；
（2）现有型球、型球的质量共17千克，
设型球1个，设型球个，则，
解得：（不合题意舍去），
设型球2个，设型球个，则，
解得：（不合题意舍去），
设型球3个，设型球个，则，
解得：，
设型球4个，设型球个，则，
解得：（不合题意舍去），
设型球5个，设型球个，则，
解得：（不合题意舍去），
综上，型球、型球各有3只、2只．
20.解：（1）证明：∵Δ＝[﹣（2m+1）]2﹣4（m2+m）
＝4m2+4m+1﹣4m2﹣4m
＝1＞0，
∴无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根；
（2）解：∵该方程的两个实数根为a，b，
∴a+b＝＝2m+1，ab＝＝m2+m，
∵（2a+b）（a+2b）
＝2a2+4ab+ab+2b2
＝2（a2+2ab+b2）+ab
＝2（a+b）2+ab，
∴2（a+b）2+ab＝20，
∴2（2m+1）2+m2+m＝20，
整理得：m2+m﹣2＝0，
解得：m1＝﹣2，m2＝1，
∴m的值为﹣2或1．
21.解：设天头长为6x cm，地头长为4x cm，则左、右边的宽为x cm，
根据题意得，100+（6x+4x）＝4×[27+（6x﹣4x）]，
解得x＝4，
答：边的宽为4cm，天头长为24cm．
22.解：（1）由题意得：m＝0，y＝0，
∵m0＝10，M＝50，
∴10l＝50a，
∴l＝5a；
（2）由题意得：m＝1000，y＝50，
∴（10+1000）l＝50（a+50），
∴101l﹣5a＝250；
（3）由（1）（2）可得：，
解得：；
（4）由（3）可知：l＝2.5，a＝0.5，
∴2.5（10+m）＝50（0.5+y），
∴；
（5）由（4）可知：，
∴当m＝0时，则有y＝0；当m＝100时，则有y＝5；当m＝200时，则有y＝10；当m＝300时，则有y＝15；当m＝400时，则有y＝20；当m＝500时，则有y＝25；当m＝600时，则有y＝30；当m＝700时，则有y＝35；当m＝800时，则有y＝40；当m＝900时，则有y＝45；当m＝1000时，则有y＝50；
∴相邻刻线间的距离为5厘米．
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