2025年九年级中考数学基础知识专项训练题17 直角三角形的边角关系(含答案)

2025中考数学基础知识专项训练题17 直角三角形的边角关系
（本试卷分A类和B类，满分120分；考试时间90分钟.其中A类19个题,B类(标有*)3个题.）
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．的相反数是（ ）
A．1 B． C． D．
2．在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA=，则tanB的值为（　　）
A． B． C． D．
3．如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinB的值为（ ）．
A． B． C． D．1
4．下列式子错误的是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图是拦水坝的横断面，斜坡的水平宽度AC=18米，坡度为，则斜坡的垂直高度为（　 ）
A．36米 B．12米 C．9米 D．6米
6．把一块直尺与一块三角板如图放置，若sin∠1=，则∠2的度数为（　　）
A．120° B．135° C．145° D．150°
7．如图，港口A在观测站O的正东方向，OA=4 km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离（即AB的长）为（ ）.
A．4 km B．km C．km D．(km
8．某一时刻，与地面垂直的长的木杆在地面上的影长为．同一时刻，树的影子一部分落在地面上，一部分落在坡角为的斜坡上，如图所示．已知落在地面上的影长为．落在斜坡上的影长为．根据以上条件，可求出树高为（ ）．（结果精确到）
A． B． C． D．
9．如下图所示，在矩形中，于点，设，且，，则的长为（ ）
A．3 B． C． D．
10．如图，点A在反比例函数y=―（x＜0）的图象上，点B在反比例函数y=（x＞0）的图象上，且∠AOB=90°．则tan∠OBA的值等于（ ）.
A．2 B．3 C． D．
二、填空题（11-14每小题4分，15-16每小题5分，共26分）
11．在RtΔABC中，∠C=90°，AB=2，BC=，则sin=　 　．
12．计算： ．
13．如图是某商场营业大厅自动扶梯示意图．自动扶梯AB的倾斜角为30°，在自动扶梯下方地面C处测得扶梯顶端B的仰角为，A、C之间的距离为4 m．则自动扶梯的垂直高度BD=_________m．（结果保留根号）
14．已知，垂直平分，，，则= .
*15．如图，某高为60米的大楼旁边的山坡上有一个“5G”基站，从大楼顶端测得基站顶端的俯角为，山坡坡长米，坡度，大楼底端到山坡底端的距离米，则该基站的高度 米．
*16．如图，在边长为6的正方形中，为边的中点，是边上的动点，将沿所在直线折叠得到，连接，则当取得最小值时，的值为_____________．
三、解答题（共64分：17题12分，18-21每题10分，22题120分）
17．计算：(每小题4分，共8分)
（1） ; （2）．
18．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，tan C＝，AC＝，AB＝4，求BD的长．(结果保留根号）
19．已知：如图点是正方形的边上的一点，与对角线相交于点，若．
（）
（）若正方形的边长为，求的长.
20．随着中国经济的快速发展以及科技水平的飞速提高，中国高铁正迅速崛起．高铁大大缩短了时空距离，改变了人们的出行方式．如图，A，B两地被大山阻隔，由A地到B地需要绕行C地，若打通穿山隧道，建成A，B两地的直达高铁，可以缩短从A地到B地的路程．已知：∠CAB=30°，∠CBA=45°，AC=640公里，求隧道打通后与打通前相比，从A地到B地的路程将约缩短多少公里？（参考数据：≈1.7，≈1.4）
图1为手机支架实物图，图2为它的侧面示意图，“型”托架用于放置手机，支架两端分别与托架和底座（其厚度忽略不计）相连，支架端可调节旋转角度，已知，，支架调整到图2位置时，，．因实际需要，现将支架端角度调整为，如图3所示，求点的位置较原来的位置上升的高度．
*22.阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．
角平分线分线段成比例 我们知道，在数学中经过证明的真命题称为定理．下面是人们在解决数学问题时发现的一个定理，我们暂且称它为角平分线分线段成比例定理．其内容如下：如图1，在中，是的平分线，则．下面分别是小明和小亮的证明方法． 小明：如图2，过点A作于点G，过点D分别作于点E，于点F． ∵AD是的平分线， ∵．（依据） ∵，， ∴． ∵，， ∴． ∴． 小亮：如图3，过点B作交的延长线于点E． ∵是的平分线， ∴． ∵， ∴．……
任务：
(1)小明的证明过程中的“依据”指的是______；
(2)小亮的证明过程不完善，请你帮助小亮完成证明；
(3)如图4，在中，，，．若的平分线交于点D，则的值为______．

参考答案
一、选择题
1.B 2．B 　3. B　4.C　5．C　6. B　7.C　8.D　9.B　10.D
二、填空题
11.　；　12. 2 ； 13.；14 ．； 15. ； 16.
三、解答题
17．（1）解：原式
；
（2）解：原式
18. 解：AD是BC边上的高．∴∠ADC＝∠ADB＝90°，
在Rt△ADC中，
∵tan C＝，∴＝.
∴CD＝2AD，∴AD2＋(2AD)2＝(3)2，
∴AD＝3，∴在Rt△ADB中，BD＝＝.
19.解：（）；
（）∵正方形的边长为，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
20、【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D，
在Rt△ADC和Rt△BCD中，
∵∠CAB=30°，∠CBA=45°，AC=640，
∴CD=320，AD=320，
∴BD=CD=320，BC=320，
∴AC+BC=640+320≈1088，
∴AB=AD+BD=320+320≈864，
∴1088﹣864=224（公里），
答：隧道打通后与打通前相比，从A地到B地的路程将约缩短224公里．
21.解：如图2，过点作交于点，过点作交于点，过点作于点，如图3，延长交于点
旋转前如图3：
∵，，，
∴，
∵,，
∴，
∵，
∴在和中，
，
，
故点到的距离为： ，
旋转后如图3：
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，
，
故 ，
点的位置较原来的位置上升高度为: ，
22.（1）解：依据为角平分线的性质定理，
故答案为：角平分线的性质定理；
（2）如图3，过点B作交的延长线于点E．
∵是的平分线，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．

（3）解：∵，，，
∴，
的平分线交于点D，
∴，且，
∴，
∴．