第04讲 概率
课程标准 学习目标
1．结合具体实例，理解样本点和有限样本空间的含义，理解随机事件与样本点的关系． 2.了解随机事件的并、交、互斥与对立的含义，能结合实例进行随机事件的并、交运算. 3． 结合具体实例，理解古典概型，能计算古典概型中简单随机事件的概率． 4． 结合实例，会用频率估计概率 5．结合有限样本空间，了解两个随机事件独立性的含义,结合古典概型，利用独立性计算概率． 1.理解随机现象、必然现象、样本点、样本空间、随机事件、必然事件、不可能事件、基本事件的概念. 2.了解事件之间的关系与运算以及互斥事件、对立事件的概念，能用概率的性质求事件的概率． 3.通过学习古典概型的定义，通过应用古典概型的概率计算公式解决实际问题培养逻辑推理素养和数学运算素养． 4.了解频率与概率的意义，会用频率估计概率． 5.通过学习相互独立事件的概念培养数学抽象素养,通过运用事件的独立性解决问题培养逻辑推理素养和数学运算素养．
知识点01 样本空间与事件
1. 随机现象、必然现象的概念
一定条件下，发生的结果事先不能确定的现象就是随机现象(或偶然现象)，发生的结果事先能够确定的现象就是必然现象(或确定性现象)．
2. 样本点、样本空间的概念
为了方便起见，我们把在相同条件下，对随机现象所进行的观察或实验称为随机试验(简称为试验)．
我们把随机试验中每一种可能出现的结果，都称为样本点，把由所有样本点组成的集合称为样本空间(通常用大写希腊字母Ω表示)．
3. 随机事件、必然事件、不可能事件的概念
如果随机试验的样本空间为Ω，则随机事件A是Ω的一个非空真子集．任何一个随机事件既有可能发生，也有可能不发生．
因为任何一次随机试验的结果，一定是样本空间Ω中的元素，因此可以认为每次试验中Ω一定发生，从而称Ω为必然事件；又因为空集 不包含任何样本点，所以可以认为每次试验中 一定不发生，从而称 为不可能事件．
一般地，不可能事件、随机事件、必然事件都可简称为事件，通常用大写英文字母A，B，C，…来表示事件．因为事件一定是样本空间的子集，从而可以用表示集合的维恩图来直观地表示事件．特别地，只含有一个样本点的事件称为基本事件．
4. 随机事件发生的概率
事件A发生的概率通常用P(A)表示．
我们将不可能事件 发生的概率规定为0，将必然事件Ω发生的概率规定为1，即P( )0，P(Ω)1．
对于任意事件A来说，0≤P(A)≤1．
【即学即练1】
1.(2024·甘肃天水一中高一月考)下面四个选项中，是随机事件的是( )
A．刻舟求剑 B．水中捞月
C．流水不腐 D．守株待兔
【答案】A
【解析】A，B为不可能事件，C为必然事件，D为随机事件．故选D.
2.(多选)下列结论正确的是( )
A．事件A发生的概率可能为P(A)0.6
B．不可能事件发生的概率为0，必然事件发生的概率为1
C．小概率事件就是不可能发生的事件，大概率事件就是必然要发生的事件
D．老师讲一道数学题，李峰能听懂的概率是80%，是指老师每讲一题，该题有80%的部分李峰能听懂，20%的部分李峰听不懂
【答案】AB
【解析】因为事件A发生的概率0≤P(A)≤1，所以A正确；不可能事件发生的概率规定为0，必然事件发生的概率规定为1，所以B正确；小概率事件是指这个事件发生的可能性很小，但并不是不发生，大概率事件发生的可能性较大，但并不是一定发生，所以C错误；老师讲一道数学题，李峰能听懂的概率是80%，是指李峰能听懂老师所讲这道题的可能性为80%，所以D错误．故选AB.
知识点02 事件间的关系
1. 事件的包含
(1)一般地，如果事件A发生时，事件B一定发生，则称“A包含于B”(或“B包含A”)，记作A B(或B A)，这一关系可用下图表示．
(2)A B也可用充分必要的语言表述为：A发生是B发生的充分条件，B发生是A发生的必要条件．
(3)如果A B，则P(A)≤P(B)．
2.事件的相等
(1)如果事件A发生时，事件B一定发生；而且事件B发生时，事件A也一定发生，则称“A与B相等”，记作AB．
(2)AB A B且B A．
AB也可用充分必要的语言表述为：A发生是B发生的充要条件．
(3)当AB时，有P(A)P(B)．
【即学即练2】在掷骰子的试验中，可以定义许多事件．例如，事件C1{出现1点}，事件C2{出现2点}，事件C3{出现3点}，事件C4{出现4点}，事件C5{出现5点}，事件C6{出现6点}，事件D1{出现的点数不大于1}，事件D2{出现的点数大于3}，事件D3{出现的点数小于5}，事件E{出现的点数小于7}，事件F{出现的点数为偶数}，事件G{出现的点数为奇数}，请根据上述定义的事件，请举出符合包含关系、相等关系的事件.
【解析】因为事件C4，C5，C6发生，则事件D2必发生，所以C4 D2，C5 D2，C6 D2.
同理可得，事件D3包含事件C1，C2，C3，C4，D1；事件E包含事件C1，C2，C3，C4，C5，C6，D1，D2，D3，F，G；事件F包含事件C2，C4，C6；事件G包含事件C1，C3，C5，D1.
且易知事件C1与事件D1相等，即C1D1.
知识点03 事件间的运算
1. 事件的和(并)
(1)给定事件A，B，由所有A中的样本点与B中的样本点组成的事件称为A与B的和(或并)，记作A＋B(或A∪B)．事件A与B的和可以用如图所示的阴影部分表示．
(2)由定义可知：①事件A＋B发生时，当且仅当事件A与事件B中至少有一个发生；
②A (A＋B)且B (A＋B)．
因此，P(A)≤P(A＋B)且P(B)≤P(A＋B)，P(A＋B)≤P(A)＋P(B)．
2. 事件的积(交)
(1)给定事件A，B，由A与B中的公共样本点组成的事件称为A与B的积(或交)，记作AB(或A∩B)．
事件A与B的积可以用如图所示的阴影部分表示．
(2)由定义可知：①事件AB发生时，当且仅当事件A与事件B都发生．
②AB A，AB B.
因此，P(AB)≤P(A)，P(AB)≤P(B)．
【即学即练3】掷一个骰子，“向上的点数是1或2”为事件A，“向上的点数是2或3”为事件B，则( )
A．A B
B．AB
C．A＋B表示向上的点数是1或2或3
D．AB表示向上的点数是1或2或3
【答案】D
【解析】设A{1，2}，B{2，3}，则AB{2}，A＋B{1，2，3}，所以AB表示向上的点数是2，A＋B表示向上的点数是1或2或3.故选C.
知识点04事件的互斥与对立
(1)给定事件A，B，若事件A与B不能同时发生，则称A与B互斥，记作AB (或A∩B )，这一关系可用下图表示．
(2)任意两个基本事件都是互斥的， 与任意事件互斥．
(3)当A与B互斥(即AB )时，有P(A＋B)P(A)＋P(B)，这称为互斥事件的概率加法公式．
一般地，如果A1，A2，…，An是两两互斥的事件，则P(A1＋A2＋…＋An)P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．
2. 事件的对立
(1)给定样本空间Ω与事件A，则由Ω中所有不属于A的样本点组成的事件称为A的对立事件，记作，用集合的观点来看，是A在Ω中的补集，如图所示．
(2)如果B，则称A与B相互对立．
(3)按照定义可知，每次随机试验，在事件A与中，有一个发生，而且只有一个发生．又由于必然事件的概率为1，因此P(A)＋P()1.
【即学即练4】从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是( )
A．至少有一个红球与都是红球
B．至少有一个红球与都是白球
C．至少有一个红球与至少有一个白球
D．恰有一个红球与恰有两个红球
【答案】A
【解析】对于A，若取出的3个球是3个红球，则这两个事件同时发生，故它们不是互斥事件，A不符合题意；对于B，这两个事件不能同时发生，且必有一个发生，则它们是互斥事件且是对立事件，B不符合题意；对于C，若取出的3个球是1个红球2个白球，则它们同时发生，故它们不是互斥事件，C不符合题意；对于D，这两个事件不能同时发生，是互斥事件，若取出的3个球都是红球，则它们都没有发生，故它们不是对立事件，D符合题意．
知识点05 古典概型
1.古典概型的定义
一般地，如果随机试验的样本空间所包含的样本点个数是有限的(简称为有限性)，而且可以认为每个只包含一个样本点的事件(即基本事件)发生的可能性大小都相等(简称为等可能性)，则称这样的随机试验为古典概率模型，简称为古典概型．
一个随机试验是否能归结为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征——有限性与等可能性．
2.古典概型的概率计算公式
古典概型中，假设样本空间含有n个样本点，如果事件C包含m个样本点，则P(C)．
【即学即练5】
1．下列试验中，属于古典概型的是( )
A．种下一粒种子，观察它是否发芽
B．从规格直径为270 mm±0.6 mm的一批合格产品中任意抽一根，测量其直径d
C．抛一枚质地均匀的硬币，观察其出现正面或反面
D．某人射击中靶或不中靶
【答案】D
【解析】依据古典概型的特征：①试验的样本空间所包含的样本点个数有限；②每个样本点出现的可能性大小都相等，知只有C项满足．
2．有5支彩笔(除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】从5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，样本空间为Ω{(红，黄)，(红，蓝)，(红，绿)，(红，紫)，(黄，蓝)，(黄，绿)，(黄，紫)，(蓝，绿)，(蓝，紫)，(绿，紫)}，共10个样本点，且这10个样本点出现的可能性相等．而取出的2支彩笔中含有红色彩笔所包含的样本点有(红，黄)，(红，蓝)，(红，绿)，(红，紫)，共4个，故所求概率P.故选C.
知识点06 频率与概率
1.频率与概率之间的关系
在大量重复的试验过程中，一个事件发生的频率会很接近于这个事件发生的概率，而且，试验的次数越多，频率与概率之间差距很小的可能性越大．
2.用频率估计概率
一般地，如果在n次重复进行的试验中，事件A发生的频率为，则当n很大时，可以认为事件A发生的概率P(A)的估计值为．这种确定概率估计值的方法称为用频率估计概率．
【即学即练6】下列说法正确的是( )
①频率反映随机事件的频繁程度，概率反映随机事件发生的可能性大小；
②做n次随机试验，事件A发生m次，则事件A发生的频率就是事件A的概率；
③频率是不能脱离n次试验的实验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值；
④频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值．
A．①②③④ B．①②④
C．①③④ D．②③④
【答案】D
【解析】②错在混淆了频率与概率的概念．
知识点07 随机事件的独立性
1. 相互独立事件的概念
(1)一般地，当P(AB)P(A)P(B)时，就称事件A与B相互独立(简称独立)．
[说明] “P(AB)P(A)P(B)”是“事件A，B相互独立”的充要条件．
(2)事件A与B相互独立的直观理解是，事件A是否发生不会影响事件B发生的概率，事件B是否发生也不会影响事件A发生的概率．
(3)两个事件相互独立的概念也可以推广到有限个事件，即“A1，A2，…，An相互独立”的充要条件是“其中任意有限个事件同时发生的概率都等于它们各自发生的概率之积”．
2. 相互独立事件的性质
(1)如果事件A与B相互独立，则与B，A与，与也相互独立．
(2)多个事件独立具有与两个事件独立类似的性质．例如，如果A1，A2，A3相互独立，则1，A2，A3也相互独立等．
【即学即练7】掷一个骰子一次，记事件A表示“出现偶数点”，事件B表示“出现3点或6点”，则事件A与B是( )
A．互斥事件
B．相互独立事件
C．既互斥又相互独立事件
D．既不互斥又不相互独立事件
【答案】C
【解析】因为该试验的样本空间为Ω{1，2，3，4，5，6}，A{2，4，6}，B{3，6}，AB{6}，所以事件A与B不是互斥事件，P(A)，P(B)，P(AB)×，所以事件A与B是相互独立事件．
题型01 必然现象与随机现象的判断
【典例01】（23-24高二·上海·课堂例题）下列事件：①抛掷一枚硬币，落下后正面朝上；②从某三角形的三个顶点各画一条高线，这三条高线交于一点；③实数a，b都不为0，但；④某地区明年7月的降雨量高于今年7月的降雨量.其中为随机事件的是（ ）
A．①④ B．①②③ C．②③④ D．②④
【答案】A
【分析】利用随机事件的定义逐一分析给定的各个事件即可判断作答.
