(共23张PPT)
一元函数的导数及其应用
5.2.3 简单复合函数的导数
第一节
导数的概念及其意义
★第二节
导数的计算（4课时）
第三节
导数在研究函数中的应用
分讲1（1课时）
基本初等函数的
导数公式
分讲2（1课时）
导数的四则运算
法则
★分讲3（1课时）
简单复合函数的
导数
第五章
一元函数的导数及其应用
分讲4（1课时）
牛顿法—用导数求
方程近似解
基本初等函数的导数公式：
复习引入
导数的四则运算法则：
新知探究一
探究1 ，能否从其他的角度去推导 的导数？
小明认为： ，
由 可知， 的导数为
即 ，
为何与上述结论不一样？
新知探究二
思路2：先用二倍角公式将式子展开，
求导可得
探究2 如何求函数 的导数？
思路1：由 可知
探究3 如何求函数的导数？
新知探究三
不是基本初等函数，没有求导公式
不是基本初等函数的和、差、积、商，不能用导数的四则运算法则解决这个问题.
因为
以函数为例
设，则，可以看成是由和经过“复合”得到的，即可以通过中间变量表示为自变量的函数.
新知探究三
如果把 与 的关系记作 和，与 的关系记作 ，那么这个“复合”的过程可表示为 .
概念形成
复合函数的概念
一般地，对于两个函数和，如果通过中间变量，可以表示成的函数，那么称这个函数为函数和的复合函数，记作.
内层函数
外层函数
例如，函数是由和复合而成.
例如，函数是由和复合而成.
新知探究四
探究4 如何求复合函数的导数呢？
(1) 猜想 的导数与函数的导数有关.
表示的导数，表示的导数，表示的导数
（3) 另一方面
(2) 一方面
追问1：换个复合函数试试，还能得到这样的结论吗？
不妨探究的导数，寻找规律
可以发现
新知探究四
追问2 你能利用导数的定义推导简单复合函数的导数吗？
概念形成
复合函数的求导法则
一般地，对于由函数和复合而成的函数，它的导数与函数，的导数间的关系为
追问3：现在能否解决探究3的问题？
即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积.
典例分析
探究3 如何求函数的导数？
函数可以看作函数和的复合函数，
所以
典例分析
例 求下列函数的导数:
解：
探究5 你能总结求复合函数y＝f (g(x))的导数的一般步骤吗？
方法归纳
(1)观察函数结构，识别构成复合函数的基本初等函数；
(2)引入中间变量，运用基本初等函数的求导公式与复合函数的求导法则运算；
(3)用中间变量关于自变量的函数替换掉中间变量，得到关于自变量的导数.
分解
求导
回代
巩固练习
1. 求下列函数的导数:
巩固练习
1. 求下列函数的导数:
典例分析
例 某个弹簧震子在震动过程中的位移单位:mm) , 关于时间(单位:)的函数满足关系式 . 求函数在时的导数，并解释它的实际意义.
解：函数 是 与 的复合函数
则
当时，
它表示当时，弹簧震子的瞬时速度为
函数还可以看作哪两个函数的复合函数？
解：函数化为，看作和的复合函数，
有
当时， .
所以，弹簧振子在的瞬时速度为.
知识应用
课后总结
1.本节课收获了哪些知识？
2.在获得知识的过程中用到了哪些思想、方法？
复合函数
简单复合函数求导法则
特殊到一般、转化、化归思想
观察、猜想、归纳 、证明
必做题
1.求下列函数的导数
2.求曲线 在点 处的切线方程.
