《1.3.3完全平方公式》自主学习单
—— 郑州外国语教育集团朗悦校区 杨玉婷
预备性知识：
1.多项式乘多项式的法则是：_____________________________________________
2.平方差公式是___________________，平方差公式是如何推导验证的？
活动1：(基础性目标1)
计算，并观察下列算式及其运算结果，你有什么发现
(1)(m+3)2 (2)(2+3x)2
活动2：(基础性目标2)
类比平方差公式的推到验证方法，请计算(a＋b)2的结果.
思考：(a－b)2=___________________，你是怎样做的？
总结：完全平方公式：__________________________________________________________
符号语言：___________________________________________________________________
公式特征：___________________________________________________________________
活动3：(拓展性目标3)
利用完全平方公式计算：
(1)(2x－3)2 (2)(4x＋5y)2 (3)(mn－a)2
拓展性练习：利用完全平方公式进行计算：
(1)(x+2y)2； (2)(2xy-x)2； (3)(-3m+n)2.
活动4：(拓展性目标4)
利用乘法公式计算：(1)(2x+y)(2x﹣y) (2)(x﹣y)(﹣x+y) (3)(﹣x+y)(﹣x﹣y)
根据上面几个小题思考：完全平方公式与平方差公式有什么区别？
活动5：(挑战性目标1)
1.回顾借助几何图形解释或分析问题的过程，对于形与数的联系，你有哪些感悟
2.利用多项式与多项式相乘计算(a+b+c)2
活动6：(挑战性目标2)
利用图形面积验证上面的结论.
当堂检测
1.(基础性目标2)如图，对正方形进行分割，利用面积恒等能验证的等式是(B)
A．(x﹣2)2＝x2﹣4x+4 B．(x+2)2＝x2+4x+4 C．(x+2)(x﹣2)＝x2﹣4 D．x(x﹣2)＝x2﹣2x
2.(拓展性目标3、4)把如图左圈里的整式分别乘(a+2b)，将所得的积写在右圈相应的位置上．
答案
3．(拓展性目标3)计算：(1)(6a+5b)2 (2)(4x－3y)2 (3)(2m－1)2 (4)(－2m－1)2
(1)(6a+5b)2＝36a2+60ab+25b2
(2)(4x－3y)2＝16x2-24xy+9y2
(3)(2m－1)2＝4m2-4m+1
(4)(－2m－1)2＝4m2+4m+1
(或者(－2m－1)2＝(2m+1)2＝4m2+4m+1)
4．(拓展性目标4)若a+b＝﹣1，则a2+2ab+b2＝ 1 ．
5．(挑战性目标6)如图，通过计算大正方形的面积，可以验证一个等式，这个等式是(C)
A．(x+y+z)2＝x2+y2+z2+2y+xz+yz B．(x+y+z)2＝x2+y2+z+2xy+xz+2yz
C．(x+y+z)2＝x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz D．(x+y+z)2＝(x+y)2+2xz+2yz
课后作业(可根据实际选做)
基础性作业：
1．计算：(1)(2x+5y)2； (2)(m-)2； (3)(﹣2t﹣1)2；
(4)(x+y)2； (5)(7ab+2)2； (6)(﹣cd+)2．
(1)(2x+5y)2＝4x2+20xy+25y2；
(2)(m)2m2m；
(3)(﹣2t﹣1)2＝4t2+4t+1；
(4)(xy)2x2y2；
(5)(7ab+2)2＝49a2b2+28ab+4；
(6)(﹣cd)2＝c2d2．
2．一个圆的半径长为r(r＞2)cm，减少2cm后，这个圆的面积减少了多少？
解：由题意可得：πr2﹣π(r﹣2)2
＝π(r2﹣r2+4r﹣4)
＝π(4r﹣4)
＝4πr﹣4π，
答：这个圆的面积减少了4π(r﹣1)．
拓展性作业：
3．计算：(1)(2x+y+1)(2x+y﹣1)； (2)(x﹣2)(x+2)﹣(x+1)(x﹣3)；
(3)(ab+1)2﹣(ab﹣1)2； (4)(2x﹣y)2﹣4(x﹣y)(x+2y)．
