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第一章 整式的乘除
1.1.4同底数幂的除法
郑州外国语教育集团朗悦校区 姚倩
一 学习目标
三 新知讲解
五 当堂检测
二 复习回顾
四 课堂总结
六 作业布置
一 学习目标
基础性目标
1.我能类比同底数幂的乘法推导出理解同底数幂相除的法则.
拓展性目标 2.我能归纳出同底数幂相除的法则，并运用法则解决简单问题.
3.我能说出零次幂和负整数指数幂的意义，并能进行负整数指数幂的运算．
4. 我会用科学记数法表示绝对值小于1的数.
挑战性目标
5.我能模仿老师给的练习，尝试改编或创编类似的练习.
6.我能对其他同学的运算或改编、创编练习进行评价，并给出合理建议.
二 复习回顾
预备性知识：
我们前面我们学习了哪些幂的运算？
同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方
2. 计算下列各式，结果用幂的形式表示
三 新知讲解
活动1：（基础性目标1）
一种液体每升含有1012个有害细菌，为了试验某种杀菌剂的效果,科学家们进行了实验,发现1滴杀虫剂可以杀死109个此种细菌， 要将1升液体中的有害细菌全部杀死，需要这种杀菌剂多少滴？你是怎样计算的？
问1：怎样列式？
1012÷109
问2：观察你所列的算式，它有什么特点？
我们观察可以发现，1012 和109这两个幂的底数相同，是同底的幂的形式.所以我们把1012 ÷109这种运算叫作同底数幂的除法.
三 新知讲解
活动2： （基础性目标1）
根据同底数幂的乘法法则进行计算：
【填一填】
三 新知讲解
活动2： （基础性目标1）
【做一做】计算下列各式，并说明理由（m>n）
1012÷109 10m÷10n； (-3)m÷(-3)n
103 10m-n (-3)m-n
问：让我们思考一下下面两个问题
（1）等号左边是什么运算？
（2）等号左右两边的指数有什么关系？
等号左边是同底数幂的除法
等号右边的指数等于等号左边指数的差
三 新知讲解
活动3：（拓展性目标1）
请同学们自主思考后，整理后进行展示.
（1）参考以上三个问题的解题过程，尝试计算 （m、n都是正整数）.
（2）比较以上算式的计算结果与原式，底数和指数分别有什么规律？
总结：同底数幂的乘法法则：
同底数幂相除，底数不变，指数相减.
数学符号语言: （a≠0，m、n都是正整数，且m＞n） .
拓展性练习1：计算
（1） （2）
（3） （4）
三 新知讲解
三 新知讲解
活动4：（拓展性目标2）
【计算】
【思考】
（1）要使得当m=n或m＜n时， （a≠0，m，n都是正整数仍然成立，上述计算结果用幂的形式又该如何表示？
（2）比较计算及（1）中各式对应的结果，你有什么发现？与同伴进行交流.
【总结】
我们规定， ，
活动5：（拓展性目标3）
【填一填】
104=10000 24=16
10（ ）=1000 2（ ）=8
10（ ）=100 2（ ）=4
10（ ）=10 2（ ）=2
【猜一猜】下面的括号内该填入什么数？你是怎么想的。
三 新知讲解
拓展性练习2：用小数或分数表示下列各数：
（1）10－3； （2）70×8－2； （3）1.6×10－4.
（1）0.001 （2） （3）0.00016
三 新知讲解
【尝试思考】
有的细胞直径只有1微米（μm），即0.000001m； 10-6m
某种计算机完成一次基本运算的实践约为1纳秒（nm），即0.000000001s； 10-9s
一个氧原子的质量为0.00000000000000000000000002657kg. 2.657×10-26kg
你能用负指数表示这些数吗？
归纳：一般地，一个小于1的数可以表示为 的形式，其中1≤a＜10，n是负整数.
拓展性练习3：用科学记数法表示下列各数：
(1) 0.000 000 0001 ； (2) 0.000 000 000 0029 ； (3) 0.000 000 001295 .
