《整式的乘除》复习课自主学习单
—— 郑州外国语教育集团朗悦校区 王丹丹
一、回顾与思考
1. 本章先学习幂的运算再学习整式的乘法，对于这样的顺序你是如何理解的？
幂的运算是一种数的乘法运算，而整式的乘法是一种代数式的乘法运算，它是幂的运算的延伸.在幂的运算中，我们学习了同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方等运算法则，这些法则为整式的乘法打下了基础.在整式的乘法中，我们学习了单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式等运算法则，这些法则是在幂的运算的基础上进行的.因此，本章先学习幂的运算，再学习整式的乘法，是为了更好地理解和掌握整式的乘法运算.
2.举例说明如何进行幂的相关运算，你是怎么得到这些运算法则的？
例如：;;.
根据幂的定义以及乘法的定义可以得到这些运算；
也可以通过具体数的运算，再用字母表示一般规律，由特殊到一般归纳得出运算法则.
3.举例说明如何进行整式的乘法运算？
例如：
;
;
.
4.乘法公式有哪些？它们的特点是什么？
平方差公式：;
特点：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
完全平方;
特点是：两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍．
5.举例说明如何利用几何图形解释整式乘法公式？
第一个图的蓝色区域面积为a2 – b2
第二个图的蓝色区域面积利用长方形计算公式可以得出(a+b)(a-b)
蓝色部分的面积相等：(a+b)(a-b)=a2–b2
6.举例说明如何进行单项式除以单项式、多项式除以单项式的运算？
例如：
把系数4除以2、同底数幂a作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母b，则连同它的指数一起作为商的一个因式.
;
先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．
二、绘制本单元思维导图（课前完成）
建议：绘制思维导图关注四个要素：
一是关键词（不是短语，更不是句子），
二是连接线（类似神经元的曲线方式），
三是布局（核心在中间，逐级展开），
四是色彩（合理运用色彩，原则上每一层级一个色彩）；
六个标准： 一是内容完整，二是表述简练，三是结构明确，四是重点突出，五是逻辑清楚，六是布局合理
三、典例精讲
例1．下列运算正确的是（ C ）
A． B． C． D．
例2.已知则．
例3.计算：
原式＝a4 （﹣a2）+9a6﹣4a8÷a2
＝﹣a6+9a6﹣4a6
＝4a6．
四、思维提升
请同学们利用如下所示的正方形和长方形的硬纸片，任意拼出一个几何图形，并利用面积的不同表示方法，写出该图形可以验证的代数恒等式.
五、总结反思
对照学习目标检查学习效果，谈谈你的感受、收获或困惑！
六、课后练习
基础：课本29页第1题、课本30页第4题、第7题
拓展：课本31页第10题、第11题、课本32页第17题
挑战：课本32页第19题.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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第一章 整式的乘除
郑州外国语教育集团朗悦校区 王丹丹
一 学习目标
三 思维导图
五 思维提升
二 回顾思考
四 典例精讲
六 总结反思
七 作业布置
一 学习目标
基础性目标
1.我能根据本章所学初步完成回顾与思考.
2.我能借助回顾与思考初步构建思维导图.
3.我能正确完成例1、例2和例3.
拓展性目标
我能通过小组交流，补充和修善回顾与思考和单元思维导图.
挑战性目标
我能尝试根据本章所学知识创编题目.
二 回顾思考
1.本章先学习幂的运算再学习整式的乘法，对于这样的顺序你是如何理解的？
幂的运算是一种数的乘法运算，而整式的乘法是一种代数式的乘法运算，它是幂的运算的延伸.在幂的运算中，我们学习了同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方等运算法则，这些法则为整式的乘法打下了基础.在整式的乘法中，我们学习了单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式等运算法则，这些法则是在幂的运算的基础上进行的.因此，本章先学习幂的运算，再学习整式的乘法，是为了更好地理解和掌握整式的乘法运算.
二 回顾思考
2.举例说明如何进行幂的相关运算，你是怎么得到这些运算法则的？
例如：;;.
