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1.3.2 平方差公式的运用
郑州外国语教育集团朗悦校区 杨玉婷
一 学习目标
三 新知讲解
五 当堂检测
二 复习回顾
四 课堂总结
六 作业布置
学习目标
基础性目标 1.我能用图形拼接方式验证平方差公式.
2.我能运用平方差公式,对简单的数字运算进行简便运算.
拓展性目标 3.我能运用平方差公式,进行整式混合运算.
4.我能运用平方差公式,解决数字运算规律问题.
挑战性目标 5.我能改编本节课课本上的练习,或创编四类的练习,并能写出解答步骤,总结运用平方差公式的规律
6.我能运用平方差公式,对复杂的数字运算进行简便处理.
预备性知识
回顾上节课学方差公式:_____________
练习:利用平方差公式计算:
(1)(2x+7b)(2x–7b); (2)(-m+3n)(m+3n).
(a+b)(a-b)=a2-b2
4x2-49y2
9n2-m2
活动1(基础性目标1)
如图,边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形.请表示图1中阴影部分的面积_____,小颖将阴影部分拼成了一个长方形(如图2),这个长方形的长是_______,宽是_______,它的面积是______________,
比较图1与图2的结果,你能得到什么结论?
a
b
a
b
图1
图2
a2-b2
a+b
a-b
(a+b)(a-b)
(a+b)(a-b)=a2-b2
请同学们准备如图1的正方形纸片,经过裁剪拼接,你能得到区别于小颖同学的拼接方式来验证平方差公式吗?
活动1(基础性目标1)
a
b
图1
利用平方差公式进行计算:
(1)103×97 (2)118×122 (3)2001×1999-20002
活动2(基础性目标2)
解:(1)因为103=100+3,97=100-3,
所以103×97
=(100+3)×(100-3)
=1002-32
=9 991
(2)因为 118=120-2,122 = 120+2,
所以 118×122
=(120-2)×(120+2)
=1202-4
=14 400-4
=14 396
(3)因为2001=2000+1,1999 = 2000-1,
所以 2001×1999-20002
=(2000+1)×(2000-1)-20002
=20002-1-20002
=-1
思考:如何确定平方差公式中的a与b?
基础性练习:利用平方差公式进行计算:
(1)704×696; (2)9.9×10.1 (3)2502-251×249
活动2(基础性目标2)
a为两数和的平均数;b为|两数差|的平均数.
解:(1)704×696
=(700+4)(700-4)
=7002-42
= 489 984
(2)9.9×10.1
=(10-0.1)(10+0.1)
=102-0.12
= 99.99
(3)2502-251×249
=2502-(250+1)(250-1)
=2502-(2502-12)
= 1
拓展性目标
计算:
(1)a2(a+b)(a-b)+a2b2(2)(2x-5)(2x+5)-2x(2x-3)(3)(3mn+1)(3mn-1)-8m2n2
拓展性练习:计算:
(1)(x+2y)(x-2y)+(x+1)(x-1) (2)x(x-1)-(x-)(x+) (3)(x-2)(x+2)-x(x+8)
活动3(拓展性目标3)
解:(1)原式=a2(a2-b2)+a2b2
=a4-a2b2+a2b2
=a4
(2)原式=(2x)2-52-(4x2-6x)
=4x2-25-4x2+6x
=6x-25
(3)原式=(3mn)2-12-8m2n2
=9m2n2-1-8m2n2
=m2n2-1
(1)2x2-4y2-1 (2)-x+ (3)-2x-4
思考并完成下面的问题.
(1)计算下列各组算式,并观察它们的共同特点
7×9= 11×13= 79×81=
8×8= 12×12= 80×80=
(2)从以上过程中,你发现了什么规律?
(3)请用字母表示这一规律,你能说明它的正确性吗?
活动4(拓展性目标4)
63
64
143
144
6 399
6 400
两个连续奇数的积等于中间所夹偶数的平方减1.
