第五章 统计与概率章末测试
（考试时间：120分钟 试卷满分：170分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共80分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（23-24高一下·天津河东·期末）为确保食品安全，某市质检部门检查1000袋方便面的质量，抽查总量的.在这个问题中，下列说法正确的是（ ）
A．总体是指这1000袋方便面 B．个体是1袋方便面
C．样本是按抽取的20袋方便面 D．样本容量为20
2．（23-24高二上·上海长宁·期末）①植物根据植株的高度及分枝部位等可以分为乔木、灌木和草木三大类，某植物园需要对其园中的不同植物的干重（烘干后测定的质量）进行测量；②检测员拟对一批新生产的1000箱牛奶抽取10箱进行质量检测；上述两项调查应采用的抽样方法是（ ）
A．①用简单随机抽样，②用分层随机抽样 B．①用简单随机抽样，②用简单随机抽样
C．①用分层随机抽样，②用简单随机抽样 D．①用分层随机抽样，②用分层随机抽样
3．（24-25高一上·甘肃平凉·阶段练习）高一（1）班7人宿舍中每个同学的身高分别为170，168，175，172，172，176，180，则这7人的第40百分位数为（ ）
A．168 B．170 C．172 D．171
4．（23-24高一下·山西长治·期末）下列说法正确的是（ ）
A．甲、乙二人进行羽毛球比赛，甲胜的概率为，则比赛4场，甲一定胜3场
B．概率是随机的，在试验前不能确定
C．事件，满足，则
D．天气预报中，预报明天降水概率为90%，是指降水的可能性是90%
5．（23-24高一下·陕西西安·期末）一支田径队有男运动员24人，女运动员18人，按照性别进行分层，用分层随机抽样的方法从该田径队中抽取了14人，则男运动员被抽取的人数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
6．（24-25高二上·山东青岛·期中）为了了解某班学生数学成绩，利用分层随机抽样抽取了一个10人的样本，统计如下表：则可估计全班学生数学的平均分和方差分别为（ ）
学生数 平均分 方差
男生 6 80 4
女生 4 75 2
A．77.5，9.2 B．77.5，11 C．78，9.2 D．78，11
7．（24-25高二上·山西·阶段练习）在山西的某个旅游景点内有刀削面、油炸糕、糖火烧、炕馍、莜面这5种传统小吃.某游客从中随机选择3种品尝，则该游客选择了油炸糕和莜面品尝的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．（24-25高二上·四川绵阳·阶段练习）设甲、乙两人每次投进篮球的概率分别为与，两人约定如下投篮：每次由一人投篮，若投进，下一次由另一人投篮；若没有投进，则继续投篮，则前4次中甲恰好投篮3次的概率为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（23-24高一下·广东广州·期末）设A，B易两个随机事件，且，则下列结论正确的是（ ）
A．若A，B是互斥事件，则
B．若，则
C．若A，B是相互独立事件，则
D．若，则A，B是相互独立事件
10．（23-24高一下·重庆巫山·期末）某学校对高一学生选科情况进行了统计，发现学生选科仅有物化生、政史地、物化地、物化政、生史地五种组合，其中选考物化地和物化政组合的人数相等，并绘制得到如下的扇形图和条形图，则（ ）
A．该校高一学生总数为
B．该校高一学生中选考物化政组合的人数为
C．该校高一学生中选考物理的人数比选考历史的人数多
D．用比例分配的分层随机抽样方法从该校高一学生抽取人，则生史地组合抽取人
11．（23-24高一下·黑龙江绥化·期末）在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生大规模群体感染的标准为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”，过去10天，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据信息如下：甲地：平均数为2，众数为2；乙地：中位数为3，极差为4；丙地：平均数为2，中位数为3；丁地：平均数为2，标准差为，甲、乙、丙、丁四地中，一定没有发生大规模群体感染的是（ ）
A．甲地 B．乙地 C．丙地 D．丁地
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（24-25高二上·山东青岛·阶段练习）甲、乙两人抢答竞赛题，甲答对的概率为，乙答对的概率为，则两人中恰有一人答对的概率为 .
