第 2 章解直角三角形 数 学 问 卷
数学问卷共 4页。选择题 30分，非选择题 90 分，满分 120 分。考试用时 120 分钟。
一、选择题：本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点 、 、 、 都在这些小正方形的顶点上，
、 相交于点 ，则 tan∠ 的值是( )
A. 0.5 B. 1 C. 2 D. 2.5
2.如图所示，塔底 与观测点 在同一水平线上．为了测量铁塔的高度，在 处测得塔顶 的仰角为 ，塔底 与观测
点 的距离为 80 米，则铁塔的高 为( )
A. 80sin 80米 B. tan 米 C. 80tan
80
米 D. sin 米
2 3 4 5
3.如图，在 4 × 5 的正方形网格中，每个小正方形的边长都是 1，△ 的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么
sin∠ 的值为( )
3 5 17 3 4
A. 5 B. 5 C. 5 D. 5
4.如图，正方形 的面积为 3，点 在边 上，且 = 1，∠ 的平分线交 于点 ，点 ， 分别是 ，
的中点，则 的长为( )
6 3 6 2
A. 2 B. 2 C. 2 3 D. 2
5.如图，在伏牛山滑雪场滑雪，需从山脚下 处乘缆车上山顶 处，缆车索道与水平线所成的∠ = ，若山的高
度 = 700 米，则缆车索道 的长为( )
A. 700 米 B. 700 700 700米 C. sin 米 D. cos 米
3
6.在 △ 中，∠ = 90°， = 3， = 5，则 =( )
3 4 4 5
A. 4 B. 3 C. 5 D. 4
7.如图所示，热气球的探测器显示，从热气球 处看一栋楼顶部 处的仰角为 ，看这栋
楼底部 处的俯角为 ，热气球 处与楼的水平距离为 120 ，则这栋楼的高度为( )
A. 120( + ) B. 120( )
C. 120( + ) D. 120( + )
数 学 问 卷 1 / 4
8.如图，为了测量某电子厂的高度，小明用高 1.8 的测量仪 测得顶端 的仰角为 45°，小军在小明的前面 5 处
用高 1.5 的测量仪 测得顶端 的仰角为 53°，则电子厂 的高度为( )
( 4 3 4参考数据：sin53° ≈ 5，cos53° ≈ 5，tan53° ≈ 3 )
8 10
A. 22.7 B. 22.4 C. 21.2 D. 23.0 9
9.如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点 、 、 、 都在这些小正方形的顶点上， 、 相交于点 ，
则 sin∠ 的值是( )
1 5 2 5
A. 2 B. 5 C. 5 D. 10
10.如图，在 中， = 5， = 2，sin = 35，则 的长为( ) A. 3 B. 13 C. 2 3 D. 4
二、填空题：本题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分。
11. △ 中，若∠ = 90°， = 10 ， = 6 ，则 的值为______．
12.在△ 中，∠ = 120°， = 5， = 2，则 的值是______．
1 2 2
13.在△ 中，若∠ 、∠ 满足 cos 2 + sin 2 = 0，则∠ = ．
14.如图，将以 为直角顶点的等腰直角三角形 沿直线 平移得到△ ′ ′ ′，使点 ′与点 重合，连接 ′ ，
则 tan∠ ′ ′的值为 ．
15.黄鹤楼是武汉市著名的旅游景点，享有“天下江山第一楼”的美誉．在一次综合实践活动中，某数学小组用无
人机测量黄鹤楼 的高度．具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水平地面 102 的 处，测得黄鹤楼顶端
的俯角为 45°，底端 的俯角为 63°，则测得黄鹤楼的高度是 . (参考数据： 63° ≈ 2)
16.如图，湖的旁边有一建筑物 ，某数学兴趣小组决定测量它的高度.他们首先在点 处测得建筑物最高点 的仰角
为 30°，然后沿 方向前进 12 米到达 处，又测得点 的仰角为 45°.请你帮助该小组同学，计算建筑物 的高度约
为______米. (结果精确到 1 米，参考数据 3 ≈ 1.73)
14 15 16
数 学 问 卷 2 / 4
三、解答题：本题共 7 小题，共 72 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题 8 分)
1
计算：( 22 ) 4 + 2 30° + (2023 )
0 + |1 2|.