根据幂的定义以及乘法的定义可以得到这些运算；
也可以通过具体数的运算，再用字母表示一般规律，由特殊到一般归纳得出运算法则.
二 回顾思考
3.举例说明如何进行整式的乘法运算？
例如：
;
;
.
二 回顾思考
4.乘法公式有哪些？它们的特点是什么？
平方差公式：;
特点：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
完全平方;
特点是：两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍．
二 回顾思考
5.举例说明如何利用几何图形解释整式乘法公式？
第一个图的蓝色区域面积为
第二个图的蓝色区域面积利用长方形计算公式可以得出(a+b)(a-b)
蓝色部分的面积相等：
二 回顾思考
6.举例说明如何进行单项式除以单项式、多项式除以单项式的运算？
例如：
把系数4除以2、同底数幂a作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母b，则连同它的指数一起作为商的一个因式.
;
先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．
1.组织分享顺序 2.安排展讲代表
同伴分享时，其他同学可对自己的思维导图
进行补充和订正
其他小组对分享小组提出补充、质疑或点评
组内交流
组长分工
组间展讲
三 思维导图
7.用自己的方式梳理本章的知识结构，你是怎样想的？与同伴进行交流.
三 思维导图
7.用自己的方式梳理本章的知识结构，你是怎样想的？与同伴进行交流.
四 典例精讲
例1．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
例2．已知则．
例3．计算：
C
13
原式＝a4 （﹣a2）+9a6﹣4a8÷a2
＝﹣a6+9a6﹣4a6
＝4a6．
五 思维提升
请同学们利用如下所示的正方形和长方形的硬纸片，任意拼出一个几何图形，并利用面积的不同表示方法，写出该图形可以验证的代数恒等式.
六 总结反思
说说本节课你的收获
七 作业布置
基础：课本29页第1题、课本30页第4题、第7题
拓展：课本31页第10题、第11题、课本32页第17题
挑战：课本32页第19题.
Thanks!
https://www.21cnjy.com/recruitment/home/fine《整式的乘除》单元复习课教学设计
—— 郑州外国语教育集团朗悦校区 王丹丹
一、课型
单元复习课
二、内容分析
1.课标要求
课标要求内容：
①借助现实情境了解代数式，进一步理解用字母表示数的意义.
②能分析具体问题中的简单数量关系，并用代数式表示；能根据特定的问题查阅资料，找到所需的公式.
③会把具体数代入代数式进行计算.
④了解整数指数幂的意义和基本性质；会用科学记数法表示数（包括在计算器上表示）.
⑤理解整式的概念，掌握合并同类相和去括号法则；能进行简单的整式加减运算，能进行简单的整式乘法运算（多项式乘法仅限于一次式之间和一次式与二次式的乘法）.
⑥理解乘法公式，了解公式的几何背景，能利用公式进行简单的计算和推理.
为了落实课标要求，教学过程中设计了梳理知识清单，绘制、完善单元思维导图、创编改编习题的活动，唤醒学生已有认知，巩固所学基础知识，同时让学生站在一定的高度审视本单元的知识结构，从而对本单元有一个整体性的了解.精心设计数学问题的创编活动，体现了探 究性、发展性、开放性，以拓展学生的思维为出发点，提高学生分析、解决问题的能力.
本章所包含的核心素养有运算能力、推理能力、抽象能力、几何直观、应用意识和创新意识.教学过程中设计了梳理知识清单，回忆本单元所学的运算法则，在进行计算练习，培养学生运算能力；给出图形让学生任意创编题目，发展学生的几何直观和创新意识.
