(共27张PPT)
第五章 一元函数的导数及其应用
§5.1.1 变化率问题1
人民教育出版社 高中数学 选择性必修第二册
章引言
章引言
章引言
微积分
章引言
微积分
本章框架
函数的极值与最值
函数的单调性
简单复合函数导数
导数四则运算
基本初等函数导数
导数几何意义
导数的概念
割线斜率
切线斜率
平均速度
瞬时速度
导数及其应用
导数的概念及意义
导数的运算
导数的应用
情景引入
高铁轨道弯道设计
卫星发射的运行轨迹
光的反射
切线
问题1 你能运用所学知识求抛物线 f(x)=x2 在点 P0(1,1) 处的切线方程吗？并画出该切线
新知探索1
f(x)＝x2
x
y
O
1
1
2
2
3
4
P0
y=2x-1
抛物线的切线
公元前3世纪，欧几里得在《几何原本》中将圆的切线定义为“与圆相遇，但延长后不与圆相交的切线”
新知探索1
d
抛物线的切线
思考1 此定义适用于圆锥曲线的切线吗？
f(x)＝x2
x
y
O
1
1
2
2
3
4
P0
新知探索1
思考2 什么定义适用于圆锥曲线的切线？
古希腊著名数学家阿波罗尼斯定义了圆锥曲线的切线为与曲线只有一个公共点，且位于曲线的一侧（“不穿过”曲线）的直线.
抛物线的切线
y=x3
思考3 什么定义适用于一般曲线的切线？
新知探索1
抛物线的切线
问题2 对于抛物线f(x)＝x2，应该如何定义它在点P0(1，1)处的切线呢？
新知探索1
x
y
O
f(x)＝x2
1
1
2
2
3
4
P0
抛物线的切线
问题2 对于抛物线f(x)＝x2，应该如何定义它在点P0(1，1)处的切线呢？
新知探索1
x
y
O
f(x)＝x2
1
1
2
2
3
4
P0
P
(x，x2)
抛物线的切线
新知探索1
当点P_________于点P0时，
割线P0P_________于一个确定的
位置.这个确定位置的直线P0T
称为抛物线f(x)＝x2在点P0(1,1)
处的切线．
无限趋近
无限趋近
y
O
P0
P
割线
x
T
切线
抛物线的切线
新知探索1
当点P_________于点P0时，
割线P0P_________于一个
确定的位置.这个确定位置
的直线P0T称为抛物线
f(x)＝x2在点P0(1,1)处的切线．
无限趋近
无限趋近
静态
动态
抛物线的切线
新知探索2
问题3 如何求抛物线f(x)＝x2在点P0(1，1)处的切线P0T的斜率呢？
切线位置
割线位置
无限趋近
切线斜率
割线斜率
无限趋近
抛物线的切线的斜率
新知探索2
切线位置
割线位置
无限趋近
切线斜率
割线斜率
无限趋近
1
2
3
4
P0(1，1)
P
f(x)＝x2
y
x
O
1
2
记Δx=x-1（Δx可正可负，但不能为0），则点P的坐标即为(1＋Δx，f(1＋Δx)).于是割线P0P的斜率
(1＋Δx，(1＋Δx)2)
(x，x2)
抛物线的切线的斜率
新知探索2
x <0 x
x >0 x
当 x无限趋近于0，割线P0P的斜率k都无限趋近于2.
0
2
2
0
抛物线的切线的斜率
新知探索2
我们把2叫做“当Δx无限趋近于0时，的极限”，记为
当 x在无限趋近于0时，
无限趋近于2
因此，切线P0T的斜率k0＝2．
抛物线的切线的斜率
x
y
O
1
2
1
2
3
4
P0(2,4)
记点P的横坐标 x=2+Δx，则点P的坐标即为 (2+Δx,f(2+Δx) ).于是割线P0P 的斜率
故抛物线 f(x)=x2在点 P0(2,4) 处的切线P0T 的斜率为4.
例1 你能用上述方法，求抛物线 f(x)=x2在点 P0(2,4) 处的切线P0T 的斜率吗？
P
典例分析
(x，x2)
x
y
O
1
2
1
2
3
4
P0(x0, x02)
记点P的横坐标 x= x0+Δx，则点P的坐标即为 (x0 +Δx,f(x0 +Δx)).于是割线P0P 的斜率
故抛物线 f(x)=x2在点 P0(x0, x02) 处的切线P0T 的斜率为2x0.