13．（24-25高二上·四川成都·期中）已知一组数据的平均数为10，方差为2，若这组数据，的平均数为，方差为，则 .
14．（2024·上海·三模）对于没有重复数据的样本、、…、，记这m个数的第k百分位数为．若不在这组数据中，且在区间中的数据有且只有5个，则m的所有可能值组成的集合为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(13分）（24-25高二上·四川成都·阶段练习）2024年10月13日，成都市将举办马拉松比赛，其中志愿者的服务工作是马拉松成功举办的重要保障.成都市文体广电旅游局承办了志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组:第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图.
(1)求a的值;
(2)估计这100名候选者面试成绩的平均数和第百分位数;
(3)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取人，担任本市的宣传者.若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为和，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为和，请据此估计这次第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差.
（附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，记两组数据总体的样本平均数为，则总体样本方差）
16．(15分）（24-25高二上·内蒙古赤峰·阶段练习）—只不透明的袋子中装有2个白球，3个红球，这些球除颜色外都相同.
(1)搅匀后从中任意摸出2个球，求这2个都球是白球的概率；
(2)搅匀后从中任意摸出1个球，记录颜色后放回，搅匀，再从中任意摸出1个球，求2次摸到的球恰好是1个白球和1个红球的概率.
17．(15分）（2024高一下·全国·专题练习）2022年7月1日是中国共产党建党101周年，某党支部为了了解党员对党章党史的认知程度，针对党支部不同年龄和不同职业的人举办了一次“党章党史”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有人，按年龄分成5组，其中第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图
(1)根据频率分布直方图，估计这人的第80百分位数；
(2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取20人，担任“党章党史”的宣传使者．若有甲（年龄36），乙（年龄42）两人已确定入选宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率．
18．(17分）（23-24高一下·河北·期末）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为．现有两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码（例如，若收到1，则译码为1，若收到0，则译码为0）；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到，则译码为1，若依次收到，则译码为1）．
(1)已知．
①若采用单次传输方案，重复发送信号0两次，求至少收到一次0的概率；
②若采用单次传输方案，依次发送，证明：事件“第三次收到的信号为1”与事件“三次收到的数字之和为2”相互独立．
(2)若发送1，采用三次传输方案时译码为0的概率大于采用单次传输方案时译码为0的概率，求的取值范围．
19．(17分）（22-23高一下·广东梅州·期末）某中学新建了学校食堂，每天有近2000名学生在学校食堂用午餐，午餐开放时间约40分钟，食堂制作了三类餐食，第一类是选餐，学生凭喜好在做好的大约6种菜和主食米饭中任意选购；第二类是套餐，已按配套好菜色盛装好，可直接取餐；第三类是面食，如煮面、炒粉等，为了更合理地设置窗口布局，增加学生的用餐满意度，学校学生会在用餐的学生中对就餐选择、各类餐食的平均每份取餐时长以及可接受等待时间进行问卷调查，并得到以下的统计图表.
类别 选餐 套餐 面食
选择人数 70 30 20
平均每份取餐时长（单位：分钟） 2 0.5 1
已知饭堂的售饭窗口一共有20个，就餐高峰期时有200名学生在等待就餐.
(1)根据以上的调查统计，如果设置12个选餐窗口，4个套餐窗口，4个面食窗口，就餐高峰期时，假设大家在排队时自动选择较短的队伍等待（即各类餐食的窗口前队伍长度各自相同），问：选择选餐的同学最长等待时间是多少？这能否让80％的同学感到满意（即在接受等待时长内取到餐）？
(2)根据以上的调查统计，从等待时长和公平的角度上考虑，如何设置各类售饭窗口数更优化，并给出你的求解过程.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)第五章 统计与概率章末测试
（考试时间：120分钟 试卷满分：170分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共80分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（23-24高一下·天津河东·期末）为确保食品安全，某市质检部门检查1000袋方便面的质量，抽查总量的.在这个问题中，下列说法正确的是（ ）
A．总体是指这1000袋方便面 B．个体是1袋方便面
C．样本是按抽取的20袋方便面 D．样本容量为20
【答案】A
【分析】根据总体，个体，样本，样本的定义逐一判断即可得解.