【详解】抛掷一枚硬币，是正面朝上，还是反面朝上，落下前不可确定，①是随机事件；
三角形三条高线一定交于一点，②是必然事件；
实数a，b都不为0，则，③是不可能事件；
某地区明年7月的降雨量是一种预测，不能确定它比今年7月的降雨量高还是低，④是随机事件，
所以在给定的4个事件中，①④是随机事件.
【变式1】（24-25高二上·四川雅安·阶段练习）下列事件是随机事件的是（ ）
①同种电荷，互相排斥；②明天是晴天；③自由下落的物体做匀速直线运动；④函数在定义域上是增函数．
A．①③ B．①④ C．②④ D．③④
【答案】D
【分析】先判断①是必然事件，③是不可能事件，而②④既有可能发生也有可能不发生，再根据随机事件的定义即可得到答案.
【详解】由于①是物理学定律，从而是必然事件；
由于根据自由落体的相关理论，自由下落的物体做匀加速直线运动，故③是不可能事件；
而明天的天气是不确定的，故②可能发生也可能不发生；
函数在定义域上是增函数当且仅当，所以④可能发生也可能不发生.
根据随机事件的定义，知是随机事件的是②④.
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【变式2】（23-24高二上·贵州黔东南·期末）在12件同类产品中，有10件是正品，2件是次品，从中任意抽出3件，则下列事件为必然事件的是（ ）
A．3件都是正品 B．至少有2件是次品
C．3件都是次品 D．至少有1件是正品
【答案】A
【分析】根据必然事件的概念进行判断.
【详解】因为12件产品中，只有2件是次品，从中取3件，其中必定至少有1件是正品.
【变式3】（多选） （23-24高一下·内蒙古通辽·期末）下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．明天北京市不下雨
B．在标准大气压下，水在4℃时结冰
C．早晨太阳从东方升起
D．，则的值不小于0
【答案】DD
【分析】运用必然事件的概念判断即可.
【详解】A为随机事件，B为不可能事件，C，D为必然事件．
故选:CD
题型02 样本点和样本空间
【典例2】 （23-24高一上·全国·课后作业）高一(1)班计划从A，B，C，D，E这五名班干部中选两人代表班级参加一次活动，则样本空间中样本点的个数为（ ）
A．5 B．10
C．15 D．20
【答案】C
【分析】根据题意结合列举法运算求解.
【详解】从A，B，C，D，E五人中选两人，
不同的选法有：，
所以样本空间中样本点的个数为10．
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【变式1】 （22-23高一·全国·课后作业）随机事件“连续掷一颗筛子直到出现5点停止，观察掷的次数”的样本空间是（ ）
A．5 B．1到6的正整数 C．6 D．一切正整数
【答案】A
【分析】根据样本空间的概念即可求解.
【详解】连续掷一颗筛子直到出现5点停止，观察投掷的次数，
由于事件发生是随机的，投掷的次数可能无限大，样本空间是一切正整数.
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【变式2】 （24-25高二·上海·课堂例题）从0、1、2这3个数字中，不放回地取两次，每次取一个数字，构成有序数对，x为第1次取到的数字，y为第2次取到的数字．
(1)写出这个随机试验的样本空间；
(2)写出“第1次取出的数字是2”这个事件相应的样本空间．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）写出样本空间；
（2）在（1）的基础上得到相应的样本空间.
【详解】（1）这个随机试验的样本空间为.
（2）“第1次取出的数字是2”这个事件相应的样本空间为.
题型03 事件间的关系及运算
【典例3】（24-25高二上·吉林·阶段练习）掷一枚质地均匀的骰子，“向上的点数是1或3”为事件A，“向上的点数是1或5”为事件B，则（ ）
A．
B．表示向上的点数是1或3或5
C．表示向上的点数是1或3
D．表示向上的点数是1或5
【答案】C
【分析】根据事件的关系与运算的概念进行判断.
【详解】由题可知，“向上的点数是1或3”为事件，“向上的点数是1或5”为事件，
所以事件不等于事件，故A错误；
事件表示“向上的点数是1或3或5”，故B正确，C错误；
事件表示“向上的点数是1”，故D错误；
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【变式1】 （24-25高二上·山东淄博·阶段练习）对空中移动的目标连续射击两次，设两次都击中目标两次都没击中目标{恰有一次击中目标}，至少有一次击中目标}，下列关系不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据事件关系，即可判断选项.
【详解】A.事件包含恰好一次击中目标或两次都击中目标，所以，故A正确；
B.包含的事件为至少一次击中目标，为样本空间，所以B错误，C正确；
D.事件与事件是对立事件，所以，故D正确.
【变式2】（2024高一下·全国·专题练习）对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设{两弹都击中飞机}，{两弹都没击中飞机}，{恰有一弹击中飞机}，{至少有一弹击中飞机}，下列说法不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据样本空间、事件的运算和含义即可解答.
【详解】由于至少有一弹击中飞机包括两种情况：两弹都击中飞机，只有一弹击中飞机，
对于A，有，故A正确；
对于B，事件B、D不可能同时发生，两事件互斥，所以，故B正确；
对于C，不成立，故C正确；
对于D，{至少有一弹击中飞机}，不是必然事件，而为必然事件，故D不正确．
故选:D．
【变式3】 （23-24高一下·天津·期末）对于两个事件，则事件表示的含义是（ ）
A．与同时发生 B．与不能同时发生
C．与有且仅有一个发生 D．与至少有一个发生
【答案】A
【分析】理解和事件的是至少有一个发生即可判断．
【详解】解：两个事件，
则事件表示的含义是事件至少有一个发生，
．
题型04 互斥与对立的判断
【典例4】（24-25高二上·山东淄博·阶段练习）某小组有三名男生和两名女生，从中任选两名去参加比赛，则下列事件是互斥而不对立的事件是（ ）
A．“恰有一名男生”和“全是男生” B．“至少有一名男生”和“至少有一名女生”
C．“至少有一名男生”和“全是男生” D．“至少有一名男生”和“全是女生”
【答案】A
【分析】利用互斥事件、对立事件的定义逐项分析判断即可.
【详解】对于A，“恰有一名男生”和“全是男生”不能同时发生，但可以同时不发生，A是；
对于B，“至少有一名男生”和“至少有一名女生”可以同时发生，即一名男生和一名女生的事件，A不是；
对于C，“至少有一名男生”和“全是男生”可以同时发生，全是男生的事件，C不是；
对于D，“至少有一名男生”和“全是女生”不能同时发生，但必有一个发生，D不是.
【变式1】（24-25高二上·重庆铜梁·阶段练习）在一次随机试验中，彼此互斥的事件发生的概率分别是，则下列说法正确的是（ ）
A．与是互斥事件，也是对立事件
B． 与是互斥事件，也是对立事件
C． 与是互斥事件，但不是对立事件
D．与是互斥事件，也是对立事件
【答案】A
【分析】根据互斥事件的定义和对立事件的性质逐项判断后可得正确的选项.
【详解】A中，因为彼此互斥，故与是互斥事件，
而，故与不是对立事件，故A错误；
B中，因为彼此互斥，故与是互斥事件，
而，故与不是对立事件，故B错误；
C中，因为彼此互斥，故与是互斥事件，
而，故与是对立事件，故C错误；
D中，因为彼此互斥，故与互斥事件，
而，故与是对立事件，故D正确；
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【变式2】 （24-25高三上·上海·开学考试）装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，有如下的一些事件：①两球都不是白球；②两球恰有一个白球；③两球至少有一个白球，其中与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是（ ）
A．① B．①② C．②③ D．①②③
【答案】C
【分析】写出事件的全部基本事件，再根据互斥事件、对立事件的定义判断即可.
【详解】解：设事件=｛装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球｝，
则所以包含的基本事件为：{(红，红)，(红，白)，(红，黑)，(白，白)，(白，黑)，(黑，黑)}，
事件=｛两球都不是白球｝={(红，红)，(红，黑)，(黑，黑) }；
事件｛两球恰有一个白球｝=｛(红，白)，(白，黑)}，
事件｛两球至少有一个白球｝={(红，白)，(白，白)，(白，黑)}，
事件｛两球都为白球｝=｛(白，白)｝，
由互斥事件及对立事的定义可知事件、事件与均是互斥而非对立的事件.
【变式3】（24-25高二上·山东济宁·阶段练习）下列各组事件中，是互斥事件的是（ ）
A．一个射手进行一次射击，命中环数大于8与命中环数小于6
B．统计一个班的数学成绩，平均分不低于90分与平均分不高于90分
C．播种100粒菜籽，发芽90粒与发芽80粒
D．检验某种产品，合格率高于70%与合格率低于70%
【答案】ACD
【分析】根据互斥事件的定义，两个事件不会同时发生，命中环数大于8与命中环数小于6，发芽90粒与发芽80粒，合格率高于与合格率为均为互斥事件，而平均分数不低于90分与平均分数不高于90分，当平均分为90分时可同时发生，即得解.
【详解】根据互斥事件的定义，两个事件不会同时发生，
对于A， 一个射手进行一次射击，命中环数大于8与命中环数小于6,为互斥事件；
对于B，统计一个班级数学期中考试成绩，
平均分数不低于90分与平均分数不高于90分
当平均分为90分时可同时发生，不为互斥事件；
对于C，播种菜籽100粒，发芽90粒与发芽80粒,为互斥事件；
对于D，检查某种产品，合格率高于与合格率为,为互斥事件；
CD.
【变式4】（24-25高二上·河南·阶段练习）已知某篮球运动员共投篮两次，记事件“第一次投篮投中”，事件“第二次投篮投中”，事件“两次投篮均投中”，则下列说法正确的是（ ）
A．，互为互斥事件 B．与互为互斥事件
C． D．与互为对立事件
【答案】CD
【分析】由互斥事件和对立事件的性质集合题意逐项分析即可；
【详解】对于A，，两个事件可以同时发生，故A错误；
对于B，与不可能同时发生，故B正确；
对于C，为，的交事件，故C错误；
对于D，对应的事件是第一次投篮未投中或第二次投篮未投中，故与互为对立事件，D正确.
D.
题型05 互斥事件概率公式的应用
【典例5】（24-25高二上·上海·阶段练习）已知与是互斥事件，且，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据对立事件的概率性质可得，即可根据互斥的性质求解.
【详解】由可得，
由于与是互斥事件，故,
【变式1】（24-25高二上·广东佛山·阶段练习）已知事件、互斥，、至少一个发生的概率，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用互斥事件、对立事件的概率关系即可计算求解.
【详解】由题意可得，，
则有，又，即，
解得，故.
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【变式2】（24-25高二上·山东淄博·阶段练习）甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为，和棋的概率为，则乙不输的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】乙不输与甲获胜对立事件，根据概率公式计算即可．
【详解】∵乙不输与甲获胜对立事件，
∴乙不输的概率是，
.
【变式3】（24-25高二上·北京平谷·阶段练习）从一箱奖券中随机地抽取一件，设事件“抽到一等奖”，事件“抽到二等奖”，事件“抽到三等奖”.已知，则事件“抽到的不是一等奖”的概率为（ ）
A．0.20 B．0.39 C．0.35 D．0.45
【答案】A
【分析】由“抽到的不是一等奖”的概率与“抽到一等奖”的概率和为1求解即可.
【详解】由“抽到的不是一等奖”的概率与“抽到一等奖”的概率和为1可得事件“抽到的不是一等奖”的概率为.
题型06 古典概型的特征
【典例6】（23-24高二上·上海·课后作业）下列关于古典概率模型的说法中正确的是（ ）
①试验中所有可能出现的样本点只有有限个；②每个事件出现的可能性相等；③每个样本点出现的可能性相等；④样本点的总数为n，随机事件A若包含k个样本点，则．
A．②④ B．③④ C．①④ D．①③④
【答案】A
【分析】利用古典概型概念及的概率计算公式直接求解．
【详解】在①中，由古典概型的概念可知：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，故①正确；
在②中，由古典概型的概念可知：每个基本事件出现的可能性相等，故②错误；
在③中，由古典概型的概念可知：每个样本点出现的可能性相等，故③正确；
在④中，样本点的总数为n，随机事件A若包含k个样本点，则由古典概型及其概率计算公式知，故④正确．
．
【变式1】（22-23高一下·新疆·期末）下列实验中，是古典概型的有（ ）
A．某人射击中靶或不中靶
B．在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都为整数的所有点中任取一个
C．四名同学用抽签法选一人参加会议
D．从区间上任取一个实数，求取到1的概率
【答案】D
【分析】根据古典概型的性质判断各项所描述的试验是否满足要求即可.