3. 利用 ， ，证明
课后作业
简单复合函数的一种几何解释
1.阅读探索：请完成下列的填空
问题1
问题2 函数 ， ， 图象可由 图象通过图象变化得到，你能从图象变化的角度结合导数的几何意义对这三个等式做进一步的解释吗
（1） 图象由 图象经过上下___得到， 和 在 处的切线斜率相等，所以 在 处的导数与 在 处的导数___，即
（2） 图象由 图象关于___对称得到， 和 在 处的切线斜率______，所以 在 处的导数与 在 处的导数____，即
（3） 图象由 图象横坐标不变，纵坐标变为原来的__倍得到， 在 处的切线斜率是 在 处的切线斜率的__倍，所以 在 处的导数是 在 处的导数的__倍，即
问题3 （1） 图象可由 图象向__平移__个单位得到，那么 在 处的切线斜率_____与 在____处的切线斜率相等，也就是 在 处的导数与 在______处的导数相等
课后作业
选做题
选做题
（2） 图象可由 图象向__平移__个单位得到， 在 处的切线斜率与 在_____处的切线斜率相等，那么 在 处的导数与 在______处的导数相等，即
（3） 图象可由 图象关于____对称得到， 在 处的切线斜率_______与
在 处的切线斜率______，也就是 在 处的导数与 在 处的导数________
（4） 图象可由 图象关于____对称得到， 在 处的切线斜率与 在____处的切线斜率互为相反数，也就是 在 处的导数与 在 处的导数________，即
问题4 仿照上述的探究，利用下图，通过 与 的图像变化以及 在 处的切线斜率与 在 处的切线斜率的关系，进一步解释
问题5 利用上述探究，你能得到 的导数吗
课后作业
简单复合函数的一种几何解释(共13张PPT)
牛顿法——用导数方法求方程的近似解
人民教育出版社 高中数学
选择性必修第二册
第五章 一元函数的导数及其应用
创设情景
试一试：用牛顿法求方程的近似解，精确度
解：令，则
迭代第一步：
，则
探究新知
请大家总结用“牛顿法”求方程近似解的步骤：
1.确定初始值 和精确度；
2.计算 ，
并计算 ;
3.若满足,则即为所求，
否则令，回到步骤2.
若呢？
想一想：若意味着什么？该怎么办？
(可以改变一个初始值)
即为精确解)
探究新知
你还学习过求方程近似解的其他方法吗？
用二分法求方程在区间（2,5）上的近似解，精确度
解：
想一想
“牛顿法”
“二分法”
优点：
缺点：
优点：
可以求“不变号零点”；
迭代次数少；
运算相对繁琐.
运算相对简洁；
缺点：
对初始值要求较高；
迭代次数多；
只能求变号零点.
总结对比
牛顿法又称牛顿切线法、牛顿迭代法.
古代的巴比伦迭代算法被认为是牛顿迭代法最古老的源头.
成书于约公元1世纪的《九章算术》中记载的迭代算法——开方术，是世界上现存最早的多位数开方程序.
在科学计算和工程计算上，牛顿迭代法是求方程近似解的最重要的通用算法.它的创立并不仅仅是大数学家牛顿一人，巴比伦-海伦，韦达、拉夫森、辛普森等等，许多数学家不断地将看似简单的牛顿法赋予新的内涵.
直到今天，关于牛顿迭代法的研究仍是科学领域的热点问题.
借助图形直观
认识牛顿法
求方程近似解
代数发现
单元总结
第五章
一元函数的导数及其应用
第一单元
导数的概念及其意义
背 景
平均速度
瞬时速度
割线斜率
切线斜率
导数
导数的概念
抽象
导数
导数的几何意义
第二单元
导数的运算
导数
基本初等函数的导数公式
导数
导数的四则运算法则
导数
复合函数的导数
第三单元
导数在研究函数中的
应用
？
单元总结
随机变量相关性
常量数学时期
（静态）
变量数学时期
（动态）
函 数
微积分
四大科学问题
……
运动速度
曲线的切线
函数的最值
长度面积体积
重心等
微分
积分
导数
应用
运算
概念
概念与性质
幂、指、对、三角函数、数列等
应用
已学
深入研究
单元总结
拓展作业
1.请借助信息技术，选择以下其中一个题目作答，并与其他同学交流你的成果和体会.
（1）一元二次方程是数学史上经典的求黄金分割的方程式.请你用所学方法求该方程的近似解（精确度为）.
（2）意大利数学家斐波那契曾研究过三次方程的求解问题，给出了一个精度非常高的近似解：，这在当时是非常重要的结果，但他并未给出求解过程.请你用所学方法求方程的近似解（精确度为）.
2. 除了牛顿法和二分法，还有其它求方程近似解的方法吗？牛顿法有其局限性吗？请收集相关资料，与同学之间交流.
3.收集关于方程数值求解的数学发展史，中外迭代算法的发展史，同学之间交流成果和体会.
谢 谢 观 看！
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