2.教材解读
本单元位于北师大版七下第一章，它在学生七年级上学期学习了有理数的混合运算、整式的概念、整式的加减运算的基础之上，继续研究整式的乘除运算.它为将来学习因式分解、根式分式的四则运算等提供了研究方法.本单元在数与代数领域起着承上启下的作用，具体的知识上下位情况如图：
本单元主要内容分为4个部分：幂的乘除、整式乘法、乘法公式、整式除法.每个部分知识紧密相连，大量的公式和法则的推到过程能够帮助学生感受数式通性.类比数的运算逐步将底数和指数抽象，由特殊到一般，学生经过观察、归纳、验证得出幂的相关运算法则；以图形面积为突破口，设置问题串引导学生自主探索整式乘法的相关运算法则，推动学生发展自己的数感和算理、抽象能力、推理能力和运算能力等.为了达成知识的有效迁移，本节课的重点是，通过对知识清单的梳理和思维导图的建构与观察，进行整式乘除运算体系的建构，难点是引导学生关注整式乘除运算的研究路径：考察特例—提炼法则—应用法则，关注研究的思想方法：由特殊到一般，数形结合、转化、类比等思想，以及习题的创编。
三、学情分析
1.知识基础
学生通过本单元的学习，对整式的乘除所包含的运算法则有了一定的记忆，能运用法则进行相关的计算，但对于代数运算的相关公式和研究路径缺乏梳理. 因此本节复习课之前设置知识清单，让学生通 过自主回忆和查阅资料进行知识的梳理巩固，以便课上顺利完成知识的系统建构。另一方面，学生已经具备了一定的学习能力，可多为学生创造自主学习、合作交流的机会，促使他们主动参与、积极探究.
2.关键能力
学生在对信息获取与加工的能力、逻辑推理论证能力、思维建模能力（可视化）、批判性思维和辩论的能力、语言的组织与表达方面，虽然有一定的训练，但是在有些方面，比如题目中的关键信息的提取、思维建模能力可视化程度、语言表达的专业性简洁性和规范性上都需要提高。希望，通过本节课的教学在这些方面有所突破。
3.行为习惯
学生已经养成提前预习的习惯，在课堂上也能认真听讲、及时整理笔记，但是在主动反思、 大关胆质疑问、有效表达等方面还稍有欠缺.
四、学习目标
基础性目标 我能根据本章所学初步完成回顾与思考. 我能借助回顾与思考初步构建思维导图. 我能正确完成例1、例2和例3.
拓展性目标 我能通过小组交流，补充和修善回顾与思考和单元思维导图.
挑战性目标 我能尝试根据本章所学知识创编题目．
五、实现路径
基础性目标 实现路径 课前：学生通过自主回忆和查阅资料自主完成知识清单；初步构建思维导图.
课堂：学生小组借助课前成果进行分享和交流
拓展性目标 实现路径 课前：学生对自己梳理的知识清单和思维导图能进行讲解和分享
课堂：小组讨论，教师指导，完善知识清单和思维导图，组间展评，其他小组补充，教师总结点评后，总结研究思路和思想方法
挑战性目标 实现路径 课堂：结合 5c 活动经验尝试创编题目并进行创编问题的解答
六、课堂流程
流程 时间 教师活动 学生活动
明确目标 拉齐基础 2分钟 展示本节课的三层学习目标向学生交待本节课的学习任务 明确本节课的学习任务
回顾思考 理清思路 8分钟 组织小组交流回顾与思考及存 在的疑惑或不懂的问题，完善知识结构图，并做好展讲安排 小组交流回顾与思考存在的疑惑或不懂的问题，完善知识结构图，并做好展讲准备
展讲关键 释疑解惑 14分钟 抽签选取两组展讲知识结构图，其他小组质疑补充.教师出示本人的知识结构导图，学生进一步完善 展讲知识结构图，对展讲内容质疑 补充.在教师知识结构导图的指导下，完善自己的知识结构导图
思维风暴 创作提升 14分钟 组织学生创编与整式乘除相关的数学问题 主动思考，认真分析，积极发言
总结归纳 提升意义 2分钟 再次展示本节课的三层学习目标，请学生分享课堂收获体会，教师点评、肯定、补充 对照三层目标，检测自己的学习效果，分享目标达成度，分享课堂收获，互相补充
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—— 郑州外国语教育集团朗悦校区 姚倩