(a+1)(a-1)= a2-1,多项式相乘可得(a+1)(a-1)= a2+a-a-1= a2-1.
活动5(挑战性目标5)
请模仿拓展性练习改编或创编一道包含平方差公式的混合运算题目并解答.
(1)计算:(21+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)(264+1)(提示:构造平方差公式)
活动6(挑战性目标6)
原式=(2﹣1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)(264+1)
=(22﹣1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)(264+1)
=(24﹣1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)(264+1)
=(28﹣1)(28+1)(216+1)(232+1)(264+1)
=(216﹣1)(216+1)(232+1)(264+1)
=(232﹣1)(232+1)(264+1)
=(264-1)(264+1)
=2128-1
(1)计算:(21+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)(264+1)(提示:构造平方差公式)
(2)总结(1)的题目特征与解答关键
(3)模仿(1)改编一道同类型题目并解答
活动6(挑战性目标6)
原式=(2﹣1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)(264+1)
=(22﹣1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)(264+1)
=(24﹣1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)(264+1)
=(28﹣1)(28+1)(216+1)(232+1)(264+1)
=(216﹣1)(216+1)(232+1)(264+1)
=(232﹣1)(232+1)(264+1)
=(264-1)(264+1)
=2128-1
题目特征:底数相同,指数成倍数增加
解答关键:为第一个因式构造平方差公式
课堂小结
对照学习目标检查学习效果
基础性目标 1.我能用图形拼接方式验证平方差公式.
2.我能运用平方差公式,对简单的数字运算进行简便运算.
拓展性目标 3.我能运用平方差公式,进行整式混合运算.
4.我能运用平方差公式,解决数字运算规律问题.
挑战性目标 5.我能改编本节课课本上的练习,或创编四类的练习,并能写出解答步骤,总结运用平方差公式的规律
6.我能运用平方差公式,对复杂的数字运算进行简便处理.
当堂检测
1.(基础性目标1)在数学实践课上,“智慧小组”将大正方形的阴影部分裁剪下来重新拼成一个图形,以下4种拼法中,不能够验证平方差公式的是( )
D
当堂检测
2.(基础性目标2)已知a=7202,b=721×719,则( )
A.a=b B.a>b C.a<b D.a≤b
3.利用平方差公式计算:
(1)(基础性目标2)20232-2024×2022;
(2)(拓展性目标4)(3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2).
B
(1)原式=20232-(2023+1)×(2023-1)=20232-(20232-1)=1
(2)原式=(3x)2-42-(6x2-4x+9x-6)=9x2-16-6x2+4x-9x+6=3x2-3x-10
当堂检测
4.(拓展性目标4)计算:(x-y)(x+y)(x2+y2).
5.(挑战性目标6)若A=(4+1)(42+1)(44+1),则A的值是______.
原式=(x2-y2)(x2+y2)=x4-y4
课后作业 (可根据实际选做)
基础性作业:
1.利用平方差公式计算下列各式:
(1)1007×993 (2)704×696
(3)108×112 (4)2002﹣198×202.
(1)原式=(1000+7)×(1000-7)=1000000-49=999951
(2)原式=(700+4)×(700-4)=490000-16=489984
(3)原式=(110-2)×(110+2)=12100-4=12096
(4)原式=2002-(200-2)×(200+2)=2002-(2002-4)=4
课后作业 (可根据实际选做)
拓展性作业:
2.计算:(1)(2m+3)(2m﹣3); (2)x(x+1)+(2﹣x)(2+x);
(3)(3x﹣y)(3x+y)+y(x+y) (4)(a+b)(a-b)﹣(3a﹣2b)(3a+2b)
3.计算:(1)(an+b)(an﹣b); (2)(a+1)(a﹣1)(a2+1)
(1)原式=(2m)2-32=4m2-9
(2)原式=x2+x+22﹣x2=x+4
(3)原式=(3x)2-y2+xy+y2=9x2+xy
(4)原式=a2-(b)2﹣[(3a)2-(2b)2]=a2-b2﹣9a2+4b2=﹣8a2+b2
(1)(an+b)(an﹣b)=(an)2﹣b2=a2n﹣b2;
(2)(a+1)(a﹣1)(a2+1)=(a2﹣1)(a2+1)=a4﹣1.
