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《圆柱和圆锥》单元整体设计
单元主题解读
课程标准要求分析
《圆柱和圆锥》单元是“图形与几何”方面的重要内容。《义务教育数学课程标准(2022年版)》在“课程内容”的“第三学段”中提出：
在“内容要求”中指出：“认识长方体、正方体和圆柱，了解这些图形的展开图，探索并掌握这些图形的体积和表面积的计算公式，认识圆锥并探索其体积的计算公式，能用这些公式解决简单的实际问题。”
在“学业要求”中指出：“认识长方体、正方体和圆柱，能说出这些图形的特征，能辨认这些图形的展开图，会计算这些图形的体积和表面积；认识圆锥，能说出圆锥的特征，会计算圆锥的体积；能用相应公式解决简单的实际问题，形成空间观念和初步的应用意识。”
在“教学提示”中指出：“借助现实生活中的实物，引导学生通过观察、操作等活动，认识长方体、正方体、圆柱、圆锥等立体图形的特征，沟通立体图形之间的联系，如圆柱和圆锥的相同点和不同点，以及平面图形和立体图形之间的联系，增强空间想象能力。引导学生经历体积单位的确定过程，通过操作、转化等活动探索立体图形的体积和表面积的计算方法。让学生借助折叠纸盒等活动经验，认识立体图形展开图、建立立体图形与展开后的平面图形之间的联系，培养空间观念和空间想象能力。”
单元教材内容分析
本单元安排了5个例题，虽然例题数量不多，但却包含了圆柱和圆锥的重难点。例题1教学圆柱和圆锥的特征，首先结合实物初步感知圆柱和圆锥的特点，接着通过对两个立体图形的进一步观察，认识直观图、底面、侧面和高。例2通过求商标纸的面积让学生认识就是求圆柱侧面积的问题，启发学生沿着圆柱的高剪开，展开得到长方形，从而通过“化曲为直”的方法，探索出了求圆柱的侧面积的方法。例题3要求学生在方格纸上画出圆柱的展开图，得到本课的重点就是求两个圆面积和一个侧面面积的和，即求圆柱表面积。例题2和例题3的计算中，教材也出示不把“π”的值代入计算，可以用含有π的式子表示计算结果。例题4教学圆柱的体积，主要抓住两个关键步骤，一是引导学生比较与圆柱同底同高的长方形、正方形体积之间的关系，初步提出有关圆柱体积计算的猜想，二是利用“割圆”经验验证猜想。例题5的教学内容为探究圆锥的体积公式，本课学习新知的方法依然是“提出猜想-实验验证-获得结论”。通过实验操作“倒水法”或者“倒沙子”探索并发现等底等高的圆柱和圆锥体积之间的关系，从而推导出圆锥的体积。
学生认知情况
学生已经探索并掌握了长方形、正方形和圆等一些常见的平面图形的特征，以及长方体、正方体的特征，且已经掌握了转化的数学思想，积累了探索的经验，准备了研究的方法，同时学生在此前对圆柱的直观认识和在日常生活中对这两种几何体的接触，都为探究圆柱的侧面积、表面积、体积以及圆锥的体积奠定了基础。
单元目标拟定
1. 使学生通过观察、操作等活动认识圆柱和圆锥，知道圆柱和圆锥底面、侧面和高的含义，掌握圆柱和圆锥的基本特征。
2. 使学生在具体情境中，经历操作、猜想、估计、验证、讨论、归纳等数学活动过程，探索并掌握圆柱侧面积和表面积的计算方法，以及圆柱和圆锥的体积计算公式，能解决与圆柱表面积以及圆柱圆锥体积计算相关的一些简单的实际问题。
3. 使学生在活动中进一步积累空间与图形的学习经验，增强空间观念，发展数学思考，培养初步的分析、综合、比较、抽象、概括和简单的判断、推理能力。
4. 使学生进一步体会图形与实际生活的联系，感受立体图形学习的价值，提高数学学习的兴趣和学好数学的自信心。体会类比、转化等数学思想，初步发展推理能力。
三、关键内容确定
（一）教学重点
1.经历圆柱、圆锥制作过程，探索并掌握圆柱表面积计算方法，将方法迁移至研究圆锥表面积，在解决相关实际问题中提升推理意识和应用意识，形成一定的研究数学问题的方法。
2.通过沟通平面、立体图形的联系，自主尝试用转化法推导圆柱、圆锥的体积，在解决相关实际问题中提升推理意识和应用意识，进一步发展度量的“一致性”思想。
