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5.2.1 基本初等函数的导数
高中数学 人教A版 选择性必修第二册
新课导入
问题1 我们前面学习了哪些基本初等函数
已经求出了哪些常用函数的导数？
表示函数的图象上点处切线的斜率为，说明随着的变化，切线的斜率也在变化.另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：
当时，随着的增加，越来越小，减少得越来越慢；
当时，随着的增加，越来越大，增加得越来越快.
若减表示路程关于时间的函数，则可以解释为某物体做变速运动，它在时刻的瞬时速度为.
函数 的图象
几个常用函数的导数
问题1 我们前面学习了哪些基本初等函数
已经求出了哪些常用函数的导数？
？
几个常用函数的导数
问题2 用导数定义求导数有哪些步骤？
第一步,计算 ,并化简.
第二步,观察当 无限趋近于0时, 无限趋近于哪个定值.此时,要注意
是 的函数， 视为常量.
第三步, 无限趋近的定值就是函数 的导数.
几个常用函数的导数
求函数 的导数
几个常用函数的导数
梳理归纳
问题3 这些幂函数的导数在结构上有什么共同特征？
若 ( ，且 )，则 .
新知讲解
幂函数的导数公式
巩固练习
求下列幂函数的导数.
(1) (2) (3)
解:
利用信息技术对正弦函数 的导数进行直观探究.
新知探究
取点 ,
记 ,
点 轨迹就是正弦函数的导函数的图象.
构造 .
问题4 除幂函数外，我们还学过正弦函数、余弦函数，它们的导数是什么呢？
若 ，则 .
新知讲解
正弦函数的导数公式
若 ，则 .
余弦函数的导数公式
若 ( 且 ),则 ;
指数函数的导数公式
对数函数的导数公式
若 ( ,且 )则 ;
新知讲解
问题5 除幂函数和正余弦函数外,我们还学过指数函数和对数函数.它们的导数是什么？
特别地,若 ,则 .
特别地,若 ,则 .
常数函数
幂函数
三角函数
指数函数
对数函数
基本初等函数的导数公式
思考1: 从原函数到导函数,在结构上有何变化？对函数性质有何影响？
1.若 ( 为常数),则 ;
2.若 ( ,且 ),则 ;
3.若 ,则 ;
4.若 ,则 ;
5.若 ( ,且 )则 ;
特别地,若 ,则 ;
6.若 ( ,且 )则 ;
特别地,若 ,则 .
思考2: 从导函数到原函数,在结构上又有何变化 对函数性质有何影响？
巩固练习
求下列函数的导数.
(1) (2) (3)
(4) (5) (6)
函数类型
导数公式
求导函数
总结
解:
例1 (1)求函数 在 处的导数.
(2)求函数 在 处的切线斜率.
思考 = 成立吗？
举例应用
(1) ,则 .
(2) ,则斜率为 .
解:
变式练习
2.求函数 在 处的切线斜率.
1.求函数 的导数.
解:
例2 求曲线 在点 处的切线方程.
解:由 得 . 则切线斜率为 .
导数
总结：
切线斜率
切线方程
已知点
从而得到曲线在点 处切线的方程
即 .
举例应用
求函数 图象过点 处的切线方程.
变式练习
(1)若已知点是切点,则函数在该点处的导数就是该点处的切线斜率;
(2)如果已知点不是切点，则应先设出切点,再借助直线方程求解．
过
总结：
解：当 时, ,
.
例3 假设某地在20年间的年均通货膨胀率为5%,物价 (单位:元)与时间 (单位:年)之间的关系式为 ，其中 为 时的物价.假定某种商品的 ，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少(精确到0.01元/年)
思考: 如果某种商品的 ,那么在第10个年头,这种商品的价格上涨的速度大约又是多少
从而得到 .
即第10个年头物价上涨的速度大约为
元/年.