解：(1)(2x+y+1)(2x+y﹣1)
＝(2x+y)2﹣1
＝4x2+y2+4xy﹣1；
(2)(x﹣2)(x+2)﹣(x+1)(x﹣3)
＝x2﹣4﹣(x2﹣2x﹣3)
＝2x﹣1；
(3)(ab+1)2﹣(ab﹣1)2；
＝(ab+1+ab﹣1)(ab+1﹣ab+1)
＝2ab×2
＝4ab；
(4)(2x﹣y)2﹣4(x﹣y)(x+2y)
＝4x2+y2﹣4xy﹣4(x2+xy﹣2y2)
＝9y2﹣8xy．
4．一个底面是正方形的长方体，高为6cm，底面正方形边长为5cm，如果它的高不变，底面正方形边长增加了acm，那么它的体积增加了多少？
解：6(a+5)2﹣6×52，
＝150+60a+6a2﹣150，
＝6a2+60a．
答：它的体积增加了(6a2+60a)cm3．
挑战性作业：
5.用多项式乘多项式的方法计算：(a+b)3，(a+b)4
(a+b)3＝(a+b)2·(a+b)＝(a2+2ab+b2)·(a+b)=a3+a2b+2a2b+2ab2+ab2+b3＝a3+3a2b+3ab2+b3
(a+b)4＝(a+b)3·(a+b)＝(a3+3a2b+3ab2+b3)·(a+b)=a4+a3b+3a3b+3a2b2+3a2b2+3ab3+ab3+b4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
6.我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了(a+b)n(n为正整数)的展开式(按a的次数由大到小的顺序排列)的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应(a+b)2＝a2+2ab+b2展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着(a+b)3＝a3+3a2b+3ab2+b3展开式中的系数．
(1)请用杨辉三角的规律验证第5题你计算的答案，并写出(a+b)5，(a+b)6展开后的多项式；
(2)已知(x+y)3＝x3﹣3×2x2+3×4x﹣8，则y＝ -2 ；
(3)若(2x﹣1)2025＝a1x2025+a2x2024+ +a2024x2+a2025x+a2026，求a1+a2+ +a2024+a2025的值．
解：(1)经验证(a+b)3＝a3+3a2b+3ab2+b3，(a+b)4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4正确
(a+b)5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5，
(a+b)6＝a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6
(2)-2
(3)令x＝1，则(2×1﹣1)2025＝a1·12025+a2·12024+ +a2024·12+a2025·1+a2026，
∴1＝a1+a2+ +a2024+a2025+a2026①，
令x＝0，则(2×0﹣1)2025＝a1·02025+a2·02024+ +a2024·02+a2025·0+a2026，
∴-1＝a2026②，
①-②得，2＝a1+a2+ +a2024+a2025
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原创名校精品资源21世纪教育网独家享有版权，侵权必究《1.3.3完全平方公式》教学设计
—— 郑州外国语教育集团朗悦校区 杨玉婷
一、课型
新授课
二、内容分析
(一)课标分析：
《义务教育数学课程标准(2022年版)》对完全平方公式的内容要求是：理解完全平方公式，了解公式的几何背景，能利用公式进行简单的计算和推理.
从课程标准内容要求和学业要求来看，本节课的两大任务是：公式推导(代数与几何)和公式应用.设计类比学习平方差公式的思路：观察——归纳——验证(代数与几何)——运用，进行完全平方公式的学习；设计难度由浅入深的题组训练，并设计总结归纳完全平方公式与平方差公式的区别，进一步明确两个乘法公式的特征，既便于学生区别记忆，也便于下一课时的公式应用.