1×10-10 2.9×10-12 1.295×10-9
三 新知讲解
四 课堂总结
说说本节课你的收获
五 当堂检测
1．（基础性知识）用符号表示同底数幂的除法法则.
2.(拓展性知识) 计算：
(1) x12÷x4 ； (2) (－y)3÷ (－y)2 ； (3) －(k6 ÷ k6)；
(4)(－r)5÷ r4 ； (5) m÷m0 ； (6) (mn)5÷ (mn).
3. (拓展性知识)若7x＝m，7y＝n，则7x－y等于( )
A．m＋n B．m－n C．mn D.
4.（拓展性知识） 数据 0.000 031 4 用科学记数法表示为（ ）
A. 31.4×10–4 B. 3.14×10–5 C. 3.14×10–6 D. 0.314×10–6
5.(挑战性知识) 已知3m=2, 9n=10, 求33m－2n 的值.
6.（挑战性知识）请你利用本节课所学知识编写一组题，包含同底数幂的除法，零次幂，负指数幂，并与同桌互换进行计算.
五 当堂检测
1．（基础性知识）用符号表示同底数幂的除法法则. （a≠0，m，n都是正整数）
2.(拓展性知识) 计算：
(1) x12÷x4 ； (2) (－y)3÷ (－y)2 ； (3) －(k6 ÷ k6)；
(4)(－r)5÷ r4 ； (5) m÷m0 ； (6) (mn)5÷ (mn).
(1) x8； (2) －y；(3) －1；(4) －r； (5) m； (6) m 4 n 4.
3. (拓展性知识)若7x＝m，7y＝n，则7x－y等于( D )
A．m＋n B．m－n C．mn D.
4.（拓展性知识） 数据 0.000 031 4 用科学记数法表示为（ B ）
A. 31.4×10–4 B. 3.14×10–5 C. 3.14×10–6 D. 0.314×10–6
5.(挑战性知识) 已知3m=2, 9n=10, 求33m－2n 的值.0.8
6.（挑战性知识）请你利用本节课所学知识编写一组题，包含同底数幂的除法，零次幂，负指数幂，并与同桌互换进行计算.
六 作业布置
见自主学习单
Thanks!
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—— 郑州外国语教育集团朗悦校区 姚倩
预备性知识：
我们前面我们学习了哪些幂的运算？
同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方
2. 计算下列各式，结果用幂的形式表示
解：（1） （2）
活动1：（基础性目标1）
一种液体每升含有1012个有害细菌，为了试验某种杀菌剂的效果,科学家们进行了实验,发现1滴杀虫剂可以杀死109个此种细菌， 要将1升液体中的有害细菌全部杀死，需要这种杀菌剂多少滴？你是怎样计算的？
问1：怎样列式？
1012÷109
问2：观察你所列的算式，它有什么特点？
我们观察可以发现，1012 和109这两个幂的底数相同，是同底的幂的形式.所以我们把1012 ÷109这种运算叫作同底数幂的除法.
活动2： （基础性目标1）
根据同底数幂的乘法法则进行计算：
【填一填】
【做一做】计算下列各式，并说明理由（m>n）
1012÷109 = 103 10m÷10n =10m-n (-3)m÷(-3)n=(-3)m-n
问：让我们思考一下下面两个问题
（1）等号左边是什么运算？
等号左边是同底数幂的除法
（2）等号左右两边的指数有什么关系？
等号右边的指数等于等号左边指数的差
活动3：（拓展性目标1）
请同学们自主思考后，整理后进行展示.
参考以上三个问题的解题过程，尝试计算（m、n都是正整数）.
比较以上算式的计算结果与原式，底数和指数分别有什么规律？
底数不变，结果的指数等于原式的指数相减
总结：同底数幂的乘法法则：
同底数幂相除，底数不变,指数相减.
数学符号语言: （a≠0，m，n都是正整数）.
拓展性练习1：计算
(1) ； (2) ；
(3) ； (4) .