【详解】由古典概型性质：基本事件的有限性及它们的发生是等可能的，
A：基本事件只有中靶、不中靶，但概率不相等，不满足；
B：基本事件坐标系中整数点是无限的，不满足；
C：基本事件是四名同学是有限的，且抽到的概率相等，满足；
D：基本事件是区间上所有实数是无限的，不满足；
【变式2】下列关于古典概型的说法中正确的是( )
①试验的样本空间所包含的样本点个数只有有限个；②每个事件出现的可能性相等；③每个样本点出现的可能性相等；④样本点的总数为n，随机事件A若包含k个样本点，则P(A).
A．②④ B．①③④
C．①④ D．③④
【答案】C
【变式3】下列概率模型中，是古典概型的个数为( )
①从区间[1，10]内任取一个数，求取到1的概率；
②从1，2，3，…，10中任意取一个整数，求取到1的概率；
③在一个正方形ABCD内画一点P，求点P刚好与点A重合的概率；
④向上抛掷一枚不均匀的硬币，求出现反面朝上的概率．
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】A
【解析】古典概型的特征是样本空间中样本点的个数是有限的，并且每个样本点出现的可能性相等，故②是古典概型；①和③由于样本空间中的样本点的个数不是有限的，故不是古典概型；④由于硬币质地不均匀，样本点出现的可能性不一定相等，故不是古典概型．故选A.
题型07 简单古典概型的计算
【典例7】甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲任想一数字，记为a，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜出的数字记为b，且a，b∈{1，2，3，4}，若|a－b|≤1，则称甲、乙“心有灵犀”．现任意找两个人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】两人分别从1，2，3，4四个数中任取一个的样本空间为Ω{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)}，共16个样本点，且这16个样本点出现的可能性相等，其中满足|a－b|≤1的样本点有(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，3)，(4，4)，共10个，故他们“心有灵犀”的概率为.故选B.
【变式1】（22-23高一上·云南昆明·期末）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则函数的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意，函数与互为反函数，求得，然后根据复合函数单调性的性质得出答案.
【详解】由题意，函数与互为反函数，则，
所以，
由，解得或，即函数的定义域为或，
令，
当时，单调递减；当时，单调递增，
又在上单调递增，
所以的单调递增区间为.
.
【变式2】三张卡片上分别写上字母E，E，B，将三张卡片随机地排成一行，恰好排成英文单词BEE的概率为________．
【答案】
【解析】三张卡片的排列方法有EEB，EBE，BEE，因此样本空间为Ω{EEB，EBE，BEE}，共3个样本点，且这3个样本点出现的可能性相等，恰好排成英文单词BEE包含1个样本点，故所求概率为.
【变式3】一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次摸出2只球．这个试验的样本空间所包含的样本点个数为________，摸出的2只球都是白球的概率是________．
【答案】10
【解析】分别记白球为1，2，3号，黑球为4，5号，从中摸出2只球，则样本空间(摸到1，2号球用(1，2)表示)Ω{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)}，共10个样本点，且这10个样本点出现的可能性相等，只有3个样本点是摸到2只白球(记为事件A)，即A{(1，2)，(1，3)，(2，3)}，故P(A).故摸出的2只球都是白球的概率为.
【变式4】（23-24高二上·黑龙江·阶段练习）已知，，且，则的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据，，列举出满足的个数，再根据，求出满足的个数计算出概率.
【详解】根据，则满足的条件
，，共有种，
而，则满足的条件
，共有9种，故.
.
题型08有放回和无放回的概率问题
【典例8】（23-24高一下·天津西青·期末）从两名男生（记为和）、两名女生（记为和）中任意抽取两人，分别采取不放回简单随机抽样和有放回简单随机抽样．在以上两种抽样方式下，抽到的两人是一男生一女生的概率分别为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分别写出样本空间，利用古典概型的概率计算公式求解.
【详解】从两名男生（记为和）、两名女生（记为和）中任意抽取两人，
记事件 “抽到的两人是一男生一女生”，
在无放回简单随机抽样方式下的样本空间为:
共12个样本点，
其中有8个样本点，所以.
在有放回简单随机抽样方式下的样本空间为:
共16个样本点，
其中有8个样本点，所以.
.
【变式1】（23-24高二上·陕西汉中·开学考试）盒中有3个大小质地完全相同的球，其中2个白球、1个黑球，从中不放回地依次随机摸出2个球．则恰好摸出一个白球一个黑球的概率为 ．
【答案】
【分析】利用列举法求出基本事件总数，再求出符合条件的事件数，结合古典概型概率公式求解即可.
【详解】记1个黑球为，2个白球分别为，，现从中不放回地依次随机摸出2个球，
则可能结果有，共6种情况，
其中恰好摸出一个白球一个黑球的有，共4种情况，
所以恰好摸出一个白球一个黑球的概率.
故答案为：.
【变式2】（23-24高一上·全国·课后作业）在试验“袋中有白球3个（编号为1，2，3）、黑球2个（编号为1，2），这5个球除颜色外完全相同，从中不放回地依次摸取2个，每次摸1个，观察摸出球的情况”中，摸到白球的结果分别记为，，，摸到黑球的结果分别记为，．求：
(1)取到的两个球都是白球的概率；
(2)取到的两个球颜色相同的概率；
(3)取到的两个球至少有一个是白球的概率．
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【分析】（1）（2）（3）根据题意列出试验的样本空间，利用古典概率模型概率计算公式进行计算即可.
【详解】（1）由前面的分析可知试验的样本空间，
共有20个样本点，且每个样本点出现的可能性相同，可用古典概型来计算概率．
设事件A表示“取到的两个球都是白球”，则，
共含有6个样本点，所以，即取到的两个球都是白球的概率为；
（2）设事件B表示“取到的两个球颜色相同”，则，
共含有8个样本点，所以，即取到的两个球颜色相同的概率为；
（3）设事件C表示“取到的两个球至少有一个是白球”，
则，
共含有18个样本点，所以，即取到的两个球至少有一个是白球的概率为.
题型09 根据概率求参数
【典例9】（23-24高二上·浙江·期中）有5张未刮码的卡片，其中n张是“中奖”卡，其它的是“未中奖”卡，现从这5张卡片随机抽取2张.你有资金100元，每次在对一张卡片刮码前，下注已有资金的一半.若刮码结果为“中奖”，则赢得与下注金额相同的另一笔钱，若刮码结果是“未中奖”，则输掉下注的资金.抽取的2张卡片全部刮完后，要使资金增加的概率大于资金减少的概率，则n至少为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】根据题设分析出：要使资金增加必须2次刮出中奖，转化为5张卡片中取到2张“中奖”卡的概率大于，再列不等式求n取值.
【详解】由于总资金100元，每次在对一张卡片刮码前下注已有资金的一半.
刮第1张卡前，下注70元：
若未中奖，还剩70元；刮第2张卡前，下注25元，不管是否中奖，资金必减少；
若中奖，还剩170元，刮第2张卡前，下注75元，未中奖资金减少；中奖资金增加；
所以，要使资金增加，则必须2次刮出中奖，否则资金减少；
所以，5张卡片中取到2张“中奖”卡的概率大于即可，
由5张卡片中任取2张的方法数有10种，n张“中奖”卡中取到2张的方法数有种，
所以且，故或5，即n至少为4.
【点睛】关键点点睛：问题化为5张卡片中取到2张“中奖”卡的概率大于为关键.
【变式1】（22-23高一下·重庆·期末）在一个不透明的袋中有4个红球和个黑球，现从袋中有放回地随机摸出2个球，已知取出的球中至少有一个红球的概率为，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】由题可得取出的球中没有红球的概率，即两次都摸出黑球的概率为，据此可得答案.
【详解】由题可得取出的球中没有红球的概率，即两次都摸出黑球的概率为，则.
【变式2】（22-23高一下·江苏南京·期末）一个口袋中装有个红球和若干个黄球，在不允许将球倒出来数的前提下，为估计口袋中黄球的个数，小明采用了如下的方法：每次从口袋中摸出个球，记下球的颜色后再把球放回口袋中摇匀．不断重复上述过程次，共摸出红球次，根据上述数值，估计口袋中大约有黄球（ ）个．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设黄球的个数为，利用古典概型的概率公式可得出关于的等式，解出的值即可.
【详解】设黄球的个数为，由古典概型的概率公式可得，解得.
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【变式3】某箱脐橙共有18个，其中有少部分是坏果.若从这箱脐橙中任取2个，恰好取到1个坏果的概率为，则这箱脐橙中坏果的个数为（ ）
A．3 B．5 C．2 D．4
【答案】A
【分析】设这箱脐橙中坏果的个数为n，则恰好取到1个坏果的概率为，结合题意即可得解.
【详解】解：设这箱脐橙中坏果的个数为n，
则，解得或15，
因为有少部分是坏果，所以.
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题型10 根据加法公式求古典概型概率
【典例10】（22-23高一下·河北邢台·阶段练习）口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同小球，从中取出2球，事件“取出的两球同色”，事件“取出的2球中至少有一个黄球”，事件“取出的2球至少有一个白球”，事件“取出的2球不同色”，“取出的2球中至多有一个白球”.下列判断中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，计算，判断AD；分析事件,以及，并求对应的概率，即可判断BC.
【详解】设红球为，白球为，黄球为，
其中任取两个球的所有样本点包含，共15个，
事件所包含的样本点为，共4个，
所以， 故A错误；
表示取到的2个球，一个黄球一个白球，包含的样本点有，共6个，所以，故B错误；
事件是含有1个白球与含有两个白球的两个互斥事件和，事件是含有1个白球
或没有白球的两个互斥事件和，
事件是必然事件，因此，故C正确；
事件与是对立事件，所以，故D错误.
【变式1】（21-22高一·全国·单元测试）某商场举行购物抽奖活动，抽奖箱中放有编号分别为1，2，3，4，5的五个小球.小球除编号不同外，其余均相同.活动规则如下：从抽奖箱中随机抽取一球，若抽到的小球编号为3，则获得奖金100元；若抽到的小球编号为偶数，则获得奖金70元；若抽到其余编号的小球，则不中奖.现某顾客依次有放回地抽奖两次，则该顾客两次抽奖后获得奖金之和为100元的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】列出两次抽奖的样本空间，从中找出奖金和为100元的样本点，利用古典概率模型和互斥事件概率的计算公式即可求出结果.
【详解】由题意得，该顾客有放回地抽奖两次的样本空间，共25个样本点.
两次抽奖奖金之和为100元包括三种情况：
①第一次奖金为100元，第二次没有中奖，
其包含的情况为，，概率为；
②第一次没中奖，第二次奖金为100元，
其包含的情况为，，概率为；
③两次各获奖金70元，
包含的情况有，，，，概率为.
根据互斥事件的加法公式得该顾客两次抽奖后获得奖金之和为100元的概率为.
.
【变式2】抛掷一枚质地均匀的骰子（骰子的六个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点）一次，观察掷出向上的点数，设事件为掷出向上为偶数点，事件为掷出向上为3点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据互斥事件概率计算公式直接计算.
【详解】事件为掷出向上为偶数点，所以，
事件为掷出向上为3点，所以，
又事件，是互斥事件，
所以，
.
题型11 频率与概率的辨析
【典例11】（24-25高二上·四川成都·阶段练习）下列说法一定正确的是（ ）
A．一名篮球运动员，号称“百发百中”，若罚球三次，不会出现三投都不中的情况
B．随机事件发生的概率与试验次数无关
C．若买彩票中奖的概率为万分之一，则买一万元的彩票一定会中奖一元
D．一个骰子掷一次得到2的概率是，则掷6次一定会出现一次2
【答案】C
【分析】根据频率与概率的关系得到ACD错误，B正确.