本节课通过对完全平方公式几何背景的研究，建立几何图形与完全平方公式之间的联系，充分渗透了“数形结合”的数学思想方法；通过类比学习平方差公式的思路，学习完全平方公式的研究过程，抽象出学习一般公式的研究方法，充分渗透了“类比探究”的数学方法，树立了建立模型的意识与观念.
(二)教材分析
初中阶段，在七年级上册，学生已学习了有理数运算和整式的加减法，以此为基础，在七下第一章节也就是本章，研究整式的乘除，为八九年级学习方程、分式、函数这三大模块提供知识基础与研究路径，也为高中阶段学习指数式函数与对数式函数等相关知识铺垫.其中，与整式的乘法具有相反变形关系的是八年级下册第四章因式分解与第五章分式与分式方程，因此在本章研究学习整式的乘除对因式分解与分式的学习具有借鉴意义.
本节课处于整式的乘除——乘法公式的第3课时，是完全平方公式的第1课时，平方差公式和完全平方公式是重要的乘法公式.在上一节课对平方差公式学习后的基础上，类比研究思路，针对公式的几何背景与简便运算和综合运算进行学习，既承接上节课平方差公式的学习路径，又为第4课时整式的乘法公式的综合运用铺垫.
本节课主要对乘法公式中的完全平方公式的公式推导与公式运用进行学习与研究.因此，以平方差公式的思路为导向，设计“观察——归纳——验证(代数与几何)——运用”的学习路径，进行完全平方公式的学习，并设计总结归纳完全平方公式与平方差公式的区别，进一步明确两个乘法公式的特征.
利用代数与几何的方法推导完全平方公式，正确运用公式进行简单计算和推理是本节课的重点，利用代数与几何的方法推导完全平方公式是本节课的难点.通过设计学生类比学习平方差公式的思路：观察——归纳——验证(代数与几何)——运用，进行完全平方公式的学习，在已有经验的基础上放手给学生探究，在适当的时候帮助学生；通过设计由简单到复杂的题组训练，并设计总结归纳完全平方公式与平方差公式的区别，进一步明确两个乘法公式的特征，设计明确的两个乘法公式的比较，便于学生寻找不同点，区别记忆.
三、学情分析
1.基础知识
学生对多项式乘多项式及平方差公式的学习已经结束，大部分同学已经具备平方差公式代数方法的推导过程，也学方差公式的学习路径，因此，基础知识、研究思路与学习方法已经有了一定的掌握.本节课作为完全平方公式的第一课时，在已学习平方差公式的基础上，进行探究，在知识与技能上有了一定的经验，但完全平方公式涉及“和”“差”两个公式，探究内容较多，难度较大，学生还需要一定的理解能力与运用能力.
2.行为习惯
学生已经养成提前预习的习惯，在课堂上也能认真听讲、及时整理笔记，但是在主动反思总结共同点、大胆质疑提出疑问、有效表达简洁有针对性等方面还稍有欠缺.因此，设计每个活动后，对知识与经验进行总结与表达，再进行实践，学生自我表达时间较长，给学生充分的发挥空间，最后教师指导再进行完善，以此培养学生反思总结、有效表达、大胆质疑、及时整理的习惯.
3.关键能力
学生经过平方差公式的学习活动后，对有独特特征的整式计算抽象归纳其规律特征有了一定的经验，因此学生在对信息获取与加工的能力这方面有一定基础；多数学生能根据公式进行简单的应用，对多个多项式相乘的复杂计算较难适应，提出质疑与不同意见的次数较少，因此学生在对逻辑推理论证能力这方面有一定基础，在批判性思维和辩论的能力这方面表现较弱；多数学生能根据公式的特征，或者多个式子的共同特征，说明其特点，但语言表述不够准确与凝练，因此学生在对语言的组织与表达方面，虽然有一定的训练，但是在这方面有一定基础，语言表达的专业性、简洁性和规范性上都需要提高；学生在公式的单独应用上已经有了一些经验，但在灵活应用上比较难解决，尤其对辨认公式变形比较困难，因此学生在对思维建模能力(可视化)表现较弱.希望，通过本节课的教学在这些方面有所突破.