变式：一般地，如何求抛物线 f(x)=x2在点 P0(x0, x02) 处的切线P0T 的斜率呢？
P
总结：求抛物线在点p0(x0,f(x0)处切线的斜率，一般步骤：
(1) 先求割线的斜率；
(2) 再对割线的斜率取极限得切线的斜率。
典例分析
切线的斜率是割线的斜率的极限
用运动变化的观点研究问题
无限逼近
取极限
极限思想
切线的定义
切线的斜率
割线的斜率
特殊到一般
用数学的眼光观察世界
用数学的语言表达世界
用数学的思维思考世界
切线斜率与割线斜率的关系
瞬时变化率
类比思想
课堂小结
课堂小结
割线
切线
割线斜率
切线斜率
无限趋近
k0=
求切线斜率的一般步骤
用运动变化观点
极限思想
课堂小结
必做题：
1. 求抛物线y＝x2－1在点A(2,3)处切线的斜率．
2. 求抛物线y＝-4.9x2＋2.8x＋11在x=0处的切线斜率．
选做题：
课后拓展：
类比本节课方法，尝试给曲线y=x3在点(0,0)处的切线下定义，并求其在该点处的切线斜率
1.观看微积分发展史
2.回顾已学知识，还有哪些内容也用无限逼近体现极限思想？
作业布置
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Part 01(共19张PPT)
202X / 01
5.1 变化率问题
第五章
一元函数的导数及应用
抛物线的割线及切线的斜率
1.割线的斜率
2.切线的斜率
复习回顾
求切斜斜率的一般步骤是什么？
创设情境
高台跳水运动员的速度
新知探究：变化率问题
新知探究：变化率问题
创设情境
情境探究
问题3.能否类比抛物线由割线斜率逼近切线斜率的思路
设计一个由平均速度逼近瞬时速度的方案呢？
问题1.我们应该关注运动员运动过程中的哪些细节？
问题2.如何更精确地来刻画运动员的运动状态呢
新知探究：变化率问题
问题4. 如何求运动员在t=1s时的瞬时速度？
为了提高近似表示的精确度，我们不断缩短时间间隔，得到如下表格.
Δt < 0 Δt > 0
-0.01 0.01
-0.001 0.001
-0.0001 0.0001
-0.00001 0.00001
-0.000001 0.000001
-6.951
-6.9951
-6.99951
-6.999951
-6.9999951
-7.049
-7.0049
-7.00049
-7.000049
-7.0000049
通过观察可得，当 t无限趋近于0，即无论t从小于1的一边，还是从大于1的一边无限趋近于1时，平均速度都无限趋近于－7.
概念生成
平均速度的极限就是瞬时速度
问题5.如何求运动员从起跳到入水过程中在某一时刻t=t0的瞬时速度
解：
由特殊到一般
t
h
1
O
(1, h(1))
(1+ t, h(1+ t))
观察思考
升华总结
运动变化观点
无理数
指数幂的拓展
二分法
求方程近似解
极限思想
典例1 在初速度为零的匀加速直线运动中路程S和时间t 的关系为:
(1) 求运动物体在t时刻的瞬时速度，并说明其物理意义.
理论迁移
典例1 在初速度为零的匀加速直线运动中路程S和时间t 的关系为:
(2)求瞬时速度v关于t的瞬时变化率，并说明其物理意义.
理论迁移
课堂强化
A
用运动变化的观点研究问题
无限逼近
取极限
极限思想
瞬时速度的概念
瞬时速度
平均速度
特殊到一般
用数学的眼光观察世界
用数学的语言表达世界
用数学的思维思考世界
平均速度与瞬时速度的关系
瞬时变化率
类比思想
课堂小结
作业布置
1. 导弹发射t s后，其高度(单位: m)为h(t)=0.9t2. 求：
(1) 在1≤t≤2这段时间里，导弹爬高的平均速度；
(2) 发射后第10s时，导弹爬高的瞬时速度.
必做题：
选做题：
拓展题：
3.收集实际生活中和本节课所学知识和研究思想有关的实例，了解其原理.