【详解】A选项，一名篮球运动员，号称“百发百中”，若罚球三次，也可能出现三投都不中的情况，A错误；
B选项，随机事件发生的概率是一个固定的值，与试验次数无关，B正确；
C选项，若买彩票中奖的概率为万分之一，则买一万元的彩票不一定会中奖一元，C错误；
D选项，一个骰子掷一次得到2的概率是，掷6次出现2的次数不确定，可能是1次，也可能是2次或者其他次数，D错误.
【变式1】（23-24高一下·广西河池·期末）下列说法中正确的是（ ）
A．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率
B．在次随机试验中，一个随机事件发生的频率具有确定性
C．随着试验次数的增大，一个随机事件发生的频率会逐渐稳定于事件发生的概率
D．在同一次试验中，每个试验结果出现的频率之和不一定等于1
【答案】D
【分析】根据已知条件，结合频率，概率的定义，即可判断.
【详解】频率与概率不是同一个概念，故A错误；
在次随机试验中，一个随机事件发生的频率具有随机性，故B错误；
随着试验次数的增大，一个随机事件发生的频率会逐渐稳定于事件发生的概率，故C正确；
在同一次试验中，每个试验结果出现的频率之和一定等于1，故D错误．
．
【变式2】（23-24高一下·江苏淮安·期末）已知某医院治疗一种疾病的治愈率为，下列说法正确的是（ ）
A．患此疾病的病人被治愈的可能性为
B．医院接收10位患此疾病的病人，其中有一位病人被治愈
C．如果前9位病人都没有治愈，第10位病人一定能被治愈
D．医院接收10位患此疾病的病人，其中一定有能被治愈的
【答案】A
【分析】利用概率的意义直接求解．
【详解】某医院治疗一种疾病的治愈率为，
对于A，患此疾病的病人被治愈的可能性为，故A正确；
对于B，医院接收10位患此疾病的病人，每个人被治愈的可能性为，
不一定有一位病人被治愈，故B错误；
对于C，如果前9位病人都没有治愈，第10位病人不一定能被治愈，故C错误；
对于D，医院接收10位患此疾病的病人，不一定有能被治愈的，故 D错误．
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【变式3】（2024高一下·全国·专题练习）下列说法正确的是（ ）
A．一个人打靶，打了10发子弹，有7发子弹中靶，因此这个人中靶的概率是
B．一个同学做掷硬币试验，掷了6次，一定有3次正面向上
C．某地发行彩票，其回报率为47%，有人花了100元钱买彩票，一定会有47元的回报
D．大量试验后，可以用频率近似估计概率
【答案】A
【分析】利用概率的定义和估计方法逐个选项分析求解即可.
【详解】对于A，可得中靶的结果是频率，不是概率；故错误，
对于B，C，太过绝对，故错误，
对于D，符合概率的估算方法，故正确．
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题型12 用频率估计概率
【典例12】（24-25高二上·山东济宁·阶段练习）在调查运动员是否服用过兴奋剂的时候，给出两个问题作答，无关紧要的问题是：“你的身份证号码的尾数是奇数吗？”敏感的问题是：“你服用过兴奋剂吗？”然后要求被调查的运动员掷一枚硬币，如果出现正面，就回答第一个问题，否则回答第二个问题．由于回答哪一个问题只有被测试者自己知道，所以应答者一般乐意如实地回答问题．如我们把这种方法用于300个被调查的运动员，得到80个“是”的回答，则这群人中服用过兴奋剂的百分率大约为（ ）
A．4.33% B．3.33% C．3.44% D．4.44%
【答案】C
【分析】推理出回答第一个问题的170人中大约有一半人，即75人回答了“是”，故回答服用过兴奋剂的人有5人，从而得到答案.
【详解】因为抛硬币出现正面朝上的概率为，大约有170人回答第一个问题，
又身份证号码的尾数是奇数或偶数是等可能的，
在回答第一个问题的170人中大约有一半人，即75人回答了“是”，
共有80个“是”的回答，故回答服用过兴奋剂的人有5人，
因此我们估计这群人中，服用过兴奋剂的百分率大约为3.33%.
【变式1】（2024高二下·湖北·学业考试）从某自动包装机包装的奶粉中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为（单位：）：
492 496 494 495 498 497 701 702 704 496
497 703 706 708 707 492 496 700 701 499
用频率估计概率，该包装机包装的袋装奶粉质量在之间的概率约为（ ）
A．0.1 B．0.15 C．0.25 D．0.5
【答案】D
【分析】找出满足条件的数据，计算出数据在之间的频率，用频率估计概率，可得结果.
【详解】在所给的数据中，在之间的数据有498,701,700,701,499共5个，
所以数据在之间的频率为：.
用频率估计概率，则所求概率为.
【变式2】（23-24高一下·山东枣庄·期末）某地区的公共卫生部门为了调查本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的200名学生进行调查.调查中使用了两个问题.问题1：你父亲的公历出生月份是不是奇数？问题2：你是否经常吸烟？调查者设计了一个随机化装置，这是一个装有大小、形状和质量完全一样的70个白球和70个红球的密封袋子，每个被调查者随机地从袋中摸取1个球（摸出的球再放回袋中），摸到白球的学生如实回答第一个问题，摸到红球的学生如实回答第二个问题，回答“是”的人往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的人什么都不要做.若最终盒子中的小石子为580个，则该地区中学生吸烟人数的比例约为（ ）
A．2% B．3% C．6% D．8%
【答案】D
【分析】由概率得出这100个回答第一个问题的学生中，约有70人回答了“是”，结合题设条件，估计第二个问题有人回答了“是”，从而得出所占比例.
【详解】因为一个装有大小、形状和质量完全一样的70个白球和70个红球的袋子中，
随机摸出1个球，摸到白球和红球的概率都为，
因此，这200人中，回答了第一个问题的有100人，
而一年12个月中，奇数的占一半，
所以对第一个问题回答“是”的概率为
所以这100个回答第一个问题的学生中，约有70人回答了“是”，
从而可以估计，在回答第二个问题的100人中，约有人回答了“是”，
所以可以估计出该地区中学生吸烟人数的百分比为．
【变式3】（2024高一下·全国·专题练习）众所周知，长时间玩手机可能影响视力．据调查，某校学生大约40%的人近视，而该校大约有30%的学生每天玩手机超过2 h，这些人的近视率约为70%．现从每天玩手机不超过2 h的学生中任意调查一名学生，则该名学生近视的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先设该校有a名同学，根据题目条件计算得出每天玩手机不超过2 h的学生中近视人数；再用频率估计概率即可求解.
【详解】设该校有a名同学，
则由题意可得：约有0.4a的学生近视，约有0.3a的学生每天玩手机超过2 h，约有0.7a的学生每天玩手机不超过2 h.
因为该校大约有30%的学生每天玩手机超过2 h，这些人的近视率约为70%
所以每天玩手机超过2 h的学生中近视的学生人数为0.3a×0.50.15a，
则每天玩手机不超过2 h的学生中有0.4a－0.15a0.25a的学生近视，
所以从每天玩手机不超过2 h的学生中任意调查一名学生，该名学生近视的概率为．
．
【变式4】天气预报说，在今后的三天中，每天下雨的概率都为80%．现采用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率．用1，2，3，4，5，6表示下雨，用计算机产生了10组随机数180，792，454，417，165，809，798，386，196，206据此估计这三天中恰有两天下雨的概率近似为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用频率和概率的关系得到答案.
【详解】10组数据中，恰有两天下雨的有417，386，196，206，共4个，
故此估计这三天中恰有两天下雨的概率近似为.
【变式5】每年4月15日为全民国家安全教育日，某学校党委组织党员学习《中华人民共和国国家安全法》，为了解党员学习的情况，随机抽取了部分党员，对他们一周的学习时间（单位：时）进行调查，统计数据如下表所示：
学习时间（时）
党员人数 8 13 9 10 10
则从该校随机抽取1名党员，估计其学习时间不少于6小时的概率为（ ）
A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8
【答案】C
【分析】根据古典概型概率公式求得样本中学习时间不少于6小时的概率，然后可得.
【详解】由统计表可知，样本容量为人，学习时间不少于6小时有人，
所以学习时间不少于6小时的概率为.
题型13 事件独立性的判断
【典例13】(多选)下列事件A，B是相互独立事件的是( )
A．一枚硬币抛掷两次，事件A为“第一次为正面”，事件B为“第二次为反面”
B．袋中有2个白球，2个黑球，不放回地摸两球，事件A为“第一次摸到白球”，事件B为“第二次摸到白球”
C．掷一枚骰子，事件A为“出现点数为奇数”，事件B为“出现点数为偶数”
D．事件A为“甲能活到20岁”，事件B为“乙能活到70岁”
【答案】AD
【解析】把一枚硬币抛掷两次，对于每次而言是相互独立的，其结果不受先后影响，故选项A中的两个事件是相互独立事件；选项B中不放回地摸球，显然事件A与事件B不相互独立；对于选项C，其结果具有唯一性，A，B应为对立事件；选项D中事件B不受事件A的影响．
【变式1】一袋中装有100个球，其中有20个白球，在有放回地摸球中，用A1表示第一次摸得白球，A2表示第二次摸得白球，则事件A1与是( )
A．相互独立事件 B．对立事件
C．互斥事件 D．无法判断
【答案】A
【解析】由于采用有放回地摸球，则每次是否摸到白球互不影响，故事件A1与是相互独立事件．
【变式2】（24-25高一下·全国·随堂练习）坛子中放有3个白球，2个黑球，从中不放回地摸球2次，用表示第1次摸到白球，表示第2次摸到白球，则与（ ）
A．是互斥事件 B．是相互独立事件
C．是对立事件 D．不是相互独立事件
【答案】A
【分析】首先由互斥事件的概念排除A、C，然后通过求解事件和事件发生的概率判断是否独立.
【详解】互斥事件是指在一定条件下不可能同时发生的事件，由此判断和不互斥，则也不对立，故A、C错误；
由题意可得,,,，所以不等于
所以事件与事件不是相互独立事件；
【变式3】（23-24高一下·江苏无锡·期末）已知事件A，B满足，则 （ ）
A．若B A，则 B．若A与B互斥，则
C．若A与B相互独立，则 D．若，则C与B相互对立
【答案】C
【分析】选项A：利用事件的关系结合概率求解即可.
选项B：利用概率的加法公式，求解即可，
选项C：若A与B相互独立，则 A与相互独立，利用独立事件的公式求解即可.
选项D:利用对立事件求解即可.
【详解】选项A：若B A，则
选项B：若A与B互斥，则.故选项B正确.
选项C：若A与B相互独立，则 A与相互独立,故选项C错误.
选项D:若，则由于不确定C与B是否互斥，所以无法确定两事件是否对立,故D错误.
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题型14 相互独立事件概率的计算
【典例14】（22-23高一下·甘肃·期末）某商场在618大促销活动中，活动规则是：满168元可以参加促销摸奖活动，甲和乙两个箱子各装有10个球，其中甲箱中有5个红球、5个白球，乙箱中有8个红球、2个白球．顾客首先掷一枚质地均匀的骰子，如果出现点数为1或2，顾客从甲箱子随机摸出一个球；如果点数为3，4，5，6，从乙箱子随机摸出一个球，则摸出红球的顾客可以领取奖品，问顾客中奖率为 ．
【答案】/0.7
【详解】利用概率性质求解
【分析】设掷一枚质地均匀的骰子出现点数为1或2为事件，则，
骰子出现点数为3，4，5，6为事件，则，
甲箱摸出红球为，乙箱摸出红球为，设顾客中奖为事件，
所以，，
所以．
故答案为：．
【变式1】（23-24高一下·安徽马鞍山·期末）已知事件，满足：，，则（ ）.
A．若，互斥，则
B．若，互斥，则
C．若，互相独立，则
D．若，互相独立，则
【答案】AD
【分析】根据概率加法公式判断A，根据互斥事件定义判断B，根据独立事件概率乘法公式判断D，根据概率加法公式判断C.
【详解】当，互斥时，，
又，，
所以，A正确；
当，互斥时，事件，不可能同时发生，
所以，B错误；
当，互相独立，则，
又，，
所以，D正确；
当，互相独立时，，C错误.
D.