四、学习目标
基础性目标 1.我能用多项式乘多项式的运算法则，推导完全平方公式. 2.我能用图形的面积，验证完全平方公式.
拓展性目标 3.我能运用公式进行简单计算和推理. 4.我能分辨完全平方公式和平方差公式，并能判断计算适用的公式.
挑战性目标 5.我能用多项式乘多项式的运算法则，推导三项式与三项式的乘积. 6.我能用图形面积的面积，验证三项式与三项式的乘积.
五、实施路径
基础性目标 实现路径 课前：通过默写公式，回顾公式的运用与验证思路.
课堂：通过观察计算结果总结完全平方公式；通过类比平方差公式的验证思路，研究完全平方公式的研究过程，学生直接展示基础性目标活动1、2结果，如提出疑问，其他学生补充，教师答疑.
拓展性目标 实现路径 课前：学生尝试自主完成拓展性目标活动.
课堂：通过题组练习明确完全平方公式的运用，自主完成拓展性目标活动3，学生板演或投屏展示，教师指导，完善答案；通过完全平方公式与平方差公式的计算对比，总结二者不同点，完成拓展性目标活动4，个人展示，其他同学补充，完善答案，教师总结点评.
挑战性目标 实现路径 课堂：通过平方差公式的验证思路，用运算与图形面积两种方法验证三项或三次式的计算，学生尝试合作完成挑战性目标活动5、6，小组合作展示，其他学生补充，教师总结.
课后：补充完善小组合作内容，形成成果.
六、课堂流程
流程 时间 教师活动 学生活动
明确目标 拉齐基础 2分钟 展示本节课的三层学习目标向学生交待本节课的学习任务；组织学生核对预备性知识答案，回顾公式运用与验证思路. 明确本节课的学习任务；核对预备性知识答案，回顾公式运用与验证思路.
主动探究 基础过关 5分钟 组织学生展示基础性目标活动1（观察总结），及时点拨疑问；指导学生完成基础性目标活动2（运算与图形面积），验证完全平方公式，组织学生展示，教师及时补充. 展示基础性目标活动1（观察总结），提出疑问，做好总结；完成基础性目标活动2（运算与图形面积），学生展示，回答问题，及时记录.
自主探讨 个人展评 10分钟 组织学生自主探究拓展性目标活动3（题组训练），组织学生板演或投屏分享，引导思路，帮助学生规范计算过程，对规范的过程进行肯定，易错的过程举例指导；自主探究拓展性目标活动4（找公式不同点），组织学生观察思考后展示，帮助学生规范语言表达. 自主探究拓展性目标任务活动3（题组训练），完善计算过程，提出质疑，做好记录；自主探究拓展性目标活动4（找公式不同点），完善表达的语言，提出质疑，做好记录.
合作探讨 挑战突破 15分钟 根据运算与图形面积两种方法，指导学生小组合作完成挑战性目标活动5、6（三项式相乘），小组内指定学生进行展讲，及时点拨，并对表现优异的学生进行表扬. 根据运算与图形面积两种方法，小组合作完成挑战性目标任务活动5、6（三项式相乘），重点是如何表达，理清思路，互相补充，并记录疑问.
答疑解惑拓展能力 5分钟 组织学生展示不懂或存疑的问题，教师补充与总结或留作课后思考；对当堂练习进行点拨. 学生展示不懂的问题，记录答案或思路，课下完善；完成当堂练习.
对照目标 检测效果 2分钟 再次展示本节课的三层学习目标. 对照本节课的基础目标和拓展性目标，检测自己的学习效果，分享目标达成度.
自我小结 挑战点拨 1分钟 请学生分享课堂收获体会、点评、肯定、补充. 分享课堂收获，互相补充.