举例应用
延伸拓展
基本初等函数的导数
导数“运算法则”
复杂函数的导数
延伸拓展
基本初等函数的导数
几个常用函数的导数
基本初等函数的导数公式
基本初等的导数公式的应用
课时小结
(1)本节课你学习了哪些内容？
课时小结
(2)本节课,我们经历了怎样的学习过程？
课时小结
(3)通过学习，你还有什么感受，请谈谈你的认识.
归纳推理
求正弦函数的导数
正弦函数导数公式发现方式
几个常见函数的导数
过某点的切线
原函数与导函数的结构变化
导数的几何意义
特殊到一般思想
导数的定义
求幂函数导数
数形结合思想
求导三步骤
在某点的切线
类比思想
基本初等函数的导数
【拓展题】请你选取两个基本初等函数,通过运算构成简单的新函数,求
新函数的导数,并与原函数的导数相对照,你有什么发现吗？
课后作业
【必做题】 1.求下列函数的导数：(1) , (2) .
2.求曲线 在点 处的切线方程.
【选做题】1.过点 作曲线 的切线,求切线方程.
2.已知关于 的方程 恰有一个根,求 的取值范围.
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§5.2.2 导数的四则运算法则
人民教育出版社 高中数学 选择性必修第二册
第五章 一元函数的导数及其应用
基本初等函数的导数公式 幂(常)函数
三角函数
指数函数
特别地，若 对数函数
特别地，若
创设情境 问题驱动
发现：
发现：
回顾：上节课作业：请你选取两个基本初等函数，通过运算构成简单的新函数，求新函数的导数，并与原来函数的导数相对照，你有什么发现吗？
问题：导数公式表中为什么没给正切函数的导数？
创设情境 问题驱动
若特殊成立，一般未必成立.
探究：对于一般的函数，？
则
同理可得
探究新知 建构法则
定义法求的导数：
1.
例1.求下列函数的导数：
问题：函数的构成方式是怎样的？用什么方法求导
一般地，对于两个可导函数的和（或差）的导数，有如下法则：
推广：
(c为常数)
探究新知 建构法则
巩固新知 辨析法则
问题：请你猜想两函数积（或商）的求导法则是怎样的？
，
若特殊不成立，
一般一定不成立.
验证：
类比猜想 再次建构
发现：
探究：对于两个可导函数，
类比猜想 再次建构
定义法求的导数：
1.
设
探究：对于两个可导函数，
请你提供推导方案.
为常数
解：
巩固新知 辨析法则
例3 日常生活中的饮用水通常是经过净化的.随着水的纯净度的提高，所需净化费用不断增加.已知将1 t水净化到纯净度为%时所需费用（单位：元）为
求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：（1）90%; （2）98%.
说明：水的纯净度越高，需要的净化费用就越多，而且净化费用增加的速度也越快.
问题：何为“所需净化费用的瞬时变化率”？
分析
（1）=
净化到纯净度为90%时，净化费用的瞬时变化率是元∕吨；
净化到纯净度为98%时，净化费用的瞬时变化率是元∕吨.
（2）
结果的实际意义是什么？
练习 1.
分析：
所求的切线方程为：
即：
巩固新知 辨析法则
2.求函数的导数：（1）
正用法则
（运算结构）
基本初等函数导数公式
特殊函数
归纳、猜想
论证一般性
类比猜想、验证
和差求导法则
积商求导法则
求函数的导数
求切线方程
想一想：由基本初等函数还可以构成其他形式的函数吗？又该怎样求导呢？
课堂小结 总结提升
辨析法则
（运算结构）
推导一般性
实际生活应用
1.求导数：
1.请推导商的求导法则。除了课堂上讨论的方案，你还有其它的推导方法吗？
2. 你能从右边的结果看出求导之前的函数吗
2.补齐表格中函数的导数：
3. 已知函数
4.求曲线在点（1,4）处的切线方程.
分层作业 理解运用
必做：
选做：
安徽省蚌埠第三中学 姚翀超
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