一、课标要求
1.借助现实情境了解代数式，进一步理解用字母表示数的意义。
2.能分析具体问题中的简单数量关系，并用代数式表示。能根据特定的问题查阅资料，找到所需的公式。
3.会把具体数代入代数式进行计算。
4.了解整数指数幂的意义和基本性质；会用科学计数法表示数（包括在计算机上表示）。
5.理解整式的概念，掌握合并同类项和去括号法则，能进行简单的整式加法和减法运算，能进行简单的整式乘法运算 （多项式乘法仅限于一次式之间以及一次式与二次式相乘）和除法运算（仅限单项式除以单项式，多项式除以单项式且商为整式）。
6.理解乘法公式：（a+b）(a-b)=a2-b2, （a+b）2= a2+2ab+b2, (a-b)2=a2+2ab+b2，了解公式的几何背景，并能利用公式进行计算和推理。
二、教材解读
本章教材首先安排了同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，同底数幂的除法，在此过程中使学生进一步体会幂的意义，通过具体的问题引入整式的乘法，使学生通过对乘法分配律等的运用探索了整式乘法的运算法则以及两个重要公式平方差公式和完全平方公式，最后是整式的除法，本章只要求单项式除以单项式，多项式除以单项式并且结果是整式的情况，这样的安排也符合学生的认知基础，符合知识之间的内在联系，同时注重了符号的表示作用。
本章的呈现方式是：整式及整式运算产生的背景，让学生经理实际问题“符号化”的过程，发展学生的符号意识，有关运算法则的探索过程为探索有关运算法则设置归纳等活动，对算理的理解基本运算技能的掌握设置恰当数量和难度的运算，同时要求学生能够说清楚运算依据。
整式的乘除是整式加减的后续内容，本章分为四个部分：幂的运算性质，整式的乘法，乘法公式，整式的除法，其中第一部分幂的运算性质是本章学习的基础，也是关键，整式的乘法是乘法公式学习的桥梁，这四个部分环环相扣，层层递进。
三、学情分析
经过上册的学习，学生已经具备一定的观察，归纳，猜想，推理能力，在七年级上册学习了整式的有关概念，对同类项能够辨析和合并，但是解决问题的意识和抽象能力还有待提升，因此，知识上《整式的乘除》是在学生学过有理数及用字母表示数，整式加减等知识的基础上，对“数与代数”的进一步研究。能力上，七年级上册学生处于“从数到式”的过渡阶段，这一阶段由具体到抽象，从特殊到一般，对学生的认知水平和思维能力是一个巨大的挑战，所以教学中要尽可能多的与前面相关内容衔接，结合实际问题展开教学，进一步发展学生的符号意识。心理上，七年级的学生逐步从感性认识向理性认识过渡，因此一方面通过实例吸引学生的注意力;另一方面积极创造机会加大学生探索的空间，发挥学生的主动性，增强学生的合作意识。
四、重点目标
基础性目标：
1.我能说出同底数幂乘法、幂的乘方、积的乘方和同底数幂除法的运算方法，并能进行简单的运算。
2.我能说出零指数幂、负指数幂的意义。
3.我能归纳出整式乘法法则（包括乘法公式），并能进行整式乘法的预算。
4.我能以整式乘法法则为基础，解释整式除法法则，并能据此进行整式除法运算。
拓展性目标：
1.我可以类比数的运算，通过观察和体会、运用幂的意义，最终得到以字母为底数的幂的运算法则。
2.我能借助几何图形，说明整式乘法法则,尤其是乘法公式。
3.我会运用整式乘法的逆运算，推导整式的除法法则。
挑战性目标：
1.我能借助老师创设的情景问题、穿插应用问题等,从不同角度体会引入这些运算的意义。
2.我能将本单元代数式运算的方法，运用于“具有一般性”的问题的解决。
五、课时安排
1.幂的乘除（4课时）
2.整式的乘法（3课时）
3.乘法公式（4课时）
4.整式的除法（1课时）
优生培养思路和建议，补弱思路
（一）优生培养思路和建议
1.关注个体差异
