第 3 章对圆的进一步认识 数 学 答 案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
C C D B B D C A C B
2 25 1
11.【答案】60° 12.【答案】2 13.【答案】2 3 14.【答案】 2 + 6 15.【答案】4 16.【答案】3 /8 3
17.【答案】证明：在 ⊙ 中，
∵ = ，
∴ = ．
∴ + = + ．
∴ = ．
∴ = ．
18.【答案】解：∵四边形 内接于⊙ ，∠ = 90°，
∴ ∠ = 180° ∠ = 90°，∠ +∠ = 180°．
作 ⊥ 于 ， ⊥ 于 ，则 是矩形， = = 10．
在 △ 中，∵ ∠ = 90°， = 17，cos∠ = 35，
∴ = cos∠ = 515，
∴ = 2 2 = 685，
∴ = = 68 10 = 185 5．
∵ ∠ +∠ = 180°，∠ = 90°，
∴ ∠ +∠ = 90°，
∵ cos∠ = 35，
∴ sin 3∠ = cos∠ = 5．
在 △ 中，∵ ∠ = 90° 3，sin∠ = 5，
18
∴ = = 5 = 6．
sin∠ 35
数学答案 1 / 4
19.【答案】(1)证明：∵ = ，
∴ ∠ = ∠ ，
∵ =
∴ ∠1 = ∠ ，
∴ ∠1 = ∠ ．
(2)连接 ， ，在 和 中，
∵ = ， = ， = ，
∴ ≌ ( )，
∴ ∠ = ∠ ，
∵ = = ，
∴ ∠ = ∠ ，∠ = ∠ ，
∵ = ，
∴ ∠ = ∠
∴ ∠ = ∠ ，
∴ // ，
∵ 是⊙ 的切线，
∴ ⊥ ，
∴ ⊥ ．
20.【答案】【小题 1】
如图所示，⊙ 即为所求；
【小题 2】
证明：连接 ．
∵ = ，∴ ∠ = ∠ ，
∵ 是∠ 的角平分线，
∴ ∠ = ∠ ，
∴ ∠ = ∠ ，
∴ // ．
又∵ ∠ = 90°，∴ ∠ = 90°，
∴ 是⊙ 的切线．
数学答案 2 / 4
21.【答案】【小题 1】
证明：连接 ，
∵ ⊥ ，
∴ ∠ = 90 ，
∵ = ，
∴ ∠ = ∠ ，
∵ ∠ = ∠ ，
∴ ∠ = ∠ ，
∵ = ，
∴ ∠ = ∠ ，
∴ ∠ = ∠ ，
∴ // ，
∴ ∠ = 180 ∠ = 90 ，
∵ 是⊙ 的半径，
∴ 是⊙ 的切线；
【小题 2】
解：∵ 是⊙ 的直径，
∴ ∠ = 90 ，
∴ ∠ +∠ = 90 ，
∵ = ，
∴ ∠ = ∠ ，
∵ ∠ = ∠ +∠ = 90 ，
∴ ∠ = ∠ ，
在 中，∠ = 90 ，
∵ tan = 23，tan
∠ = ，
∴ 2 = 3，
设 = 2 ， = 3
∵ ∠ = ∠ = ∠ ，∠ = ∠ ，∴ ．
∴ =
2 2 3
= 3，即3 = 2 +5．
解得 = 2 ∴ = 4， = 6，在 中，
由勾股定理，得∴ = 2 + 2 = 42 + 62 = 2 13．
数学答案 3 / 4
22.【答案】解：(1)直线 与⊙ 相切．理由如下：
如图，连接
∵ = ，∠ = 45°，
∴ ∠ = 45°
∴ ∠ = 90°
∵ / /
∴ ∠ = ∠ = 90°，即 ⊥
又∵点 在⊙ 上，∴直线 与⊙ 相切；
(2) ∵⊙ 的半径为 1， 是⊙ 的直径，
∴ = 2，
∵ / / ， / /
∴四边形 是平行四边形
∴ = = 2
∴ = ( + )× = (1+2)×1 = 3梯形 2 2 2；
∴ 3 1 3 图中阴影部分的面积等于 2梯形 扇形 = 2 4 × × 1 = 2 4．
23.【答案】解：(1) ∵ ⊥ ，
∴ = ；
(2)设主桥拱半径为 ，由题意可知 = 26， = 5，
∴ = 12 = 13，
= = 5，
∵ ∠ = 90°，
∴ 2 + 2 = 2，
∴ ( 5)2 + 132 = 2，
解得 = 19.4 ≈ 19，
答：这座石拱桥主桥拱的半径约为 19 ．
数学答案 4 / 4第3章对圆的进一步认识 数 学 问 卷
数学问卷共4页。选择题30分，非选择题90分，满分120分。考试用时120分钟。
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列四个选项中的表述，正确的是( )
A. 经过半径上一点且垂直于这条半径的直线是圆的切线B. 经过半径的端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线
C. 经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线D. 经过一条弦的外端且垂直于这条弦的直线是圆的切线
2.如图，，是的切线，切点为，，点，在上，若，则( )
A. B. C. D.
3.如图所示，在中，，则在中，正确的个数是( )A. B. C. D.