谢 谢！
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第五章 一元函数的导数及其应用
§5.1.2 导数的概念
人民教育出版社 高中数学 选择性必修第二册
瞬时速度
切线斜率
平均速度
平均变化率
瞬时变化率
逼近
问题1 对于函数y＝f (x)，你能给平均变化率下定义吗？
02
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01
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新知探索
C
割线斜率
自变量x：
函数值y：
函数 y＝f (x)
函数y＝f (x) 从 x0 到 的
概念生成
平均变化率的概念
平均变化率：
新知探索
问题2 一般地，对于函数 y＝f (x)在 x＝x0 处的瞬时变化率该如何表示呢？
问题2 高台跳水运动员的速度
平均速度
问题1 抛物线的切线斜率
割线斜率
瞬时速度
切线斜率
取极限
-7
x→0
t→0
追问：对于任意函数y=f(x)，当Δx无限趋近于0时，平均变化率是否一定有极限？即 ① 的值是否都是唯一确定的？
请结合以下两个实例，回答上述问题:
（1）f(x)=x2, x0∈R
(2) f(x)=|x|, x0=0
结论：并不是对所有的函数， ①的值都是一个唯一确定的值。
新知探索
则称y ＝ f (x) 在x ＝ x0处 可导
如果当 无限趋近于 0 时，平均变化率 无限趋近于一个确定的值
即 有极限，
并把这个确定的值叫做 ,
瞬时变化率
y＝f (x)在x＝x0处的
概念生成
（也称为 ）
记作 或
用极限符号表示这个定义，就是
导数
导数的概念
导数是平均变化率的极限，是瞬时变化率的数学表达.
问题3 根据导数的定义，你能用导数来重述跳水运动员速度问题和抛物线切线问题的结论吗？
问题1 抛物线的切线斜率
割线斜率
切线斜率
问题2 高台跳水运动员的速度
平均速度
瞬时速度
——瞬时变化率
——瞬时变化率
——平均变化率
——平均变化率
实际上，导数可以描述任何运动变化事物的瞬时变化率. 比如效率、交变电流、比热容、国内生产总值的增长率等.
新知探索
直接促使了导数的产生
问题3 根据导数的定义，你能用导数来重述跳水运动员速度问题和抛物线切线问题的结论吗？
实际上，导数可以描述任何运动变化事物的瞬时变化率. 比如效率、交变电流、比热容、国内生产总值的增长率等.
新知探索
例1
典例精析
解：
∵
=-1
变式：
(1)求 f′ (2)
问题4 根据导数的定义，你能归纳出求函数y=f(x)在点x0处的导数的步骤吗？
新知探索
第一步 计算函数的平均变化率= ；
第二步 求极限 ,若极限值存在，
则导数
例1
典例精析
解：
∵
=-1
变式：
(1)求 f′ (2)
(2)求 f′ (x)
从求函数y=f(x)在x=x0处导数的过程可以看到，当x=x0时，f′(x0) 是一个唯一确定的数. 这样，当x变化时，y=f′(x)就是x的函数，我们称它为y=f(x)的导函数(derived function) ( 简称导数). y=f(x)的导函数有时也记作y′，即
概念生成
导函数的概念
练习
当堂检测
设f(x)=x3,求
(1)f′(x0)
(2)f′(x)
追问：你能总结出求函数y＝f (x)的导函数f′(x)的步骤吗？
第一步，写出 并化简；
第二步，求极限 ，
例2 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热. 已知在第 x h时，原油的温度（单位：℃）为
计算第2 h与第6 h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.
导数是瞬时变化率的数学表达.
追问1：这个实际问题与导数有什么关系？
解：
在第2h和第6h时，原油温度的瞬时变化率就是 和
所以
因为
同理，
典例精析
在第2h附近，原油温度大约以3℃/h的速率下降.
在第6h附近，原油温度大约以5℃/h的速率上升.
导数(瞬时变化率)为负，体现了下降的变化趋势.
导数(瞬时变化率)为正，体现了上升的变化趋势.
追问2： 和 在这个实际问题中的意义是什么？
反映的是原油温度在时刻 x0 附近的变化情况.
例3 一辆汽车在公路上沿直线变速行驶，假设ts时汽车的速度(单位: m/s)为 y＝v(t)＝-t2＋6t＋60，求汽车在第2s与第6s时的瞬时加速度，并说明它们的意义.
解：
在第2s和第6s时，汽车的瞬时加速度就是 和
所以
因为
同理，
典例精析
瞬时加速度是速度的瞬时变化率.
在第2s附近，汽车的速度每秒大约增加2m/s.
在第6s附近，汽车的速度每秒大约减少6m/s.