【详解】对于A，总体是指这1000袋方便面的质量，故A错误；
对于B，个体是指1袋方便面的质量，故B错误；
对于C，样本是指按照抽取的20袋方便面的质量，故C错误；
对于D，样本容量为，故D正确.
.
2．（23-24高二上·上海长宁·期末）①植物根据植株的高度及分枝部位等可以分为乔木、灌木和草木三大类，某植物园需要对其园中的不同植物的干重（烘干后测定的质量）进行测量；②检测员拟对一批新生产的1000箱牛奶抽取10箱进行质量检测；上述两项调查应采用的抽样方法是（ ）
A．①用简单随机抽样，②用分层随机抽样 B．①用简单随机抽样，②用简单随机抽样
C．①用分层随机抽样，②用简单随机抽样 D．①用分层随机抽样，②用分层随机抽样
【答案】D
【分析】根据简单随机抽样和分层随机抽样的特点进行判断即可.
【详解】①乔木、灌木、草木，分类明显，可以采用分层随机抽样；
②并未有明显分层特点，且样本容量较小，可以采用简单随机抽样；
.
3．（24-25高一上·甘肃平凉·阶段练习）高一（1）班7人宿舍中每个同学的身高分别为170，168，175，172，172，176，180，则这7人的第40百分位数为（ ）
A．168 B．170 C．172 D．171
【答案】D
【分析】将数据按升序排列，结合百分位数的定义运算求解即可.
【详解】将数据按升序排列可得168，170，172，172，175，176，180，
因为，所以这7人的第40百分位数为第3位数172.
.
4．（23-24高一下·山西长治·期末）下列说法正确的是（ ）
A．甲、乙二人进行羽毛球比赛，甲胜的概率为，则比赛4场，甲一定胜3场
B．概率是随机的，在试验前不能确定
C．事件，满足，则
D．天气预报中，预报明天降水概率为90%，是指降水的可能性是90%
【答案】A
【分析】根据概率的定义及性质判断即可.
【详解】对于A，甲、乙二人比赛，甲胜的概率为，是指每场比赛，甲胜的可能性为，
则比赛场，甲可能胜场、3场、2场、1场、0场，故A错误；
对于B，随机试验的频率是变化的，概率是频率的稳定值，是固定的，故B错误；
对于C：事件，满足，则，故C错误；
对于D，天气预报中，预报明天降水概率为，是指降水的可能性是，故D正确.
5．（23-24高一下·陕西西安·期末）一支田径队有男运动员24人，女运动员18人，按照性别进行分层，用分层随机抽样的方法从该田径队中抽取了14人，则男运动员被抽取的人数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】A
【分析】根据分层抽样的抽样原则，按比例计算即可.
【详解】由题意得，男运动员被抽取的人数为；
6．（24-25高二上·山东青岛·期中）为了了解某班学生数学成绩，利用分层随机抽样抽取了一个10人的样本，统计如下表：则可估计全班学生数学的平均分和方差分别为（ ）
学生数 平均分 方差
男生 6 80 4
女生 4 75 2
A．77.5，9.2 B．77.5，11 C．78，9.2 D．78，11
【答案】D
【分析】由平均数及方差计算公式即可求解.
【详解】由均值和方差公式直接计算.
可估计全班学生数学的平均分为，方差为.
.
7．（24-25高二上·山西·阶段练习）在山西的某个旅游景点内有刀削面、油炸糕、糖火烧、炕馍、莜面这5种传统小吃.某游客从中随机选择3种品尝，则该游客选择了油炸糕和莜面品尝的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用编号，列举的方法，结合古典概型概率公式，即可求解.