23567
（2） （3） （5） （6） （7）
4.如图，在平面直角坐标系中，点，，的坐标为，，，则外接圆的圆心坐标是( )
489
（4） （8） （9）
A. B. C. D.
5.如图，四边形内接于，连接，，，若，则( )
A. B. C. D.
6.如图，的半径于点，连接并延长交于点，连接，若，，则的长为( )
A. B. C. D.
7.如图，，是的两条直径，是劣弧的中点，连接，若，则的度数为( )
A. B. C. D.
8.如图，点，，，，在上，所对的圆心角为，则等于( )
A. B. C. D.
9.如图，、分别切于点、，直线切于点，交于，交于，若，则的周长是( )A. B. C. D.
10.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图，筒车盛水桶的运行路径是以轴心为圆心的圆如图，已知圆心在水面上方，且被水面截得的弦长为米，半径长为米若点为运行路径的最低点，则点到弦所在直线的距离是( )
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.如图，在中，四边形为菱形，点在上，则的度数是______．
12.如图，已知是的直径，与相切于点，连接，若，则 ．
12131415
（12） （13） （14） （15）
13.如图，在菱形中，是对角线，，与边相切于点，则图中阴影部分的面积为______．
14.如图，在扇形中，，点为弧的中点，点为半径上一动点，若，则阴影部分周长的最小值为 ．
15.如图，是的外接圆，，则的半径是 ．
16.如图，木工用角尺的短边紧靠于点，长边与相切于点，角尺的直角顶点为，已知，则的半径为 ．
三、解答题：本题共7小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分在中，弦，求证．
18.本小题分
如图，四边形内接于，，，，，求的长．
19.本小题分
如图，是的外接圆，为直径，弦，过做的切线，交的延长线于点．
求证：；
求证：．
20.本小题分
如图，在中，，是的角平分线，以上一点为圆心，为弦作．
尺规作图：作出不写作法与证明，保留作图痕迹；
求证：为的切线．
21.本小题分
如图，已知内接于，为直径，是上一点，且，过点作交的延长线于点．
求证：是的切线；
若，，求的长．
22.本小题分
如图，已知是的直径，点在上，，，．
判断直线与的位置关系，并说明理由；
若的半径为，求图中阴影部分的面积．
23.本小题分
石拱桥是我国古代人民勤劳和智慧的结晶如图，隋代建造的赵州桥距今约有年历史，是我国古代石拱桥的代表．如图是根据某石拱桥的实物图画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，表示为桥的跨度弧所对的弦长，设所在圆的圆心为，半径，垂足为拱高弧的中点到弦的距离连接．
直接判断与的数量关系；
求这座石拱桥主桥拱的半径精确到．
数 学 问 卷 1 / 3第 3 章对圆的进一步认识 数 学 问 卷
数学问卷共 4页。选择题 30分，非选择题 90 分，满分 120 分。考试用时 120 分钟。
一、选择题：本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列四个选项中的表述，正确的是( )
A. 经过半径上一点且垂直于这条半径的直线是圆的切线
B. 经过半径的端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线
C. 经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线
D. 经过一条弦的外端且垂直于这条弦的直线是圆的切线
2.如图， ， 是⊙ 的切线，切点为 ， ，点 ， 在⊙ 上，若∠ +∠ = 236°，则∠ =( )
A. 56° B. 60° C. 68° D. 70°
3.如图所示，在⊙ 中， = ，则在 ① = ; ② = ; ③∠ = ∠ ; ④ = 中，正确的个数
是( )A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2 3 5 6 7
4.如图，在平面直角坐标系中，点 ， ， 的坐标为(1,3)，(5,3)，(1, 1)，则△ 外接圆的圆心坐标是( )
4 8 9
A. (1,3) B. (3,1) C. (2,3) D. (3,2)
5.如图，四边形 内接于⊙ ，连接 ， ， ，若∠ = 110 ，则∠ =( )
A. 15 B. 20 C. 25 D. 30
6.如图，⊙ 的半径 ⊥ 于点 ，连接 并延长交⊙ 于点 ，连接 ，若 = 8， = 2，则 的长为( )
A. 2 15 B. 8 C. 2 10 D. 2 13
7.如图， ， 是⊙ 的两条直径， 是劣弧 的中点，连接 ， .若∠ = 22°，则∠ 的度数为( )
A. 22° B. 32° C. 34° D. 44°
8.如图，点 ， ， ， ， 在⊙ 上， 所对的圆心角为50 ，则∠ +∠ 等于( )
A. 155 B. 150 C. 160 D. 162