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—— 郑州外国语教育集团朗悦校区 杨玉婷
预备性知识：
1.多项式乘多项式的法则是：_____________________________________________
2.平方差公式是___________________，平方差公式是如何推导验证的？
活动1：(基础性目标1)
计算，并观察下列算式及其运算结果，你有什么发现
(1)(m+3)2 (2)(2+3x)2
活动2：(基础性目标2)
类比平方差公式的推到验证方法，请计算(a＋b)2的结果.
思考：(a－b)2=___________________，你是怎样做的？
总结：完全平方公式：__________________________________________________________
符号语言：___________________________________________________________________
公式特征：___________________________________________________________________
活动3：(拓展性目标3)
利用完全平方公式计算：
(1)(2x－3)2 (2)(4x＋5y)2 (3)(mn－a)2
拓展性练习：利用完全平方公式进行计算：
(1)(x+2y)2； (2)(2xy-x)2； (3)(-3m+n)2.
活动4：(拓展性目标4)
利用乘法公式计算：(1)(2x+y)(2x﹣y) (2)(x﹣y)(﹣x+y) (3)(﹣x+y)(﹣x﹣y)
根据上面几个小题思考：完全平方公式与平方差公式有什么区别？
活动5：(挑战性目标1)
1.回顾借助几何图形解释或分析问题的过程，对于形与数的联系，你有哪些感悟
2.利用多项式与多项式相乘计算(a+b+c)2
活动6：(挑战性目标2)
利用图形面积验证上面的结论.
当堂检测
1.(基础性目标2)如图，对正方形进行分割，利用面积恒等能验证的等式是( )
A．(x﹣2)2＝x2﹣4x+4 B．(x+2)2＝x2+4x+4 C．(x+2)(x﹣2)＝x2﹣4 D．x(x﹣2)＝x2﹣2x
2.(拓展性目标3、4)把如图左圈里的整式分别乘(a+2b)，将所得的积写在右圈相应的位置上．
3．(拓展性目标3)计算：(1)(6a+5b)2 (2)(4x－3y)2 (3)(2m－1)2 (4)(－2m－1)2
4．(拓展性目标4)若a+b＝﹣1，则a2+2ab+b2＝ ．
5．(挑战性目标6)如图，通过计算大正方形的面积，可以验证一个等式，这个等式是( )
A．(x+y+z)2＝x2+y2+z2+2y+xz+yz B．(x+y+z)2＝x2+y2+z+2xy+xz+2yz
C．(x+y+z)2＝x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz D．(x+y+z)2＝(x+y)2+2xz+2yz
课后作业(可根据实际选做)
基础性作业：
1．计算：(1)(2x+5y)2； (2)(m-)2； (3)(﹣2t﹣1)2；
(4)(x+y)2； (5)(7ab+2)2； (6)(﹣cd+)2．
2．一个圆的半径长为r(r＞2)cm，减少2cm后，这个圆的面积减少了多少？
拓展性作业：
3．计算：(1)(2x+y+1)(2x+y﹣1)； (2)(x﹣2)(x+2)﹣(x+1)(x﹣3)；
(3)(ab+1)2﹣(ab﹣1)2； (4)(2x﹣y)2﹣4(x﹣y)(x+2y)．
4．一个底面是正方形的长方体，高为6cm，底面正方形边长为5cm，如果它的高不变，底面正方形边长增加了acm，那么它的体积增加了多少？
挑战性作业：
5.用多项式乘多项式的方法计算：(a+b)3，(a+b)4
6.我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了(a+b)n(n为正整数)的展开式(按a的次数由大到小的顺序排列)的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应(a+b)2＝a2+2ab+b2展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着(a+b)3＝a3+3a2b+3ab2+b3展开式中的系数．
(1)请用杨辉三角的规律验证第5题你计算的答案，并写出(a+b)5，(a+b)6展开后的多项式；
(2)已知(x+y)3＝x3﹣3×2x2+3×4x﹣8，则y＝ ；
(3)若(2x﹣1)2025＝a1x2025+a2x2024+ +a2024x2+a2025x+a2026，求a1+a2+ +a2024+a2025的值．
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1.3.3 完全平方公式
郑州外国语教育集团朗悦校区 杨玉婷
一 学习目标
三 新知讲解
五 当堂检测
二 复习回顾
四 课堂总结
六 作业布置
学习目标
基础性目标 1.我能用多项式乘多项式的运算法则，推导完全平方公式.