【详解】将刀削面、油炸糕、糖火烧、炕馍、莜面这5种传统小吃分别设为，，，，，
根据题意，该游客从中随机选择3种品尝的所有情况有，，，，，，，，，，共10种，
其中该游客选择了油炸糕和莜面品尝的，，，情况有3种，
故所求概率为.
8．（24-25高二上·四川绵阳·阶段练习）设甲、乙两人每次投进篮球的概率分别为与，两人约定如下投篮：每次由一人投篮，若投进，下一次由另一人投篮；若没有投进，则继续投篮，则前4次中甲恰好投篮3次的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分第一次甲先投篮与第一次乙先投篮，然后由独立事件的概率的乘法公式求解即可.
【详解】若第一次甲先投篮，则前4次中甲恰好投篮3次的概率为：，
若第一次乙先投篮，则前4次中甲恰好投篮3次的概率为：
故前4次中甲恰好投篮3次的概率为：.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（23-24高一下·广东广州·期末）设A，B易两个随机事件，且，则下列结论正确的是（ ）
A．若A，B是互斥事件，则
B．若，则
C．若A，B是相互独立事件，则
D．若，则A，B是相互独立事件
【答案】DD
【分析】A由互斥事件概念可知；B由事件的包含关系得；C由概率性质与概率乘法公式可得；D由概率加法公式与相互独立事件的定义可得.
【详解】A项，若是互斥事件，不可能同时发生， ，故A错误；
B项，若，则，则，故B错误；
C项，若相互独立，则，
所以，故C正确；
D项，由，且事件互斥，则,
若， 则，
又，，故相互独立，故D正确.
D.
10．（23-24高一下·重庆巫山·期末）某学校对高一学生选科情况进行了统计，发现学生选科仅有物化生、政史地、物化地、物化政、生史地五种组合，其中选考物化地和物化政组合的人数相等，并绘制得到如下的扇形图和条形图，则（ ）
A．该校高一学生总数为
B．该校高一学生中选考物化政组合的人数为
C．该校高一学生中选考物理的人数比选考历史的人数多
D．用比例分配的分层随机抽样方法从该校高一学生抽取人，则生史地组合抽取人
【答案】ACD
【分析】根据政史地的人数和占比求出高一学生总数判断A，根据选考物化地和物化政组合
的人数相等和图表中的信息求出各选科的人数判断BC，利用分层抽样的特点判断D.
【详解】由扇形图和条形图可知，选政史地的人数为人，占比，
所以该校高一学生总数为人，A说法正确；
由扇形图可知选择物化生的人数为人，
所以选择物化地和物化政的人数为人，
又因为选考物化地和物化政组合的人数相等，
所以选考物化地和物化政组合的人数均为人，B说法错误；
该校高一学生中选考物理的人数有人，选考历史的人数有人，
选考物理的人数比选考历史的人数多，C说法正确；
因为选考生史地的学生人数占比为，
所以用比例分配的分层随机抽样方法从该校高一学生抽取人，则生史地组合抽取人，D说法正确；
CD
11．（23-24高一下·黑龙江绥化·期末）在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生大规模群体感染的标准为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”，过去10天，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据信息如下：甲地：平均数为2，众数为2；乙地：中位数为3，极差为4；丙地：平均数为2，中位数为3；丁地：平均数为2，标准差为，甲、乙、丙、丁四地中，一定没有发生大规模群体感染的是（ ）
A．甲地 B．乙地 C．丙地 D．丁地
【答案】CCD
【分析】对于A，举例判断，对于B，计算出每天新增疑似病例人数的最大值判断，对于CD，利用反证法判断.