（1） (2) (3) (4)
活动4：（拓展性目标2）
【计算】
，，，
，，，
【思考】
（1）要使得当m=n或m＜n时，（a≠0，m，n都是正整数仍然成立，上述计算结果用幂的形式又该如何表示？
（2）比较计算及（1）中各式对应的结果，你有什么发现？与同伴进行交流.
总结：我们规定，，.
活动5：（拓展性目标3）
【填一填】
104=10000 24=16
10（ 3 ）=1000 2（3 ）=8
10（ 2 ）=100 2（ 2）=4
10（ 1 ）=10 2（ 1）=2
【猜一猜】下面的括号内该填入什么数？你是怎么想的。
10（ 0 ）=1 10（ -1 ）==0.1 10（ -2 ）= =0.01 10（ -3 ）==0.001
拓展性练习2：用小数或分数表示下列各数：
（1）10－3； （2）70×8－2； （3）1.6×10－4.
（1）0.001； （2）； （3）0.00016.
【尝试思考】
有的细胞直径只有1微米（μm），即0.000001m；10-6m
某种计算机完成一次基本运算的实践约为1纳秒（nm），即0.000000001s；10-9
一个氧原子的质量为0.00000000000000000000000002657kg. 2.657×10-26
你能用负指数表示这些数吗？
归纳：一般地，一个小于1的数可以表示为的形式，其中1≤a＜10，n是负整数.
拓展性练习3：用科学记数法表示下列各数：
(1) 0.000 000 0001 ； (2) 0.000 000 000 0029 ； (3) 0.000 000 001295 .
1×10-10 2.9×10-12 1.295×10-9
小结：
说说本节课你的收获
当堂检测
1．（基础性知识）用符号表示同底数幂的除法法则.
（a≠0，m，n都是正整数）
2.(拓展性知识) 计算：
(1) x12÷x4 ； (2) (－y)3÷ (－y)2 ； (3) －(k6 ÷ k6)；
(4)(－r)5÷ r4 ； (5) m÷m0 ； (6) (mn)5÷ (mn).
(1) x8； (2) －y；(3) －1；(4) －r； (5) m； (6) m 4 n 4.
3. (拓展性知识)若7x＝m，7y＝n，则7x－y等于( D )
A．m＋n B．m－n C．mn D.
4.（拓展性知识） 数据 0.000 031 4 用科学记数法表示为（ B ）
A. 31.4×10–4 B. 3.14×10–5 C. 3.14×10–6 D. 0.314×10–6
5.(挑战性知识) 已知3m=2, 9n=10, 求33m－2n 的值.0.8
6.（挑战性知识）请你利用本节课所学知识编写一组题，包含同底数幂的除法，零次幂，负指数幂，并与同桌互换进行计算.
课后作业（可根据自身情况选做）
基础性作业：
1.计算：
①__________； ②_____________；
③_______； ④______；
⑤____________； ⑥_________；
; ;-8 ; ; ;1
拓展性作业：
2. 计算： ① ②
③； ④．
1；②0；③-1；④
5. 下列说法正确的是 ( D )
A．(π－3.14)0没有意义 B．任何数的0次幂都等于1
C．(8×106)÷(2×109)＝4×103 D．若(x＋4)0＝1，则x≠-4
6. PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5 μm(1 μm＝0.000 001m)的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，它们含有一定量的有毒、有害物质，对人体健康和大气环境质量有很大影响.2.3 μm用科学记数法可表示为( C )
A．23×10－5 m B．2.3×10－5 m C．2.3×10－6 m D．0.23×10－7 m
挑战性作业：
7.(1)若32 92x+1÷27x+1=81，求x的值;3
(2)已知2x-5y-4=0，求4x÷32y的值．16
8.有句俗话叫“捡了芝麻,丢了西瓜”,用来形容有些人办事只顾抓一些无关紧要的小事,而忽略了有重大意义的大事.根据测算,500万粒芝麻的质量为20千克,那么一粒芝麻的质量是多少千克呢(结果用科学记数法表示)
4×10-6
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原创名校精品资源21世纪教育网独家享有版权，侵权必究《1.1.4同底数幂的除法》教学设计
—— 郑州外国语教育集团朗悦校区 姚倩
一、课型
新授课
二、内容分析
（一）课标要求
《义务教育数学课程标准（2022年版）》对幂的除法的内容要求是：了解整数指数幂的意义和基本性质；会用科学计数法表示数（包括在计算机上表示）。
本节课的学业要求是会用文字和符号语言表述整数指数幂的基本性质，能根据整数指数幂的基本性质进行幂的运算.因此，教学过程中，引导学生从具体的例子出发，在观察、发现、归纳一般化的过程中，经历法则形成的全过程，以形成概念、建立法则、运用法则为明线，以从特殊到一般、从一般到特殊转化等数学思想方法为暗线，关注教学各环节之间的内在联系和教学过程的层层深入，引导学生在掌握知识的过程中发展能力，来落实课标要求内容.