2.我能用图形的面积，验证完全平方公式.
拓展性目标 3.我能运用公式进行简单计算和推理.
4.我能分辨完全平方公式和平方差公式，并能判断计算适用的公式.
挑战性目标 5.我能用多项式乘多项式的运算法则，推导三项式与三项式的乘积.
6.我能用图形面积的面积，验证三项式与三项式的乘积.
1.多项式乘多项式的法则是：____________________________________
2.平方差公式是___________________，平方差公式是如何推导验证的？
预备性知识
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.
(a+b)(a-b)=a2-b2
按照多项式与多项式相乘的运算；图形面积剪拼验证.
计算，并观察下列算式及其运算结果，你有什么发现
(1)(m+3)2 (2)(2+3x)2
活动1(基础性目标1)
解：(1) (m+3)2=(m+3)(m+3)
=m2+3m+3m+9
=m2+6m+9；
(2) (2+3x)2=(2+3x)(2+3x)
=4+6x+6x+9x2
=4+12x+9x2.
两个数的和的平方，等于这两个数的平方和加上这两个数的积的2倍.
类比平方差公式的推到验证方法，请计算(a＋b)2的结果.
活动2(基础性目标2)
多项式乘多项式的运算角度：
(a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2
类比平方差公式的推到验证方法，请计算(a＋b)2的结果.
活动2(基础性目标2)
多项式乘多项式的运算角度：
(a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2
直接求：
总面积=
(a+b)2
间接求：
总面积=
a2+
ab+
ab+
b2
(a+b)2 =
a2+2ab+b2
a
a
b
b
a
b
ab
ab
图形面积：
思考：(a－b)2=___________________，你是怎样做的？
活动2(基础性目标2)
多项式乘多项式的运算角度：
(a-b)2 = (a-b)(a-b)= a2-ab-ab+b2= a2-2ab+b2
a2-2ab+b2
思考：(a－b)2=___________________，你是怎样做的？
活动2(基础性目标2)
多项式乘多项式的运算角度：
(a-b)2 = (a-b)(a-b)= a2-ab-ab+b2= a2-2ab+b2
a2-2ab+b2
图形面积：
a
a
b
b
(a-b)
b
b(a-b)
b(a-b)
(a-b)2 = a2-2b(a-b)-b2
=a2-2ab+b2
活动2(基础性目标2)
完全平方公式
(a+b)2= .
a2+2ab+b2
(a-b)2= .
a2-2ab+b2
公式中的字母a，b可以表示数，单项式和多项式.
利用完全平方公式计算：
(1)(2x－3)2 (2)(4x＋5y)2 (3)(mn－a)2
活动3(拓展性目标3)
解:(1) (2x-3)2=
= 4x2
(2x)2
-2 (2x) 3
+32
-12x
+9
(a-b)2 = a2 - 2ab + b2
(2)(4x+5y)2
= (4x)2 +2·4x·5y+ (5y)2
= 16x2 +40xy+ 25y2 ；
(3) (mn-a)2
= (mn)2-2·mn·a+a2
= m2n2-2amn+a2.
拓展性练习：利用完全平方公式进行计算：
(1) (x+2y)2； (2) (2xy-x)2； (3) (-3m+n)2.