【变式2】(多选)甲、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为和，甲、乙两人各射击一次，下列说法正确的是( )
A．目标恰好被命中一次的概率为
B．目标恰好被命中两次的概率为
C．目标被命中的概率为
D．目标未被命中的概率为
【答案】CCD
【解析】对于A，目标恰好被命中一次的概率为，A错误；对于B，目标恰好被命中两次的概率为×，B正确；对于C，目标被命中的概率为＋，C正确；对于D，目标未被命中的概率为1－，D正确．故选BCD.
【变式3】（23-24高一下·广西崇左·期末）2024年5月底，各省教育厅陆续召开了2024年高中数学联赛的相关工作.若某市经过初次选拔后有甲 乙 丙三名同学成功进入决赛，在决赛环节中这三名同学同时解答一道有关组合数论的试题.已知甲同学成功解出这道题的概率是，甲 丙两名同学都解答错误的概率是，乙 丙两名同学都成功解出的概率是，且这三名同学能否成功解出该题相互独立.
(1)求乙 丙两名同学各自成功解出这道题的概率；
(2)求这三名同学中不少于两名同学成功解出这道题的概率.
【答案】(1)和
(2).
【分析】（1）借助对立事件的性质及相互独立事件乘法公式计算即可得；
（2）借助相互独立事件乘法公式计算即可得.
【详解】（1）设甲 乙 丙三名同学各自成功解出该道题分别为事件.
因为，所以.
又，所以，即.
又，所以，
即乙 丙两名同学各自成功解出这道题的概率分别为和.
（2）设这三名同学中不少于两名同学成功解出这道题为事件，
则
，
所以这三名同学中不少于两名同学成功解出这道题的概率为.
一、单选题
1．（2023高一·全国·课后作业）下列说法一定正确的是（ ）
A．一名篮球运动员，号称“百发百中”，若罚球三次，不会出现三投都不中的情况
B．一个骰子掷一次得到2的概率是，则掷6次一定会出现一次2
C．若买彩票中奖的概率为万分之一，则买一万元的彩票一定会中奖一元
D．随机事件发生的概率与试验次数无关
【答案】A
【分析】根据随机事件的相关概念一一判定即可.
【详解】“百发百中”说明投中的可能性比较大，但有可能出现三投不中的可能，即A错误；
“”是事件发生的可能性，掷6次也可能不出现一次2，即B错误；
买彩票中奖的概率为万分之一，也是事件发生的可能性，买一万元的彩票也可能一元不中，即C错误；
随机事件发生的概率是多次试验的稳定值，与试验次数无关，D正确.
2．（24-25高二上·吉林·阶段练习）若随机试验的样本空间为，则下列说法不正确的是（ ）
A．事件是随机事件 B．事件是必然事件
C．事件是不可能事件 D．事件是随机事件
【答案】A
【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件的概念判断即可.
【详解】随机试验的样本空间为，
则事件是随机事件，故A正确；
事件是必然事件，故B正确；
事件是不可能事件，故C正确；
事件是不可能事件，故D错误.
3．（24-25高一上·四川成都·开学考试）某烟花爆竹厂从20万件同类产品中随机抽取了100件进行质检，发现其中有5件不合格，那么请你估计该厂这20万件产品中合格产品约有（ ）
A．1万件 B．18万件 C．19万件 D．20万件
【答案】D
【分析】确定这类产品的合格率是95%，然后利用样本估计总体的思想，即可求出该厂这20万件产品中合格品的件数．
【详解】因为某烟花爆竹厂从20万件同类产品中随机抽取了100件进行质检，发现其中有5件不合格，
所以合格的有95件，
所以合格率为，
∴估计该厂这20万件产品中合格品约为万件，
故选C.
4．（24-25高一下·全国·随堂练习）口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是（ ）
A．0.42 B．0.28 C．0.3 D．0
【答案】D
【分析】根据总的概率之和为1进行求解.
【详解】摸出黑球的概率为.
5．（23-24高一下·云南曲靖·期末）一只不透明的口袋内装有9张相同的卡片，上面分别标有这9个数字（每张卡片上标1个数），“从中任意抽取1张卡片，卡片上的数字为2或5或8”记为事件，“从中任意抽取1张卡片，卡片上的数字不超过6”记为事件，“从中任意抽取1张卡片，卡片上的数字大于等于7”记为事件．则下列说法正确的是（ ）
A．事件与事件是互斥事件 B．事件与事件是对立事件
C．事件与事件相互独立 D．
【答案】CC
【分析】根据古典概型的概率的计算公式，分别算出事件的概率，然后再根据互斥事件、对立事件、相互独立事件及概率的运算性质即可判断出答案.
【详解】样本空间为．
因为，所以事件与事件不是互斥事件，故错误；
因为，所以事件与事件为对立事件，故正确；
因为，所以，即事件与事件相互独立，故正确；
因为，所以，故D错误．
C.
6．（22-23高二上·广东佛山·期末）一个袋子中装有形状大小完全相同的6个红球，个绿球，现采用不放回的方式从中依次随机取出2个球.若取出的2个球都是红球的概率为，则的值为（ ）
A．4 B．5 C．12 D．15
【答案】A
【分析】利用古典概型概率计算公式列出方程，能求出的值．
【详解】一个袋子中有若干个大小质地完全相同的球，其中有6个红球，个绿球，
从袋中不放回地依次随机取出2个球，取出的2个球都是红球的概率是，
则，
解得（负值舍去）.
．
7．（23-24高一上·四川内江·开学考试）某公园有东、南、西、北共4个大门供游客出入，小军、小明从不同的大门进入公园游玩，游玩结束后，他们随机地从其中一个大门离开，则他们恰好从同一个大门出去的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果，可求得小军、小明恰好从同一个出口出该公园的情况，再利用古典概率公式求解即可求得答案．
【详解】如图，
由树状图可知，共有16种等可能结果，其中小军、小明恰好从同一个出口出该公园的有4种等可能结果，
所以小军、小明恰好从同一个出口出该公园的概率为，
．
8．（24-25高二上·贵州遵义·阶段练习）七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，它是由如图所示的七块板组成的，即五块等腰直角三角形板（两块小型三角形板、一块中型三角形板和两块大型三角形板），一块正方形板和一块平行四边形板.现从这七块板中任取两块，则这两块板面积相等的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据古典概型求解即可.
【详解】如下图，将七块三角形编号如下，
所以从七巧板的五块三角形中任意取出两块的基本事件为：
，，
，，，共有种，
将七巧板划分如下，被分成个全等的三角形，设正方形的面积为，
则编号的面积为，则编号的面积为，
编号的面积为，
任取两块板面积相等的基本事件为：.
从这七块板中任取两块，则这两块板面积相等的概率为.
.
二、多选题
9．（24-25高二上·吉林·阶段练习）对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件两炮弹都击中飞机，事件两炮弹都没击中飞机，事件恰有一炮弹击中飞机，事件至少有一炮弹击中飞机，则下列关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】根据题意，先将事件等价求出，再结合事件之间的关系，逐项判定，即可求解.
【详解】由题意得，事件第一枚击中第二枚未中或第一枚未击中第二枚击中 ，事件恰有一枚击中或两枚都击中，
对于A中，由事件两炮弹都击中飞机，至少有一炮弹击中飞机，得，正确；
对于B中，由事件两炮弹都没击中飞机，至少有一炮弹击中飞机，得事件与事件是互斥事件，所以，正确；
对于C中，由事件两炮弹都击中飞机，两炮弹都没击中飞机，至少有一炮弹击中飞机，
得不是必然事件，为必然事件，所以，不正确；
对于D中，事件两炮弹都击中飞机，恰有一炮弹击中飞机，至少有一炮弹击中飞机，
得至少有一炮弹击中飞机，所以，正确.
BD.
10．（23-24高一下·江苏苏州·期末）抛掷一枚质地均匀的骰子一次，事件“出现点数为奇数”，事件“出现点数为3”，事件“出现点数为3的倍数”，事件“出现点数为偶数”，则以下选项正确的是（ ）
A．B与D互斥
B．A与D互为对立事件
C．
D．
【答案】ABD
【分析】写出以及样本空间所包含的基本事件，逐一判断各个选项即可.
【详解】由题意，样本空间为，
对于A，，这意味着不可能同时发生，故A正确；
对于B，，这意味着中有且仅有一个事情发生，故B正确；
对于C，，故C错误；
对于D，因为，所以，故D正确.
BD.
11．（24-25高二上·重庆铜梁·阶段练习）若随机事件A，B互斥，A，B发生的概率均不等于0，且，则实数a的值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】DD
【分析】由互斥事件的概率性质列不等式组求解即可；
【详解】解: 由题意可知，
即，即，
解得，
D.
三、填空题
12．（24-25高一上·广西崇左·开学考试）下表是某种植物的种子在相同条件下发芽率试验的结果．
种子个数n 100 400 900 1700 2700 4000
发芽种子个数m 92 352 818 1336 2251 3801
发芽种子频率 0.92 0.88 0.91 0.89 0.90 0.90
根据表中的数据，可估计该植物的种子发芽的概率为 （精确到0.1）．
【答案】
【分析】根据频率与概率之间的关系即可求得；
【详解】在大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率总是接近于某个数，
在它附近摆动，这个常数就是事件A的概率；
观察表格得到某种植物发芽的频率稳定在附近，进而求解即可.
故答案为：
13．（23-24高二上·浙江宁波·阶段练习）事件、是相互独立事件，若，，则实数的值等于 .
【答案】
【分析】利用概率的性质及事件的运算关系得到，即可求参数值.
【详解】
，
即，解得.
故答案为：.
14．（23-24高一下·江苏无锡·阶段练习）若随机事件，互斥，，发生的概率均不等于0，且，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【分析】由随机事件互斥, 发生的概率均不等0 ,且,由此能求出实数的取值范围.
【详解】∵随机事件互斥，且 发生的概率均不等0 ,且,
所以，即
解得：
故答案为：.
四、解答题
15．（23-24高二·上海·课堂例题）把1、2、3、4、5、6、7、8、9、10分别写在10张一样的卡片上，并随机抽取1张．设出现偶数，出现3的倍数．写出下面两个事件的对应子集：
(1)至少有一个发生；
(2)同时发生．
【答案】(1)
(2)
【分析】由题可得事件与事件，再由事件的交与并即可求解．
【详解】（1）由题可得，，，
则至少有一个发生对应事件集合为：．
（2）由题可得，同时发生对应事件集合为：．
16．（24-25高二上·广东佛山·阶段练习）同时转动如图的两个转盘，记转盘①得到的数为，转盘②得到的数为，结果为（x，y）．
(1)分别用集合的形式表示事件“”和事件“且”；
(2)若设计了一种游戏方案：甲乙两人同时各转动一个转盘一次，将转到的数字相加，和为偶数时甲获胜，否则乙获胜．游戏方案对双方是否公平？请说明理由．
【答案】(1)表示形式见解析
(2)公平，理由见解析
【分析】（1）结合题意用集合形式列出所有符合的情况即可；
（2）列表得到所有结果，结合古典概型计算概率的公式求出双方获胜的概率，分析可得结果.
【详解】（1）事件“”可表示为；
事件“且”可表示为.
（2）由题意，和的所有可能情况列表如下：
4 5 6 7
1 5 6 7 8
2 6 7 8 9
3 7 8 9 10
由上表可知该游戏可能出现的情况共有12种，
其中两数字之和为偶数的有6种，为奇数的也有6种，
所以甲获胜的概率，乙获胜的概率，
即，所以该游戏方案对双方是公平的.
17．（24-25高二上·内蒙古赤峰·阶段练习）—只不透明的袋子中装有2个白球，3个红球，这些球除颜色外都相同.
(1)搅匀后从中任意摸出2个球，求这2个都球是白球的概率；
(2)搅匀后从中任意摸出1个球，记录颜色后放回，搅匀，再从中任意摸出1个球，求2次摸到的球恰好是1个白球和1个红球的概率.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）将3个红球记为红1，红2，红3，2个白球记为白1，白2，用列举法写出摸出的2球的情形，再由古典概型概率公式即可计算概率；
（2）用列表法表示出2次摸的情形，再由古典概型概率公式即可计算概率.