课堂小结
割线斜率
平均速度
切线斜率
瞬时速度
平均变化率
瞬时变化率
极限思想
第一步 计算函数的平均变化率= ；
第二步 求极限 ,若极限值存在，
则导数
导数
作业布置
必做题：
教科书P66 练习2、3、4
选做题：
课后拓展：
查阅资料，了解导数在经济、科技等领域的应用
点击此处添加小标题
Part 01(共32张PPT)
5.1.2 导数的几何意义
人民教育出版社A版
创设情景
中华文化源远流长
历经五千年而历久弥新
四大国粹蕴含着中国固有文化精华
在历史的更迭中
具有彰显中华文化的重要价值和意义
新知探索1
某中医药研究学院研制出一种新药，为了研究该药在人体血管中药物浓度的变化情况，提出了两种检测方案。
方案一：用药物浓度的平均变化率来反应人体对该药的吸收情况。
方案二：用药物浓度的瞬时变化率来反应人体对该药的吸收情况。
答案：
问题1：你能帮科研人员计算平均变化率吗？
函数y＝f(x)的自变量x从x0到x0＋ x的平均变化率为：
问题2：如果该药物在人体血管中药物浓度随时间变化的图像如图所示，你能估算药物浓度在时间t从0.1到0.2时的平均变化率吗？（精确到0.1）
新知探索1
某中医药研究学院研制出一种新药，为了研究该药在人体血管中药物浓度的变化情况，提出了两种检测方案。
问题3：根据图象,你能解释药物浓度在时间t从0.1到0.2时刻的平均变化率表示的几何意义吗？
新知探索1
此时，平均变化率表示的是割线的斜率，即
新知探索1
问题3：根据图象,你能解释药物浓度在时间t从0.1到0.2时刻的平均变化率表示的几何意义吗？
O
P
平均变化率的几何意义
结合直线斜率的定义可知：函数在点P0到点P之间的平均变化率即为割线P0P的斜率.
新知探索1
问题4：设函数 y＝f (x) 的图象如图，点 ，点 则 在 上的平均变化率 的几何意义是什么？
方案二：用药物浓度的瞬时变化率来反应人体对该药的吸收情况。
方案一：用药物浓度的平均变化率来反应人体对该药的吸收情况。
问题1：函数的瞬时变化率（导数）怎么表示？
答案：
函数y＝f(x)在 瞬时变化率为：
新知探索2
某中医药研究学院研制出一种新药，为了研究该药在人体血管中药物浓度的变化情况，提出了两种检测方案。
方案二：用药物浓度的瞬时变化率来反应人体对该药的吸收情况。
方案一：用药物浓度的平均变化率来反应人体对该药的吸收情况。
答案：
问题2：瞬时变化率与平均变化率的关系是什么？
瞬时变化率是平均变化率当 时的极限。
新知探索2
某中医药研究学院研制出一种新药，为了研究该药在人体血管中药物浓度的变化情况，提出了两种检测方案。
问题3：根据图象，你能估算出药物浓度在t=0.2时的瞬时变化率？谈谈你的想法.
新知探索2
某中医药研究学院研制出一种新药，为了研究该药在人体血管中药物浓度的变化情况，提出了两种检测方案。
联想 探究：抛物线的切线的斜率
P
T
P0
割线位置
切线位置
无限逼近
割线斜率
切线斜率
无限逼近
问题1：抛物线的切线的斜率
平均变化率
几何意义
瞬时变化率
表示
点P → 点P0
极限
新知探索2
探究：曲线上某点处的切线
新知探索2
观察下图，当点 P 沿着曲线 趋近于点 P0 时，割线 P0 P 的变化趋势是什么？
新知探索2
在曲线y＝f (x)上任取一点P(x, f (x))
割线
切线
无限逼近
点P → 点P0
割线的极限位置就是切线
我们发现，当点P(x, f (x))沿着曲线y＝f (x)无限趋近于点P0(x0, f (x0))时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线P0T 称为 曲线 y＝f (x)在点 P0 处的切线.
新知探索2
圆锥曲线的切线
古希腊著名数学家阿波罗尼斯在《圆锥曲线》中将圆的切线定义推广到圆锥曲线的切线:圆锥曲线位于切线的同一侧，切线和圆锥曲线之间不能在插入其他直线.
螺线的切线
阿基米德(公元前287-公元前212)将螺线的切线看作是与螺线只有一个公共点,且落在螺线之外的直线.《论螺线》命题13:“若一直线与螺线相切,则他与螺线只接触于一点.”
一般曲线的切线
17世纪法国数学家费马和笛卡尔分别给出了割线逼近切线和通过法线来求切线的方法.17世纪下叶,切线为割线之极限位置的思想已经成为数学家的共识.