【详解】对于A，若甲地过去10天每天新增疑似病例人数分别为0，0，0，2，2，2，2，2，2，8，
则满足平均数2，众数为2，但不满足每天新增疑似病例不超过7人，所以A错误，
对于B，因为乙地：中位数为3，极差为4，则最大值不大于，
所以乙地满足每天新增疑似病例不超过7人，所以B正确，
对于C，假设丙地至少有一天新增疑似病例人数超过7人，
由中位数为3可得平均数的最小值为，
与题意矛盾，所以C正确，
对于D，假设丁地至少有一天新增疑似病例人数超过7人，
则方差的最小值为，与题意矛盾，所以D正确，
CD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（24-25高二上·山东青岛·阶段练习）甲、乙两人抢答竞赛题，甲答对的概率为，乙答对的概率为，则两人中恰有一人答对的概率为 .
【答案】/0.35
【分析】根据给定条件，利用互斥事件及相互独立事件的概率公式计算即得.
【详解】甲答对的概率为，乙答对的概率为，
所以两人中恰有一人答对的概率为.
故答案为：
13．（24-25高二上·四川成都·期中）已知一组数据的平均数为10，方差为2，若这组数据，的平均数为，方差为，则 .
【答案】 19 8
【分析】利用平均数的性质和方差的性质求解．
【详解】因为的平均数为，方差为，
所以，的平均数为,
方差为.
故答案为：19；8.
14．（2024·上海·三模）对于没有重复数据的样本、、…、，记这m个数的第k百分位数为．若不在这组数据中，且在区间中的数据有且只有5个，则m的所有可能值组成的集合为 ．
【答案】
【分析】就是否为正整数分类讨论，若为正整数，则5个数分别为；若不为整数，则5个数分别为，就的范围分类计算后可得m的所有可能值组成的集合.
【详解】不妨设，因为不在这组数据，故为正整数，
若为正整数，故，其中为正整数，
故，，
因为在区间中的数据有且只有5个，
故这个5个数分别为，故即，
但当时，，此时至少有6个，
故，
当时，即为，共5个，符合；
当时，即为，共6个，不符合；
当时，即为，共7个，不符合；
若为不是整数，故，其中为正奇数，
设，其中为正整数，
则，且，故，
故，，
因为在区间中的数据有且只有5个，
故这个5个数分别为，故即，
但当，，此时至少有6个，
故，
当时，即为，共5个，符合；
当时，即为，共6个，不符合；
当时，即为，共7个，不符合；
综上，符合条件的为，，
故答案为：.
【点睛】思路点睛：与不等式有关的整数解问题，可先根据区间中含有的整数的个数初步确定参数的范围，再逐个讨论后舍去矛盾的情况即可.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(13分）（24-25高二上·四川成都·阶段练习）2024年10月13日，成都市将举办马拉松比赛，其中志愿者的服务工作是马拉松成功举办的重要保障.成都市文体广电旅游局承办了志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组:第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图.
(1)求a的值;
(2)估计这100名候选者面试成绩的平均数和第百分位数;
(3)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取人，担任本市的宣传者.若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为和，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为和，请据此估计这次第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差.
（附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，记两组数据总体的样本平均数为，则总体样本方差）
【答案】(1)
(2)，
(3)
【分析】（1）根据频率分布直方图的概率乘以组距等于，可求得
（2）根据频率分布直方图中平均数和百分位数的计算方法即可求解；
（3）先计算出第二组和第四组所有面试者的面试成绩的平均数，由题意，再根据分层抽样的方差公式求解即可.
【详解】（1）由图得，
解之可得；
（2）根据题意知，
，，
设第百分位数为，所以，
，解之可得，
故这名候选者面试成绩的平均数为，第80百分位数为.
（3）设第二组、第四组所有面试者的面试成绩的平均数、方差分别为，
且两组的频率之比为，
则第二组和第四组所有面试者的面试成绩的平均数为，
第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差为
，
则第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差为.
16．(15分）（24-25高二上·内蒙古赤峰·阶段练习）—只不透明的袋子中装有2个白球，3个红球，这些球除颜色外都相同.