幂的除法包含的核心素养有符号意识、运算能力、抽象能力等.在教学中，引导学生经历法则形成的过程，会用概念判断一个算式是否属于同底数幂，来发展学生的符号意识；在过程中独立思考、小组合作，经历同底数幂的除法的运算法则的过程，理解运算算理；引导学生在解决指数为整数的同底数幂相除，到指数为字母的同底数幂相处过程中，自归纳法则并进行的推广和应用.在此基础之上引入指数不够减出现负数的情况，应用法则得到负整数指数幂和0次幂，并将负整数指数幂应用在小数的科学记数法中，使得初中的科学记数法知识模块得到了补充和完善.从建立法则到运用法则，初步形成从特殊到一般再到特殊的认知规律，增强学生的抽象能力.
（二）教材解读
《同底数幂的除法》是本章《整式的乘法》的第3节课.《同底数幂的除法》是同底数幂乘法的延续和发展，也是后续学习整式的除法和分式运算的基础.同底数幂的除法分为正整数指数幂，负整数指数幂，0次幂和科学记数法.在同底数幂相乘的基础上，类比迁移得到同底数幂相除的法则，进而应用到负整数指数幂和0次幂的推导中.在本单元中起到承上启下的作用，同时也是方法迁移应用的巩固.
在具体情境中，学生会用概念判断一个算式是否属于同底数幂相除；学生能根据乘方的意义和除法运算律解释同底数幂的除法法则，能运用法则解决底数是数字，单项式或是多项式的两个同底数幂相除，以及底数是互为相反数的两个幂相除乘；在探究法则阶段，能用文字语言概括出法则，用符号语言简洁规范的表述法则的内容.在运用法则阶段，借助法则推导出负整数指数幂和0次幂，以及科学记数法表示小数的原理，感知从一般到特殊和转化的思想.
同底数幂除法法则的探索和应用，理解零指数和负整数指数幂的意义，将运算法则拓广到整数指数幂的范围，是本节课的重点也是难点．因此本节课运用整体性教学策略，类比同底数幂的乘法法则学习过程，借助幂的意义和除法法则进行推导，让学生通过经历推导过程进一步理解算理.在应用法则阶段，通过数字，字母，用字母表示的相反数，多项式等作为底数，设置阶梯式题组，让学生在进阶学习中应用法则，在观察、发现、归纳一般化的过程中，经历法则形成的全过程，感受从特殊到一般的研究问题的方法，发展学生的抽象思维能力和数学语言表达能力.
三、学情分析
1.基础知识
学生之前学习了有理数的乘方运算，能够理解乘方的意义，从数过渡到式，已初步具备用字母表示数，数量关系，符号意识，在学习整式概念和加减，同底数幂相乘的过程中感受到了数式的通性，这些为本节课的学习提供了知识基础.
2.行为习惯
学生已经养成提前预习的习惯，在课堂上也能认真听讲、及时整理笔记，但是在主动反思、大关胆质疑问、有效表达等方面还稍有欠缺.