课后作业 (可根据实际选做)
4.阅读与思考
请你仔细阅读下列材料,并完成相应的任务.
在学习了第一章的知识后,老师布置了一道规律探索题,如下:
观察下列各式:152=225,252=625,352=1225,…
个位数字是5的两位数平方后,末尾的两个数有什么规律?为什么?
小丽的思考如下:
假设个位数字是5的两位数的十位数字为a,则这个两位数可以表示为10a+5,这个两位数的平方为(10a+5)2=①,由此可知个位数字是5的两位数平方后末尾的两个数是②.
课后作业 (可根据实际选做)
任务一:补全上面小丽的解答过程:① ;② .
任务二:小丽继续探究发现,个位数字是5的两位数平方后,除了末尾两个数有规律外,其它数位上的数也有规律,并且与原两位数的十位数字有关.
①请直接写出:752= ;
②请用代数式表示小丽发现的这一规律: .
任务三:类比小丽的探索思路,观察:4×6,14×16,24×26,……的计算结果,请用代数式表示你发现的规律: .
100a2+100a+25
25
5625
100a(a+1)+25
100a2+100a+24
课后作业 (可根据实际选做)
挑战性作业:
(1)计算:1002﹣992+982﹣972+…+22﹣12.(提示:逆用平方差公式)
(1)原式=(1002﹣992)+(982﹣972)+...+(42﹣32)+(22﹣1)
=(100+99)×(100﹣99)+(98+97)×(98﹣97)+...+(4+3)×(4﹣3)+(2+1)×(2﹣1)
=199×1+195×1+...+7×1+3×1
=199+195+...+7+3
=(199+3)×50÷2
=25×202
=5050.
课后作业 (可根据实际选做)
挑战性作业:
(2)总结(1)的题目特征与解答关键.
(3)模仿(1)改编一道同类型题目并解答.
(2)特征是每两个平方项为一组,每个底数依次递减
解答关键是利用平方差公式分解,提取公因数
(3)计算:1002﹣982+962﹣942+…+42﹣22.
原式=(1002﹣982)+(962﹣942)+...+(82﹣62)+(42﹣22)
=(100+98)×(100﹣98)+(96+94)×(96﹣94)+...+(8+6)×(8﹣6)+(4+2)×(4﹣2)
=(100+98)×2+(96+94)×2+...+(8+6)×2+(4+2)×2
=2×(100+98+96+94+8+6+4+2)
=2×(100+2)×50÷2
=50×102
=5100.(答案不唯一,合理即可)
Thanks!
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—— 郑州外国语教育集团朗悦校区 杨玉婷
预备性知识:
回顾上节课学方差公式:_____________
练习:利用平方差公式计算:
(1)(2x+7b)(2x–7b); (2)(-m+3n)(m+3n).
活动1:(基础性目标1)
如图,边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形.请表示图1中阴影部分的面积_____,小颖将阴影部分拼成了一个长方形(如图2),这个长方形的长是_______,宽是_______,它的面积是______________,
比较图1与图2的结果,你能得到什么结论?
请同学们准备如图1的正方形纸片,经过裁剪拼接,你能得到区别于小颖同学的拼接方式来验证平方差公式吗?
活动2:(基础性目标2)
利用平方差公式进行计算:
(1)103×97; (2)118×122 (3)2001×1999-20002
思考:如何确定平方差公式中的a与b?