切线的认识
圆的切线
公元前3世纪，古希腊数学家欧几里得在《几何原本》第3卷中将圆的切线定义为“与圆相遇，但延长后不与圆相交的直线
穿越千年，感悟文化
追问2：通过逼近方式对切线作出的定义，是否适用于圆的切线呢？
追问1：此处的切线定义与初中学过的圆的切线定义有什么不同？
仍然适合
圆的切线是从直线和圆的公共点个数的角度定义的.（静态）
此处切线的定义是以逼近的方式对切线作出的定义;（动态）
新知探索2
探索：瞬时变化率f ′(x0)的几何意义是什么？
割线P0P 的斜率k
切线P0T 的斜率k0
点P → 点P0
割线位置
切线位置
无限逼近
几何意义
几何意义
导数f ′(x0)的几何意义
函数 在处的导数
曲线 在点处切线的斜率
新知探索2
探索：瞬时变化率f ′(x0)的几何意义是什么？
割线斜率
切线斜率
角度2 从表达式的结构来看
平均变化率
几
何
意
义
几
何
意
义
瞬时变化率
新知探索2
1.0
0.87
由图可以估算切线的斜率为：
由形到数,数形结合的思想
问题3：根据图象，你能估算出药物浓度在t=0.2时的瞬时变化率 （精确到0.1）
新知探索2
以直代曲的思想
将0.2附近的曲线不断放大，可以发现曲线越来越接近于直线.
因此,在点0.2附近曲线 可以用该点处的切线近似代替.
新知探索2
问题3：根据图象，你能估算出药物浓度在t=0.2时的瞬时变化率 （精确到0.1）
问题4：根据图象，你能估计t=0.4,0.6,0.8时的瞬时变化率吗？(精确到0.1）
t 0.4 0.6 0.8
药物浓度的 瞬时变化率
药物浓度瞬时变化率的估计值，
0.91
0.48
1.04
0.90
新知探索2
新知探索2
方案一：用药物浓度的平均变化率来反应人体对该药的吸收情况。
方案二：用药物浓度的瞬时变化率来反应人体对该药的吸收情况。
问题5：对于方案一和方案二，你认为哪一种检测方法能更好地反应出药物浓度的变化信息？
某中医药研究学院研制出一种新药，为了研究该药在人体血管中药物浓度的变化情况，提出了两种检测方案。
例题讲解
求f ′(x)的步骤
①求平均变化率
②取极限得导数
解：
例1 已知函数 ，求函数 的导数,并求函数在点P(1,1)处的切线方程．
求曲线在某点处的切线方程的步骤
例题讲解
求斜率
求出曲线在点处切线的斜率f ′(x0)
写方程
用点斜式f ′(x0)写出切线方程
变 形
将点斜式变为一般式
例题讲解
变式 已知函数 ，求函数在点 处的切线方程．
解：
P(1,1)
此时
所以切线方程为：
P(0,0)
直线与曲线相切时，曲线不一定在切线的同一侧
例2 根据下列条件，你能画出函数 的图象在这点附近的大致形状吗？
例题讲解
（1）
（2）
分析（1）
以直代曲的思想
（2）
t1
h
t0
O
t2
t
例3 如图是高台跳水运动中运动员的重心相对于水面的高度随时间变化的函数h(t)=-4.9t2+2.8t +11的图象. 根据图象，请描述、比较曲线h(t)在t=t0, t1, t2附近的变化情况.
l2
l1
l0
例题讲解
从图中可以看出, 直线l1的倾斜程度小于直线l2的倾斜程度, 这说明曲线h(t)在t=t1附近比在t=t2附近下降得缓慢.
解: (1)当t=t0时, 曲线h(t)在t=t0处的切线l0平行于t轴, h'(t0)=0. 这时, 在t=t0附近曲线比较平坦, 几乎没有升降.
(2)当t=t1时, 曲线h(t)在t=t1处的切线l1的斜率h'(t1)<0. 这时, 在t=t1附近曲线下降, 即函数h(t)在t=t1附近单调递减.
(3)当t=t2时, 曲线h(t)在t=t2处的切线l2的斜率h′(t2)<0. 这时,在t=t2附近曲线下降,即函数h(t)在t=t2附近也单调递减.
练习 求曲线 f (x)=x2 +1在点P(1,2)处的切线方程．
巩固练均变化率
的几何意义
01
导数
的几何意义
02
求切线的步骤
04
由形到数的思想
05
切线的定义
03
课堂小结
我的收获，我总结
以直代曲的思想
06
第五课时
问题1
问题2
导数的概念
导数的几何意义
抛物线的切线的斜率
导数的概念
？
跳水运动员的速度
导数的几何意义
一元函数的导数及其应用
课堂小结
课后作业
ye
课后作业
必做题：教科书70页习题5.1第6题、第7题.
选做题：如图，已知函数 的图象，试画出其导函数 图象的大致形状.
谢谢观看!