在课堂提问环节，可以根据问题的难易程度，有针对性地提问不同层次的学生。对于拓展性、难度较大的问题，让学有余力的学生进行思考解答，这样可以充分调动每个学生的学习积极性，也能让优生在挑战中得到提升。
2.拓展知识的深度与广度
对于优生，可以引导他们深入探究知识点背后的原理。例如在讲解用平方差和完全平方公式的几何意义时，可以引导优生推导公式的来源，从多角度理解公式的意义。适时引入与课堂知识相关的课外拓展内容，如数学史、数学趣题、数学在实际生活中的高级应用等。这可以激发优生的学习兴趣，拓宽他们的知识面。例如在学习完全平方公式时，可以介绍“杨辉三角”的历史和奇妙应用。
3.培养数学思维能力
提出开放性问题，鼓励优生从不同的角度思考问题并寻找多种解决方案。比如对于一个几何图形的构建问题，让学生尝试用不同的条件和方法来构建相同的图形，培养他们思维的灵活性和发散性。
4.提供拓展及挑战性资源
向优生推荐适合他们水平的数学书籍、杂志、在线学习资源等。如《数学通报》杂志，里面包含了很多前沿的数学研究成果、有趣的数学教学案例以及有深度的数学解题技巧，有助于优生拓宽视野，提升数学素养。
5.多元评价
以发展的眼光看待优生的学习进步，关注他们在一段时间内的学习成长情况。即使学生在某个阶段出现了一些小的波动，也要看到他们整体的发展趋势，鼓励他们不断调整学习策略，持续进步。
（二）补弱思路
1.关注个体差异
在课堂提问环节，可以根据问题的难易程度，有针对性地提问不同层次的学生。例如，对于基础知识的问题，可提问学习稍困难的学生以巩固其基础；调动每个学生的学习积极性，激励后进生主动参与课堂。
2.小组合作帮帮团
组建小组时，将不同层次的学生合理搭配。优生在小组中可以发挥引领和带动作用，帮助后进生同时，也能通过向其他同学解释知识来加深自己的理解。例如在讨论数学解题方法时，优生可以分享多种解题思路，拓宽整个小组的思维方式。
3.面批面改及时反馈
学生做作业的时候，重点辅导后进生，针对性解决其难点。
4.提供巩固及拓展资源
课下找到症结所在，提供巩固练习资源，与家长沟通形成家校合力，从知识断层处着手训练，搭建知识架构，提供提升的阶梯。
5.多元评价
注重对学习过程的评价。包括课堂表现、作业完成质量、参与数学探究活动的积极性等方面。例如，对于在课堂上积极提出有价值问题的学生，给予积极的评价和肯定。
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一、回顾与思考
1. 本章先学习幂的运算再学习整式的乘法，对于这样的顺序你是如何理解的？
2.举例说明如何进行幂的相关运算，你是怎么得到这些运算法则的？
3.举例说明如何进行整式的乘法运算？
4.乘法公式有哪些？它们的特点是什么？
5.举例说明如何利用几何图形解释整式乘法公式？
6.举例说明如何进行单项式除以单项式、多项式除以单项式的运算？
二、绘制本单元思维导图（课前完成）
建议：绘制思维导图关注四个要素：
一是关键词（不是短语，更不是句子），
二是连接线（类似神经元的曲线方式），
三是布局（核心在中间，逐级展开），
四是色彩（合理运用色彩，原则上每一层级一个色彩）；
六个标准： 一是内容完整，二是表述简练，三是结构明确，四是重点突出，五是逻辑清楚，六是布局合理
三、典例精讲
例1．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
例2.已知则．
例3.计算：
四、思维提升
请同学们利用如下所示的正方形和长方形的硬纸片，任意拼出一个几何图形，并利用面积的不同表示方法，写出该图形可以验证的代数恒等式.
五、总结反思
对照学习目标检查学习效果，谈谈你的感受、收获或困惑！
六、课后练习
基础：课本29页第1题、课本30页第4题、第7题
拓展：课本31页第10题、第11题、课本32页第17题
挑战：课本32页第19题.
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