基础性练习:利用平方差公式进行计算:
(1)704×696; (2)9.9×10.1 (3)2502-251×249
活动3:(拓展性目标3)
计算:
(1)a2(a+b)(a-b)+a2b2 (2)(2x-5)(2x+5)-2x(2x-3) (3)(3mn+1)(3mn-1)-8m2n2
拓展性练习:计算:
(1)(x+2y)(x-2y)+(x+1)(x-1) (2)x(x-1)-(x-)(x+) (3)(x-2)(x+2)-x(x+8)
活动4:(拓展性目标4)
思考并完成下面的问题.
(1)计算下列各组算式,并观察它们的共同特点
7×9= 11×13= 79×81=
8×8= 12×12= 80×80=
(2)从以上过程中,你发现了什么规律?
(3)请用字母表示这一规律,你能说明它的正确性吗?
小组合作活动5:(挑战性目标5)
请模仿拓展性练习改编或创编一道包含平方差公式的混合运算题目并解答.
小组合作活动6:(挑战性目标6)
(1)计算:(21+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)(264+1)(提示:构造平方差公式)
(2)总结(1)的题目特征与解答关键
(3)模仿(1)改编一道同类型题目并解答
当堂检测
1.(基础性目标1)在数学实践课上,“智慧小组”将大正方形的阴影部分裁剪下来重新拼成一个图形,以下4种拼法中,不能够验证平方差公式的是( )
A. B.
C.D.
2.(基础性目标2)已知a=7202,b=721×719,则( )
A.a=b B.a>b C.a<b D.a≤b
3.利用平方差公式计算:
(1)(基础性目标2)20232-2024×2022; (2)(拓展性目标4)(3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2).
4.(拓展性目标4)计算:(x-y)(x+y)(x2+y2).
5.(挑战性目标6)若A=(4+1)(42+1)(44+1),则A的值是____.
课后作业(可根据实际选做)
基础性作业:
1.利用平方差公式计算下列各式:
(1)1007×993 (2)704×696 (3)108×112 (4)2002﹣198×202.
拓展性作业:
2.计算:(1)(2m+3)(2m﹣3); (2)x(x+1)+(2﹣x)(2+x);
(3)(3x﹣y)(3x+y)+y(x+y); (4)(a+b)(a-b)﹣(3a﹣2b)(3a+2b)
3.计算:(1)(an+b)(an﹣b); (2)(a+1)(a﹣1)(a2+1)
4.阅读与思考
请你仔细阅读下列材料,并完成相应的任务.
在学习了第一章的知识后,老师布置了一道规律探索题,如下: 观察下列各式:152=225,252=625,352=1225,… 个位数字是5的两位数平方后,末尾的两个数有什么规律?为什么? 小丽的思考如下: 假设个位数字是5的两位数的十位数字为a,则这个两位数可以表示为10a+5,这个两位数的平方为(10a+5)2=①,由此可知个位数字是5的两位数平方后末尾的两个数是②.
任务一:补全上面小丽的解答过程:① ;② .
任务二:小丽继续探究发现,个位数字是5的两位数平方后,除了末尾两个数有规律外,其它数位上的数也有规律,并且与原两位数的十位数字有关.
①请直接写出:752= ;
②请用代数式表示小丽发现的这一规律: .
任务三:类比小丽的探索思路,观察:4×6,14×16,24×26,……的计算结果,请用代数式表示你发现的规律: .
挑战性作业:
(1)计算:1002﹣992+982﹣972+…+22﹣12.(提示:逆用平方差公式)
(2)总结(1)的题目特征与解答关键.
(3)模仿(1)改编一道同类型题目并解答.
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—— 郑州外国语教育集团朗悦校区 杨玉婷
预备性知识:
回顾上节课学方差公式:_____________
练习:利用平方差公式计算:
(1)(2x+7b)(2x–7b); (2)(-m+3n)(m+3n).
活动1:(基础性目标1)
如图,边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形.请表示图1中阴影部分的面积_____,小颖将阴影部分拼成了一个长方形(如图2),这个长方形的长是_______,宽是_______,它的面积是______________,
比较图1与图2的结果,你能得到什么结论?
