《1.3.1平方差公式的认识》自主学习单
—— 郑州外国语教育集团朗悦校区 姚倩
预备性知识：
1.回顾整式乘法中多项式与多项式相乘.
2.两项式乘以两项式，结果可能是两项吗？请你举例说明.
可能，比如（a+1）（a-1）=a2-1
活动1：（基础性目标1）
计算下列各式：
（1）( x+2 ) ( x-2 )； （2）( 1+ 3a ) (1- 3a )；
（3）( x+5y) ( x-5y )； （4）( 2y+z ) (2y- z )．
(1)x2-4 (2)1-9a2 (3) x2-25y2 (4)4y2-z2
问1：观察上述算式及其运算结果，你有什么发现？
多项式乘以多项式，结果都是两项；等号左侧两括号内的单项式一个符号相同，一个符号相反；
问2：你能再举出一些类似的例子吗？与同伴进行交流.
问3：依照以上三道题的计算回答下列问题：
①式子的左边具有什么共同特征？
②它们的结果有什么特征？
③能不能用字母表示你的发现？
①左边两个二项式必须是相同两数的和与差相乘；且左边两括号内的第一项相等、第二项符号相反；
②右边结果是这两个数的平方差；即右边是左边括号内的第一项的平方减去第二项的平方；
③
归纳：平方差公式
两数和与这两数差的积，等于它们的平方差.
活动2： （拓展性目标1）
【例1】利用平方差公式计算：
(1) (5+6x)(5－6x)； (2) (x－2y)(x+2y)； (3) (－m+n)(－m－n) .
(1) (5+6x)(5－6x)= 52－(6x)2=25－36x2；
(2) (x－2y)(x+2y)= x2－(2y)2= x2－4y2 ；
(3) (－m+n)(－m－n) = (－m)2－n2 = m2－n2
【变式】利用平方差公式计算：
(1)； (2) (ab+8)(ab－8) .
（1）
（2）( ab + 8 ) ( ab - 8 )= (ab)2- 64 = a2b2- 64 ．
【思考】中的a或b能是多项式吗？
可以
活动3：（拓展性目标2）
计算：
①； ②；
③； ④103×97；
⑤．
②③；④9991；⑤1
活动4：（挑战性目标）
请以小组为单位，编写一组利用平方差公式计算的题目，并于相邻小组互换进行求解与批改，并对对方小组的题目进行评价.
小结：
说说本节课你的收获.
当堂检测
1.（基础性知识）在利用平方差公式计算时要找准公式里面的a和b，我们把完全相同的“项”看作公式里的“_a__”，只有符号不同的“项”看作公式里的“__b__”，比如，_x-z______是公式里的“a”，___y____是公式里的“b”.
2.(拓展性知识)下列多项式乘法中，不能用平方差公式计算的是（ C ）
A． B．
C． D．
3.(拓展性知识) 计算：
①； ②； ③
1
4.(挑战性知识) 实践探究题
某数学兴趣小组利用“等面积法”分别构造了以下两种图形验证“平方差公式”．
（1）探究：以下两种图形能够验证平方差公式的是 （填序号）；
（2）应用：利用“平方差公式”计算；
（3）拓展：运用平方差公式计算．
解：（1）图①验证了等式，
图②验证了等式，
图形①能够验证平方差公式，
故答案为：①；
（2）
；
（3）
．
课后作业（可根据自身情况选做）
基础性作业：
1．下列各式中可以运用平方差公式的是 ①② ．
①；②；③．
拓展性作业：
2.运用平方差公式计算：
（1）； （2）；
（3）； （4）；
（5）； （6）．
解：（1）；
（2）
；
（3）
；
（4）
；
（5）
；
（6）
．
挑战性作业：
3．初中数学里的代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行推导和验证．
（1）利用图①的几何意义推证，在一个边长为的正方形的一角剪去一个边长为的小正方形，利用阴影部分的面积表示可验证平方差公式，请写出推导过程；
（2）如图②所示，在边长为的大正方形一角剪去一个边长为的小正方形，利用阴影部分的面积表示验证完全平方公式，请写出推导过程；
（3）请你利用上述公式计算：；
解：（1）阴影部分面积可以看成是大正方形的面积小正方形的面积，即，
也可以看成是两个梯形的面积和，即，
；
（2）阴影部分面积可以看成是小正方形的面积为：，
也可以看成是大正方形的面积小正方面积长方形的面积，
．
（3）原式
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第一章 整式的乘除
1.3.1平方差公式的认识
郑州外国语教育集团朗悦校区 姚倩
一 学习目标
三 新知讲解
五 当堂检测
二 复习回顾
四 课堂总结
六 作业布置
一 学习目标
基础性目标
1.我能借助多项式乘多项式推导归纳出平方差公式.
