第 4 章一元二次方程 数 学 问 卷
数学问卷共 4页。选择题 30分，非选择题 90 分，满分 120 分。考试用时 120 分钟。
一、选择题：本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在下列方程中，一元二次方程的个数是( )
① = 2 + 2 + 1；② 2 + + = 0；③( 2)( + 5) = 2 1；
3 2 5④ = 0；⑤3
2 + 7 = 0；⑥ 2 = 0．
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
2.一元二次方程 7 2 3 1 = 0 的根的情况是( )
A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 有两个不相等的实数根 D. 只有一个实数根
3.已知 = 1 是一元二次方程 2 + + = 0 的一个根，则代数式 的值是( )
A. 1 B. 1 C. 2 D. 2
4.下列关于 的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是( )
A. 2 + 3 = 0 B. 2 2 + 3 + 2 = 0C. 2 2 + 1 = 0 D. 3 2 + 5 8 = 0
5.方程( 5)2 = 5 的解是( )
A. 1 = 4， 2 = 5 B. 1 = 5， 2 = 6 C. 1 = 0， 2 = 5 D. 1 = 4， 2 = 6
6.一元二次方程 2 2 = 3 的二次项系数和常数项分别是( )
A. 2， 1 B. 2，3 C. 1，3 D. 1，2
7.若 2 是方程 2 = 0 的一个根，则 的值和方程的另一个根分别是( )
A. 4， 2 B. 2， 2 C. 4， 2 D. 2， 2
8.若 = 2 是方程 3 2 7 = 2的一个根，则 的值为( )A. 5 B. ±5 C. 5 D. ± 5
9.某机械厂七月份生产零件 100 万个，第三季度生产零件 392 万个.设该厂八、九月份平均每月的增长率为 ，那么
满足的方程是( )
A. 100(1 + )2 = 392B. 100 + 100(1 + )2 = 392
C. 100 + 100(1 + ) + 100(1 + 2 ) = 392D. 100 + 100(1 + ) + 100(1 + )2 = 392
10.欧几里得的《原本》中记载，形如 2 + 2 = 2的方程的图解法是：画 △ ，使∠ = 90 ， = ， =
，再在斜边 上截取 = ，则该方程的一个正根是( )
A. 的长 B. 的长 C. 的长 D. 的长
数 学 问 卷 1 / 4
二、填空题：本题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分。
1 1
11.若实数 、 分别满足 2 4 + 3 = 0， 2 4 + 3 = 0，且 ≠ ，则 + 的值为 ．
12.若 = 1 是方程 2 2 + = 0 的根，则 = ．
13.关于 的一元二次方程 2 + ( 2 2 ) + 1 = 0 的两个实数根互为相反数，则 的值为 ．
14.已知关于 的方程 2 + (2 1) + 2 1 = 0 有两个实数根 1， 2，若 1， 2满足 1 2 + 1 + 2 = 3，则 的值
为 ．
15.已知关于 的一元二次方程 2 ( + 1) + = 0，若方程的两根均为等腰△ 的边长，且△ 的周长为 5，
则 的值为 ．
16.如果方程 2 + 4 + = 0 可以配方成( + )2 = 3，那么( )2020 = ．
三、计算题：本大题共 1小题，共 16 分。
17.解方程：
(1)( 2)2 = 16；
(2) 2 6 8 = 0；(配方法)
(3)2 2 1 = 0；
(4)(2 + 1)2 = ( 1)2．
四、解答题：本题共 6 小题，共 56 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题 8 分)
已知关于 的一元二次方程 2 + 3 = 0 有两个不相等的实数根．
(1)求实数 的取值范围．
(2)设方程两个实数根分别为 1， 2，且满足( + )21 2 + 1 2 = 4，求 的值．
数 学 问 卷 2 / 4
19.(本小题 8 分)
已知关于 的一元二次方程( 1) 2 + 5 + 2 3 + 2 = 0 的常数项为 0．
(1)求 的值;
(2)求此时一元二次方程的解．
20.(本小题 10 分)
已知关于 的一元二次方程 2 + (1 2 ) + 2 = 0．
(1)若方程有两个不相等的实数根，求 的取值范围;
(2)当 取满足(1)中条件的最小整数时，设方程的两根为 和 ，求代数式 3 + 2 + + 201 的值．
21.(本小题 10 分)
阅读下面的材料：
解方程 4 7 2 + 12 = 0 这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设 2 = ，则 4 = 2，∴
原方程可化为： 2 7 + 12 = 0，解得 1 = 3， 22 = 4，当 = 3 时， = 3， =± 3，当 = 4 时， 2 = 4， =± 2. ∴
原方程有四个根是： 1 = 3， 2 = 3， 3 = 2， 4 = 2，以上方法叫换元法，达到了降次的目的，体现了数
学的转化思想，运用上述方法解答下列问题．
(1)解方程：( 2 + )2 5( 2 + ) + 4 = 0；
(2)已知实数 ， 满足( 2 + 2)2 3( 2 + 2) 10 = 0，试求 2 + 2的值．
数 学 问 卷 3 / 4
22.(本小题 10 分)
下面是小明用因式分解法解一元二次方程的过程，请仔细阅读，并完成相应的问题．
解一元二次方程：6 2 2 = 1 3
解：原方程可以化为：2 (3 1) = (3 1)第一步
两边同时除以(3 1)得：2 = 1 第二步
系数化为 1，得： = 12第三步
任务：
(1)小明的解法是不正确的，他从第______步开始出现了错误；
(2)请你继续用因式分解法完成这个方程的正确解题过程．
23.(本小题 10 分)