(1)搅匀后从中任意摸出2个球，求这2个都球是白球的概率；
(2)搅匀后从中任意摸出1个球，记录颜色后放回，搅匀，再从中任意摸出1个球，求2次摸到的球恰好是1个白球和1个红球的概率.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）将3个红球记为红1，红2，红3，2个白球记为白1，白2，用列举法写出摸出的2球的情形，再由古典概型概率公式即可计算概率；
（2）用列表法表示出2次摸的情形，再由古典概型概率公式即可计算概率.
【详解】（1）将3个红球记为红1，红2，红3，2个白球记为白1，白2，
则任意摸出2个球的样本空间有：红1红2，红1红3，红1白1，红1白2，红2红3，红2白1，红2白2，红3白1，红3白2，白1白2共10个样本点，
其中2球均为白球事件的样本点只有1个，因此2个球都是白球概率为；
（2）搅匀后从中任意摸出1个球，记录下颜色后放回袋子中并搅匀，再从中任意摸出1个球，将3个红球记为红1，红2，红3，2个白球记为白1，白2，列表如图所示：
第2次摸球第1次摸球 红1 红2 红3 白1 白2
红1 （红1，红1） （红1，红2） （红1，红3） （红1，白1） （红1，白2）
红2 （红2，红1） （红2，红2） （红2，红3） （红2，白1） （红2，白2）
红3 （红3，红1） （红3，红2） （红3，红3） （红3，白1） （红3，白2）
白1 （白1，红1） （白1，红2） （白1，红3） （白1,白1） （白1,白2）
白2 （白2，红1） （白2，红2） （白2，红3） （白2,白1） （白2,白2）
所以搅匀后从中任意摸出1个球，记录下颜色后放回袋子中并搅匀，再从中任意摸出1个球事件的样本空间共有25个样本点，它们出现的可能性相同，
其中满足事件“2次摸到的球恰好是1个白球和1个红球”的样本点有12个，所以.
17．(15分）（2024高一下·全国·专题练习）2022年7月1日是中国共产党建党101周年，某党支部为了了解党员对党章党史的认知程度，针对党支部不同年龄和不同职业的人举办了一次“党章党史”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有人，按年龄分成5组，其中第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图
(1)根据频率分布直方图，估计这人的第80百分位数；
(2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取20人，担任“党章党史”的宣传使者．若有甲（年龄36），乙（年龄42）两人已确定入选宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据百分位数的估算方法，即可求得答案；
（2）确定两组抽取人数，列举出从6人中随机抽取2人的样本空间，根据古典概型的概率公式，即可求得答案.
【详解】（1）设第80百分位数为，前三组频率之和为，
前四组频率之和为，
故，
解得：
（2）由样本频率估计总体频率，在和两区间内频率分别为0.2，0.1，
区间应抽取（人），设为，，，甲，
区间应抽取（人），设为，乙，
则从6人中随机抽取2人的样本空间为：
，，甲，乙，，，甲，乙，，甲，乙，，甲乙，甲，乙，共15个基本事件，
记“甲、乙两人至少有一人被选上”，
则甲，乙，甲，乙，甲，乙，甲乙，甲，乙，共9个基本事件，
所以，
故甲、乙两人至少有一人被选上的概率为．
18．(17分）（23-24高一下·河北·期末）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为．现有两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码（例如，若收到1，则译码为1，若收到0，则译码为0）；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到，则译码为1，若依次收到，则译码为1）．
(1)已知．
①若采用单次传输方案，重复发送信号0两次，求至少收到一次0的概率；
②若采用单次传输方案，依次发送，证明：事件“第三次收到的信号为1”与事件“三次收到的数字之和为2”相互独立．
(2)若发送1，采用三次传输方案时译码为0的概率大于采用单次传输方案时译码为0的概率，求的取值范围．
【答案】(1)① ；②证明见解析
(2)
【分析】（1）①记事件为“至少收到一次0”，利用相互独立事件、互斥事件的概率公式计算可得；②记事件为“第三次收到的信号为1”，事件为“三次收到的数字之和为2”，证明即可；
（2）记事件为“采用三次传输方案时译码为0”，事件为“采用单次传输方案时译码为0”，根据题意可得，解不等式可解.