拓展性目标 2.我能说出平方差公式的本质，能运用平方差公式进行计算.
3.我能在不同的问题情境，辨析出平方差公式模型，并解决问题．
挑战性目标 4.我能模仿老师给的练习，尝试改编或编写运用平方差公式的练习，并做出解答．
5.我能对同学的讲解或改编、创编的练习给出判断，赞扬其优点，并对不妥之处提出改进建议．
二 复习回顾
预备性知识：
1.回顾整式乘法中多项式与多项式相乘的做法.
2.两项式乘以两项式，结果可能是两项吗？请你举例说明.
可以，比如（a+1）（a-1）=a2-1
三 新知讲解
活动1：（基础性目标1）
计算下列各式：
（1）( x+2 ) ( x-2 )； （2）( 1+ 3a ) (1- 3a )；
（3）( x+5y) ( x-5y )； （4）( 2y+z ) (2y- z )．
(1)x2-4 (2)1-9a2 (3) x2-25y2 (4)4y2-z2
问1：观察上述算式及其运算结果，你有什么发现？
问2：你能再举出一些类似的例子吗？与同伴进行交流.
问3：依照以上三道题的计算回答下列问题：
①式子的左边具有什么共同特征？
②它们的结果有什么特征？
③能不能用字母表示你的发现？
三 新知讲解
活动1：（基础性目标1）
计算下列各式：
（1）( x+2 ) ( x-2 )； （2）( 1+ 3a ) (1- 3a )；
（3）( x+5y) ( x-5y )； （4）( 2y+z ) (2y- z )．
(1)x2-4 (2)1-9a2 (3) x2-25y2 (4)4y2-z2
问1：观察上述算式及其运算结果，你有什么发现？
问2：你能再举出一些类似的例子吗？与同伴进行交流.
问3：依照以上三道题的计算回答下列问题：
①式子的左边具有什么共同特征？ ②它们的结果有什么特征？
③能不能用字母表示你的发现？
①左边两个二项式必须是相同两数的和与差相乘；且左边两括号内的第一项相等、第二项符号相反；
②右边结果是这两个数的平方差；即右边是左边括号内的第一项的平方减去第二项的平方；
三 新知讲解
活动2：（拓展性目标1）
【例1】利用平方差公式计算：
(1) (5+6x)(5－6x)；
(2) (x－2y)(x+2y)；
(3) (－m+n)(－m－n) .
(1) (5+6x)(5－6x)= 52－(6x)2=25－36x2；
(2) (x－2y)(x+2y)= x2－(2y)2= x2－4y2 ；
(3) (－m+n)(－m－n) = (－m)2－n2 = m2－n2
三 新知讲解
活动2：（拓展性目标1）
【变式】利用平方差公式计算：
(1) ； (2) (ab+8)(ab－8) .
（1）
（2）( ab + 8 ) ( ab - 8 )= (ab)2- 64 = a2b2- 64 ．
【思考】 中的a或b能是多项式吗？
可以
三 新知讲解
活动3：（拓展性目标2）
计算：
① ②
③ ④103×97； ⑤
三 新知讲解
活动4：（挑战性目标）
请以小组为单位，编写一组利用平方差公式计算的题目，并与相邻小组互换进行求解与批改，并对对方小组的题目进行评价.