18.(本小题 8 分)
求下列各式的值；
(1)1 2 30° 30°；
(2)3 30° 45° + 2 60°．
19.(本小题 10 分)
1
如图，在△ 中，点 在边 上， ⊥ ，∠ = ∠ ， = 2， = 3，求：线段 的长．
20.(本小题 10 分)
在 中，∠ = 90 ，∠ ，∠ ，∠ 所对的边分别为 ， ， ，根据下列条件求出直角三角形的其他元素．
(1) = 20，∠ = 45 ．
(2) = 36，∠ = 30 ．
数 学 问 卷 3 / 4
21.(本小题 12 分)
水城门位于淀浦河和漕港河三叉口，是环城水系公园淀浦河梦蝶岛区域重要的标志性景观．在课外实践活动中，某
校九年级数学兴趣小组决定测量该水城门的高．他们的操作方法如下：
如图，先在 处测得点 的仰角为 20°，再往水城门的方向前进 13 米至 处，测得点 的仰角为 31°(点 、 、 在一
直线上)，求该水城门 的高．(精确到 0.1 米)(参考数据： 20° ≈ 0.34， 20° ≈ 0.94， 20° ≈ 0.36， 31° ≈
0.52， 31° ≈ 0.86， 31° ≈ 0.60)
22.(本小题 12 分)
如图，小明在教学楼上的窗口 看地面上的 、 两个花坛，测得俯角∠ = 30°，俯角∠ = 45°.已知教学楼
基点 与点 、 在同一条直线上，且 、 两花坛之间的距离为 6 .求窗口 到地面的高度 (结果可保留根号)．
23.(本小题 12 分)
自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多，为方便群众步行健身，某地政府决定对一段如图
1 所示的坡路进行改造．如图 2 所示，改造前的斜坡 = 200 米，坡度为 1： 3；将斜坡 的高度 降低 = 20
米后，斜坡 改造为斜坡 ，其坡度为 1：4.求斜坡 的长．(结果保留根号)
数 学 问 卷 4 / 4第 2 章解直角三角形 数 学 答 案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
C C D D C A A A C B
4 13 1
11.【答案】3 12.【答案】 13 13.【答案】75° 14.【答案】3 15.【答案】51 16.【答案】16
1
17.【答案】解：( 2 )
2 4 + 2 30° + (2023 )0 + |1 2|
= 4 2 + 2 × 12 + 1 + ( 2 1)
= 4 2 + 1 + 1 + 2 1
= 3 + 2．
18.【答案】解：(1)1 2 30° 30°
= 1 2 × 1 × 32 2
= 2 32 ；
(2)3 30° 45° + 2 60°
= 3 × 33 1+ 2 ×
3
2
= 3 1+ 3
= 2 3 1．
19.【答案】解：∵ ⊥ ，
∴ ∠ = 90°，
∵ = 12，
∴ 1 = 2，
∵ ∠ = ∠ ，∠ = ∠ ，
∴△ ∽△ ，
∴ = = =
1
2，
∴ = 2 ， = 2 ，
∴ = 4 = 12，
∴ = = 9．
20.【答案】【小题 1】
解：∠ = 90 ∠ = 90 45 = 45 ，∴ = = sin = 20 × 22 = 10 2，即∠ = 45
， = = 10 2．
【小题 2】
∠ = 90 ∠ = 90 30 = 60 ，∵ cos = ∴ = 3 ， cos = 36 ÷ 2 = 24 3. ∵ tan = ，∴ =
tan = 36 × 33 = 12 3. 即∠ = 60
， = 12 3， = 24 3．
数学答案 1 / 2
21.【答案】解：由题意得，∠ = 90°，∠ = 20°，∠ = 31°， = 13，
△ 在 中，∵ tan∠ = ，
∴ = 20 = 0.36，
在 △ 中，∵ tan∠ = ，
∴ = 31 = 0.6，
∵ = ，
∴ 13 = 0.36 0.6，
解得 ≈ 11.7 米．
答：水城门 的高为 11.7 米．
22.【答案】解：设窗口 到地面的高度 为 ．
由题意得：∠ = 30°，∠ = 45°， = 6 ．
∵ 在 △ 中， = 30 = 3 ，
在 △ 中， = 45 = ，
∵ = = 6，
∴ 3 = 6，
∴ = 3 3 + 3．
答：窗口 到地面的高度 为(3 3 + 3)米．
23.【答案】解：∵ ∠ = 90°， = 200 米，坡度为 1： 3，
∴ tan∠ = 13 =
3
3 ，
∴ ∠ = 30°，
∴ = 12 = 100 米，
∵ = 20 米，
∴ = 80 米，
∵ ∠ = 90°，斜坡 的坡度为 1：4，
∴ 1 = 4，
80 1
即 = 4，
解得， = 320，
∴ = 802 + 3202 = 80 17(米)，
答：斜坡 的长是 80 17米．
数学答案 2 / 2第2章解直角三角形 数 学 问 卷
数学问卷共4页。选择题30分，非选择题90分，满分120分。考试用时120分钟。
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点、、、都在这些小正方形的顶点上，、相交于点，则的值是( )