（二）教学难点
1．经历圆柱、圆锥制作过程，探索并掌握圆柱表面积计算方法。
2．自主尝试用转化法推导圆柱、圆锥的体积。
四、单元整合框架及说明
整合指导思想定位：
会用数学的眼光观察现实世界
会用数学的思维思考现实世界
会用数学的语言表达现实世界
这是数学课程的核心素养内涵。《数学课程标准》指出：“每一堂课都应该以学生为中心，以探究为手段，积极发展学生的求异思维，以培养学生各种能力为目的，最终让学生形成一种新型的数学思想，养成数学能力，体验数学与生活的关系。”
本单元教材的具体编排结构：
本单元教科书编写的基本特点主要体现在以下几个方面：*.1
1. 从学生的生活实际出发，结合具体实物，利用学生已有的经验开展教学活动。圆柱和圆锥是日常生活中较为常见的几何体，也是基本的立体图形。学生在此前对圆柱的直观认识和在日常生活中对这两种几何体的接触，为学生顺利开展学习活动奠定了基础。在教学圆柱和圆锥的基本特征时，让学生观察并列举常见的圆锥或圆锥形状的物体，充分发挥实物的直观作用。在教学圆柱和圆锥的体积时，让学生借助具体实物进行观察、操作和实验，为学生的自主探索提供必要的支撑。
2. 充分关注猜想和估计在探索学习中的作用，精心设计探索圆柱和圆锥体积公式的活动线索。在探索圆柱的体积公式时，首先让学生观察底面积和高分别相等的长方体、正方体和圆柱，猜想这三种形体体积之间的关系，再启发学生把以前探索圆面积公式的经验和方法迁移到探索圆柱体积公式的过程中来，进而推导出圆柱的体积公式，验证自己的猜想。在探索圆锥的体积公式时，也让学生观察底面积和高分别相等的圆柱和圆锥，估计圆锥的体积是圆柱的几分之几，再通过实验验证自己的估计，从而推导出圆锥的体积公式。这样联系长方体体积公式猜想圆柱的体积公式，联系圆柱的体积估计圆锥的体积，在猜想或估计的基础上通过实验和操作进行验证，有利于提升学生的数学思维水平，培养学生的学习能力，增强学生对相关数学知识和方法的体验。
3. 重视所学知识的综合应用，让学生在应用中感受数学知识的内在联系，不断提高解决实际问题的能力。例如，在学习圆柱表面积计算方法后，让学生计算制作队鼓、油桶、通风管、灯笼等需要的材料。
单元课时规划
单元划分依据 □课程标准 教材章节 □知识结构
课程内容模块 数与代数 图形与几何 □统计与概率 综合与实践
单元数量 1
单元主题 单元名称 主要内容 课时
图形与几何 圆柱和圆锥 认识圆柱和圆锥 1
圆柱的表面积 1
圆柱的体积 1
圆锥的体积 1
重点渗透的数学思想方法 抽象 符号化 分类 □集合 对应 演绎 归纳 类比 转化 数形结合 □极限 模型 □方程 □函数 □统计 分析 综合 比较 □假设 □其他
课时 学习目标 评价形式 评价标准
2.1《认识圆柱和圆锥》 目标：使学生在观察、操作、交流等活动中感知并发现圆柱和圆锥的特征，知道圆柱和圆锥的底面、侧面和高。使学生在活动中进一步积累认识立体图形的学习经验，增强空间观念、发展数学思考。 任务一：认识圆柱。 图中哪些物体的形状是圆柱体？圆柱体简称圆柱。仔细观察圆柱，说说圆柱有什么特征。 → 任务二：认识圆锥 每个小组里课前也准备了一些物体，请大家从里面挑出圆锥形状的，就像刚才我们研究圆柱一样，看看圆锥有什么特征？→ 任务三：比较圆柱和圆锥的特征。 圆锥和圆柱有哪些相同点，哪些不同点？ → 1.能够认识圆柱，发现圆柱的基本特征。 2. 能够认识圆锥，发现圆锥的基本特征。 3.通过比较圆柱和圆锥的相同点和不同点，加深知识的理解，培养学生归纳总结的能力。
2.2《圆柱的表面积》 目标：理解圆柱的侧面积和表面积的含义，掌握圆柱侧面积和表面积的计算方法。运用所学的圆柱的表面积和侧面积的知识解决简单的实际问题。 任务一：圆柱的侧面积。 出示一个带完整商标的罐头盒。 这个罐头盒是什么体？(圆柱)它的侧面是哪个面？ → 任务二：圆柱的表面积 据自己的理解说一说什么是圆柱的表面积？ → 1.理解圆柱的侧面积和表面积的含义。 2.掌握圆柱侧面积和表面积的计算方法。