请同学们准备如图1的正方形纸片,经过裁剪拼接,你能得到区别于小颖同学的拼接方式来验证平方差公式吗?
活动2:(基础性目标2)
利用平方差公式进行计算:
(1)103×97; (2)118×122 (3)2001×1999-20002
思考:如何确定平方差公式中的a与b?
基础性练习:利用平方差公式进行计算:
(1)704×696; (2)9.9×10.1 (3)2502-251×249
活动3:(拓展性目标3)
计算:
(1)a2(a+b)(a-b)+a2b2 (2)(2x-5)(2x+5)-2x(2x-3) (3)(3mn+1)(3mn-1)-8m2n2
拓展性练习:计算:
(1)(x+2y)(x-2y)+(x+1)(x-1) (2)x(x-1)-(x-)(x+) (3)(x-2)(x+2)-x(x+8)
活动4:(拓展性目标4)
思考并完成下面的问题.
(1)计算下列各组算式,并观察它们的共同特点
7×9= 11×13= 79×81=
8×8= 12×12= 80×80=
(2)从以上过程中,你发现了什么规律?
(3)请用字母表示这一规律,你能说明它的正确性吗?
小组合作活动5:(挑战性目标5)
请模仿拓展性练习改编或创编一道包含平方差公式的混合运算题目并解答.
小组合作活动6:(挑战性目标6)
(1)计算:(21+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)(264+1)(提示:构造平方差公式)
(2)总结(1)的题目特征与解答关键
(3)模仿(1)改编一道同类型题目并解答
当堂检测
1.(基础性目标1)在数学实践课上,“智慧小组”将大正方形的阴影部分裁剪下来重新拼成一个图形,以下4种拼法中,不能够验证平方差公式的是(D)
A. B.
C.D.
2.(基础性目标2)已知a=7202,b=721×719,则(B)
A.a=b B.a>b C.a<b D.a≤b
3.利用平方差公式计算:
(1)(基础性目标2)20232-2024×2022; (2)(拓展性目标4)(3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2).
(1)原式=20232-(2023+1)×(2023-1)=20232-(20232-1)=1
(2)原式=(3x)2-42-(6x2-4x+9x-6)=9x2-16-6x2+4x-9x+6=3x2-3x-10
4.(拓展性目标4)计算:(x-y)(x+y)(x2+y2).
原式=(x2-y2)(x2+y2)=x4-y4
5.(挑战性目标6)若A=(4+1)(42+1)(44+1),则A的值是____.
课后作业(可根据实际选做)
基础性作业:
1.利用平方差公式计算下列各式:
(1)1007×993 (2)704×696 (3)108×112 (4)2002﹣198×202.
(1)原式=(1000+7)×(1000-7)=1000000-49=999951
(2)原式=(700+4)×(700-4)=490000-16=489984
(3)原式=(110-2)×(110+2)=12100-4=12096
(4)原式=2002-(200-2)×(200+2)=2002-(2002-4)=4
拓展性作业:
2.计算:(1)(2m+3)(2m﹣3); (2)x(x+1)+(2﹣x)(2+x);
(3)(3x﹣y)(3x+y)+y(x+y); (4)(a+b)(a-b)﹣(3a﹣2b)(3a+2b)
(1)原式=(2m)2-32=4m2-9
(2)原式=x2+x+22﹣x2=x+4
(3)原式=(3x)2-y2+xy+y2=9x2+xy
(4)原式=a2-(b)2﹣[(3a)2-(2b)2]=a2-b2﹣9a2+4b2=﹣8a2+b2
3.计算:(1)(an+b)(an﹣b); (2)(a+1)(a﹣1)(a2+1)
(1)(an+b)(an﹣b)=(an)2﹣b2=a2n﹣b2;
(2)(a+1)(a﹣1)(a2+1)=(a2﹣1)(a2+1)=a4﹣1.