A. B. C. D.
2.如图所示，塔底与观测点在同一水平线上．为了测量铁塔的高度，在处测得塔顶的仰角为，塔底与观测点的距离为米，则铁塔的高为( )
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
2345
3.如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是，的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么的值为( )
A. B. C. D.
4.如图，正方形的面积为，点在边上，且，的平分线交于点，点，分别是，的中点，则的长为( )
A. B. C. D.
5.如图，在伏牛山滑雪场滑雪，需从山脚下处乘缆车上山顶处，缆车索道与水平线所成的，若山的高度米，则缆车索道的长为( )
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
6.在中，，，，则( )
A. B. C. D.
7.如图所示，热气球的探测器显示，从热气球处看一栋楼顶部处的仰角为，看这栋楼底部处的俯角为，热气球处与楼的水平距离为，则这栋楼的高度为( )
A. B.
C. D.
8.如图，为了测量某电子厂的高度，小明用高的测量仪测得顶端的仰角为，小军在小明的前面处用高的测量仪测得顶端的仰角为，则电子厂的高度为( )
参考数据：，，
810
A. B. C. D. 9
9.如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点、、、都在这些小正方形的顶点上，、相交于点，则的值是( )
A. B. C. D.
10.如图，在中，，，，则的长为( ) A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.中，若，，，则的值为______．
12.在中，，，，则的值是______．
13.在中，若、满足，则 ．
14.如图，将以为直角顶点的等腰直角三角形沿直线平移得到，使点与点重合，连接，则的值为 ．
15.黄鹤楼是武汉市著名的旅游景点，享有“天下江山第一楼”的美誉．在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量黄鹤楼的高度．具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水平地面的处，测得黄鹤楼顶端的俯角为，底端的俯角为，则测得黄鹤楼的高度是 参考数据：
16.如图，湖的旁边有一建筑物，某数学兴趣小组决定测量它的高度他们首先在点处测得建筑物最高点的仰角为，然后沿方向前进米到达处，又测得点的仰角为请你帮助该小组同学，计算建筑物的高度约为______米结果精确到米，参考数据
141516
三、解答题：本题共7小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
计算：
18.本小题分
求下列各式的值；
；
．
19.本小题分
如图，在中，点在边上，，，，，求：线段的长．
20.本小题分
在中，，，，所对的边分别为，，，根据下列条件求出直角三角形的其他元素．
，．
，．
21.本小题分
水城门位于淀浦河和漕港河三叉口，是环城水系公园淀浦河梦蝶岛区域重要的标志性景观．在课外实践活动中，某校九年级数学兴趣小组决定测量该水城门的高．他们的操作方法如下：
如图，先在处测得点的仰角为，再往水城门的方向前进米至处，测得点的仰角为点、、在一直线上，求该水城门的高．精确到米参考数据：，，，，，
22.本小题分
如图，小明在教学楼上的窗口看地面上的、两个花坛，测得俯角，俯角已知教学楼基点与点、在同一条直线上，且、两花坛之间的距离为求窗口到地面的高度结果可保留根号．
23.本小题分
自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多，为方便群众步行健身，某地政府决定对一段如图所示的坡路进行改造．如图所示，改造前的斜坡米，坡度为：；将斜坡的高度降低米后，斜坡改造为斜坡，其坡度为：求斜坡的长．结果保留根号
数 学 问 卷 1 / 3第2章解直角三角形 数 学 答 案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
C C D D C A A A C B
11.【答案】 12.【答案】 13.【答案】 14.【答案】 15.【答案】 16.【答案】
17.【答案】解：
．
18.【答案】解：
；
．
19.【答案】解：，
，
，
，
，，
∽，
，
，，
，
．
20.【答案】【小题】
解：，，即，．
【小题】
，， ， 即，，．
21.【答案】解：由题意得，，，，，
在中，，
，
在中，，
，
，
，
解得米．
答：水城门的高为米．
22.【答案】解：设窗口到地面的高度为．
由题意得：，，．
在中，，
在中，，
，
，
．
答：窗口到地面的高度为米．
23.【答案】解：，米，坡度为：，
，
，
米，
米，
米，
，斜坡的坡度为：，
，
即，
解得，，
米，
答：斜坡的长是米．
数学答案 1 / 3