2.3《圆柱的体积》 目标：引导学生借助圆的面积计算公式的推导方法来推导圆柱的体积公式，并理解这个过程。学会用圆柱的体积公式计算圆柱形状的物体的体积和容积，运用公式解决一些简单的问题。 任务一：提出猜想 猜一猜，圆柱的体积与长方体、正方体的体积相等吗？圆柱的体积公式可能是什么？如何验证自己的猜想呢？ → 任务二：验证猜想 这只是我们的一种猜想，需要进一步去验证，你想用什么方法验证呢？怎么想到这种方法的？和你的同桌说说自己的想法。→ 任务三：得出结论 以小组为单位，讨论圆柱的体积应怎样计算。→ 理解借助圆的面积计算公式的推导方法来推导圆柱的体积公式过程。 学会用圆柱的体积公式计算圆柱形状的物体的体积和容积，运用公式解决一些简单的问题。
2.4《圆锥的体积》 目标：探索并初步掌握圆锥的体积计算方法和推导过程，学会应用公式计算圆锥的体积并解决一些实际问题。提高学生实践操作、观察比较、抽象概括及逻辑推断的能力，发展空间观念，培养学生的合作意识和探究意识。 任务一：提出猜想 你们觉得之前学过的哪一个物体体积的计算方法，与圆锥有关呢？ 能大胆猜想一下圆柱和圆锥体积之间存在着什么样的关系吗？→ 任务二：推导圆锥的体积计算公式 通过实验，你们发现了所给的圆锥、圆柱在体积上有什么关系？ 根据这个关系怎样求出圆锥的体积？→ 理解圆锥的体积计算方法和推导过程。 能应用公式计算圆锥的体积并解决一些实际问题
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《2.4 圆锥的体积》教学设计
课题 圆锥的体积 单元 第二单元 学科 数学 年级 六年级
教材分析 例题5出示了一个和圆锥等底等高的圆柱，让学生根据上节课所学的圆柱的体积公式猜测出圆锥的体积的关系，接着再通过倒水法或者倒沙法验证自己的猜想，让学生通过动手操作理解圆锥的体积公式是在圆柱的体积公式上乘三分之一，也使得学生深刻地体会圆锥体积必须要乘三分之一的必要性，从而充分地理解圆锥的公式的由来。
学习 目标 1.学习目标描述：引导学生探索并初步掌握圆锥的体积计算方法和推导过程，学会应用公式计算圆锥的体积并解决一些实际问题。 2.学习内容分析：提高学生实践操作、观察比较、抽象概括及逻辑推断的能力，发展空间观念，培养学生的合作意识和探究意识。 3.学科核心素养分析：使学生获得成功的体验，体验数学与生活的联系。
重点 理解和掌握圆锥的体积公式，能正确运用圆锥的体积公式解决实际问题。
难点 圆锥体积公式的推导过程。
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 复习旧知 （1）圆锥有什么特征？ 圆柱体积的计算公式是什么？ 我们学习了圆柱的体积，还认识了圆锥体，圆锥的体积怎样计算呢？ 它又是怎样推导出来了呢？这节课我们就来研究这个问题。（板书课题：圆锥的体积） 使学生进一步熟悉圆锥的特征：底面、侧面、高和顶点。 指名学生回答，并出示公式：“圆柱的体积=底面积 ×高” 通过复习导入，学生回顾圆锥的特征及高，为后面圆锥体积公式的推导做好铺垫。
讲授新课 任务一：提出猜想 观察猜想 师：你们觉得之前学过的哪一个物体体积的计算方法，与圆锥有关呢？圆锥的体积计算又与什么有关呢？ 师：为什么？ 师：同学们都是这样认为的吗？ 师：那你们能大胆猜想一下圆柱和圆锥体积之间存在着什么样的关系吗？ （板书：V圆柱=3V圆锥 V圆锥=V圆柱 ） 师：那有了猜想，我们接下来该干什么？ 师：对，我们要用实验去验证我们的猜想。 生1：圆柱 生2：圆锥的体积应该与圆锥的底面积有关。 生3：圆锥的体积可能跟圆锥的高有关。 生：因为圆柱的底面和圆锥的底面都是圆形。 生1： V圆柱=3V圆锥。 生2： V圆锥=V圆柱。 教学中，引导学生在生活情境中提炼出数学问题，培养学生发现问题、提出问题的能力，同时体会到数学与生活密切相关。 简明扼要地复习，为新课教学做好充分的知识铺垫。