【详解】（1）将3个红球记为红1，红2，红3，2个白球记为白1，白2，
则任意摸出2个球的样本空间有：红1红2，红1红3，红1白1，红1白2，红2红3，红2白1，红2白2，红3白1，红3白2，白1白2共10个样本点，
其中2球均为白球事件的样本点只有1个，因此2个球都是白球概率为；
（2）搅匀后从中任意摸出1个球，记录下颜色后放回袋子中并搅匀，再从中任意摸出1个球，将3个红球记为红1，红2，红3，2个白球记为白1，白2，列表如图所示：
第2次摸球第1次摸球 红1 红2 红3 白1 白2
红1 （红1，红1） （红1，红2） （红1，红3） （红1，白1） （红1，白2）
红2 （红2，红1） （红2，红2） （红2，红3） （红2，白1） （红2，白2）
红3 （红3，红1） （红3，红2） （红3，红3） （红3，白1） （红3，白2）
白1 （白1，红1） （白1，红2） （白1，红3） （白1,白1） （白1,白2）
白2 （白2，红1） （白2，红2） （白2，红3） （白2,白1） （白2,白2）
所以搅匀后从中任意摸出1个球，记录下颜色后放回袋子中并搅匀，再从中任意摸出1个球事件的样本空间共有25个样本点，它们出现的可能性相同，
其中满足事件“2次摸到的球恰好是1个白球和1个红球”的样本点有12个，所以.
18．（23-24高一下·福建福州·期末）目前低碳的生活理念流行，越来越多的年轻人加入自行车骑游行列.某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过小时免费，超过小时的部分每小时收费元（不足一小时的部分按一小时计算）.有甲、乙两人分别来该租车点租车骑游（各租一车一次），设甲、乙不超过小时还车的概率分别为，；1小时以上且不超过2小时还车的概率分别为，；两人租车时间互不影响且都不会超过3小时.
(1)求甲、乙两人租车时间超过2小时，且不超过3小时的概率；
(2)求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率；
(3)求甲、乙两人所付的租车费用之和为4元的概率
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据互斥事件的概率公式和对立事件概率公式计算可得；
（2）根据相互独立事件及互斥事件的概率公式计算可得；
（3）甲、乙两人所付的租车费用之和为元可能的情况是甲、乙的租车费用分别为：
①元、元，②元、元，③元、元，再根据相互独立事件及互斥事件的概率公式计算可得.
【详解】（1）甲租车时间超过2小时，且不超过3小时的概率为：，
乙租车时间超过2小时，且不超过3小时的概率为：；
（2）甲、乙两人所付的租车费用相同可分为租车费用都为元、元、元三种情况，
甲、乙两人租车费用都为元的概率为，
甲、乙两人租车费用都为元的概率为，
甲、乙两人租车费用都为元的概率为，
所以甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为；
（3）甲、乙两人所付的租车费用之和为元可能的情况是甲、乙的租车费用分别为：
①元、元，②元、元，③元、元，
所以甲、乙两人所付的租车费用之和为元的概率为：
.
19．（24-25高一下·全国·课堂例题）某初级中学共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表：
七年级 八年级 九年级
女生 373 x y
男生 377 370 z
已知在全校学生中随机抽取1名，抽到八年级女生的概率为0.19．
(1)求x的值；
(2)已知，，求九年级中女生比男生少的概率；
(3)已知，在全校学生中随机抽取一名学生，则该学生是女生或是九年级学生的概率是多少？
【答案】(1)380
(2)
(3)．
【分析】（1）运用等可能事件概率公式可解；
（2）设九年级女生比男生少为事件，九年级女生数、男生数记为,列举样本空间样本点和满足题意的样本点，然后运用古典概型计算；
（3）运用并事件概率公式计算即可.
【详解】（1），．
（2）设九年级女生比男生少为事件，九年级女生数、男生数记为，
由（1）知，，，．
满足题意得所有样本点是，共11个，
事件A包含的样本点是，共5个．
因此．
（3）设“抽到女生”，“抽到九年级学生”，由（2）知，
又，，
全校女生共有（名），
则有，，．
该学生是女生或九年级学生的概率为．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)第04讲 概率
课程标准 学习目标
1．结合具体实例，理解样本点和有限样本空间的含义，理解随机事件与样本点的关系． 2.了解随机事件的并、交、互斥与对立的含义，能结合实例进行随机事件的并、交运算. 3． 结合具体实例，理解古典概型，能计算古典概型中简单随机事件的概率． 4． 结合实例，会用频率估计概率 5．结合有限样本空间，了解两个随机事件独立性的含义,结合古典概型，利用独立性计算概率． 1.理解随机现象、必然现象、样本点、样本空间、随机事件、必然事件、不可能事件、基本事件的概念. 2.了解事件之间的关系与运算以及互斥事件、对立事件的概念，能用概率的性质求事件的概率． 3.通过学习古典概型的定义，通过应用古典概型的概率计算公式解决实际问题培养逻辑推理素养和数学运算素养． 4.了解频率与概率的意义，会用频率估计概率． 5.通过学习相互独立事件的概念培养数学抽象素养,通过运用事件的独立性解决问题培养逻辑推理素养和数学运算素养．
知识点01 样本空间与事件
1. 随机现象、必然现象的概念
一定条件下，发生的结果事先不能确定的现象就是随机现象(或偶然现象)，发生的结果事先能够确定的现象就是必然现象(或确定性现象)．
2. 样本点、样本空间的概念
为了方便起见，我们把在相同条件下，对随机现象所进行的观察或实验称为随机试验(简称为试验)．
我们把随机试验中每一种可能出现的结果，都称为样本点，把由所有样本点组成的集合称为样本空间(通常用大写希腊字母Ω表示)．
3. 随机事件、必然事件、不可能事件的概念
如果随机试验的样本空间为Ω，则随机事件A是Ω的一个非空真子集．任何一个随机事件既有可能发生，也有可能不发生．
因为任何一次随机试验的结果，一定是样本空间Ω中的元素，因此可以认为每次试验中Ω一定发生，从而称Ω为必然事件；又因为空集 不包含任何样本点，所以可以认为每次试验中 一定不发生，从而称 为不可能事件．
一般地，不可能事件、随机事件、必然事件都可简称为事件，通常用大写英文字母A，B，C，…来表示事件．因为事件一定是样本空间的子集，从而可以用表示集合的维恩图来直观地表示事件．特别地，只含有一个样本点的事件称为基本事件．
4. 随机事件发生的概率
事件A发生的概率通常用P(A)表示．
我们将不可能事件 发生的概率规定为0，将必然事件Ω发生的概率规定为1，即P( )0，P(Ω)1．
对于任意事件A来说，0≤P(A)≤1．
【即学即练1】
1.(2024·甘肃天水一中高一月考)下面四个选项中，是随机事件的是( )
A．刻舟求剑 B．水中捞月
C．流水不腐 D．守株待兔
2.(多选)下列结论正确的是( )
A．事件A发生的概率可能为P(A)0.6
B．不可能事件发生的概率为0，必然事件发生的概率为1
C．小概率事件就是不可能发生的事件，大概率事件就是必然要发生的事件
D．老师讲一道数学题，李峰能听懂的概率是80%，是指老师每讲一题，该题有80%的部分李峰能听懂，20%的部分李峰听不懂
知识点02 事件间的关系
1. 事件的包含
(1)一般地，如果事件A发生时，事件B一定发生，则称“A包含于B”(或“B包含A”)，记作A B(或B A)，这一关系可用下图表示．
(2)A B也可用充分必要的语言表述为：A发生是B发生的充分条件，B发生是A发生的必要条件．
(3)如果A B，则P(A)≤P(B)．
2.事件的相等
(1)如果事件A发生时，事件B一定发生；而且事件B发生时，事件A也一定发生，则称“A与B相等”，记作AB．
(2)AB A B且B A．
AB也可用充分必要的语言表述为：A发生是B发生的充要条件．
(3)当AB时，有P(A)P(B)．
【即学即练2】在掷骰子的试验中，可以定义许多事件．例如，事件C1{出现1点}，事件C2{出现2点}，事件C3{出现3点}，事件C4{出现4点}，事件C5{出现5点}，事件C6{出现6点}，事件D1{出现的点数不大于1}，事件D2{出现的点数大于3}，事件D3{出现的点数小于5}，事件E{出现的点数小于7}，事件F{出现的点数为偶数}，事件G{出现的点数为奇数}，请根据上述定义的事件，请举出符合包含关系、相等关系的事件.
知识点03 事件间的运算
1. 事件的和(并)
(1)给定事件A，B，由所有A中的样本点与B中的样本点组成的事件称为A与B的和(或并)，记作A＋B(或A∪B)．事件A与B的和可以用如图所示的阴影部分表示．
(2)由定义可知：①事件A＋B发生时，当且仅当事件A与事件B中至少有一个发生；
②A (A＋B)且B (A＋B)．
因此，P(A)≤P(A＋B)且P(B)≤P(A＋B)，P(A＋B)≤P(A)＋P(B)．
2. 事件的积(交)
(1)给定事件A，B，由A与B中的公共样本点组成的事件称为A与B的积(或交)，记作AB(或A∩B)．
事件A与B的积可以用如图所示的阴影部分表示．
(2)由定义可知：①事件AB发生时，当且仅当事件A与事件B都发生．
②AB A，AB B.
因此，P(AB)≤P(A)，P(AB)≤P(B)．
【即学即练3】掷一个骰子，“向上的点数是1或2”为事件A，“向上的点数是2或3”为事件B，则( )
A．A B
B．AB
C．A＋B表示向上的点数是1或2或3
D．AB表示向上的点数是1或2或3
知识点04事件的互斥与对立
(1)给定事件A，B，若事件A与B不能同时发生，则称A与B互斥，记作AB (或A∩B )，这一关系可用下图表示．
(2)任意两个基本事件都是互斥的， 与任意事件互斥．
(3)当A与B互斥(即AB )时，有P(A＋B)P(A)＋P(B)，这称为互斥事件的概率加法公式．
一般地，如果A1，A2，…，An是两两互斥的事件，则P(A1＋A2＋…＋An)P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．
2. 事件的对立
(1)给定样本空间Ω与事件A，则由Ω中所有不属于A的样本点组成的事件称为A的对立事件，记作，用集合的观点来看，是A在Ω中的补集，如图所示．
(2)如果B，则称A与B相互对立．
(3)按照定义可知，每次随机试验，在事件A与中，有一个发生，而且只有一个发生．又由于必然事件的概率为1，因此P(A)＋P()1.
【即学即练3】从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是( )
A．至少有一个红球与都是红球
B．至少有一个红球与都是白球
C．至少有一个红球与至少有一个白球
D．恰有一个红球与恰有两个红球
知识点05 古典概型
1.古典概型的定义
一般地，如果随机试验的样本空间所包含的样本点个数是有限的(简称为有限性)，而且可以认为每个只包含一个样本点的事件(即基本事件)发生的可能性大小都相等(简称为等可能性)，则称这样的随机试验为古典概率模型，简称为古典概型．
一个随机试验是否能归结为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征——有限性与等可能性．
2.古典概型的概率计算公式
古典概型中，假设样本空间含有n个样本点，如果事件C包含m个样本点，则P(C)．
【即学即练5】
1．下列试验中，属于古典概型的是( )
A．种下一粒种子，观察它是否发芽
B．从规格直径为270 mm±0.6 mm的一批合格产品中任意抽一根，测量其直径d
C．抛一枚质地均匀的硬币，观察其出现正面或反面
D．某人射击中靶或不中靶
2．有5支彩笔(除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为( )