3.关键能力
七年级学生对数学的学习热情较高，且初步具备了分析问题和探究问题的能力，这些都为本节课的学习奠定了基础.但由于七年级学生的抽象思维能力和知识迁移能力还处于发展中的水平，因此在抽象概括法则方面可能存在困难；比如题目中的关键信息的提取、思维建模能力可视化程度、语言表达的专业性简洁性和规范性上都需要提高.希望，通过本节课的教学在这些方面有所突破.
四、学习目标
基础性目标 我能类比同底数幂的乘法推导出理解同底数幂相除的法则.
拓展性目标 2.我能归纳出同底数幂相除的法则，并运用法则解决简单问题. 3.我能说出零次幂和负整数指数幂的意义，并能进行负整数指数幂的运算． 4. 我会用科学记数法表示绝对值小于1的数.
挑战性目标 5.我能模仿老师给的练习，尝试改编或创编类似的练习. 6.我能对其他同学的运算或改编、创编练习进行评价，并给出合理建议.
五、实现路径
基础性目标 实现路径 课前：自主完成基础性目标
课堂：学生展示基础性目标活动，学生互相补充，教师点评
拓展性目标 实现路径 课前：阅读拓展性目标材料
课堂：自主完成拓展性目标，展示分享，学生相互补充，学生互评，教师点评
挑战性目标 实现路径 课前：阅读挑战性目标材料，尝试总结
课堂：学生独立思考后，小组合作总结形式，完成挑战性目标，展示分享，教师点评
课后：补充完善，形成设计作品
六、课堂流程
流程 时间 教师活动 学生活动
明确目标 拉齐基础 1分钟 展示本节课的三层学习目标向学生交待本节课的学习任务 明确本节课的学习任务
整体出发 逐渐分化 3分钟 回顾幂的运算，类比单元整体教学中同底数幂相乘的运算 明确单元整体学习脉络
创设情境 基础过关 4分钟 提出基础性目标问题，及时点拨 自主探究问题，回答基础性目标问题
自主探讨 个人展评 5分钟 组织学生探究拓展性目标问题并进行及时指导，帮助汇报学生规范数学语言 自主探究拓展性目标问题，指定汇报者汇报，其他同学互相补充
合作探讨 挑战突破 12分钟 指导学生完成挑战性目标问题结论的描述，指定学生进行展讲，及时点拨，并对表现优异的学生进行表扬 学生完成挑战性目标问题结论，重点如何理清思路，互相补充，并记录不懂的问题
答疑解惑拓展能力 12分钟 组织学生展示不懂的问题，对当堂练习进行点拨 学生展示不懂的问题，完成当堂练习
对照目标 检测效果 2分钟 再次展示本节课的三层学习目标 对照本节课的基础目标和拓展性目标，检测自己的学习效果，分享目标达成度
自我小结 挑战点拨 1分钟 请学生分享课堂收获体会、点评、肯定、补充 分享课堂收获，互相补充
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—— 郑州外国语教育集团朗悦校区 姚倩
预备性知识：
我们前面我们学习了哪些幂的运算？
2. 计算下列各式，结果用幂的形式表示
活动1：（基础性目标1）
一种液体每升含有1012个有害细菌，为了试验某种杀菌剂的效果,科学家们进行了实验,发现1滴杀虫剂可以杀死109个此种细菌， 要将1升液体中的有害细菌全部杀死，需要这种杀菌剂多少滴？你是怎样计算的？
问1：怎样列式？
问2：观察你所列的算式，它有什么特点？
活动2： （基础性目标1）
根据同底数幂的乘法法则进行计算：
【填一填】
（ ） （ ）
（ ） （ ）
（ ） （ ）
（ ） （ ）
【做一做】计算下列各式，并说明理由（m>n）
1012÷109 10m÷10n； (-3)m÷(-3)n
问：让我们思考一下下面两个问题
（1）等号左边是什么运算？
（2）等号左右两边的指数有什么关系？
活动3：（拓展性目标1）
请同学们自主思考后，整理后进行展示.
