2025年九年级中考数学基础知识专项训练题15 图形相似(含答案)

2025中考数学基础知识专项训练题15 图形相似
（本试卷分A类和B类，满分120分；考试时间90分钟.其中A类19个题,B类(标有*)3个题.）
一、选择题：（每小题3分, 共30分）
1．如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上，若线段，则线段BC的长是（ ）
A．2 B．4 C．1 D．3
2．已知．则它们的周长比为（ ）
A． B． C． D．
3．在某一时刻，测得一根高为的竹竿的影长为，同时测得一栋楼的影长为，则这栋楼的高度是（ ）
A． B． C． D．
4．数学实践活动课上，小明和小强分别剪了一对三角形，他们经过测量得到相关数据，并标记在图形上．如图，对于他们剪的两组三角形的说法，正确的是（ ）
A．都相似 B．只有图①相似 C．只有图②相似 D．都不相似
5．如图，已知两个直角三角形关于原点O位似，且点A（3，—6）与点B（—1，b）是对应顶点，则b的值为（ ）
A．2 B．—2 C．18 D．—18
小颖同学是校园艺术节的主持人，学完黄金分割后她想，主持节目时如果站在舞台长的黄金分割点的位置，会让台下的同学们看起来效果更好，于是她将舞台的长看作线段AB，量得AB=8米，若点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），则线段AC的长为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在△ABC中，D在AC上，DE∥BC，DF∥AB，若，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．
8．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AC于点E，交AD于点F，交CD的延长线于点G，若AF＝2FD，则的值为（　　）
A． B． C． D．
9．已知，则直线一定经过（　 　）
A．第一、二象限 B．第二、三象限
C．第三、四象限 D．第一、四象限
10．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,∠ABC=90°，AB=,AD=2,将△ABC绕点C顺时针方向旋转后得△A’B’C’,当A’B’恰好过点D时，△B’CD为等腰三角形，若B’B=2,则AA’=（ ）
B． C． D．
二、填空题(11-14每题4分,15、16每小题5分，共26分）
11．设点是线段的黄金分割点，那么线段的长是___________．
如图，△OAB与△OA’B’是以原点O为位似中心的位似图形，且位似比为1:2，若点B的坐标为(-2，-4)，则点B‘的坐标为______．
13．如图，沿直线折叠等边三角形纸片△ABC，使A点落在BC边上任意一点F处（不与B、C重合）．已知△ABC边长为9，D为上一点，BD=5，BF=2，则CE=______．
14．如图，△ADE、△ABC和3张都标注一个条件的卡片．从这3张卡片中随机一次性抽取2张的结果，能判断△ADE△ABC的概率为 ．
*15．剪纸是中国的传统文化之一．如图1，将长为，宽为的矩形纸片剪成4张小纸片、分别记为“①，②，③，④”．若这四张小纸片恰好能拼成如图2所示的矩形，则在“小纸片①”中，较长直角边= ．
*16．如图，A，B，C，D四点在同一条直线上，E，F，G三点也同在另一条直线上，，，均为等边三角形．请完成下列问题：
（1）在上取一点P，使得，连接并延长交于Q，则 °．
（2）若，，则的长为 ．
三、解答题（17题4分、18、19题各6分、20题8分，21、22题各10分，共44分）
17．已知： ，求的值．
18．如图，一天晚上，小亮和小明利用家门口路灯的灯光来测量路灯的高，当小明站在处时，小亮测得小明的影长为1米，接着小明向前走了10米到达处，此时，小亮测得小明的影长为3米．已知小明的身高为米，求路灯的高．
19．如图，在矩形ABCD中，AB=15cm ,BC=10cm ,点P沿AB边从点A开始向B点以2cm/s 的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s 的速度移动.若P、 Q同时出发，用t（秒）表示移动时间.
（1）当t为何值时，△PAQ为等腰直角三角形？
（2）当t为何值时，以点P、A、Q为顶点的 △PAQ与△ABC 相似？
20.如图，在矩形中，点M是上一点，DN垂直平分，交AC于点E，交于点N，连接并延长交DC于点G，若．
(1)求证：点N是的中点；
(2)设，试用含a的代数式表示的长．
21．【教材呈现】华师版九年级上册63页例1．
如图，在中，点是边的三等分点，，，求的长．
【应用拓展】
（1）如图①，在中，点是边的中点，点为延长线上一点，连接交于点，若，，，则的长为 　 　．
（2）如图②，在中，点为边延长线上一点，点为上一点，连接交于点，若点为的中点，，的面积为4，则（阴影部分）面积为 ．