A. B.
C. D.
知识点06 频率与概率
1.频率与概率之间的关系
在大量重复的试验过程中，一个事件发生的频率会很接近于这个事件发生的概率，而且，试验的次数越多，频率与概率之间差距很小的可能性越大．
2.用频率估计概率
一般地，如果在n次重复进行的试验中，事件A发生的频率为，则当n很大时，可以认为事件A发生的概率P(A)的估计值为．这种确定概率估计值的方法称为用频率估计概率．
【即学即练6】下列说法正确的是( )
①频率反映随机事件的频繁程度，概率反映随机事件发生的可能性大小；
②做n次随机试验，事件A发生m次，则事件A发生的频率就是事件A的概率；
③频率是不能脱离n次试验的实验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值；
④频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值．
A．①②③④ B．①②④
C．①③④ D．②③④
知识点07 随机事件的独立性
1. 相互独立事件的概念
(1)一般地，当P(AB)P(A)P(B)时，就称事件A与B相互独立(简称独立)．
[说明] “P(AB)P(A)P(B)”是“事件A，B相互独立”的充要条件．
(2)事件A与B相互独立的直观理解是，事件A是否发生不会影响事件B发生的概率，事件B是否发生也不会影响事件A发生的概率．
(3)两个事件相互独立的概念也可以推广到有限个事件，即“A1，A2，…，An相互独立”的充要条件是“其中任意有限个事件同时发生的概率都等于它们各自发生的概率之积”．
2. 相互独立事件的性质
(1)如果事件A与B相互独立，则与B，A与，与也相互独立．
(2)多个事件独立具有与两个事件独立类似的性质．例如，如果A1，A2，A3相互独立，则1，A2，A3也相互独立等．
【即学即练7】掷一个骰子一次，记事件A表示“出现偶数点”，事件B表示“出现3点或6点”，则事件A与B是( )
A．互斥事件
B．相互独立事件
C．既互斥又相互独立事件
D．既不互斥又不相互独立事件
题型01 必然现象与随机现象的判断
【典例01】（23-24高二·上海·课堂例题）下列事件：①抛掷一枚硬币，落下后正面朝上；②从某三角形的三个顶点各画一条高线，这三条高线交于一点；③实数a，b都不为0，但；④某地区明年7月的降雨量高于今年7月的降雨量.其中为随机事件的是（ ）
A．①④ B．①②③ C．②③④ D．②④
【变式1】（24-25高二上·四川雅安·阶段练习）下列事件是随机事件的是（ ）
①同种电荷，互相排斥；②明天是晴天；③自由下落的物体做匀速直线运动；④函数在定义域上是增函数．
A．①③ B．①④ C．②④ D．③④
【变式2】（23-24高二上·贵州黔东南·期末）在12件同类产品中，有10件是正品，2件是次品，从中任意抽出3件，则下列事件为必然事件的是（ ）
A．3件都是正品 B．至少有2件是次品
C．3件都是次品 D．至少有1件是正品
【变式3】（多选） （23-24高一下·内蒙古通辽·期末）下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．明天北京市不下雨
B．在标准大气压下，水在4℃时结冰
C．早晨太阳从东方升起
D．，则的值不小于0
题型02 样本点和样本空间
【典例2】 （23-24高一上·全国·课后作业）高一(1)班计划从A，B，C，D，E这五名班干部中选两人代表班级参加一次活动，则样本空间中样本点的个数为（ ）
A．5 B．10
C．15 D．20
【变式1】 （22-23高一·全国·课后作业）随机事件“连续掷一颗筛子直到出现5点停止，观察掷的次数”的样本空间是（ ）
A．5 B．1到6的正整数 C．6 D．一切正整数
【变式2】 （24-25高二·上海·课堂例题）从0、1、2这3个数字中，不放回地取两次，每次取一个数字，构成有序数对，x为第1次取到的数字，y为第2次取到的数字．
(1)写出这个随机试验的样本空间；
(2)写出“第1次取出的数字是2”这个事件相应的样本空间．
题型03 事件间的关系及运算
【典例3】（24-25高二上·吉林·阶段练习）掷一枚质地均匀的骰子，“向上的点数是1或3”为事件A，“向上的点数是1或5”为事件B，则（ ）
A．
B．表示向上的点数是1或3或5
C．表示向上的点数是1或3
D．表示向上的点数是1或5
【变式1】 （24-25高二上·山东淄博·阶段练习）对空中移动的目标连续射击两次，设两次都击中目标两次都没击中目标{恰有一次击中目标}，至少有一次击中目标}，下列关系不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（2024高一下·全国·专题练习）对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设{两弹都击中飞机}，{两弹都没击中飞机}，{恰有一弹击中飞机}，{至少有一弹击中飞机}，下列说法不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式3】 （23-24高一下·天津·期末）对于两个事件，则事件表示的含义是（ ）
A．与同时发生 B．与不能同时发生
C．与有且仅有一个发生 D．与至少有一个发生
题型04 互斥与对立的判断
【典例4】（24-25高二上·山东淄博·阶段练习）某小组有三名男生和两名女生，从中任选两名去参加比赛，则下列事件是互斥而不对立的事件是（ ）
A．“恰有一名男生”和“全是男生” B．“至少有一名男生”和“至少有一名女生”
C．“至少有一名男生”和“全是男生” D．“至少有一名男生”和“全是女生”
【变式1】（24-25高二上·重庆铜梁·阶段练习）在一次随机试验中，彼此互斥的事件发生的概率分别是，则下列说法正确的是（ ）
A．与是互斥事件，也是对立事件
B． 与是互斥事件，也是对立事件
C． 与是互斥事件，但不是对立事件
D．与是互斥事件，也是对立事件
【变式2】 （24-25高三上·上海·开学考试）装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，有如下的一些事件：①两球都不是白球；②两球恰有一个白球；③两球至少有一个白球，其中与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是（ ）
A．① B．①② C．②③ D．①②③
【变式3】（24-25高二上·山东济宁·阶段练习）下列各组事件中，是互斥事件的是（ ）
A．一个射手进行一次射击，命中环数大于8与命中环数小于6
B．统计一个班的数学成绩，平均分不低于90分与平均分不高于90分
C．播种100粒菜籽，发芽90粒与发芽80粒
D．检验某种产品，合格率高于70%与合格率低于70%
【变式4】（24-25高二上·河南·阶段练习）已知某篮球运动员共投篮两次，记事件“第一次投篮投中”，事件“第二次投篮投中”，事件“两次投篮均投中”，则下列说法正确的是（ ）
A．，互为互斥事件 B．与互为互斥事件
C． D．与互为对立事件
题型05 互斥事件概率公式的应用
【典例5】（24-25高二上·上海·阶段练习）已知与是互斥事件，且，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（24-25高二上·广东佛山·阶段练习）已知事件、互斥，、至少一个发生的概率，且，则（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（24-25高二上·山东淄博·阶段练习）甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为，和棋的概率为，则乙不输的概率为（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（24-25高二上·北京平谷·阶段练习）从一箱奖券中随机地抽取一件，设事件“抽到一等奖”，事件“抽到二等奖”，事件“抽到三等奖”.已知，则事件“抽到的不是一等奖”的概率为（ ）
A．0.20 B．0.39 C．0.35 D．0.45
题型06 古典概型的特征
【典例6】（23-24高二上·上海·课后作业）下列关于古典概率模型的说法中正确的是（ ）
①试验中所有可能出现的样本点只有有限个；②每个事件出现的可能性相等；③每个样本点出现的可能性相等；④样本点的总数为n，随机事件A若包含k个样本点，则．
A．②④ B．③④ C．①④ D．①③④
【变式1】（22-23高一下·新疆·期末）下列实验中，是古典概型的有（ ）
A．某人射击中靶或不中靶
B．在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都为整数的所有点中任取一个
C．四名同学用抽签法选一人参加会议
D．从区间上任取一个实数，求取到1的概率
【变式2】下列关于古典概型的说法中正确的是( )
①试验的样本空间所包含的样本点个数只有有限个；②每个事件出现的可能性相等；③每个样本点出现的可能性相等；④样本点的总数为n，随机事件A若包含k个样本点，则P(A).
A．②④ B．①③④
C．①④ D．③④
【变式3】下列概率模型中，是古典概型的个数为( )
①从区间[1，10]内任取一个数，求取到1的概率；
②从1，2，3，…，10中任意取一个整数，求取到1的概率；
③在一个正方形ABCD内画一点P，求点P刚好与点A重合的概率；
④向上抛掷一枚不均匀的硬币，求出现反面朝上的概率．
A．1 B．2
C．3 D．4
题型07 简单古典概型的计算
【典例7】甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲任想一数字，记为a，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜出的数字记为b，且a，b∈{1，2，3，4}，若|a－b|≤1，则称甲、乙“心有灵犀”．现任意找两个人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为( )
A. B.
C. D.
【变式1】（22-23高一上·云南昆明·期末）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则函数的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】三张卡片上分别写上字母E，E，B，将三张卡片随机地排成一行，恰好排成英文单词BEE的概率为________．
【变式3】一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次摸出2只球．这个试验的样本空间所包含的样本点个数为________，摸出的2只球都是白球的概率是________．
【变式4】（23-24高二上·黑龙江·阶段练习）已知，，且，则的概率为（ ）
A． B． C． D．
题型08有放回和无放回的概率问题
【典例8】（23-24高一下·天津西青·期末）从两名男生（记为和）、两名女生（记为和）中任意抽取两人，分别采取不放回简单随机抽样和有放回简单随机抽样．在以上两种抽样方式下，抽到的两人是一男生一女生的概率分别为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（23-24高二上·陕西汉中·开学考试）盒中有3个大小质地完全相同的球，其中2个白球、1个黑球，从中不放回地依次随机摸出2个球．则恰好摸出一个白球一个黑球的概率为 ．
【变式2】（23-24高一上·全国·课后作业）在试验“袋中有白球3个（编号为1，2，3）、黑球2个（编号为1，2），这5个球除颜色外完全相同，从中不放回地依次摸取2个，每次摸1个，观察摸出球的情况”中，摸到白球的结果分别记为，，，摸到黑球的结果分别记为，．求：
(1)取到的两个球都是白球的概率；
(2)取到的两个球颜色相同的概率；
(3)取到的两个球至少有一个是白球的概率．
题型09 根据概率求参数
【典例9】（23-24高二上·浙江·期中）有5张未刮码的卡片，其中n张是“中奖”卡，其它的是“未中奖”卡，现从这5张卡片随机抽取2张.你有资金100元，每次在对一张卡片刮码前，下注已有资金的一半.若刮码结果为“中奖”，则赢得与下注金额相同的另一笔钱，若刮码结果是“未中奖”，则输掉下注的资金.抽取的2张卡片全部刮完后，要使资金增加的概率大于资金减少的概率，则n至少为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式1】（22-23高一下·重庆·期末）在一个不透明的袋中有4个红球和个黑球，现从袋中有放回地随机摸出2个球，已知取出的球中至少有一个红球的概率为，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式2】（22-23高一下·江苏南京·期末）一个口袋中装有个红球和若干个黄球，在不允许将球倒出来数的前提下，为估计口袋中黄球的个数，小明采用了如下的方法：每次从口袋中摸出个球，记下球的颜色后再把球放回口袋中摇匀．不断重复上述过程次，共摸出红球次，根据上述数值，估计口袋中大约有黄球（ ）个．
A． B． C． D．
【变式3】某箱脐橙共有18个，其中有少部分是坏果.若从这箱脐橙中任取2个，恰好取到1个坏果的概率为，则这箱脐橙中坏果的个数为（ ）
A．3 B．5 C．2 D．4
题型10 根据加法公式求古典概型概率
【典例10】（22-23高一下·河北邢台·阶段练习）口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同小球，从中取出2球，事件“取出的两球同色”，事件“取出的2球中至少有一个黄球”，事件“取出的2球至少有一个白球”，事件“取出的2球不同色”，“取出的2球中至多有一个白球”.下列判断中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】（21-22高一·全国·单元测试）某商场举行购物抽奖活动，抽奖箱中放有编号分别为1，2，3，4，5的五个小球.小球除编号不同外，其余均相同.活动规则如下：从抽奖箱中随机抽取一球，若抽到的小球编号为3，则获得奖金100元；若抽到的小球编号为偶数，则获得奖金70元；若抽到其余编号的小球，则不中奖.现某顾客依次有放回地抽奖两次，则该顾客两次抽奖后获得奖金之和为100元的概率为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】抛掷一枚质地均匀的骰子（骰子的六个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点）一次，观察掷出向上的点数，设事件为掷出向上为偶数点，事件为掷出向上为3点，则（ ）