去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为 450 万元，第七天的营业额是前六天总营业额
的 12％．
(1)求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额；
(2)去年，该商店 7 月份的营业额为 350 万元，8、9 月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业
额与 9 月份的营业额相等．求该商店去年 8、9 月份营业额的月增长率．
数 学 问 卷 4 / 4第4章一元二次方程 数 学 问 卷
数学问卷共4页。选择题30分，非选择题90分，满分120分。考试用时120分钟。
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在下列方程中，一元二次方程的个数是( )
；；；
；；．
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
2.一元二次方程的根的情况是( )
A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 有两个不相等的实数根 D. 只有一个实数根
3.已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值是( )
A. B. C. D.
4.下列关于的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是( )
A. B. C. D.
5.方程的解是( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
6.一元二次方程的二次项系数和常数项分别是( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
7.若是方程的一个根，则的值和方程的另一个根分别是( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
8.若是方程的一个根，则的值为( )A. B. C. D.
9.某机械厂七月份生产零件万个，第三季度生产零件万个设该厂八、九月份平均每月的增长率为，那么满足的方程是( )
A. B.
C. D.
10.欧几里得的原本中记载，形如的方程的图解法是：画，使，，，再在斜边上截取，则该方程的一个正根是( )
A. 的长 B. 的长 C. 的长 D. 的长
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.若实数、分别满足，，且，则的值为 ．
12.若是方程的根，则 ．
13.关于的一元二次方程的两个实数根互为相反数，则的值为 ．
14.已知关于的方程有两个实数根，，若，满足，则的值为 ．
15.已知关于的一元二次方程，若方程的两根均为等腰的边长，且的周长为，则的值为 ．
16.如果方程可以配方成，那么 ．
三、计算题：本大题共1小题，共16分。
17.解方程：
；
；配方法
；
．
四、解答题：本题共6小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.本小题分
已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
求实数的取值范围．
设方程两个实数根分别为，，且满足，求的值．
19.本小题分
已知关于的一元二次方程的常数项为．
求的值
求此时一元二次方程的解．
20.本小题分
已知关于的一元二次方程．
若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围
当取满足中条件的最小整数时，设方程的两根为和，求代数式的值．
21.本小题分
阅读下面的材料：
解方程这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设，则，原方程可化为：，解得，，当时，，，当时，，原方程有四个根是：，，，，以上方法叫换元法，达到了降次的目的，体现了数学的转化思想，运用上述方法解答下列问题．
解方程：；
已知实数，满足，试求的值．
22.本小题分
下面是小明用因式分解法解一元二次方程的过程，请仔细阅读，并完成相应的问题．
解一元二次方程：
解：原方程可以化为：第一步
两边同时除以得：第二步
系数化为，得：第三步
任务：
小明的解法是不正确的，他从第______步开始出现了错误；
请你继续用因式分解法完成这个方程的正确解题过程．
23.本小题分
去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为万元，第七天的营业额是前六天总营业额的．
求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额；
去年，该商店月份的营业额为万元，、月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与月份的营业额相等．求该商店去年、月份营业额的月增长率．
数 学 问 卷 1 / 3第 4 章一元二次方程 数 学 答 案
1.【答案】 2.【答案】 3.【答案】 4.【答案】 5.【答案】
6.【答案】 7.【答案】 8.【答案】 9.【答案】 10.【答案】
4
11.【答案】3 12.【答案】1 13.【答案】0 14.【答案】 1 15.【答案】2 16.【答案】1
17.【答案】解：(1)( 2)2 = 16
2 =± 4
解得： 1 = 6， 2 = 2；
(2) ∵ 2 6 8 = 0，
∴ 2 6 + 9 = 17，
( 3)2 = 17，
3 =± 17，
解得： 1 = 3 + 17， 2 = 3 17；
(3)2 2 1 = 0
(2 + 1)( 1) = 0
1解得： 1 = 2 2 = 1；
(4)(2 + 1)2 = ( 1)2
2 + 1 =± ( 1)，
解得： 1 = 2 2 = 0．
18.【答案】【小题 1】
∵方程有两个不相等的实数根，∴△> 0 且 ≠ 0，即12 4 × ( 3) > 0且 ≠ 0，解得 >
1
12且 ≠ 0.