任务二：推导圆锥的体积计算公式 实验准备：提供实验用具，1个圆柱和一个圆锥实验杯，一瓶矿泉水 引导学生观察用来实验的圆锥、圆柱的特点：圆柱和圆锥都是等底等高 （师板书：等底等高） 学生实验： 你想怎么做实验？ 小组内议一议，老师指导。 你们小组是怎样进行实验的？ 通过实验，你们发现了所给的圆锥、圆柱在体积上有什么关系？ 根据这个关系怎样求出圆锥的体积？ （教师板书） 圆锥的体积= ×底面积×高 师：如果用V表示圆锥的体积，S表示圆锥的底面积，h表示圆锥的高，圆锥的体积公式可以写成V=Sh。 2.回顾圆锥体积公式的探索过程，你有什么体会？ 3.拓展延伸 教师拿出许多大小不等的圆柱形容器和圆锥形容器展示给学生。 比较大小不同的圆柱形容器和圆锥形容器的体积大小，通过比较，你发现了什么？ 通过动手操作，发现：只有等底等高的圆柱和圆锥，才有圆锥体积是圆柱体积的。 请同学们以小组为单位进行实验，在实验中，注意填好实验报告表。 生：我们把圆锥装满水，倒入这个圆柱体当中，正好倒了3次倒满，得出圆锥的体积等于这个圆柱的体积的三分之一。 生1：从已经学过的圆柱体积公式想起。 生2：比较等底等高的圆柱和圆锥，先观察猜想，再验证。 生3：实验也是解决问题的重要方法。 通过实验、观察、比较、交流，发现等底等高的圆柱和圆锥体积之间的倍数关系，总结出求圆锥体积的常规方法，并应用它解决实际问题，从而真正体会到数学来源于实际生活，又应用于实际生活。学生经历猜想一验证一结论一应用的过程，在这个过程中发展推理意识。
课堂练习 基础题： 1.填空。 （1）圆锥的体积等于和它（ ）的圆柱体积的（ ），圆锥的体积计算公式可以写成（ ）。 （2）一个圆锥的体积是7.2立方米，与它等底等高的圆柱的体积是（ ）立方米。 2.填空。 ①一个圆锥与一个圆柱等底等高，已知圆锥的体积是 8 立方米，圆柱的体积是（ ）。 ②一个圆锥与一个圆柱等底等体积，已知圆柱的高是 2 厘米， 圆锥的高是（ ）。 ③一个圆锥与一个圆柱等高等体积，已知圆柱的底面积是 6平方米，圆锥的底面积是（ ）。 3.一堆混凝土近似圆锥形，底面周长是25.12 m，高是1.5 m，每立方米混凝土重1.5吨，这堆混凝土约重多少吨？ 引导学生能够在课堂练习的完成过程中对要点知识加深巩固，语言，有效应用。
提高题： 4.一个圆锥与一个圆柱等底等高，已知它们的体积之和是48 立方分米，那么圆锥的体积是多少立方分米？圆柱呢？ 5.有一块正方体的木材，它的棱长是12分米，把这块木料加工成一个最大的圆锥体，这个圆锥的体积是多少？
拓展题 6.一个圆柱形橡皮泥，底面积是12cm ，高是5cm。 （1）如果把它捏成同样底面大小的圆锥，这个圆锥的高是多少？ （2）如果把它捏成同样高的圆锥，这个圆锥的底面积是多少？
课堂小结 通过本节课的学习，你们有什么收获？ 学生自由说说。 课堂小结可以帮助学生理清所学知识的层次结构，掌握其外在的形式和内在联系，形成知识系列及一定的结构框架。
板书 圆锥的体积 圆锥的体积是与它等底等高的圆柱体积的三分之一。 圆锥的体积=×底面积×高 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系。
作业设计 【知识技能类作业】 1.判断 ① 圆柱体的体积一定比圆锥体的体积大。 （ ） ② 圆锥的体积等于和它等底等高的圆柱体的。 ( ) ③ 正方体、长方体、圆锥体的体积都等于底面积×高。 （ ） 2.计算下列圆锥的体积。 3.填空。 （1）一个圆柱的体积是18.84立方米，与它等底等高的圆锥体积是（ ）立方米。 （2）一个圆锥的体积是18.84立方分米，与它等底等高的圆柱体积是（ ）立方分米。 4.把一块底面直径是12厘米的圆锥形木块，沿底面直径把它分成两个形状、大小完全相同的木块后，表面积比原来增加了96平方厘米。这个圆锥形木块的体积是多少？
【综合实践类作业】 将一张直角三角形硬纸绕两条直角边旋转会形成什么立体图形？
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