四 课堂总结
说说本节课你的收获
五 当堂检测
1.（基础性知识）在利用平方差公式计算时要找准公式里面的a和b，我们把完全相同的“项”看作公式里的“__”，只有符号不同的“项”看作公式里的“___”，比如 ，_______是公式里的“a”，______是公式里的“b”.
2.(拓展性知识)下列多项式乘法中，不能用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
3.(拓展性知识) 计算：
① ； ② ； ③
五 当堂检测
1.（基础性知识）在利用平方差公式计算时要找准公式里面的a和b，我们把完全相同的“项”看作公式里的“_a__”，只有符号不同的“项”看作公式里的“__b__”，比如 ，_x-z______是公式里的“a”，___y____是公式里的“b”.
2.(拓展性知识)下列多项式乘法中，不能用平方差公式计算的是（ C ）
A． B．
C． D．
3.(拓展性知识) 计算：
① ； ② ； ③
五 当堂检测
4. (挑战性知识) 实践探究题某数学兴趣小组利用“等面积法”分别构造了以下两种图形验证“平方差公式”．（1）探究：以下两种图形能够验证平方差公式的是 （填序号）；
（2）应用：利用“平方差公式”计算 ；
（3）拓展：运用平方差公式计算
五 当堂检测
4.（1）①
六 作业布置
见自主学习单
Thanks!
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—— 郑州外国语教育集团朗悦校区 姚倩
预备性知识：
1.回顾整式乘法中多项式与多项式相乘.
2.两项式乘以两项式，结果可能是两项吗？请你举例说明.
活动1：（基础性目标1）
计算下列各式：
（1）( x+2 ) ( x-2 )； （2）( 1+ 3a ) (1- 3a )；
（3）( x+5y) ( x-5y )； （4）( 2y+z ) (2y- z )．
问1：观察上述算式及其运算结果，你有什么发现？
问2：你能再举出一些类似的例子吗？与同伴进行交流.
问3：依照以上三道题的计算回答下列问题：
①式子的左边具有什么共同特征？
②它们的结果有什么特征？
③能不能用字母表示你的发现？
归纳：平方差公式
两数和与这两数差的积，等于它们的平方差.
活动2： （拓展性目标1）
【例1】利用平方差公式计算：
(1) (5+6x)(5－6x)； (2) (x－2y)(x+2y)； (3) (－m+n)(－m－n) .
【变式】利用平方差公式计算：
(1)； (2) (ab+8)(ab－8) .
【思考】中的a或b能是多项式吗？
活动3：（拓展性目标2）
计算：
①； ②；
③； ④；
⑤．
活动4：（挑战性目标）
请以小组为单位，编写一组利用平方差公式计算的题目，并于相邻小组互换进行求解与批改，并对对方小组的题目进行评价.
小结：
说说本节课你的收获.
当堂检测
1.（基础性知识）在利用平方差公式计算时要找准公式里面的a和b，我们把完全相同的“项”看作公式里的“_____”，只有符号不同的“项”看作公式里的“_____”，比如，_______是公式里的“a”，_______是公式里的“b”.