4.阅读与思考
请你仔细阅读下列材料,并完成相应的任务.
在学习了第一章的知识后,老师布置了一道规律探索题,如下: 观察下列各式:152=225,252=625,352=1225,… 个位数字是5的两位数平方后,末尾的两个数有什么规律?为什么? 小丽的思考如下: 假设个位数字是5的两位数的十位数字为a,则这个两位数可以表示为10a+5,这个两位数的平方为(10a+5)2=①,由此可知个位数字是5的两位数平方后末尾的两个数是②.
任务一:补全上面小丽的解答过程:① 100a2+100a+25 ;② 25 .
任务二:小丽继续探究发现,个位数字是5的两位数平方后,除了末尾两个数有规律外,其它数位上的数也有规律,并且与原两位数的十位数字有关.
①请直接写出:752= 5625 ;
②请用代数式表示小丽发现的这一规律: 100a(a+1)+25 .
任务三:类比小丽的探索思路,观察:4×6,14×16,24×26,……的计算结果,请用代数式表示你发现的规律: 100a2+100a+24 .
解:任务一:(10a+5)2=100a2+100a+25,
则个位数字是5的两位数平方后末尾的两个数是25,
故答案为:①100a2+100a+25;②25;
任务二:①752=100×72+100×7+25=5625,
②(10a+5)2=100a(a+1)+25;
故答案为:①5625;②100a(a+1)+25;
任务三:∵4×6=24,
14×16=224,
24×26=624,
…
∴当十位数的数字为a(a≥0的整数)时,
(10a+4)(10a+6)
=100a2+60a+40a+24
=100a2+100a+24.
故答案为:100a2+100a+24.
挑战性作业:
(1)计算:1002﹣992+982﹣972+…+22﹣12.(提示:逆用平方差公式)
(2)总结(1)的题目特征与解答关键.
(3)模仿(1)改编一道同类型题目并解答.
(1)原式=(1002﹣992)+(982﹣972)+...+(42﹣32)+(22﹣1)
=(100+99)×(100﹣99)+(98+97)×(98﹣97)+...+(4+3)×(4﹣3)+(2+1)×(2﹣1)
=199×1+195×1+...+7×1+3×1
=199+195+...+7+3
(199+3)
=25×202
=5050.
(2)特征是每两个平方项为一组,每个底数依次递减
解答关键是利用平方差公式分解,提取公因数
(3)计算:1002﹣982+962﹣942+…+42﹣22.
原式=(1002﹣982)+(962﹣942)+...+(82﹣62)+(42﹣22)
=(100+98)×(100﹣98)+(96+94)×(96﹣94)+...+(8+6)×(8﹣6)+(4+2)×(4﹣2)
=(100+98)×2+(96+94)×2+...+(8+6)×2+(4+2)×2
=2×(100+98+96+94+8+6+4+2)
=2×(100+2)
=50×102
=5100.(答案不唯一,合理即可)
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原创名校精品资源21世纪教育网独家享有版权,侵权必究《1.3.2平方差公式的运用》教学设计
—— 郑州外国语教育集团朗悦校区 杨玉婷
一、课型
新授课
二、内容分析
(一)课标要求
《义务教育数学课程标准(2022年版)》对平方差公式的内容要求是:理解平方差公,了解公式的几何背景,能利用公式进行简单的计算和推理.
从课程标准内容要求和学业要求来看,本节课的两大任务是:几何背景和运算推理.设计学生对正方形剪裁与拼接的活动,建立几何图形与平方差公式之间的联系;设计难度由浅入深的题组训练,并设计总结归纳平方差公式,并据此变形与改编创编题目的活动,进一步明确平方差公式的特征,并根据特征进行简单的运算和推理.
本节课通过组织学生对正方形剪裁与拼接的活动,建立几何图形与代数乘法公式之间的联系,充分渗透了“数形结合”的数学思想方法;通过观察大量的乘法式子设计总结归纳乘法公式特征的活动,抽象出使用符号语言表示的一般结论,建立符号意识.