参考以上三个问题的解题过程，尝试计算（m、n都是正整数）.
比较以上算式的计算结果与原式，底数和指数分别有什么规律？
总结：同底数幂的乘法法则：
同底数幂相除，底数___________,指数____________.
数学符号语言:________________________________.
拓展性练习1：计算
(1) ； (2) ；
(3) ； (4) .
活动4：（拓展性目标2）
【计算】
，，，
【思考】
（1）要使得当m=n或m＜n时，（a≠0，m，n都是正整数仍然成立，上述计算结果用幂的形式又该如何表示？
（2）比较计算及（1）中各式对应的结果，你有什么发现？与同伴进行交流.
总结：我们规定，，.
活动5：（拓展性目标3）
【填一填】
104=10000 24=16
10（ ）=1000 2（ ）=8
10（ ）=100 2（ ）=4
10（ ）=10 2（ ）=2
【猜一猜】下面的括号内该填入什么数？你是怎么想的。
10（ ）=1 10（ ）==0.1 10（ ）= =0.01 10（ ）==0.001
拓展性练习2：用小数或分数表示下列各数：
（1）10－3； （2）70×8－2； （3）1.6×10－4.
【尝试思考】
有的细胞直径只有1微米（μm），即0.000001m；
某种计算机完成一次基本运算的实践约为1纳秒（nm），即0.000000001s；
一个氧原子的质量为0.00000000000000000000000002657kg.
你能用负指数表示这些数吗？
归纳：一般地，一个小于1的数可以表示为的形式，其中1≤a＜10，n是负整数.
拓展性练习3：用科学记数法表示下列各数：
(1) 0.000 000 0001 ； (2) 0.000 000 000 0029 ； (3) 0.000 000 001295 .
小结：
说说本节课你的收获
当堂检测
1．（基础性知识）用符号表示同底数幂的除法法则.
2.(拓展性知识) 计算：
(1) x12÷x4 ； (2) (－y)3÷ (－y)2 ； (3) －(k6 ÷ k6)；
(4)(－r)5÷ r4 ； (5) m÷m0 ； (6) (mn)5÷ (mn).
3. (拓展性知识)若7x＝m，7y＝n，则7x－y等于( )
A．m＋n B．m－n C．mn D.
4.（拓展性知识） 数据 0.000 031 4 用科学记数法表示为（ ）
A. 31.4×10–4 B. 3.14×10–5 C. 3.14×10–6 D. 0.314×10–6
5.(挑战性知识) 已知3m=2, 9n=10, 求33m－2n 的值.
6.（挑战性知识）请你利用本节课所学知识编写一组题，包含同底数幂的除法，零次幂，负指数幂，并与同桌互换进行计算.
课后作业（可根据自身情况选做）
基础性作业：
1.计算：
①__________； ②_____________；
③_______； ④______；
⑤____________； ⑥_________；
拓展性作业：
2. 计算： ① ②
③； ④．
5. 下列说法正确的是 ( )
A．(π－3.14)0没有意义 B．任何数的0次幂都等于1
C．(8×106)÷(2×109)＝4×103 D．若(x＋4)0＝1，则x≠-4
6. PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5 μm(1 μm＝0.000 001m)的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，它们含有一定量的有毒、有害物质，对人体健康和大气环境质量有很大影响.2.3 μm用科学记数法可表示为( )
A．23×10－5 m B．2.3×10－5 m C．2.3×10－6 m D．0.23×10－7 m
挑战性作业：
7.(1)若32 92x+1÷27x+1=81，求x的值;
(2) 已知2x-5y-4=0，求4x÷32y的值．
8.有句俗话叫“捡了芝麻,丢了西瓜”,用来形容有些人办事只顾抓一些无关紧要的小事,而忽略了有重大意义的大事.根据测算,500万粒芝麻的质量为20千克,那么一粒芝麻的质量是多少千克呢(结果用科学记数法表示)
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