活动3(拓展性目标3)
解：(1)原式＝ (x)2+2·x·2y+(2y)2
＝ x2+2xy+4y2.
(2)原式＝ (2xy)2-2·2xy·x+(x)2
＝ 4x2y2-x2y+x2.
(3)原式＝ (-3m)2+2·(-3m)·n+n2
=9m2-6mn+n2.
利用乘法公式计算：
(1)(2x+y)(2x﹣y) (2)(x﹣y)(﹣x+y) (3)(-x+y)(-x-y)
活动4(拓展性目标4)
解：(1)原式=(2x)2-y2=4x2-y2
(2)原式=-(x﹣y)(x﹣y)=-(x﹣y) 2=-(x2-2xy+y2)=-x2+2xy-y2
(3)原式=(-x)2-y2=x2-y2
根据上面几个小题思考：完全平方公式与平方差公式有什么区别？
因式不同：完全平方公式的因式是相同的两个式子，平方差公式的因式是两数和与两数差，不同的两个式子
结果不同：完全平方公式的结果有三项，平方差公式的结果有两项
1.回顾借助几何图形解释或分析问题的过程，对于形与数的联系，你有哪些感悟
2.利用多项式与多项式相乘计算(a+b+c)2
活动5(挑战性目标5)
图形可以直观解释乘法公式的合理性，有助于理解乘法公式的结构特征，而乘法公式又是对图形的抽象.
(a+b+c)2＝(a+b+c)(a+b+c)＝a2+ab+ac+ab+b2+bc+ac+bc+c2＝a2+2ab+b2+2bc+2ac+c2
利用图形面积验证上面的结论.
活动6(挑战性目标6)
直接求：
总面积=
(a+b+c)2
间接求：
总面积=
a2+ab+ac+ab+b2+bc+ac+bc+c2
(a+b+c)2＝a2+2ab+b2+2bc+2ac+c2
课堂小结
对照学习目标检查学习效果
基础性目标 1.我能用多项式乘多项式的运算法则，推导完全平方公式.
2.我能用图形的面积，验证完全平方公式.
拓展性目标 3.我能运用公式进行简单计算和推理.
4.我能分辨完全平方公式和平方差公式，并能判断计算适用的公式.
挑战性目标 5.我能用多项式乘多项式的运算法则，推导三项式与三项式的乘积.
6.我能用图形面积的面积，验证三项式与三项式的乘积.
当堂检测
1.(基础性目标2)如图，对正方形进行分割，利用面积恒等能验证的等式是( )
A．(x﹣2)2＝x2﹣4x+4
B．(x+2)2＝x2+4x+4
C．(x+2)(x﹣2)＝x2﹣4
D．x(x﹣2)＝x2﹣2x
B
当堂检测
2.(拓展性目标3、4)把如图左圈里的整式分别乘(a+2b)，将所得的积写在右圈相应的位置上．
3．(拓展性目标3)计算：(1)(6a+5b)2 (2)(4x－3y)2 (3)(2m－1)2 (4)(－2m－1)2
(1)36a2+60ab+25b2 (2)16x2-24xy+9y2 (3)4m2-4m+1 (4)4m2+4m+1
当堂检测
4．(拓展性目标4)若a+b＝﹣1，则a2+2ab+b2＝________
5．(挑战性目标6)如图，通过计算大正方形的面积，可以验证一个等式，这个等式是( )
A．(x+y+z)2＝x2+y2+z2+2y+xz+yz
B．(x+y+z)2＝x2+y2+z+2xy+xz+2yz
C．(x+y+z)2＝x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz
D．(x+y+z)2＝(x+y)2+2xz+2yz
1
C
课后作业 (可根据实际选做)
基础性作业：
1．计算：(1)(2x+5y)2； (2)(m-)2； (3)(﹣2t﹣1)2；
(4)(x+y)2； (5)(7ab+2)2； (6)(﹣cd+)2．
(1)(2x+5y)2＝4x2+20xy+25y2；(2)(m-)2＝m2-m+；
(3)(﹣2t﹣1)2＝4t2+4t+1；(4)(x+y)2＝x2+xy+y2；
(5)(7ab+2)2＝49a2b2+28ab+4；(6)(﹣cd+)2＝c2d2﹣cd+
课后作业 (可根据实际选做)
2．一个圆的半径长为r(r＞2)cm，减少2cm后，这个圆的面积减少了多少？