(二)教材解读
初中阶段,在七年级上册,学生已学习了有理数运算和整式的加减法,以此为基础,在七下第一章节也就是本章,研究整式的乘除,为八九年级学习方程、分式、函数这三大模块提供知识基础与研究路径,也为高中阶段学习指数式函数与对数式函数等相关知识铺垫.其中,与整式的乘法具有相反变形关系的是八年级下册第四章因式分解与第五章分式与分式方程,因此在本章研究学习整式的乘除对因式分解与分式的学习具有借鉴意义.
本节课处于整式的乘除——乘法公式的第2课时,是平方差公式的第2课时,在上一节课对平方差公式学习后的基础上,针对其几何背景与简便运算和综合运算进行学习,既承接上节课巩固公式运用,又为完全平方公式及乘法公式的综合运用铺垫.
本节课主要对乘法公式中的平方差公式的几何背景与公式运用进行学习与研究.因此,本节课以这两大任务为导向发,通过设计学生对正方形剪裁与拼接的活动,建立几何图形与平方差公式之间的联系,了解平方差公式的几何背景;设计难度由浅入深的题组训练,对公式的简便运算和综合运算进行联系,强化公式运用,增强运算能力.
对代数形式的平方差公式与其几何背景相呼应,达到渗透数形结合的目的,是本节课的重点,运用平方差公式进行数的简便运算和整式的混合运算是本节课的难点.设计先学,再总结,最后实践操作的剪纸拼接活动,使学生感受数与形的一致性;通过题组训练,并在学习后总结题目特点即平方差公式的特征来分辨计算类型,更强调了公式的结构特征.
三、学情分析
1.基础知识
学生对多项式乘多项式的学习已经结束,大部分同学已经具备代数方法的推导过程,但对与图形结合的验证方法接触较少,因此,数形结合的意识不强.本节课作为乘法公式的第2课时,在已使用公式进行简单运用的基础上,学生对与数相关的简单运算方法,多项式相乘的混合运算有了一定的学习基础,但对于多项相乘的计算还需要一定的锻炼与思考.
2.行为习惯
学生已经养成提前预习的习惯,在课堂上也能认真听讲、及时整理笔记,但是在主动反思总结共同点、大胆质疑提出疑问、有效表达简洁有针对性等方面还稍有欠缺.因此,设计每个活动后,对知识与经验进行总结与表达,再进行实践,学生自我表达时间较长,给学生充分的发挥空间,最后教师指导再进行完善,以此培养学生反思总结、有效表达、大胆质疑、及时整理的习惯.
3.关键能力
学生经过第一课时观察总结规律的活动后,对有独特特征的整式计算抽象归纳其规律特征有了一定的经验,因此学生在对信息获取与加工的能力这方面有一定基础;多数学生能根据公式进行简单的应用,对多个多项式混合运算的复杂计算较难适应,提出质疑与不同意见的次数较少,因此学生在对逻辑推理论证能力这方面有一定基础,在批判性思维和辩论的能力这方面表现较弱;多数学生能根据公式的特征,或者多个式子的共同特征,说明其特点,但语言表述不够准确与凝练,因此学生在对语言的组织与表达方面,虽然有一定的训练,但是语言表达的专业性、简洁性和规范性上都需要提高;学生在公式的单独应用上已经有了一些经验,但在灵活应用上比较难解决,尤其对辨认公式变形比较困难,因此学生在对思维建模能力(可视化)表现较弱.希望,通过本节课的教学在这些方面有所突破.
四、学习目标
基础性目标 1.我能用图形拼接方式验证平方差公式. 2.我能运用平方差公式,对简单的数字运算进行简便运算.
拓展性目标 3.我能运用平方差公式,进行整式混合运算. 4.我能运用平方差公式,解决数字运算规律问题.