数 学 问 卷 1 / 4
9.如图， 、 分别切⊙ 于点 、 ，直线 切⊙ 于点 ，交 于 ，交 于 ，若 = 8 ，则△ 的周
长是( )
A. 8 B. 12 C. 16 D. 20
10.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图(1)，筒车盛水桶的运行路径是以轴心 为圆心的圆.如图(2)，已
知圆心 在水面上方，且⊙ 被水面截得的弦 长为 6 米，⊙ 半径长为 4 米.若点 为运行路径的最低点，则点
到弦 所在直线的距离是( )
A. 1 米 B. (4 7)米 C. 2 米 D. (4 + 7)米
二、填空题：本题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分。
11.如图，在⊙ 中，四边形 为菱形，点 在 上，则∠ 的度数是______．
1
12.如图，已知 是⊙ 的直径， 与⊙ 相切于点 ，连接 ， .若 sin∠ = 3，则 tan∠ = ．
12 13 14 15
13.如图，在菱形 中， 是对角线， = = 2，⊙ 与边 相切于点 ，则图中阴影部分的面积为______．
14.如图，在扇形 中，∠ = 60 ，点 为弧 的中点，点 为半径 上一动点，
若 = 1，则阴影部分周长的最小值为 ．
15.如图，⊙ 是 的外接圆，∠ = 60 , = 4 3，则⊙ 的半径是 ．
16.如图，木工用角尺的短边紧靠⊙ 于点 ，长边与⊙ 相切于点 ，角尺的直角顶点
为 ，已知 = 6 , = 8 ，则⊙ 的半径为 ．
三、解答题：本题共 7 小题，共 72 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题 8 分)在⊙ 中，弦 = ，求证 = ．
数 学 问 卷 2 / 4
18.(本小题 8 分)
如图，四边形 内接于⊙ ， = 17， = 10 3，∠ = 90°， = 5，求 的长．
19.(本小题 10 分)
如图，⊙ 是 的外接圆， 为直径，弦 = ，过 做⊙ 的切线，交 的延长线于点 ．
(1)求证：∠1 = ∠ ；
(2)求证： ⊥ ．
20.(本小题 10 分)
如图，在 △ 中，∠ = 90°， 是∠ 的角平分线，以 上一点 为圆心， 为弦作⊙ ．
(1)尺规作图：作出⊙ (不写作法与证明，保留作图痕迹)；
(2)求证： 为⊙ 的切线．
数 学 问 卷 3 / 4
21.(本小题 10 分)
如图，已知 内接于⊙ ， 为直径， 是⊙ 上一点，且∠ = ∠ ，过点 作 ⊥ 交 的延长线于点
．
(1)求证： 是⊙ 的切线；
(2) = 5 tan = 2若 ， 3，求 的长．
22.(本小题 12 分)
如图，已知 是⊙ 的直径，点 在⊙ 上，∠ = 45°， // ， // ．
(1)判断直线 与⊙ 的位置关系，并说明理由；
(2)若⊙ 的半径为 1，求图中阴影部分的面积．
23.(本小题 14 分)
石拱桥是我国古代人民勤劳和智慧的结晶(如图 1)，隋代建造的赵州桥距今约有 1400 年历史，是我国古代石拱桥
的代表．如图 2 是根据某石拱桥的实物图画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，表示为 .桥的跨度(弧所对的弦
长) = 26 ，设 所在圆的圆心为 ，半径 ⊥ ，垂足为 .拱高(弧的中点到弦的距离) = 5 .连接 ．
(1)直接判断 与 的数量关系；
(2)求这座石拱桥主桥拱的半径(精确到 1 )．
数 学 问 卷 4 / 4第3章对圆的进一步认识 数 学 答 案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
C C D B B D C A C B
11.【答案】 12.【答案】 13.【答案】 14.【答案】 15.【答案】 16.【答案】
17.【答案】证明：在 中，
，
．
．
．
．
18.【答案】解：四边形内接于，，
，．
作于，于，则是矩形，．
在中，，，，
，
，
．
，，
，
，
．
在中，，，
．
19.【答案】证明：，
，
，
．
连接，，在和中，
，，，
，
，
，
，，
，
，
，
是的切线，
，
．
20.【答案】【小题】
如图所示，即为所求；
【小题】
证明：连接．
，，
是的角平分线，
，
，
．
又，，
是的切线．
21.【答案】【小题】
证明：连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
【小题】
解：是的直径，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，，
，
设，
，，．
，即．
解得，，在中，
由勾股定理，得．
22.【答案】解：直线与相切．理由如下：
如图，连接
，，
，即
又点在上，直线与相切；
的半径为，是的直径，
，
，
四边形是平行四边形
；
图中阴影部分的面积等于．
23.【答案】解：，
；
设主桥拱半径为，由题意可知，，
，
，
，
，
，
解得，
答：这座石拱桥主桥拱的半径约为．
数学答案 1 / 3