*22．综合实践课上，数学老师带领学生探究矩形的旋转．
【动手操作】
如图1，四边形是一张矩形纸片，，．先将矩形对折，使与重合，折痕为，沿剪开得到两个矩形．矩形保持不动，将矩形绕点逆时针旋转，点的对应点为，所在直线与所在直线交于点．
【探究发现】
（1）连接，，，根据______（填选项），证得，；
A．；B．；C．；D．
（2）数学老师让学生动手操作后提出问题：
①“勤奋”组发现，如图2，当点落在边上时，边恰好经过点，提出问题：求两个矩形重叠部分四边形的面积；请你直接写出四边形的面积_______；
②“好学”组提出问题：如图3，当落在上时，连接，，发现，请你尝试证明；
【引申探究】
当点落在矩形中的平分线所在直线上时，请直接写出线段的长．
参考答案
一、选择题
1. D　2.A 　 3. C　4.A　5. A　 6．B 7．D 8．C 9．B 10．A
二．填空题
11. 　 12.　（4，8） 13. 14. . 15.
16.（1）60，（2）
三、解答题
17. 解：设，则x=2k，y=4k，z=5k， …………2分
∴ …………4分
18. 解：设，则，
由题意得，，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
解得，
经检验，是原方程的解，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴路灯的高为．
19.解：∵AB=15cm，BC=10cm，点P沿AB边从点A开始向B点以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动，
∴AQ=10﹣t，AP=2t，
∵△PAQ是等腰直角三角形，
∴10﹣t=2t，解得t=s …………2分
（2）∵以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似，
∴△ABC∽△PAQ或△ABC∽△QAP，
①当△ABC∽△PAQ时，
=，即=，
解得：t=；
②当△ABC∽△QAP时，
=，=，解得t=． …………6分
故当t=s或t=s时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似
20.（1）证明：∵垂直平分，
∴．
∵，
∴，
∴点N是的中点．
（2）解：∵四边形为矩形，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
21.解：[教材呈现]
点是边的三等分点，
，
，
，
，
，
；
[应用拓展]
（1），
，
，
，
，即，
解得；
故答案为：16．
（2）过点作，

点为的中点，
，
，
，
的面积为4，
的面积为1，
的面积2，
，即，
的面积为．
故答案为：．
22.（1）证明：∵∠A=90° , ∠ABE=30°
∴ ∠AEB=60°
∵EB=ED ,
∴ ∠DBE= ∠EDB=30°
∵MN∥BD
∴∠DBE= ∠ENM,∠DBE= ∠EMN
∴∠ENM= ∠EMN
∴EN=EM
过点E作EH⊥MN 于点H,则MH=.
在Rt⊿EMH中，
∴
∴ …………3分
（2）在Rt⊿ABE中，∠ABE=30°，
∴DE=BE=2AE
∵AD=BC=6
∴AE=2,DE=BE=4
a.当点M在线段ED上时，过点N作NI⊥AD于点I,
在Rt⊿NIM中，
由（1）可知：,
∴
∴
b.当点M在线段ED延长线上时，过点N作⊥AD于点
在Rt⊿NI’M中， ,
在Rt⊿NI’E中，,
∴DM=NE -DE=,
∴
（3）连接CM,BD交于点N’.
∵M为DE的中点 ,
∴EM=MD=2,
∴.
∵ ,
∴,
∴,
∴∠DMC=60°,
∴.
∵MN∥BD
∴,
∴ ,
∵,
∴
又∵ ,
∴∽,
∴，即
∴