挑战性目标 5.我能改编本节课课本上的练习,或创编四类的练习,并能写出解答步骤,总结运用平方差公式的规律. 6.我能运用平方差公式,对复杂的数字运算进行简便处理.
五、实施路径
基础性目标 实现路径 课前:通过默写公式,计算练习回顾公式的运用.
课堂:通过图形拼接操作再次验证平方差公式,学生直接展示基础性目标活动1结果,如提出疑问,其他学生补充,教师答疑;学生通过计算练习与观察自主思考如何确定平方差公式中的a与b,完成基础性目标活动2,学生回答,教师补充.
拓展性目标 实现路径 课前:学生尝试自主完成拓展性目标活动.
课堂:通过题组练习明确混合运算中公式的运用,自主完成拓展性目标活动3,学生板演或投屏展示,教师指导,完善答案;通过观察有规律的数式,总结用文字语言与符号语言表达规律,完成拓展性目标活动4,个人展示,其他同学补充,完善答案,教师总结点评.
挑战性目标 实现路径 课堂:通过编写包含平方差公式的题目,总结运用平方差公式的规律,学生尝试合作完成挑战性目标活动5,小组合作展示,其他学生补充,教师总结;在提示运用平方差公式解决复杂的数字运算,合作完成挑战性目标活动6,小组合作展示,其他学生补充,教师总结.
课后:补充完善小组合作内容,形成成果,并尝试再编写题目.
六、课堂流程
流程 时间 教师活动 学生活动
明确目标 拉齐基础 2分钟 展示本节课的三层学习目标向学生交待本节课的学习任务;组织学生核对预备性知识答案,回顾公式运用. 明确本节课的学习任务;核对预备性知识答案,回顾公式运用.
主动探究 基础过关 5分钟 组织学生展示基础性目标活动1(图形验证公式),及时点拨疑问;指导学生完成基础性目标活动2(题组训练),提出如何确定平方差公式中的a与b的疑问,引导学生观察计算过程,组织学生回答问题,教师及时补充. 展示基础性目标活动1(图形验证公式),提出疑问,做好总结;完成基础性目标活动2(题组训练),观察计算过程,思考如何确定平方差公式中的a与b的疑问,回答问题,及时记录.
自主探讨 个人展评 10分钟 组织学生自主探究拓展性目标活动3(题组训练),组织学生板演或投屏分享,引导思路,帮助学生规范计算过程,对规范的过程进行肯定,易错的过程举例指导;自主探究拓展性目标活动4(规律表达),组织学生展示,帮助学生规范文字语言与符号语言. 自主探究拓展性目标任务活动3(题组训练),完善计算过程,提出质疑,做好记录;自主探究拓展性目标活动4(规律表达),完善规律表达的语言,提出质疑,做好记录.
合作探讨 挑战突破 15分钟 指导学生小组合作完成挑战性目标活动5(编写题目),小组内指定学生进行展讲,及时点拨,并对表现优异的学生进行表扬;指导学生小组合作完成挑战性目标活动6(复杂数字题),小组内指定学生进行展讲,及时点拨,并对表现优异的学生进行表扬. 小组合作完成挑战性目标任务活动5(编写题目),重点是如何表达,理清思路,互相补充,并记录疑问;小组合作完成挑战性目标任务活动6(复杂数字题),重点是如何运用公式,理清思路,互相补充,并记录疑问.
答疑解惑拓展能力 5分钟 组织学生展示不懂或存疑的问题,教师补充与总结或留作课后思考;对当堂练习进行点拨. 学生展示不懂的问题,记录答案或思路,课下完善;完成当堂练习.
对照目标 检测效果 2分钟 再次展示本节课的三层学习目标. 对照本节课的基础目标和拓展性目标,检测自己的学习效果,分享目标达成度.
自我小结 挑战点拨 1分钟 请学生分享课堂收获体会、点评、肯定、补充. 分享课堂收获,互相补充.
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