解：由题意可得：πr2﹣π(r﹣2)2
＝π(r2﹣r2+4r﹣4)
＝π(4r﹣4)
＝4πr﹣4π，
答：这个圆的面积减少了4π(r﹣1)．
课后作业 (可根据实际选做)
拓展性作业：
3．计算：(1)(2x+y+1)(2x+y﹣1)； (2)(x﹣2)(x+2)﹣(x+1)(x﹣3)；
(3)(ab+1)2﹣(ab﹣1)2； (4)(2x﹣y)2﹣4(x﹣y)(x+2y)．
解：(1)(2x+y+1)(2x+y﹣1)＝(2x+y)2﹣1＝4x2+y2+4xy﹣1；
(2)(x﹣2)(x+2)﹣(x+1)(x﹣3)＝x2﹣4﹣(x2﹣2x﹣3)＝2x﹣1；
(3)(ab+1)2﹣(ab﹣1)2＝(ab+1+ab﹣1)(ab+1﹣ab+1)＝2ab×2＝4ab；
(4)(2x﹣y)2﹣4(x﹣y)(x+2y)＝4x2+y2﹣4xy﹣4(x2+xy﹣2y2)＝9y2﹣8xy．
课后作业 (可根据实际选做)
4．一个底面是正方形的长方体，高为6cm，底面正方形边长为5cm，如果它的高不变，底面正方形边长增加了acm，那么它的体积增加了多少？
解：6(a+5)2﹣6×52，
＝150+60a+6a2﹣150，
＝6a2+60a．
答：它的体积增加了(6a2+60a)cm3．
课后作业 (可根据实际选做)
挑战性作业：
5.用多项式乘多项式的方法计算：(a+b)3，(a+b)4
(a+b)3＝(a+b)2·(a+b)＝(a2+2ab+b2)·(a+b)=a3+a2b+2a2b+2ab2+ab2+b3＝a3+3a2b+3ab2+b3
(a+b)4＝(a+b)3·(a+b)＝(a3+3a2b+3ab2+b3)·(a+b)
=a4+a3b+3a3b+3a2b2+3a2b2+3ab3+ab3+b4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
课后作业 (可根据实际选做)
6.我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了(a+b)n(n为正整数)的展开式(按a的次数由大到小的顺序排列)的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应(a+b)2＝a2+2ab+b2展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着(a+b)3＝a3+3a2b+3ab2+b3展开式中的系数．
课后作业 (可根据实际选做)
(1)请用杨辉三角的规律验证第5题你计算的答案，并写出(a+b)5，(a+b)6展开后的多项式；
(2)已知(x+y)3＝x3﹣3×2x2+3×4x﹣8，则y＝ ；
(3)若(2x﹣1)2025＝a1x2025+a2x2024+ +a2024x2+a2025x+a2026，求a1+a2+ +a2024+a2025的值．
解：(1)经验证(a+b)3＝a3+3a2b+3ab2+b3，(a+b)4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4正确
(a+b)5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5，
(a+b)6＝a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6
(2)-2
(3)令x＝1，则(2×1﹣1)2025＝a1·12025+a2·12024+ +a2024·12+a2025·1+a2026，
∴1＝a1+a2+ +a2024+a2025+a2026①，
令x＝0，则(2×0﹣1)2025＝a1·02025+a2·02024+ +a2024·02+a2025·0+a2026，
∴-1＝a2026②，
①-②得，2＝a1+a2+ +a2024+a2025
Thanks!
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