【详解】（1）①记事件为“至少收到一次0”，则．
②证明：记事件为“第三次收到的信号为1”，则．
记事件为“三次收到的数字之和为2”，
则．
因为，
所以事件“第三次收到的信号为1”与事件“三次收到的数字之和为2”相互独立．
（2）记事件为“采用三次传输方案时译码为0”，则．
记事件为“采用单次传输方案时译码为0”，则．
根据题意可得，即，
因为，所以，
解得，故的取值范围为．
【点睛】关键点点睛：利用相互独立事件、互斥事件的概率公式计算各事件的概率.
19．(17分）（22-23高一下·广东梅州·期末）某中学新建了学校食堂，每天有近2000名学生在学校食堂用午餐，午餐开放时间约40分钟，食堂制作了三类餐食，第一类是选餐，学生凭喜好在做好的大约6种菜和主食米饭中任意选购；第二类是套餐，已按配套好菜色盛装好，可直接取餐；第三类是面食，如煮面、炒粉等，为了更合理地设置窗口布局，增加学生的用餐满意度，学校学生会在用餐的学生中对就餐选择、各类餐食的平均每份取餐时长以及可接受等待时间进行问卷调查，并得到以下的统计图表.
类别 选餐 套餐 面食
选择人数 70 30 20
平均每份取餐时长（单位：分钟） 2 0.5 1
已知饭堂的售饭窗口一共有20个，就餐高峰期时有200名学生在等待就餐.
(1)根据以上的调查统计，如果设置12个选餐窗口，4个套餐窗口，4个面食窗口，就餐高峰期时，假设大家在排队时自动选择较短的队伍等待（即各类餐食的窗口前队伍长度各自相同），问：选择选餐的同学最长等待时间是多少？这能否让80％的同学感到满意（即在接受等待时长内取到餐）？
(2)根据以上的调查统计，从等待时长和公平的角度上考虑，如何设置各类售饭窗口数更优化，并给出你的求解过程.
【答案】(1)18分钟；不能
(2)建议设置选餐、套餐、面食三个类别的窗口数分别为个；求解过程见解析
【分析】（1）求出就餐高峰期时选择选餐的总人数，确定平均每个窗口等待就餐的人数即可求得选择选餐同学的最长等待时间；根据频率分布直方图可计算可接受等待时长在15分钟以上的同学占比，即可得结论；
（2）假设设置m个选餐窗口，n个套餐窗口，k个面食窗口，表示出各队伍的同学最长等待时间，根据从等待时长和公平的角度上考虑即为要求每个队伍的最长等待时间大致相同，从而列式求解.
【详解】（1）由题意得，就餐高峰期时选择选餐的总人数为人；
这100人平均分布在12个选餐窗口，平均每个窗口等待就餐的人数为人，
所以选择选餐同学的最长等待时间为分钟，
由可接受等待时长的频率分布直方图可知，分组为的频率分别为，
所以可接受等待时长在15分钟以上的同学占，
故设置12个选餐窗口，4个套餐窗口，4个面食窗口，不能让80％的同学感到满意；
（2）假设设置m个选餐窗口，n个套餐窗口，k个面食窗口，则各队伍的同学最长等待时间如下：
类别 选餐 套餐 面食
高峰期就餐总人数 100 80 40
各队伍长度（人）
最长等待时间（分钟）
依题意，从等待时长和公平的角度上考虑，则要求每个队伍的最长等待时间大致相同，
即得，即有，
而，故，
因此建议设置选餐、套餐、面食三个类别的窗口数分别为个.
【点睛】关键点睛：本题是一道有关频率分布直方图的应用题，题意的叙述较为复杂，解答的关键是明确题意，理解从等待时长和公平的角度上考虑即为要求每个队伍的最长等待时间大致相同，从而列式求解
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