【小题 2】
由根与系数的关系可得 1 +
1
2 = ， 1 2 =
3
.
1 3
由题意可得( 2 ) = 4，即 4
2 +
3 1 = 0 1 1，解得 1 = 4， 2 = 1.经检验， 1 = 4， 2 = 1都是原分式方程的解.由(1)可
> 1 1知 12且 ≠ 0，∴ = 4．
数学答案 1 / 3
19.【答案】【小题 1】
由题意，得 2 3 + 2 = 0，且 1 ≠ 0，解得 = 2．
【小题 2】
把 = 2代入( 1) 2 + 5 + 2 3 + 2 = 0，
得 2 + 5 = 0，
∴ ( + 5) = 0，
∴ = 0 或 + 5 = 0，
∴ 1 = 0， 2 = 5．
20.【答案】【小题 1】
由题意，得 = (1 2 )2 4 ( 2) > 0，且 ≠ 0 1，解得 > 4，且 ≠ 0.
【小题 2】
∵ 取满足(1)中条件的最小整数，
∴ = 1，此时方程为 2 1 = 0．
∵方程的两根为 和 ，
∴ + = 1， = 1， 2 1 = 0， 2 1 = 0，
∴ 2 = + 1， 2 = + 1，
∴ 3 = 2 = ( + 1) = 2 + = + 1 + = 2 + 1，
∴ 3 + 2 + + 201 = 2 + 1 + + 1 + + 201 = 2( + ) + 203 = 2 × 1 + 203 = 205．
数学答案 2 / 3
21. 【答案】解：(1)设 = 2 + ，则 2 5 + 4 = 0，
整理，得
( 1)( 4) = 0，
解得 1 = 1， 2 = 4，
当 2 + = 1 即 2 + 1 = 0 1± 5时，解得： = 2 ；
当 2 + = 4 1± 17即 2 + 4 = 0 时，解得： = 2 ；
= 1+ 5 = 1 5 = 1+ 17 1 17综上所述，原方程的解为 1 2 ， 2 2 ， 3 2 ， 4 = 2 ；
22.
23.
24.
(2)设 = 2 + 2，则 2 3 10 = 0，
整理，得
( 5)( + 2) = 0，
解得 1 = 5， 2 = 2(舍去)，
故 2 + 2 = 5．
22.【答案】二
23.【答案】解：(1)由题知，450 + 450 × 12% = 504(万元)．
答：该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额为 504万元．
(2)设该商店去年 8、9月份营业额的月增长率为 ，
依题意得 350(1 + )2 = 504，
解得 1 = 0.2 = 20%， 2 = 2.2(不合题意，舍去)，
答：该商店去年 8、9月份营业额的月增长率为 20%．
数学答案 3 / 3第4章一元二次方程 数 学 答 案
1.【答案】 2.【答案】 3.【答案】 4.【答案】 5.【答案】
6.【答案】 7.【答案】 8.【答案】 9.【答案】 10.【答案】
11.【答案】 12.【答案】 13.【答案】 14.【答案】 15.【答案】 16.【答案】
17.【答案】解：
解得：，；
，
，
，
，
解得：， ；
解得： ；
，
解得： ．
18.【答案】【小题】
方程有两个不相等的实数根，且，即且，解得且
【小题】
由根与系数的关系可得，由题意可得，即，解得，经检验，，都是原分式方程的解由可知且，．
19.【答案】【小题】
由题意，得，且，解得．
【小题】
把代入，
得，
，
或，
，．
20.【答案】【小题】
由题意，得，且，解得，且
【小题】
取满足中条件的最小整数，
，此时方程为．
方程的两根为和，
，，，，
，，
，
．
【答案】解：设，则，
整理，得
，
解得，，
当即时，解得：；
当即时，解得：；
综上所述，原方程的解为，，，；
设，则，
整理，得
，
解得，舍去，
故．
22.【答案】二
23.【答案】解：由题知，万元．
答：该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额为万元．
设该商店去年、月份营业额的月增长率为，
依题意得，
解得，不合题意，舍去，
答：该商店去年、月份营业额的月增长率为．
数学答案 1 / 3