2.(拓展性知识)下列多项式乘法中，不能用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
3.(拓展性知识) 计算：
①； ②；
⑥
5.(挑战性知识) 实践探究题
某数学兴趣小组利用“等面积法”分别构造了以下两种图形验证“平方差公式”．
（1）探究：以下两种图形能够验证平方差公式的是 （填序号）；
（2）应用：利用“平方差公式”计算；
（3）拓展：运用平方差公式计算．
课后作业（可根据自身情况选做）
基础性作业：
1．下列各式中可以运用平方差公式的是 ．
①；②；③．
拓展性作业：
2.运用平方差公式计算：
（1）； （2）；
（3）； （4）；
（5）； （6）．
挑战性作业：
3．初中数学里的代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行推导和验证．
（1）利用图①的几何意义推证，在一个边长为的正方形的一角剪去一个边长为的小正方形，利用阴影部分的面积表示可验证平方差公式，请写出推导过程；
（2）如图②所示，在边长为的大正方形一角剪去一个边长为的小正方形，利用阴影部分的面积表示验证完全平方公式，请写出推导过程；
（3）请你利用上述公式计算：；
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" 原创名校精品资源21世纪教育网独家享有版权，侵权必究《1.3.1平方差公式的认识》教学设计
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一、课型
新授课
二、内容分析
（一）课标要求
《义务教育数学课程标准（2022年版）》对幂的除法的内容要求是：理解乘法公式：（a+b）(a-b)=a2-b2, （a+b）2= a2+2ab+b2, (a-b)2=a2+2ab+b2，了解公式的几何背景，并能利用公式进行计算和推理。
平方差公式是在学生已经掌握了多项式乘法之后，自然过渡到具有特殊形式的多项式的乘法，让学生经历从一般到特殊的过程.对它的学习和研究，不仅给出了特殊的多项式乘法的简便运算，而且为后续的因式分解、分式运算、解一元二次方程等内容奠定了基础，同时也为完全平方公式的学习提供了方法。基于此教材提出了本节课的具体学习任务：经历探索平方差公式的过程，了解公式的几何背景，并能运用平方差公式，进行简单的计算，以及实际问题的解决.
平方差公式的认识包含的核心素养有符号意识、运算能力、抽象能力等.在教学中，引导学生从熟悉的多项式乘以多项式入手，总结归纳，经历法则形成的过程，理解运算算理，理解运算算理；通过数和字母让学生对照平方差公式来确定公式中的a和b，来发展学生的符号意识；在过程中独立思考、小组合作，探究“a”为数字，字母，单项式，不带负号和带负号等情况，讲平方差公式进行推广和应用.从建立法则到运用法则，初步形成从特殊到一般再到特殊的认知规律，增强学生的抽象能力.
（二）教材解读
《平方差公式的认识》是本章《乘法公式》的第1节课. 《平方差公式》是在学生已经掌握了多项式乘法之后，自然过渡到具有特殊形式的多项式的乘法，是从一般到特殊的认知规律的典型范例,对它的学习和研究，不仅给出了特殊的多项式乘法的简便算法，而且为以后的因式分解、分式的化简、二次根式中的分母有理化、解一元二次方程、函数等内容奠定了基础，同时也为完全平方公式的学习提供了方法因此，平方差公式在初中阶段的教学中也具有很重要地位，是初中阶段的第一个公式，在教学中具有很重要地位，也是最基本、用途最广泛的公式之一。
某些具有特殊形式的多项式相乘，可以写成公式的形式，当遇到特殊形式的多项式相乘时，可以直接运用公式写出结果，平差公式多项式的乘法公式的一种，两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差，平方差公式也是因式分解中公式法的重要基础，在代数中具有广泛的应用.平方差公式的符号表示和语言表述揭示了公式的结构特征.公式(a+b)(a-b)中的字母a，b可以是具体的数、单项式、多项式、分式乃至任何代数式.平方差公式的得出，以多项式乘法与合并同类项的知识为基础,从一般形式的整式乘法运算到对特殊形式的乘法运算概括出乘法公式，体现了一般到特殊的思想方法,探索平方差公式的过程，从具体的具有特殊形式的几组多项式乘法的运算结果中，通过观察、比较，抽象概括出一般的形式，并通过符号推理获得公式的符号表示及语言表述，体现了从具体到抽象地研究问题方法.
由于公式(a+b)(a-b)中的 a，b本身可能为负数，而且 a，b可以是具体的数、单项式、多项式等，情况比较复杂，这对于初次接触平方差公式的学生来说，找准哪个数或式相当于公式中的“第一个数”a，哪个数或式相当于公式中的“第二个数”b，有时会有困难。作为平方差公式的应用，教科书引人对两个数乘积的简捷计算,将两个因数分解成两个数的和与这两个数的差，而且这两个数的平方容易计算是解题的关键,这一内容对一部分学生来说，也有一定难度解决上述两个问题的关键是理解平方差公式的结构特征，解决问题时要回到公式本身上来.