A． B．
C． D．
题型11 频率与概率的辨析
【典例11】（24-25高二上·四川成都·阶段练习）下列说法一定正确的是（ ）
A．一名篮球运动员，号称“百发百中”，若罚球三次，不会出现三投都不中的情况
B．随机事件发生的概率与试验次数无关
C．若买彩票中奖的概率为万分之一，则买一万元的彩票一定会中奖一元
D．一个骰子掷一次得到2的概率是，则掷6次一定会出现一次2
【变式1】（23-24高一下·广西河池·期末）下列说法中正确的是（ ）
A．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率
B．在次随机试验中，一个随机事件发生的频率具有确定性
C．随着试验次数的增大，一个随机事件发生的频率会逐渐稳定于事件发生的概率
D．在同一次试验中，每个试验结果出现的频率之和不一定等于1
【变式2】（23-24高一下·江苏淮安·期末）已知某医院治疗一种疾病的治愈率为，下列说法正确的是（ ）
A．患此疾病的病人被治愈的可能性为
B．医院接收10位患此疾病的病人，其中有一位病人被治愈
C．如果前9位病人都没有治愈，第10位病人一定能被治愈
D．医院接收10位患此疾病的病人，其中一定有能被治愈的
【变式3】（2024高一下·全国·专题练习）下列说法正确的是（ ）
A．一个人打靶，打了10发子弹，有7发子弹中靶，因此这个人中靶的概率是
B．一个同学做掷硬币试验，掷了6次，一定有3次正面向上
C．某地发行彩票，其回报率为47%，有人花了100元钱买彩票，一定会有47元的回报
D．大量试验后，可以用频率近似估计概率
题型12 用频率估计概率
【典例12】（24-25高二上·山东济宁·阶段练习）在调查运动员是否服用过兴奋剂的时候，给出两个问题作答，无关紧要的问题是：“你的身份证号码的尾数是奇数吗？”敏感的问题是：“你服用过兴奋剂吗？”然后要求被调查的运动员掷一枚硬币，如果出现正面，就回答第一个问题，否则回答第二个问题．由于回答哪一个问题只有被测试者自己知道，所以应答者一般乐意如实地回答问题．如我们把这种方法用于300个被调查的运动员，得到80个“是”的回答，则这群人中服用过兴奋剂的百分率大约为（ ）
A．4.33% B．3.33% C．3.44% D．4.44%
【变式1】（2024高二下·湖北·学业考试）从某自动包装机包装的奶粉中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为（单位：）：
492 496 494 495 498 497 701 702 704 496
497 703 706 708 707 492 496 700 701 499
用频率估计概率，该包装机包装的袋装奶粉质量在之间的概率约为（ ）
A．0.1 B．0.15 C．0.25 D．0.5
【变式2】（23-24高一下·山东枣庄·期末）某地区的公共卫生部门为了调查本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的200名学生进行调查.调查中使用了两个问题.问题1：你父亲的公历出生月份是不是奇数？问题2：你是否经常吸烟？调查者设计了一个随机化装置，这是一个装有大小、形状和质量完全一样的70个白球和70个红球的密封袋子，每个被调查者随机地从袋中摸取1个球（摸出的球再放回袋中），摸到白球的学生如实回答第一个问题，摸到红球的学生如实回答第二个问题，回答“是”的人往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的人什么都不要做.若最终盒子中的小石子为580个，则该地区中学生吸烟人数的比例约为（ ）
A．2% B．3% C．6% D．8%
【变式3】（2024高一下·全国·专题练习）众所周知，长时间玩手机可能影响视力．据调查，某校学生大约40%的人近视，而该校大约有30%的学生每天玩手机超过2 h，这些人的近视率约为70%．现从每天玩手机不超过2 h的学生中任意调查一名学生，则该名学生近视的概率为（ ）
A． B． C． D．
【变式4】天气预报说，在今后的三天中，每天下雨的概率都为80%．现采用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率．用1，2，3，4，5，6表示下雨，用计算机产生了10组随机数180，792，454，417，165，809，798，386，196，206据此估计这三天中恰有两天下雨的概率近似为（ ）
A． B． C． D．
【变式5】每年4月15日为全民国家安全教育日，某学校党委组织党员学习《中华人民共和国国家安全法》，为了解党员学习的情况，随机抽取了部分党员，对他们一周的学习时间（单位：时）进行调查，统计数据如下表所示：
学习时间（时）
党员人数 8 13 9 10 10
则从该校随机抽取1名党员，估计其学习时间不少于6小时的概率为（ ）
A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8
题型13 事件独立性的判断
【典例13】(多选)下列事件A，B是相互独立事件的是( )
A．一枚硬币抛掷两次，事件A为“第一次为正面”，事件B为“第二次为反面”
B．袋中有2个白球，2个黑球，不放回地摸两球，事件A为“第一次摸到白球”，事件B为“第二次摸到白球”
C．掷一枚骰子，事件A为“出现点数为奇数”，事件B为“出现点数为偶数”
D．事件A为“甲能活到20岁”，事件B为“乙能活到70岁”
【变式1】一袋中装有100个球，其中有20个白球，在有放回地摸球中，用A1表示第一次摸得白球，A2表示第二次摸得白球，则事件A1与是( )
A．相互独立事件 B．对立事件
C．互斥事件 D．无法判断
【变式2】（24-25高一下·全国·随堂练习）坛子中放有3个白球，2个黑球，从中不放回地摸球2次，用表示第1次摸到白球，表示第2次摸到白球，则与（ ）
A．是互斥事件 B．是相互独立事件
C．是对立事件 D．不是相互独立事件
【变式3】（23-24高一下·江苏无锡·期末）已知事件A，B满足，则 （ ）
A．若B A，则 B．若A与B互斥，则
C．若A与B相互独立，则 D．若，则C与B相互对立
题型14 相互独立事件概率的计算
【典例14】（22-23高一下·甘肃·期末）某商场在618大促销活动中，活动规则是：满168元可以参加促销摸奖活动，甲和乙两个箱子各装有10个球，其中甲箱中有5个红球、5个白球，乙箱中有8个红球、2个白球．顾客首先掷一枚质地均匀的骰子，如果出现点数为1或2，顾客从甲箱子随机摸出一个球；如果点数为3，4，5，6，从乙箱子随机摸出一个球，则摸出红球的顾客可以领取奖品，问顾客中奖率为 ．
【变式1】（23-24高一下·安徽马鞍山·期末）已知事件，满足：，，则（ ）.
A．若，互斥，则
B．若，互斥，则
C．若，互相独立，则
D．若，互相独立，则
【变式2】(多选)甲、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为和，甲、乙两人各射击一次，下列说法正确的是( )
A．目标恰好被命中一次的概率为
B．目标恰好被命中两次的概率为
C．目标被命中的概率为
D．目标未被命中的概率为
【变式3】（23-24高一下·广西崇左·期末）2024年5月底，各省教育厅陆续召开了2024年高中数学联赛的相关工作.若某市经过初次选拔后有甲 乙 丙三名同学成功进入决赛，在决赛环节中这三名同学同时解答一道有关组合数论的试题.已知甲同学成功解出这道题的概率是，甲 丙两名同学都解答错误的概率是，乙 丙两名同学都成功解出的概率是，且这三名同学能否成功解出该题相互独立.
(1)求乙 丙两名同学各自成功解出这道题的概率；
(2)求这三名同学中不少于两名同学成功解出这道题的概率.
一、单选题
1．（2023高一·全国·课后作业）下列说法一定正确的是（ ）
A．一名篮球运动员，号称“百发百中”，若罚球三次，不会出现三投都不中的情况
B．一个骰子掷一次得到2的概率是，则掷6次一定会出现一次2
C．若买彩票中奖的概率为万分之一，则买一万元的彩票一定会中奖一元
D．随机事件发生的概率与试验次数无关
2．（24-25高二上·吉林·阶段练习）若随机试验的样本空间为，则下列说法不正确的是（ ）
A．事件是随机事件 B．事件是必然事件
C．事件是不可能事件 D．事件是随机事件
3．（24-25高一上·四川成都·开学考试）某烟花爆竹厂从20万件同类产品中随机抽取了100件进行质检，发现其中有5件不合格，那么请你估计该厂这20万件产品中合格产品约有（ ）
A．1万件 B．18万件 C．19万件 D．20万件
4．（24-25高一下·全国·随堂练习）口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是（ ）
A．0.42 B．0.28 C．0.3 D．0
5．（24-25高一下·全国·随堂练习）掷一枚骰子，设事件出现的点数不小于5，出现的点数为偶数，则事件A与事件B的关系是（ ）
A． B．出现的点数为6
C．事件A与B互斥 D．事件A与B是对立事件
6．（22-23高二上·广东佛山·期末）一个袋子中装有形状大小完全相同的6个红球，个绿球，现采用不放回的方式从中依次随机取出2个球.若取出的2个球都是红球的概率为，则的值为（ ）
A．4 B．5 C．12 D．15
7．（23-24高一上·四川内江·开学考试）某公园有东、南、西、北共4个大门供游客出入，小军、小明从不同的大门进入公园游玩，游玩结束后，他们随机地从其中一个大门离开，则他们恰好从同一个大门出去的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．（24-25高二上·贵州遵义·阶段练习）七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，它是由如图所示的七块板组成的，即五块等腰直角三角形板（两块小型三角形板、一块中型三角形板和两块大型三角形板），一块正方形板和一块平行四边形板.现从这七块板中任取两块，则这两块板面积相等的概率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（24-25高二上·吉林·阶段练习）对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件两炮弹都击中飞机，事件两炮弹都没击中飞机，事件恰有一炮弹击中飞机，事件至少有一炮弹击中飞机，则下列关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（23-24高一下·江苏苏州·期末）抛掷一枚质地均匀的骰子一次，事件“出现点数为奇数”，事件“出现点数为3”，事件“出现点数为3的倍数”，事件“出现点数为偶数”，则以下选项正确的是（ ）
A．B与D互斥
B．A与D互为对立事件
C．
D．
11．（24-25高二上·重庆铜梁·阶段练习）若随机事件A，B互斥，A，B发生的概率均不等于0，且，则实数a的值可以是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
12．（24-25高一上·广西崇左·开学考试）下表是某种植物的种子在相同条件下发芽率试验的结果．
种子个数n 100 400 900 1700 2700 4000
发芽种子个数m 92 352 818 1336 2251 3801
发芽种子频率 0.92 0.88 0.91 0.89 0.90 0.90
根据表中的数据，可估计该植物的种子发芽的概率为 （精确到0.1）．
13．（23-24高二上·浙江宁波·阶段练习）事件、是相互独立事件，若，，则实数的值等于 .
14．（23-24高一下·江苏无锡·阶段练习）若随机事件，互斥，，发生的概率均不等于0，且，则实数的取值范围为 ．
四、解答题
15．（23-24高二·上海·课堂例题）把1、2、3、4、5、6、7、8、9、10分别写在10张一样的卡片上，并随机抽取1张．设出现偶数，出现3的倍数．写出下面两个事件的对应子集：
(1)至少有一个发生；
(2)同时发生．
16．（24-25高二上·广东佛山·阶段练习）同时转动如图的两个转盘，记转盘①得到的数为，转盘②得到的数为，结果为（x，y）．
(1)分别用集合的形式表示事件“”和事件“且”；
(2)若设计了一种游戏方案：甲乙两人同时各转动一个转盘一次，将转到的数字相加，和为偶数时甲获胜，否则乙获胜．游戏方案对双方是否公平？请说明理由．
17．（24-25高二上·内蒙古赤峰·阶段练习）—只不透明的袋子中装有2个白球，3个红球，这些球除颜色外都相同.
(1)搅匀后从中任意摸出2个球，求这2个都球是白球的概率；
(2)搅匀后从中任意摸出1个球，记录颜色后放回，搅匀，再从中任意摸出1个球，求2次摸到的球恰好是1个白球和1个红球的概率.
18．（23-24高一下·福建福州·期末）目前低碳的生活理念流行，越来越多的年轻人加入自行车骑游行列.某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过小时免费，超过小时的部分每小时收费元（不足一小时的部分按一小时计算）.有甲、乙两人分别来该租车点租车骑游（各租一车一次），设甲、乙不超过小时还车的概率分别为，；1小时以上且不超过2小时还车的概率分别为，；两人租车时间互不影响且都不会超过3小时.
(1)求甲、乙两人租车时间超过2小时，且不超过3小时的概率；
(2)求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率；
(3)求甲、乙两人所付的租车费用之和为4元的概率
19．（24-25高一下·全国·课堂例题）某初级中学共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表：
七年级 八年级 九年级
女生 373 x y
男生 377 370 z
已知在全校学生中随机抽取1名，抽到八年级女生的概率为0.19．
(1)求x的值；
(2)已知，，求九年级中女生比男生少的概率；
(3)已知，在全校学生中随机抽取一名学生，则该学生是女生或是九年级学生的概率是多少？
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