三、学情分析
1.基础知识
学生在前面的学习中，已经学习了整式的有关内容，并经历了用字母表示数量关系的过程，有了一定的符号感，学生刚学过多项式的乘法，已具备学习并运用平方差公式的知识结构，通过创造问题情境，让学生承担任务，在探究相应问题中，建立并运用公式，从而使拓展学生知识技能结构成为可能。通过实际问题的探究，学生已感受到多项式乘法运算的重要性，同时，具备了对式的运算基础“快”“准”的积极心理，学生已具备学习公式的知识与技能结构.
2.行为习惯
学生已经养成提前预习的习惯，在课堂上也能认真听讲、及时整理笔记，能够尝试表达所学的法则和探索的过程，但是在主动反思、大关胆质疑问还稍有欠缺.
3.关键能力
学生已经具备了小组合作、交流的能力，学生已熟练掌握了幂的运算和整式乘法，但在进行多项式乘法运算时常常会出现符号错误及漏项等问题:另外，数学公式中字母具有高度概括性、广泛应用性,学生学习平方差公式的困难在于对公式的结构特征以及公式中字母的广泛含义学生的理解，因此，教学中引导学生分析公式的结构特征，并运用变式训练揭示公式的本质特征，以加深学生对公式的理解.
四、学习目标
基础性目标 我能借助多项式乘多项式的思路，推导归纳出平方差公式.
拓展性目标 2.我能说出平方差公式的本质，能运用平方差公式进行计算.3.我能在不同的问题情境，辨析出平方差公式模型，并解决问题．
挑战性目标 4.我能模仿老师给的练习，尝试改编或编写运用平方差公式的练习，并做出解答。5.我能对同学的讲解或改编、创编的练习给出判断，赞扬其优点，并对不妥之处提出改进建议。
五、实现路径
基础性目标实现路径 课前：自主完成基础性目标
课堂：学生展示基础性目标活动，学生互相补充，教师点评
拓展性目标实现路径 课前：阅读拓展性目标材料
课堂：自主完成拓展性目标，展示分享，学生相互补充，学生互评，教师点评
挑战性目标实现路径 课前：阅读挑战性目标材料，尝试总结
课堂：学生独立思考后，小组合作总结形式，完成挑战性目标，展示分享，教师点评
课后：补充完善，形成设计作品
六、课堂流程
流程 时间 教师活动 学生活动
明确目标拉齐基础 1分钟 展示本节课的三层学习目标向学生交待本节课的学习任务 明确本节课的学习任务
整体出发逐渐分化 3分钟 回顾幂的运算，类比单元整体教学中同底数幂相乘的运算 明确单元整体学习脉络
创设情境基础过关 4分钟 提出基础性目标问题，及时点拨 自主探究问题，回答基础性目标问题
自主探讨个人展评 5分钟 组织学生探究拓展性目标问题并进行及时指导，帮助汇报学生规范数学语言 自主探究拓展性目标问题，指定汇报者汇报，其他同学互相补充
合作探讨挑战突破 12分钟 指导学生完成挑战性目标问题结论的描述，指定学生进行展讲，及时点拨，并对表现优异的学生进行表扬 学生完成挑战性目标问题结论，重点如何理清思路，互相补充，并记录不懂的问题
答疑解惑拓展能力 12分钟 组织学生展示不懂的问题，对当堂练习进行点拨 学生展示不懂的问题，完成当堂练习
对照目标检测效果 2分钟 再次展示本节课的三层学习目标 对照本节课的基础目标和拓展性目标，检测自己的学习效果，分享目标达成度
自我小结挑战点拨 1分钟 请学生分享课堂收获体会、点评、肯定、补充 分享课堂收获，互相补充
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